2.4线段、角的对称性综合练习（一）2024-2025学年苏科版八年级数学上册

苏科版八年级上册数学2.4线段、角的对称性综合练习一 （线段的对称性常考题型） 【知识点梳理】 知识点一：线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 几何语言叙述： ∵直线l垂直平分AB ∴PA=PB. 知识点二：线段垂直平分线判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 几何语言叙述： ∵PA=PB; ∴P点在AB的垂直平分线上. 【题型1 线段垂直平分线的性质在求线段、角中的应用】 一．选择题 1.如图，兔子的三个洞口A、B、C构成△ABC，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在△ABC（　　） A． 三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三个角的角平分线的交点 2.如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE交AC于D，如果AC=5cm,BC=4cm,那么△DBC的周长是（　　） A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 第1题 第2题 第3题 第4题 3.如图，线段AB，BC的垂直平分线l1、l2相交于点O．若∠1＝40°，则∠AOC＝（　　） A．50° B．80° C．90° D．100° 4.如图，线段AB，DE的垂直平分线交于点C，且∠ABC＝∠EDC＝72°，∠AEB＝92°，则∠EBD的度数为（　　） A．168° B．158° C．128° D．118° 二．填空题 5.如图，线段AB，DE的垂直平分线交于点C，且∠ABC=∠EDC=72°，∠AEB=92°，则∠EBD的度数为　 　． 6.已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC的数量关系是：∠BOC＝　 　． 第5题 第5题 三．解答题 7.如图，在四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F是CD的中点，且AE⊥BC，AF⊥CD． （1）求证：AB＝AD； （2）请你探究∠EAF，∠BAE，∠DAF之间有什么数量关系？并证明你的结论． 8.如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于D、E点．MN垂直平分AC，分别交AC、BC于M、N点． （1）若∠BAC＝100°，求∠EAN的度数；（2）若∠BAC＝70°，求∠EAN的度数； （3）若∠BAC＝α（α≠90°），直接写出用α表示∠EAN大小的代数式． 9.如图，AB＝CD，AC、BD的垂直平分线EM、EN相交于点E，求证：∠ABE＝∠CDE． 10.如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，BD平分∠ABC． （1）若∠ADB=48°，求∠A的度数； （2）若AB=5cm,△ABC与△ABD的周长之差为8cm,且△ADB的面积为10cm2，求△DBC的面积． 【题型2 线段垂直平分线的判定】 11.（1）利用网格画四边形ABCD任意两边的垂直平分线，设它们相交于点O； （2）点O （填“在”或“不在”）另外两条边的垂直平分线上； （3）把顶点D向左移动8格，以上结论 （填“成立”或“不成立”）； （4）直接写出当四边形满足什么条件时，四边的垂直平分线交于一点． 12.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线l1交AB于点M，交BC于点D，AC的垂直平分线l2交AC于点N，交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为10．请你解答下列问题： （1）求BC的长； （2）试判断点O是否在边BC的垂直平分线上，并说明理由． 13.如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝AE，连接BE、CD，交于点F． （1）判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由； （2）求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC． 14.求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点． 【题型3 作图类题型】 15.已知△ABC（AC＜BC），用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PC=BC，则符合要求的作图痕迹是 （　） 16.已知直线l及位于其两侧的两点A，B，如图 （1）在图①中的直线l上求一点P，使PA＝PB； （2）在图②中的直线l上求一点Q，使直线l平分∠AQB； （3）能否在图③的直线l上找一点，使该点到点A，B的距离之差的绝对值最大？若能，直接指出该点的位置，若不能，请说明理由． 图③ 17.已知：如图，在△ABC中，∠C＝120°，边AC的垂直平分线DE与AC、AB分别交于点D和点E． （1）作出边AC的垂直平分线DE； （2）当AE＝BC时，求∠A的度数． 18.如图，在BC边上寻找一点N，使得NA+NB＝BC． 19.如图，在△ABC中，DE⊥BC于点D，交AB于点E．请用尺规作图法，在线段DC上求作一点P，使AP∥ED．（保留作图痕迹，不写作法） 20.【知识运用】如图1，PC=PD，QC=QD，PQ，CD相交于点E．求证：PQ⊥CD； 【数学思考】已知三个点A，B和C，只允许用圆规作点D，使得C，D两点关于AB所在的直线对称． 参考答案 1. C、2.D 3.B 4.C 5. 128度 6. 7.解答】（1）证明：连接AC， ∵点E是BC的中点，AE⊥BC， ∴AB=AC， ∵点F是CD的中点，AF⊥CD， ∴AD=AC， ∴AB=AD． （2）∴∠EAF=∠BAE+∠DAF． 证明∵由（1）知AB=AC， 即△ABC为等腰三角形． ∵AE⊥BC，（已知）， ∴∠BAE=∠EAC（等腰三角形的三线合一）． 同理，∠CAF=∠DAF． ∴∠EAF=∠EAC+∠FAC=∠BAE+∠DAF． 8.【解答】解：（1）∵DE垂直平分AB， ∴AE=BE， ∴∠BAE=∠B， 同理可得：∠CAN=∠C， ∴∠EAN=∠BAC-∠BAE-∠CAN， =∠BAC-（∠B+∠C）， 在△ABC中，∠B+∠C=180°-∠BAC=80°， ∴∠EAN=∠BAC-（∠BAE+∠CAN）=100°-80°=20°； （2）∵DE垂直平分AB， ∴AE=BE， ∴∠BAE=∠B， 同理可得：∠CAN=∠C， ∴∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC， =（∠B+∠C）-∠BAC， 在△ABC中，∠B+∠C=180°-∠BAC=110°， ∴∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC=110°-70°=40°； （3）当α＜90°时，∠EAN=180°-2α； 当α＞90°时，∠EAN=2α-180°． 9.【解答】证明：连接EA、EC， ∵EM垂直平分AC，EN垂直平分BD， ∴AE=CE，BE=DE． 在△ABE和△CDE中， ∴△ABE≌△CDE（SSS）． ∴∠ABE=∠CDE． 10.【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC， ∵DE垂直平分BC， ∴DB=DC， ∴∠DBC=∠C=∠ABD， ∴∠ADB=∠DBC+∠C=2∠ABD=48°， ∴∠ABD=24°， ∴∠A=180°-∠ABD -∠ADB=180°-24°-48°=108°； （2）∵DE垂直平分BC， ∴DA=DC，DE⊥BC， ∵△ABC与△ABD的周长之差为8cm, ∴（AB+BC+AD+DC）-（AB+AD+BD）=BC=8cm, 过D作DH⊥AB于H， ∵BD平分∠ABC， ∴DE=DH，∴ AB•DH=10， ∴DH=DE= =4cm, ∴△ABC的面积=10+BC•DE=10+×8×4=26（cm2）， ∴△DBC得面积=26-10=16（cm2）． 答：△BCD的面积为16cm2． ∵AB=5cm,△ADB的面积为10cm2， 【题型2 线段垂直平分线的判定】 11.解：（1）如图所示： （2）如图所示，点O在另外两条边的垂直平分线上； 故答案为：在； （3）如图所示， 把顶点D向左移动8格，以上结论不成立； 故答案为：不成立； （4） 当四边的垂直平分线交于一点时，交点与四个顶点的距离相等， 所以可知四边形的四个顶点共圆， 根据圆内接四边形的性质可得，四边形对角互补， 所以，当四边形满足对角互补时，四边的垂直平分线交于一点． 12.解：（1）∵l1垂直平分AB， ∴DB=DA， 同理EA=EC， ∴BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=10； （2）点O在边BC的垂直平分线上， 理由：连接AO，BO，CO， ∵l1与l2是AB，AC的垂直平分线， ∴AO=BO，CO=AO， ∴OB=OC， ∴点O在边BC的垂直平分线上． 13.解：（1）∠ABE=∠ACD； 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD， ∴∠ABE=∠ACD； （2）连接AF． ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， 由（1）可知∠ABE=∠ACD， ∴∠FBC=∠FCB， ∴FB=FC， ∵AB=AC， ∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上， 即直线AF垂直平分线段BC． 14.【解答】证明：∵XX′，YY′分别是△ABC的BC边与AC边的中垂线， ∴XX′，YY′必相交于一点，设为O（否则，XX′∥YY′，那么∠C必等于180°，这是不可能的）． ∵OB=OC，OC=OA， ∴OB=OA， ∴O点必在AB的垂直平分线ZZ′上， ∴XX′，YY′，ZZ′相交于一点． 【题型3线段垂直平分线的作法】 15.D 16.【解答】解：（1）连接AB作线段AB的垂直平分线MN，直线MN和直线l的交点为P，点P即为所求，见图①． （2）作点A关于直线l的对称点A1，连接BA1且延长交直线l于点Q，点Q即为所求，见图②． （3）图②中的点Q即为所求，见图③． 理由如下：在直线l上任意取一点Q1，连接Q1A1，Q1B，Q1A， ∵A、A′关于直线l对称， ∴Q1A1=Q1A， ∵|Q1A1-Q1B|≤A1B（当Q1与Q重合时等号成立）， ∴|Q1A-Q1B|≤A1B， ∵Q1与Q重合时， |QB-QA1|=A1B， 故点Q即为所求的点． 17.【解答】解：（1）如图所示，DE即为所求作的边AC的垂直平分线； （2）如图，连接CE， ∵DE是AC的垂直平分线， ∴AE=CE， ∴∠A=∠ACE， ∵AE=BC， ∴CE=BC， ∴∠B=∠CEB， 设∠A=x, 则∠CEB=∠A+∠ACE=x+x=2x, 在△BCE中，∠BCE=180°-2×2x=180°-4x, ∴∠ACB=∠ACE+∠BCE=x+180°-4x=120°， 解得x=20°， 即∠A=20°． 18.解：如图，点N为所作． 19.解：点P即为所求． 20.【知识运用】证明：∵PC=PD， ∴点P在线段CD的垂直平分线上， ∵QC=QD， ∴点Q在线段CD的垂直平分线上， ∴直线PQ为线段CD的垂直平分线， ∴PQ⊥CD； 【数学思考】解：以A为圆心、AC为半径画弧，再以B为圆心、BC为半径画弧， 两弧交于点D，则点D即为所求， 证明：∵AC=AD，BC=BD， ∴AB是CD的垂直平分线， ∴．C，D两点关于AB所在的直线对称 1 学科网（北京）股份有限公司 $$