6年级上册-学习帮 · 小学数学知识点总结

六年级数学上下册 人教小学数学6上单元知识点归纳总结 第一单元分数乘法 —、分数乘法 （一） 分数乘法的意义： 1、 分数乘整数与整数乘法的意义相同。都是求几个相同加数的和的简便运算。 例如：65x5表示求5个65的和是多少？1/3x5表示求5个1/3的和是多少？ 2、 一个数乘分数的意义是求一个数的几分之几是多少。 例如：1/3 x 4/7表示求1/3的4/7是多少。 4x3/8表示求4的3/8是多少. （二） 、分数乘法的计算法则： 1、 分数与整数相乘：分子与整数相乘的积做分子，分母不变。（整数和分母约分） 2、 分数与分数相乘：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。注意：当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。 3、 为了计算简便，能约分的要先约分，再计算。（尽量约分，不会约分的就不约，常考的质因数有11x11=121;13x13=169;17x17=289;19x19=361） 4、 小数乘分数，可以先把小数化为分数，也可以把分数化成小数再计算（建议把小数化分数再计算）。 （三） 、乘法中比较大小的规律 —个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数。 一个数（0除外）乘小于1的数（0除外），积小于这个数。 一个数（0除外）乘1，积等于这个数。（四）分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也同样适用。 乘法交换律：a x b=b x a 乘法结合律：（a x b）xc=a x（b x c） 乘法分配律：（a+b）xc=ac+bc 二、分数乘法的解决问题（已知单位T'的量（用乘法），即求单位T的几分之几是多少） 1、 画线段图：（1）两个量的关系：画两条线段图，先画单一的量，注意两条线段的左边要对齐。（2）部分和整体的关系：画一条线段图。 2、 找单位T：单位1在分率句中分率的前面； 或在占、是、比'相当于的后面。 3、 写数量关系式的技巧： ⑴的相当于x，占、相当于'是、比是“=” （2）分率前是的字：用单位1的量x分率=具体量 例如：甲数是20，甲数的1/3是多少？列式是：20x1/3 4、 看分率前有没有多或少的问题；分率前是多或少的关系式： （比少）：单位T的量x（1-分率）=具体量； 例如：甲数是50，乙数比甲数少1/2，乙数是多少？ 列式是：50x（1-1/2） （比多）：单位T的量x（1+分率）=具体量 例如：小红有30元钱，小明比小红多3/5，小红有多少钱？ 列式是：30x（1+3/5） 3、 求一个数的几倍是多少：用一个数x几倍； 4、 求一个数的几分之几是多少：用一个数x几分之几。 5、 求几个几分之几是多少：用几分之几x个数 6、 求已知一个部分量是总量的几分之几，求另一个部分量的方法： ⑴、单位1的量x（1-分率）=另一个部分量（建议用） （2）单位T的量-已知占单位T的几分之几的部分量=要求的部分量 例如：教材15页做一做和16页练习第七题题目中有时候会有这种题的关键字 其中 第二单元 位置与方向（二） ―、确定物体位置的方法： 1、 先找观测点； 2、 再定方向（看方向夹角的度数）； 3、 最后确定距离（看比例尺）二、 描绘路线图的关键是选好观测点，建立方向标，确定方向和路程。 三、 位置关系的相对性：两地的位置具有相对性在叙述两地的位置关系时，观测点不同，叙述的方向正好相反，而度数和距离正好相等。 四、 相对位置：东--西；南--北；南偏东--北偏西。 第三单元 分数除法 倒数： 1、 倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数。 强调：互为倒数，即倒数是两个数的关系，它们互相依存，倒数不能单独存在。（要说清谁是谁的倒数）。 2、 求倒数的方法： ⑴、求分数的倒数：交换分子分母的位置。 (2) 、求整数的倒数：把整数看做分母是1的分数，再交换分子分母的位置。 (3) 、求带分数的倒数：把带分数化为假分数，再求倒数。 (4) 、求小数的倒数：把小数化为分数，再求倒数。 3、 1的倒数是1；因为1x1=1;。没有倒数，因为。乘任何数都得0,（分母不能为0) 4、 真分数的倒数大于1；假分数的倒数小于或等于1；带分数的倒数小于1。 5、运用，ax2/3=bx1/4求a和b是多少。把ax2/3=bx1/4看成等于1，也就是求2/3的倒数和求1/4的倒数。 1、分数除法的意义：乘法：因数X因数=积 除法：积？一个因数=另一个因数 分数除法与整数除法的意义相同，表示已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算。 例如：1/23/5意义是：已知两个因数的积是1/2与其中一个因数3/5，求另一个因数的运算。 2、 分数除法的计算法则： 除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。 3、 分数除法比较大小时的规律： （1） 当除数大于1，商小于被除数； （2） 当除数小于1（不等于0），商大于被除数； （3） 当除数等于1，商等于被除数。 叫做中括号。一个算式里，如果既有小括号，又有中括号，要先算小括号 里面的，再算中括号里面的。 二、分数除法解决问题 1, 解法：（1）方程：根据数量关系式设未知量为X，用方程解答。 解：设未知量为X（—定要解设），再列方程用Xx分率=具体量 例如：公鸡有20只，是母鸡只数的1/3，母鸡有多少只。（单位一是母鸡只数， 单位一未知.）解：设母鸡有X只。列方程为：Xx1/3=20 （2）算术（用除法）：单位T的量未知用除法： 即已知单位T的几分之几是多少，求单位T的量。 分率对应量—对应分率=单位T的量例如：公鸡有20只，是母鸡只数的1/3，母鸡有多少只。（单位一是母鸡只数，单位一未知，）用除法，列式是：20+1/3 2、看分率前有没有比多或比少的问题； 分率前是多或少的关系式： （比少）：具体量+（1-分率）=单位T的量； 例如：桃树有50棵，比苹果树少1/6，苹果树有多少棵。 列式是：50-（1-1/6） （比多）：具体量-（1+分率）=单位1的量 例如：一种商品现在是80元，比原价增加了1/7，原价多少？ 列式是：80：（1+1/7） 3、求一个数是另一个数的几分之几是多少：用一个数除以另一个数，结果写 为分数形式。 例如：男生有20人，女生有15人，女生人数占男生人数的几分之几。 列式是：15-20-15/20=3/4 4、求一个数比另一个数多几分之几的方法： 用两个数的相差量•单位T的量=分数 即①求一个数比另一个数多几分之几：用（大数－小数）+另一个数（比那个数就除以那个数），结果写为分数形式。 例如：5比3多几分之几？（5-3）-3=2/3 ②求一个数比另一个数少几分之几：用（大数－小数）－另一个数（比那个数就除以那个数），结果写为分数形式。 例如：3比5少几分之几？（5-3）+5=2/5 说明：多几分之几不等于少几分之几，因为单位不同。 5、工程问题：把工作总量看作单位1"，合作多长时间完成一项工程用1+效率和，即1+（1/时间+1/时间），（工作效率=1/时间） 例如：一项工程甲单独做要5天完成，乙单独做要10天完成，甲单独做要3天 完成三人合作几天可以完成？列式：U（1/5+1/10+1/3） 第四单元比 （一）比的意义 1、 比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。 2、 在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后項。 比的前项除以后项所得的商，叫作比值。 例如15:10=1570=3/2（比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示） 15:10 = 3/2 前项比号后项比值 3、 比可以表示两个相同量的关系，即倍数关系。例：长是宽的几倍。 也可以表示两个不同量的比，得到一^新量。例：路程！速度=时间。 4、 区分比和比值 比：表示两个数的关系，可以写成比的形式，也可以用分数表示。 比值：相当于商，是一个数，可以是整数，分数，也可以是小数。 5、 根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形式。 6、 比和除法、分数的联系：比前项比号:后项比值除法被除数除号，除数商 分数分子分数线一分母分数值 7、 比和除法、分数的区别：除法是一种运算，分数是一个数，比表示两个数的关系。 8、 根据比与除法、分数的关系，可以理解比的后项不能为0。 9、 体育比赛中出现两队的分是2:0等，这只是一种记分的形式，不表示两个数相除的关系。 10、 求比值：用前项除以后项，结果最好是写为分数（不会约分的就不约分） 例如：15：10=15^10=15/10=3/2 （二）比的基本性质 1、 根据比、除法、分数的关系： 商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（。除外），商不变。 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时（。除外），分数值不变。 比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。 2、 最简整数比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整数比。 3、 根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比。 4、 化简比： （2）用求比值的方法。注意：最后结果要写成比的形式。 例如：15:10=15+10=15/10=3/2=3：2 还可以15：10=15>0=3/2最简整数比是3：2 5、 比中有单位的，化简和求比值时要把单位化相同再化简和求比值，结果没有单位。 6. 按比例分配：把一个数量按照一定的比例来进行分配。这种方法通常叫做按比例分配。一般有两种解题法 1, 用分率解：按比例分配通常把总量看作单位一，即转化成分率。要先求出总 份数，再求出几份占总份数的几分之几，最后再用总量分别乘几分之几。 例如：有糖水25克，糖和水的比为1:4，糖和水分别有几克？ 1+4=5糖占1/5用25x1/5得到糖的数量，水占4/5用25x4/5得到水的数量。 2, 用份数解：要先求出总份数，再求出每一份是多少，最后分别求出几份是多少。 例如：有糖水25克，糖和水的比为1:4，糖和水分别有几克？ 糖和水的份数一共有1+4=5—份就是25十5=5糖有1份就是5x1水有4分就是5x4第五单元 —、圆的认识 1、 圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。 2、 圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。一般用字母0表示。它到圆上任意一点的距离都相等. 3、 半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫作半径。一般用字母r表示。把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。 4、 直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫作直径。一般用字母d表示。直径是一个圆内最长的线段。 5、 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 6、 在同一个圆内或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。所有的半径都相等，所有的直径都相等。 7、 在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的1/2。用字母表示为：0)=2「或「=山2 8、 轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。 9、 长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。这些图形都是轴对称图形。10、只有1条对称轴的图形有：角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。只有2条对称轴的图形是：长方形；只有3条对称轴的图形是：等边三角形；只有4条对称轴的图形是：正方形，•有无数条对称轴的图形是：圆、圆环。 1 1、画对称轴要用铅笔画，同时要用尺子（三角板）画出虚线，这条虚线两端要超出图形一点。 二、圆的周长 1、 圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母C表示。 2、 圆周率实验：（滚动法）在圆形纸片上做个记号，与直尺。刻度对齐，在直尺上滚动一周，得到圆的周长。或者用线围绕圆形纸片一周量出线的长度就是圆的周长（测绳法）。 发现，圆周长与它直径的比值（圆周长除以直径）是一个固定数即3倍多一点，我们把它叫作圆周率用字母TI表示。 3、 圆周率：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫作圆周率。用字母Ti(pai）表示。世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。 ⑴、一个圆的周长总是它直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。圆周率 R是一个无限不循环小数。在计算时，一般取tt q 3.14。 (2)在判断时，圆周长与它直径的比值是tt倍，而不是3.14倍。 4、 圆的周长公式：圆的周长等于圆周率乘直径用字母表示C=nd (1) 、已知圆的周长求直径用圆的周长除以圆周率，用字母表示 d=C+ti或圆的周长等于2乘圆周率乘半径，用字母表示C=2nr 、已知圆的周长求半径用圆的周长除以圆周率的2倍，用字母表示r=C 4-2tt(r=C/2tt) 5、 在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。 6、 区分周长的一半和半圆的周长： (1) 、周长的一半：等于圆的周长+2 计算方法：2ti r-2即C半=ti r (2) 半圆的周长：等于圆的周长的一半加直径。计算方法：半圆的周长=5.14 r(推 导过程C半=2tt r+2+d=nr+d=nr+2r=5.14 r) 三、圆的面积 1、 圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。用字母S表示。 2、 圆面积公式的推导：（1）把一个圆等分（偶数份）成的扇形份数越多，拼成的图像越接近长方形。长方形的长相当于圆的周长的一半，长方形的宽相当于圆的半径。 （2）拼出的图形与圆的周长和半径的关系。 圆的半径= 长方形的宽 圆的周长的一半=长方形的长 3、 圆面积的计算方法：因为：长方形面积=长x宽 所以：圆的面积=圆周长的一半x圆的半径 即S圆=02*r=nr x r=nr 圆的面积公式：圆=Tir-r=S圆-ti 4、 环形的面积：一个环形，外圆的半径用字母R表示，内圆的半径用字母r表示。（R=r+环的宽度.） ，环=ttR-nr或环形的面积公式：S环=n（n（R2-r2））（建议用这个公式）。 5、 一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。 例如：在同一个圆里，半径扩大3倍，那么直径和周长就都扩大3倍，而面积扩大3的平方倍得到9倍。 6、 两个圆：半径比=直径比=周长比；而面积比等于这比的平方。 例如：两个圆的半径比是2：3，那么这两个圆的直径比和周长比都是2：3，而面积比是4：9 7、 任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值，艮卩：4：tt 8、 当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆面积最大，正方形居中，长方形面积最小。反之，面积相同时，长方形的周长最长，正方形居中，圆的周长最短。 9、 常用各tt值结果：n=3.14;2ti=6.28;5tt=15.7 10、 外方内圆（内切圆）公式S=0.86r推导过程：S=S正-S圆=d-nr=2rx 2r-nr=4r-nr=r x（4-n）=0.86r 11、 外圆内方（外切圆）公式S=1.14r推导过程：S=S圆-S正=Tir-di72x2=2r xr/2xr=nr-2r=r x（n-2）=1.14r（把正方形看成两个面积相等的三角形，三角形的底就是直径，高是半径） 12、 一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。顶点在圆心的角叫做圆心角。扇形的面积与圆心角大小和半径长短有关。 13、 S扇=$圆xn/360;S扇环芝环xn/360 14、 扇形也是轴对称图形，有一条对称轴。 15、常见半径与直径的周长和面积的结果。 半径的平方直径周长面积 1 1 2 6.28 3.14 2 4412.5612.56 3 9 6 18.84 28.26 416 8 25.12 50.24 5 25 10 31.4 78.5 6 3612 37.68113.04 7 49 14 43.96153.86 8 6416 50.24 200.96 9 81 18 56.52 254.34 10 100 20 62.8 314 1.5 2.25 3 9.42 7.065 2.5 6.25 5 15.7 19.625 3.5 12.25 7 21.98 38.465 4.5 20.35 9 28.26 63.585 5.5 30.25 11 34.54 94.985 7.5 56.25 15 47.1 176.625 —、百分数的意义和写法（―）、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。百分数是指两个数的比，因此也叫百分率或百分比。第六单元 百分数㈠ （二）百分数和分数的主要联系与区别： 联系：都可以表示两个量的倍比关系。 区别：①、意义不同：百分数只表示两个数的倍比关系，不能表示具体的数量，所以不能带单位； 分数既可以表示具体的数，又可以表示两个数的关系，表示具体数时可以带单位。 ②、百分数的分子可以是整数，也可以是小数； 分数的分子不能是小数，只能是除。以外的自然数。 3、百分数的写法：通常不写成分数形式，而在原来分子后面加上％来表示，读作百分之。 二、百分数和分数、小数的互化 （一） 百分数与小数的互化： 1、 小数化成百分数：把小数点向右移动两位（数位不够用。补足），同时在后面添上百分号。 2. 百分数化成小数：把小数点向左移动两位（数位不够用0补足），同时去掉百分号。 （二） 百分数的和分数的互化 1、百分数化成分数：先把百分数改写成分母是100的分数，能约分要约成最简分数。 2、分数化成百分数：①用分数的基本性质，把分数分母扩大或缩小成分母是100的分数，再写成百分数形式。 ②先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再把小数化成百分数。（建 议用这种方法） （三）常见分数小数百分数之间的互化； 三、用百分数解决问题 （―）一般应用题 1、 常见的百分率的计算方法： 一般来讲，出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%，出米率、出油率达不到100%，完成率、增长了百分之几等可以超过100%。 2、 求一个数是另一个数的百分之几用一个数除以另一个数，结果写为百分数形式。 例如：例如：男生有20人，女生有15人，女生人数占男生人数的百分之几。 列式是：15-20=15/20=75% 3、 已知单位T的量（用乘法），求单位1的百分之几是多少的问题，数量关系式 和分数乘法解决问题中的关系式相同： （1）百分率前是的：单位1的量x百分率=百分率对应量 2百分率前是多或少的数量关系： 单位T'的量x（1个百分率）=百分率对应量 4、 未知单位T的量（用除法），已知单位T的百分之几是多少，求单位T'。方法与分数的方法相同。解法：⑴方程：根据数量关系式设未知量为X，用方程解答。 （2）算术（用除法）：百分率对应量二对应百分率=单位T的量 5、 求一个数比另一个数多（少）百分之几的方法与分数的方法相同。只是结果要写为百分数形式。看百分率有没有比多或比少的问题； 百分率前是多或少的关系式： （比少）：具体量+（1-百分率）=单位T的量； 例如：大米有50千克，比面粉树少50%，面粉有多少千克。 列式是：50-（1%-50%） （比多）：具体量+（1+百分率）=单位1的量 例如：工人做110个零件，比原计划多做了10%，原计划做多少个？ 列式是：110-（1+10%） 6、 求一个数比另一个数多百分之几的方法：方法与分数的方法相同。 用两个数的相差量：单位T的量=百分之几 即①求一个数比另一个数多百分之几：用（大数－小数）十足一个数（比那个数 就除以那个数），结果写为百分数形式。 甲比乙多几分之几的问题，方法A,（甲－乙）一乙（建议用） 方法B，甲+乙-100% 例如：老师计划改40本作业，实际改了50本，实际比计划多改了百分之几？ 列式是：（50-40）-40=0.25=25% ②求一个数比另一个数少几分之几：用（大数－小数）+另一个数（比那个数就 除以那个数），结果写为百分数形式。 乙比甲少几分之几的问题，方法A,（甲-乙）―甲（建议用） 方法B,100%-乙十甲例如：张三家用了100度电，李四家用了90度电，李四家比张三家少用百分之几？ （100-90）-100=0.1=10% 说明：多百分之几不等于少百分之几，因为单位不同。 7、 如果甲比乙多或少a%，求乙比甲少或多百分之几，用a%〜（仕a%） 8、 求价格先降a%又上升a%后的价格：1x（1-a%）x（1+a%）（假设原来的价格为1。求变化幅度（求降价后的价格是涨价后价格的百分之几）用1－降价后又上升的百分率。 第七单元 扇形统计图 —、扇形统计图的意义：用整个圆的面积表示总数，用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间的关系。也就是各部分数量占总数的百分比（因此也叫百分比图）。 二、常用统计图的优点： 1、 条形统计图：可以清楚地看出各种数量的多少。 2、 折线统计图：不仅可以看出各种数量的多少，还可以清晰看出数量的增减变化情况。 3、 扇形统计图：能够清楚地反映出各部分数量同总数之间的关系。（要在统计图上写出百分率） 三、 扇形的面积大小：在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形越大。（因此扇形面积占圆面积的百分比，同时也是该扇形圆心角度数占圆周角度数的百分比。） 四、 应用：1.会观察统计图。 2、 你得到什么数学信息？ 回答①、***占总体的百分之几； ②、**占的百分比最多，**占的百分比最少； 3、 你还能提什么数学问题：**和**—共占百分之几。 第八单元数学广角——数与形 1、 每幅图的圆点总数都可以看作是两个相同的数相乘的积，这些算式还可以用平方数的形式来表示。1+3=22 1+3+5=32 1+3+5+7=42得出：从1起连续奇数的和等于奇数个数的平方。 2、 从2起连续偶数的和等于偶数个数的平方加偶数个数（即（n2+n)，或等于偶数个数乘比偶数个数大1的数即nx(n+1)。 如： 2+4+6+8+10+12+14+16+18+20=(110) 规律：从2开始的n个连续偶数的和等于n x(n+1)。 10x(10+1)=10x11=1101=12=1 1+3=2'=C4) 1+3+5=32=《9〉 1+3+5+7=安一C16） 上+3+5+7+9=52—〈25) ，+3+5+7+9+11=62=<36〉 H-3+5-F7-f-9-l-lH-13=72=<49〉 ■+3+5+7+9+11.+上3+15=82=<64》 1+3+5+7+9+lA+13+15+r7=92=(81) 1+3+5+7+9+上1.+1.3+15+1_7-1-上9==1O'=(lOO) 从1开始的连续奇数的和正好是这串数个数的平方。 补充内容（位置） 1、 我们用数对（数对：由两个数组成，中间用逗号隔开，用括号括起来。括号里面的数由左至右为列数和行数，即先列后行'）确定点的位置。如数对（3,5）表示：（第三列，第五行） 竖排叫列（从左往右看）横排叫行（从前往后看），先数列再数行。 2、 平移时用上、下、前、后、左、右来表述，平移时图形的形状不变。 3、 图形左、右平移：行不变；图形上、下平移：列不变 补充内容（鸡兔同笼问题） 一、 鸡兔同笼问题的特点： 题目中有两个或两个以上的未知数，要求根据总数量，求出各未知数的单量。 二、 鸡兔同笼问题的解题方法 1、假设法（1）假如都是兔（2）假如都是鸡； —般假设都是大数（脚多的），再求出两个脚的相差量，用大的相差量除以小的相差量得到小数（脚少的）最后再用总的头减小数得到大数。（我们称为设大得小，设小得大） 例，有34个同学去划船，大船每船坐4人，小船每船坐2人，租12条船刚好坐满，问大船和小船各租了几条。 假设法： 1 假设全部是大船则坐12x4=48（人） 2 那么实际人数与大船做的人数相差48-34=14（人）， 3 实际一条大船比一条小船多坐4-2=2（人） 4 大的相差量上小的相差量得到小的量（即得到小船的数量），14+2=7（条） 5 总的船减小的船得到大的船12-7=5（条）。（要注意单位） 2、列方程法：例有34个同学去划船，大船每船坐4人，小船每船坐2人，租 12条船刚好坐满，问大船和小船各租了几条。 解：设大船有X条，则小船有12-X条 4X+2x（12-X）=34 4X是大船坐的人数，4是大船每船坐4人，2x（12-X）是 小船坐的人数，小船每船坐2人，有（12-X）条船，相加就得到总人数34人。2 x（12-X）用乘法分配律计算得到24-2X.o 所以4X+2x（12-X）=34 4X+2x12-2xX=34 4X+24-2 X=34 2 X+24=34 2 X=34-24 2X=10 X=5 12-5=7（条） 答：租大船5条，小船7条。人教小学数学6上知识点概括总结 1. 分数乘法：分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算。 2. 分数乘法的计算法则： 分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积做分子，分母不变；分数乘分数，用分子相乘的积做分子，分母相乘的积作分母。但分子分母不能为零. 3. 分数乘法意义 分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算。一个数与分数相乘，可以看作是求这个数的几分之几是多少。 4. 分数乘整数：数形结合、转化化归 5. 倒数：乘积是1的两个数叫做互为倒数。 6. 分数的倒数 找一个分数的倒数，例如3/4把3/4这个分数的分子和分母交换位置，把原来的分子做分母，原来的分母做分子。则是4/3。3/4是4/3的倒数，也可以说4/3是3/4的倒数。 7. 整数的倒数 8. 找一个整数的倒数，例如12，把12化成分数，即12/1，再把12/1这个分数的分子和分母交换位置，把原来的分子做分母，原来的分母做分子。则是1/12,12是1/12的倒数。小数的倒数： 普通算法：找一个小数的倒数，例如0.25，把0.25化成分数，即1/4，再把1/4这个分数的分子和分母交换位置，把原来的分子做分母，原来的分母做分子。则是4/1 9. 用1计算法：也可以用1去除以这个数，例如0.25,1/0.25等于4，所以0.25的倒数4，因为乘积是1的两个数互为倒数。分数、整数也都适用这种规律。 10. 分数除法：分数除法是分数乘法的逆运算。 11. 分数除法计算法则：甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。 12. 分数除法的意义：与整数除法的意义相同，都是已知两个因数的积与其中一个因数求另一个因数。 13. 分数除法应用题：先找单位1。单位1已知，求部分量或对应分率用乘法，求单位1用除法。 14. 比和比例： 比和比例一直是学数学容易弄混的几大问题之一，其实它们之间的问题完全可以用一句话概括：比，等同于算式中等号左边的式子，是式子的一种（如：a:b）；比例，由至少两个称为比的式子由等号连接而成，且这两个比的比值是相同（如：a:b=c:d）。 所以，比和比例的联系就可以说成是：比是比例的一部分；而比例是由至少两个比值相等的比组合而成的。表示两个比相等的式子叫作比例，是比的意义。比例有4项，前项后项各2个. 15. 比的基本性质：比的前项和后项都乘以或除以一个不为零的数。比值不变。 比的性质用于化简比。 比表示两个数相除；只有两个项：比的前项和后项。 3 : 2=34-2= 11 3 前 后 kb 项 □ 项 值 比例是一个等式，表示两个比相等；有四个项：两个外项和两个内项。 16. 比例的性质：在比例里，两个外项的乘积等于两个内向的乘积。比例的 性质用于解比例。 除法 被除数 （除号） 除数 商 分数 分子 -（分数线） 分母 分数值 比 前项 !（比号） 后哽 比值 17. 比例和比例的区别 （1） 意义、项数、各部分名称不同。比表示两个数相除；只有两个项：比的前项和后项。如：a:b这是比比例是一个等式，表示两个比相等；有四个项：两个外项和两个内项。a:b=3:4这是比例。 （2） 比的基本性质和比例的基本性质意义不同、应用不同。比的性质：比的前项和后项都乘或除以一个不为零的数。比值不变。比例的性质：在比例里，两个外项的乘积等于两个内向的乘积相等。比例的性质用于解比例。联系：比例是由两个相等的比组成。 18. 比和比例的意义 比的意义是两个数的除又叫做两个数的比，而比例的意义是表示两个比相等的式子是叫作比例。比是表示两个数相除，有两项；比例是一个等式，表示两个比相等，有四项。因此，比和比例的意义也有所不同。而且，比号没有括号的含义而另一种形式，分数有括号的含义！ 19. 比和比例的联系： 比和比例有着密切联系。比是研究两个量之间的关系，所以它有两项；比例是研究相关联的两种量中两组相对应数的关系，所以比例是由四项组成。比例是由比组成的，如果没有两种量的比，比例就不会存在。比例是比的发展，如果把比例式中右边的比看成一个数，比和比例此时又可以统—起来。如果两个比相等，那么这两个比就可以组成比例。成比例的两个比的比值一定相等。 20. 圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。 21. 圆心：圆任意两条对称轴的交点为圆心。注：圆心一般符号。表示 22. 直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫作圆的直径。直径一般用字母d表示。 23. 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。半径一般用字母r表示。 圆的直径和半径都有无数条。圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴。在同圆或等圆中：直径是半径的2倍，半径是直径的二分之—.d=2r或r=d/2o 圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。 24. 圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C表示。 25. 圆周率：圆的周长与直径的比值叫作圆周率。 圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫作圆周率，它是一个无限不循环小数（无理数），用字母n表示。计算时，通常取它的近似值，n«3.14o 直径所对的圆周角是直角。90°的圆周角所对的弦是直径。 26. 圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积。nrA2;；用字母S表示。 —条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一O 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。 27. 周长计算公式 (1)已知直径：C=TTd (3) (2)已知半径：C=2nr已知周长：D=c/ti (4) 圆周长的一半：1/2周长（曲线） (5) 半圆的周长：1/2周长+直径（卩：2+1) 28. 面积计算公式： (1) 已知半径：S=Tir2 (2) 已知直径：S=n(d/2)2 (3) 已知周长：S=n[c-r(2n)]2 29. 百分数与分数的区别 (1) 意义不同。百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。它只能表示两数之间的倍数关系，不能表示某一具体数量。因此，百分数后面不能带单位名称。分数是把单位T平均分成若干份，表示这样一份或几份的数。分数还可以表示两数之间的倍数关系. (2) 应用范围不同。百分数在生产、工作和生活中，常用于调查、统计、分析与比较。而分数常常是在测量、计算中，得不到整数结果时使用。 (3) 书写形式不同。百分数通常不写成分数形式，而采用百分号％来表示。因此，不论百分数的分子、分母之间有多少个公约数，都不约分；百分数的分子可以是自然数，也可以是小数。 而分数的分子只能是自然数，它的表示形式有：真分数、假分数、带分数，计算结果不是最简分数的一般要通过约分化成最简分数，是假分数的要化成带分数。任何一个百分数都可以写成分母是10。的分数，而分母是100的分数并不都具有百分数的意义. (4) 百分数不能带单位名称；当分数表示具体数时可带单位名称。 30. 百分数应用 百分数一般有三种情况：@100%以上，如：增长率、增产率等。②100%以下，如：发芽率、成长率等。③刚好100%，如：正确率，合格率等。 31. 百分数的意义 百分数只可以表示分率，而不能表示具体量，所以不能带单位。百分数概念的形成应以学生实际生活中的事例或工农业生产中的事例引入。 32. 日常应用 每天在电视里的天气预报节目中，都会报出当天晚上和明天白天的天气状况、降水概率等，提示大家提前做好准备，就像今天的夜晚的降水概率是20%，明天白天有五～六级大风，降水概率是10%，早晚应增加衣服。20%、10%让人一目了然，既清楚又简练。 知识点扩展 1. 圆的定义 几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。 轨迹说：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆。 集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。 2. 圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧，半圆既不是优弧，也不是劣弧。连接圆上任意两点的线段叫作弦。圆中最长的弦为直径。 3. 圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。 4. 内心和外心：和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。 5. 扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径称为圆锥的母线。 6. 圆的种类：（1）整体圆形，（2）弧形圆，（3）扁圆，（4）椭圆形圆，（5）缠丝圆，（6）螺旋圆，（7）圆中圆、圆外圆，（8）重圆，（9）横圆， （10）竖圆，（11）斜圆。 7. 圆和其他图形的位置关系：圆和点的位置关系：以点P与圆。的为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），P在。外，PO>r;P在。上，PO=r;P在。内，0<PO<ro 8. 百分数的由来 200多年前，瑞士数学家欧拉，在《通用算术》一书中说，要想把7米长的一根绳子分成三等份是不可能的I因为找不到一个合适的数来表示它。如果我们把它分成三等份，每份是7/3米，就是一种新的数，我们把它叫做分数。而后，人们在分数的基础上又以10。做基数，发明了百分数。 人教数学六年级上册易错题练习 ① 1、 在一个长8CM，宽6CM的长方形里剪一个半圆，它的最大直径是（） CM 2、 在同一个平面内，两个大小不同的圆可以组成的图形最多可能有（）条对称轴，最少可能有（）条对称轴。 3、 半径的长度是直径的1/2（对或错） 4、 因为D=2R，所以同一个的两要半径一定能组成直径（对或错） ② 1、 有一种浓度为18%的农药200kg，为了得到浓度为10%的农药，需要加水多少千克？ 2、 修一座厂房，用了34万元，比计划节约15%，节约了多少万元？ 3、 一件大衣，现价320元，比原价降低了80元，现价比原价降低了百分之几？ 4、 少年共有两个合唱队，甲队有50人，如果从甲队调出10%到乙队，甲队人数比乙队的92%少1人，乙队现有多少人？5、 少年宫有两个合唱队，甲队有50人，如果从甲队调出10/100到乙队，甲队比乙队的92/100少1人，乙队原有学生多少人？ 6、 甲数的25%比乙数多20%，乙数是40，甲数是多少？ 7、 一根电线剪下2/5后，又接上18米，这样比原来长1/5，这根电线原来长多少米？ 8、 一个圆环铁片，外直径是6分米，环宽1分米，这个圆环铁片的面积是多少平方分米？ 9、 粮仓运来320千克大米，第一次卖了3/8，第二次卖余下的1/6，这批大米比原来少了（）千克。 10、 把一根9/10米的绳子平均分成3段，每段是全长的（)，每段是3米的 ()。 11、 7/50平方米=( )平方分米 ③ 1、 在面积是20平方厘米的正方形内画一个最大的圆，这个圆的面积是 （ ）平方厘米。 2、 小圆的半径是4厘米，大圆的半径是12厘米，小圆周长是大圆周长的（）0 3、 在一块长10分米，宽6分米的长方形木板上锯出一个最大的半圆，这个半圆的面积是（）平方分米。 4、 水结成冰，体积增加水的1/11,150立方米的冰化成水后，体积是多少。列 式（ ） 5、 甲乙两个工程队，甲队的人数比乙队少30人，从甲队抽5人到乙队，这时甲队的人数是乙队的3/8,甲乙两人原来各有多少人？ 6、 把一个直径为4CM的圆分成两个半圆，这两半圆的周长和是（ ）CM。 7、 在一个长8厘米，宽6厘米的长方形中画一个最大的半圆，半圆的周长是（）。 8、 把一个半径是3CM的圆分成若干等份，剪开拼成一个近似的长方形，这个 近似的长方形的面积是（ ）CM2。周长是（ ）CM。 9、 若小圆的直径等于大圆的半径，则大圆周长是小圆的（）倍。小圆的面积是大圆的（）。 10、 —座挂钟的分针长6CM,30分钟分针所扫过的面积是（ ）CM2O 11、 一^半径是3CM的圆，如果直径增加2C同，那么面积增加（ ）CM2。 12、 一个圆的半径扩大2倍后的面积比原来多37.68CM2。原来圆的面积是 )CM2。 13. 小玲妈进了两条不同的裤子，都卖了140元，卖出后妈妈说：这两条裤子一条提价10%，另一条降价10%，这两条裤赔了多少？列式为 如果一个三角形三个内角的度数比是1:1:2，那么这个三角形是形.答案：） ）三角 ① 1、8CM 2、无数1 3、错（要在同一圆）4、错 ② 1. 有一种浓度为18%的农药200kg，为了得到浓度为10%的农药，需要加水多少千克？ 解：设需要加水x千克 200*18%=(200+x)*10% x=160千克 用算式解：200*18%/10%-200 =360-200 =160千克 2. 修一座厂房，用了34万元，比计划节约15%，节约了多少万元？ 计划：34：(1-15%)=40万元 节约了40x15%=6万元 3. —件大衣，现价320元，比原价降低了80元，现价比原价降低了百分之几？ 80/(320+80)=20% 4. 少年共有两个合唱队，甲队有50人，如果从甲队调出10%到乙队，甲队人数比乙队的92%少1人，乙队现有多少人？ 设乙队原有x人，甲队调出10%即为5人到乙队，则甲队现有45人，乙队 现有x+5人，列出方程式：45=92%(x+5)-1得出x=45.乙队现有x+5即50人。5、 少年宫有两个合唱队，甲队有50人，如果从甲队调出10/100到乙队，甲队比乙队的92/100少1人，乙队原有学生多少人？ 从甲队调出10/100到乙队，甲队还有： 50x(1-10%)=45(人) 此时乙队有： (45+1)十92%=50(人) 乙队原有学生：50-50x10%=45人 6、 甲数的25%比乙数多20%，乙数是40，甲数是多少？ 设甲数是x，则有25%x-40=40x20% 甲是乙的(1+02)/0.25=4.8倍 甲数为40x4.8=192 7、 一根电线剪下2/5后，又接上18米，这样比原来长1/5，这根电线原来长多少米？18十(2/5+1/5)=30 8、 一个圆环铁片，外直径是6分米，环宽1分米，这个圆环铁片的面积是多少平方分米？3.14x(32-22)=15.7平方分米 9、 粮仓运来320千克大米，第一次卖了3/8，第二次卖余下的1/6，这批大米比 原来少了（ ）千克。 320x3/8=120 320-120=200 200x1/6=33又1/3 120+33又1/3=153又1/3 10、 (1/3)(1/10) 11、 7/50平方米=(14)平方分米 1、 在面积是20平方厘米的正方形内画一个最大的圆，这个圆的面积是 (15.7 ）平方厘米。 2、 小圆的半径是4厘米，大圆的半径是12厘米，小圆周长是大圆周长的（1/3)0 3、 在一块长10分米，宽6分米的长方形木板上锯出一个最大的半圆，这个半圆的面积是（39.25）平方分米。 4、 水结成冰，体积增加水的1/11,150立方米的冰化成水后，体积是多少。列式（1504-(1+1/11)) 5、 甲乙两个工程队，甲队的人数比乙队少30人，从甲队抽5人到乙队，这时甲队的人数是乙队的3/8，甲乙两人原来各有多少人？ 30+5=35 1-3/8=5/8 35^5/8=56 56-5=51 51-30=21 6、 把一个直径为4CM的圆分成两个半圆，这两半圆的周长和是（20.56 ) CM0 7、 在一*■长8厘米，宽6厘米的长方形中画一个最大的半圆，半圆的周长是 (20.56)。 8、 把一个半径是3CM的圆分成若干等份，剪开拼成一个近似的长方形，这个近似的长方形的面积是（28.26)CM20周长是（24)CM。24 9、 若小圆的直径等于大圆的半径，则大圆周长是小圆的（2、）倍。小圆的面积是大圆的（1/4)。 10、 —座挂钟的分针长6CM,30分钟分针所扫过的面积是（56.52)CM2。 11、 一个半径是3CM的圆，如果直径增加2C，那么面积增加（21.98)CM2。 12. 一个圆的半径扩大2倍后的面积比原来多37.68CM2。原来圆的面积是 (12.56)CM2。 13. 小玲妈进了两条不同的裤子，都卖了140元，卖出后妈妈说：这两条裤子一条提价10%，另一条降价10%，这两条裤赔了多少？列式为（140/(1+10%)) 14. 如果一个三角形三个内角的度数比是1:1:2，那么这个三角形是（等腰直角）三角形. # 学科网（北京）股份有限公司 $$