立体几何中的二面角问题探究培优讲义-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

高二培优资料—立体几何中的二面角问题探究 一、真题赏析 1.（2024年·新高考Ⅰ卷）如图，四棱锥中，底面ABCD，，． (1) 若，证明：平面； (2)若，且二面角的正弦值为，求． 2.(2022·新高考Ⅰ卷)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为2. (1)求A到平面A1BC的距离； (2)设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A－BD－C的正弦值． 二、几何法解二面角问题 类型一　定义法 定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图，∠AOB为二面角α－l－β的平面角. 例1 如图，在三棱锥V－ABC中，VA＝AB＝VB＝AC＝BC＝2，VC＝，求二面角V－AB－C的大小. 类型二　垂面法 垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面各有一条交线，这两条交线所成的角即二面角的平面角.如图，∠AOB为二面角α－l－β的平面角. 例2 如图，将正方形A1BCD折成直二面角A－BD－C，则二面角A－CD－B的余弦值为(　　) A. B. C. D. 类型三　垂线法 垂线法(三垂线定理的应用)：过二面角的一个面内异于棱上的点A向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则∠AOB为二面角的平面角或其补角.如图，∠AOB为二面角α－l－β的平面角. 例3 如图，平面β内一条直线AC，AC与平面α所成的角为30°，AC与棱BD所成的角为45°，求二面角α－l－β. 例4 如图，在三棱锥S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ABC＝90°，SA＝AB，SB＝BC. (1)证明：平面SBC⊥平面SAB； (2)求二面角A－SC－B的平面角的正弦值. 类型四　射影面积法 若多边形的面积为S，它在一个平面内的射影图形的面积为S′，且多边形与该平面所成的二面角为θ，则cos θ＝.特别地，当题中要求的二面角是无棱二面角时，有时棱很难找出，这时用射影面积法尤为简单. 例5 在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小. 例6 如图所示，多面体是由以四边形ABCD为底面的直四棱柱被截面AEFG所截而得到的，该直四棱柱的底面为菱形，其中AB＝2，CF＝5，BE＝1，∠BAD＝60°. (1)求BG的长； (2)求平面AEFG与底面ABCD所成锐二面角的余弦值. 三、立体几何中的探索性问题 例7如图，三棱柱ABC－A1B1C1的底面是等边三角形，平面ABB1A1⊥平面ABC，A1B⊥AB，AC＝2，∠A1AB＝60°，O为AC的中点． (1)求证：AC⊥平面A1BO； (2)试问线段CC1上是否存在点P，使得平面POB与平面A1OB夹角的余弦值为，若存在，请计算的值；若不存在，请说明理由． 例8 如图，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点． (1)求证：AC⊥SD； (2)若SD⊥平面PAC，求平面PAC与平面DAC夹角的大小； (3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二培优资料—立体几何中的二面角问题探究 一、真题赏析 1.（2024年·新高考Ⅰ卷）如图，四棱锥中，底面ABCD，，． (1) 若，证明：平面； (2)若，且二面角的正弦值为，求． 【详解】（1）因为平面，而平面，所以， 又，，平面，所以平面，而平面，所以. 因为，所以， 根据平面知识可知，又平面，平面，所以平面． （2）如图所示，过点D作于，再过点作于，连接，因为平面，所以平面平面，而平面平面，所以平面，又，所以平面， 根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角，即，即． 因为，设，则，由等面积法可得，， 又，而为等腰直角三角形，所以， 故，解得，即． 2.(2022·新高考Ⅰ卷)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为2. (1)求A到平面A1BC的距离； (2)设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A－BD－C的正弦值． 解　(1)设点A到平面A1BC的距离为h，因为直三棱柱ABC－A1B1C1的体积为4， 所以＝S△ABC·AA1＝＝，又△A1BC的面积为2， ＝＝×2h＝，所以h＝，即点A到平面A1BC的距离为. (2)取A1B的中点E，连接AE，则AE⊥A1B. 因为平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B，AE⊂平面ABB1A1， 所以AE⊥平面A1BC，又BC⊂平面A1BC，所以AE⊥BC. 又AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC. 因为AA1∩AE＝A，AA1，AE⊂平面ABB1A1，所以BC⊥平面ABB1A1， 又AB⊂平面ABB1A1，所以BC⊥AB. 以B为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz， 由(1)知，AE＝，所以AA1＝AB＝2，A1B＝2. 因为△A1BC的面积为2，所以2＝·A1B·BC，所以BC＝2，所以A(0,2,0)，B(0,0,0)，C(2,0,0)，A1(0，2,2)，D(1,1,1)，E(0,1,1)，则＝(1,1,1)，＝(0,2,0)． 设平面ABD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则即 令x＝1，得n＝(1,0，－1)．又平面BDC的一个法向量为＝(0，－1，1)，所以cos〈，n〉＝＝＝－.设二面角A－BD－C的平面角为θ，则sin θ＝＝，所以二面角A－BD－C的正弦值为. 二、几何法解二面角问题 类型一　定义法 定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图，∠AOB为二面角α－l－β的平面角. 例1 如图，在三棱锥V－ABC中，VA＝AB＝VB＝AC＝BC＝2，VC＝，求二面角V－AB－C的大小. 解　取AB的中点D，连接VD，CD， ∵在△VAB中，VA＝VB＝AB＝2，∴△VAB为等边三角形， ∴VD⊥AB且VD＝，同理CD⊥AB，CD＝，∴∠VDC为二面角V－AB－C的平面角， 而△VDC是等边三角形，∠VDC＝60°，∴二面角V－AB－C的大小为60°. 类型二　垂面法 垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面各有一条交线，这两条交线所成的角即二面角的平面角.如图，∠AOB为二面角α－l－β的平面角. 例2 如图，将正方形A1BCD折成直二面角A－BD－C，则二面角A－CD－B的余弦值为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　∵以正方形A1BCD的对角线BD为棱折成直二面角，∴平面ABD⊥平面BCD. 连接A1C交BD于点O，连接AO，则AO⊥BD，∵平面ABD∩平面BCD＝BD，AO⊂平面ABD， ∴AO⊥平面BCD，∴AO⊥CD.取CD的中点M，连接OM，AM，则OM∥BC， ∴OM⊥CD，∴CD⊥平面AOM，∴∠AMO即为二面角A－CD－B的平面角. 不妨设正方形A1BCD的边长为2，则AO＝，OM＝1，∴AM＝＝.∴cos ∠AMO＝＝. 类型三　垂线法 垂线法(三垂线定理的应用)：过二面角的一个面内异于棱上的点A向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则∠AOB为二面角的平面角或其补角.如图，∠AOB为二面角α－l－β的平面角. 例3 如图，平面β内一条直线AC，AC与平面α所成的角为30°，AC与棱BD所成的角为45°，求二面角α－l－β. 解　如图，过A作AF⊥BD，F为垂足，作AE⊥平面α，E为垂足，连接EF，CE， ∴由三垂线定理知BD⊥EF，∴∠AFE为二面角α－l－β的平面角.依题意知∠ACF＝45°，∠ACE＝30°， 设AC＝2，∴AF＝CF＝，AE＝1，∴sin∠AFE＝＝＝，∴∠AFE＝45°.∴二面角α－l－β的平面角为45°. 例4 如图，在三棱锥S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ABC＝90°，SA＝AB，SB＝BC. (1)证明：平面SBC⊥平面SAB； (2)求二面角A－SC－B的平面角的正弦值. (1)证明　∵∠SAB＝∠SAC＝90°，∴SA⊥AB，SA⊥AC，又AB∩AC＝A，AB，AC⊂平面ABC， ∴SA⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，∴SA⊥BC， 又AB⊥BC，SA∩AB＝A，SA，AB⊂平面SAB，∴BC⊥平面SAB， 又BC⊂平面SBC，∴平面SBC⊥平面SAB. (2)解　取SB的中点D，连接AD， 则AD⊥SB，由(1)知平面SBC⊥平面SAB，平面SBC∩平面SAB＝SB，AD⊂平面SAB， ∴AD⊥平面SBC.作AE⊥SC，垂足为点E，连接DE，则DE⊥SC， 则∠AED为二面角A－SC－B的平面角.设SA＝AB＝2，则SB＝BC＝2，AD＝，AC＝2，SC＝4. 由题意得AE＝，在Rt△ADE中，sin∠AED＝＝＝， ∴二面角A－SC－B的平面角的正弦值为. 类型四　射影面积法 若多边形的面积为S，它在一个平面内的射影图形的面积为S′，且多边形与该平面所成的二面角为θ，则cos θ＝.特别地，当题中要求的二面角是无棱二面角时，有时棱很难找出，这时用射影面积法尤为简单. 例5 在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小. 解　如图，∵PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD， ∴PA⊥AD.又AD⊥AB，且PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB， ∴AD⊥平面PAB，同理BC⊥平面PAB，∴△PCD在平面PBA上的射影为△PAB. 设平面PBA与平面PCD所成的二面角的大小为θ，∴cos θ＝＝＝，∴θ＝45°. 故平面PBA与平面PCD所成的二面角的大小为45°. 例6 如图所示，多面体是由以四边形ABCD为底面的直四棱柱被截面AEFG所截而得到的，该直四棱柱的底面为菱形，其中AB＝2，CF＝5，BE＝1，∠BAD＝60°. (1)求BG的长； (2)求平面AEFG与底面ABCD所成锐二面角的余弦值. 解　(1)由题意易得四边形AEFG为平行四边形，所以AE＝GF.设DG的长为x， 则＝，解得x＝4.在Rt△GDB中，可得BG＝＝2，所以BG的长为2. (2)因为多面体是由以四边形ABCD为底面的直四棱柱被截面AEFG所截而得到，所以GD⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，EB⊥平面ABCD，则四边形AEFG在平面ABCD上的射影就是四边形ABCD，由(1)知四边形AEFG是平行四边形，AE＝，EF＝2，GE＝.设平面AEFG与底面ABCD所成锐二面角的大小为θ，则cos θ＝＝＝. 三、立体几何中的探索性问题 例7如图，三棱柱ABC－A1B1C1的底面是等边三角形，平面ABB1A1⊥平面ABC，A1B⊥AB，AC＝2，∠A1AB＝60°，O为AC的中点． (1)求证：AC⊥平面A1BO； (2)试问线段CC1上是否存在点P，使得平面POB与平面A1OB夹角的余弦值为，若存在，请计算的值；若不存在，请说明理由． (1)证明　∵△ABC是等边三角形，O是AC的中点，∴AC⊥OB， ∵平面ABB1A1⊥平面ABC，平面ABB1A1∩平面ABC＝AB，A1B⊥AB，A1B⊂平面ABB1A1， ∴A1B⊥平面ABC，∵AC⊂平面ABC，∴A1B⊥AC，∵AC⊥OB，A1B∩OB＝B，A1B，OB⊂平面A1BO，∴AC⊥平面A1BO. (2)解　存在，线段CC1的中点P满足题意．理由如下：由(1)得A1B⊥平面ABC， OB⊥AC，以O为坐标原点，OA，OB，所在直线分别为x轴、y轴，过点O作Oz∥A1B，以Oz所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则O(0,0,0)，B(0，，0)，C(－1,0,0)，A(1,0,0)，A1(0，，2)，则＝(0，，0)，＝(－1，，2)， 设＝t＝t＝(－t，t,2t)，0≤t≤1， 则＝＋＝(－1－t，t,2t)， 易知平面A1OB的一个法向量为n＝(1,0,0)，设平面POB的法向量为m＝(x，y，z)， 则取x＝2t，则m＝(2t,0，t＋1)， 由题意得|cos〈n，m〉|＝＝＝，∵0≤t≤1，∴解得t＝＝， ∴线段CC1上存在点P，使得平面POB与平面A1OB夹角的余弦值为，此时＝. 例8 如图，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点． (1)求证：AC⊥SD； (2)若SD⊥平面PAC，求平面PAC与平面DAC夹角的大小； (3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，请说明理由． (1)证明　如图，连接BD交AC于点O，连接SO. 由题意知，SO⊥平面ABCD，以O为坐标原点，以OB，OC，OS所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．设底面边长为a，则高SO＝a，于是S，D，C. 于是＝，＝.则·＝0，所以⊥， 故OC⊥SD，从而AC⊥SD. (2)解　由题设知，平面PAC的一个法向量为＝， 平面DAC的一个法向量为＝.设平面PAC与平面DAC的夹角为θ， 则cos θ＝|cos〈，〉|＝＝＝，所以平面PAC与平面DAC夹角的大小为30°. (3)解　假设在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC.由(2)知是平面PAC的一个法向量， 且＝，＝. 设＝t(0≤t≤1)，因为B，C，所以＝， 则＝＋＝＋t＝.由·＝0，得－＋0＋a2t＝0，解得t＝， 当SE∶EC＝2∶1时，⊥.由于BE⊄平面PAC，故BE∥平面PAC.因此在棱SC上存在点E，使BE∥平面PAC，此时SE∶EC＝2∶1. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$