课时作业24～25 平面向量的数量积及应用 解三角形-【名师大课堂】2025年高考数学艺术生总复习必备训练册

课时作业(二十四) 平面向量的数量积及应用 1.已知a·b=1,|a|=2,a,b的夹角为π3 ,则 |a-2b|= ( ) A.1 B.2 C.2 D.4 2.(2024·高三校联考阶段练习)已知平面向 量a、b满足|b|=2|a|=2,若a⊥(a+b),则 a与b的夹角为 ( ) A.π6 B. 5π 6 C. π 3 D. 2π 3 3.向量a=(1,2),b=(-2,-1),那么向量a -b在a的投影向量为 ( ) A.95 ,18 5 B.15,25 C.65 ,12 5 D.-35,-65 4.已知向量a=(x,3),b=(12,x-5),若向量a,b 的夹角为钝角,则实数x的范围是 ( ) A.(-∞,1) B.(1,+∞) C.(-∞,-4)∪(-4,1) D.(1,9)∪(9,+∞) 5.(2024·河南焦作统考质量检测)若向量a= (4,3-m),b=(1,m)的夹角为锐角,则实数 m 的范围是 ( ) A.-1,35 ∪ 35,4 B.(-1,4) C.-4,35 ∪ 35,1 D.(-4,1) 6.(多选)已知平面向量a=(1,x),b=(2x, 3-x),x∈R,则下列说法正确的是 ( ) A.若a∥b,则x=-32 或x=1 B.若(a+b)⊥a,则x=15 C.当x=3时,向量b在向量a 方向的投影 向量为 3 5 ,9 5 D.若x<0或x>5,则a与b夹角为钝角 7.已知非零向量a,b满足2|a|=3|b|,b⊥(2a- b),则向量a,b夹角的余弦值为 . 8.已知向量|a|=2,|b|=1,|a+2b|=2,则 <a,b>= . 9.已知a= 12 ,1 ,b=(-2,8),若实数λ满足 (a-λb)⊥b,则λ= . 10.向量AB → =(2,1)在向量AC → =(0,12 )的投 影向量为λAC →,则|AB → +λAC → | . 11.已知向量a=(1,0),b=(1,- 3),若非零 向量c满足<c,a>=<c,b>,则|c-a|取最小 值时,c的坐标为 . 12.(2023·江西萍乡高一统考期末)已知向量 a=(1,6+k),b=(-7,k). (1)若k=0,试判断向量b与2a-b是否垂 直; (2)若向量a与b 的夹角为钝角,求实数k 的取值范围. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —242— 课时作业 课时作业(二十五) 解三角形 1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b, c,已知A=π3 ,a= 3,b=1,则c等于 ( ) A.1 B.2 C.3-1 D.3 2.△ABC的内角A,B,C 的对边分别为a,b, c,已知A=π3 ,a= 7,b-c=1,则cosB= ( ) A.13 B. 7 7 C.2 77 D. 7 14 3.(2024·常德校联考质量检测)在△ABC 中,AB=1,BC= 5,cosA=56 ,则AC= ( ) A.2 B.73 C.3 D.52 4.在△ABC中,内角A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若a=6,sinA=3 78 ,cosB=916 ,则 b= ( ) A.8 B.5 C.4 D.3 5.(2024·河南省直辖县级单位质量检测)已 知△ABC中,BC=4,AC=4 3,∠A=30°, 则∠B= ( ) A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120° 6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a, b,c,A=π3 ,a= 3,b= 2,则此三角形的解 的情况是 ( ) A.有一解 B.有两解 C.无解 D.有解但解的个数不确定 7.(多选)△ABC中,内角A,B,C 对边长分别 为a,b,c,下列选项的三角形有两解的是 ( ) A.a=14,b=7 3,B=45° B.a=15,b=20,A=30° C.b=47,c=38,B=50° D.b=25,c=13,C=23° 8.在 △ABC 中,AB =3 6,∠ABC= π4 , ∠ACD=π3 ,点 D 在BC 的延长线,且CD =10,则AD= . 9.在锐角△ABC 中,a=7,c=8,△ABC 的面 积为16 3,则b= . 10.在△ABC中,已知a=3,b=4,c=5,则cosA = . 11.在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且2sinB=3sinC,若b-c=1,cosA= 2 3 ,则a= . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —342— 班级: 姓名: 12.(2024·新课标Ⅱ卷)记△ABC 的内角A, B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+ 3 cosA=2. (1)求A; (2)若a=2,2bsinC=csin2B,求△ABC 的周长. 13.在锐角△ABC 中,设边a,b,c所对的角分 别为A,B,C,且a2-b2=bc. (1)证明:A=2B; (2)若a=1,求2b+c的取值范围. 14.在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,c= 7b且a+2ccosA=2b. (1)求C的值; (2)若△ABC 的 面 积 为3 3,求 BC 边 的高. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —442— 课时作业 与OP→同向的单位向量为 OP → |OP→| = 35 ,-45 ,反向的单位 向量为 -35 ,4 5 .故选:C. 6.C 因为a∥b,所以:4m-(-2)×3=0⇒m=-32. 所 以:a-32b= - 3 2 ,-2 -32(3,4)=(-6,-8) 所以:a-32b =| (-6,-8)|=10. 故选:C. 7.D 由a=(3,1),b=(0,-1),则a-kb=(3,1+k), 因为a-kb与c共线,所以k(1+k)-3k=0,即k2-2k= 0,解得k=0或k=2. 故选:D 8.A 由题|a|=2,则与a同向的单位向量是 a|a| ,对应坐标 是 1 2 ,3 2 .故选:A. 9.BC A项中AD→与BC→共线,D项中OD→与OB→共线,B,C项 中两向量不共线,故选:BC. 10.BC 由已知可得BA→=PA→-PB→=(k,12)-(4,5)=(k -4,7),CA→=PA→-PC→=(k,12)-(10,k)=(k-10,12 -k). 因为A,B,C三点共线,所以BA→∥CA→, 所以(k-4)(12-k)-7(k-10)=0,整理得k2-9k-22 =0, 解得k=-2或11.故选:BC. 11.答案:3 解析:先利用基底法求出CM→=13CB → +23CA →,再利用数 量积的运算法则即可得解. 因为∠C=90°,所以CB→·CA→=0, 因为BM→=2MA→,AC=BC=3, 所以CM→=CA→+AM→=CA→+13AB → =CA→+13 CB → -CA→ = 1 3CB → +23CA →, 则CM→·CB→= 13CB → +23CA → ·CB→=13|CB→|2=3. 故答案为:3. 12.答案:4 解析:根据平面向量的线性运算结合平面向量基本定理 分析可得结果.由题意可得:DE→=AE→-AD→=1λAC → - AD=1λ (AB→+AD→)-AD→, =1λAB → + 1λ-1 AD→=14AB→-34AD→,∴λ=4. 故答案为:4. 13.答案:(-4,0) 解析:首先计算出a,b,再进行线性运算即可. 因为a+b=(2,3),a-b=(-2,1), 两式相加得2a=(0,4),即a=(0,2),b=a+b-a=(2,1) 所以a-2b=(-4,0), 故答案为:(-4,0). 14.答案:±1 解析:由题意,得2a+b=(x,5),所以|2a+b|= x2+52 = 26,解得x±1. 故答案为:±1. 课时作业(二十四) 1.C 因为a·b=1,|a|=2,a,b的夹角为π3 , 所以a·b=|a||b|cos<a,b>=2|b|cosπ3=1 , 解得|b|=1, |a - 2b| = (a-2b)2 = a2-4a·b+4b2 = 4-4×1+4×12=2, 故选:C. 2.D 因为|b|=2|a|=2,且a⊥(a+b),所以a·(a+b)= 0,即a2+a·b=0, 所以a·b=-a2=-1, 设a与b的夹角为θ,则cosθ= a ·b |a|·|b|= -1 2×1=- 1 2 , 因为0∈[0,π], 所以θ=2π3 ,即a与b的夹角为2π3. 故选:D. 3.A 因为a=(1,2),b=(-2,-1),所以a-b=(3,3),则 a-b在a 的投影向量的模为cos<a-b,a>·|a-b|= (a-b)·a |a| = 9 5 =9 55 , 则a-b在a 的投影向量为9 55 · a |a|= 9 5 ,18 5 . 故选:A. 4.C 由 题 意 得:a ·b<0 且 a 与 b 不 共 线,即 12x+3(x-5)<0 x(x-5)≠3×12 ,解得:x<1且x≠4, 所以实数x的范围是(-∞,-4)∪(-4,1), 故选:C. 5.A 因向量a=(4,3-m),b=(1,m)的夹角为锐角,则 a·b>0⇒m2-3m-4<0⇒-1<m<4, 且a,b不共线,即3-m≠4m⇒m≠35. 综上可知,-1<m<35 或3 5<m<4. 故选:A. 6.AC 对于A:若a∥b,则1×(3-x)=x×2x⇒2x2+x- 3=0, 解得x=-32 或x=1,A正确; 对于B:a+b=(2x+1,3),若(a+b)⊥a,则a·b=0,即 (2x+1)×1+3×x=0,解得x=-15 ,所以B错误;对于 C:当x=3时a=(1,3),b=(6,0), 所以向量b 在 向 量a 方 向 的 投 影 向 量 为a ·b |a| · a |a|= 1×6 12+32 a=610a= 3 5 ,9 5 ,C正确;对于 D:当x=-32 时,a= 1,-32 ,b= -3,92 , 此时a与b的方向相反,此时a与b 夹角为π,D错误,故 选:AC. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —943— 7.答案:13 解析:因为2|a|=3|b|且a,b为非零向量,设|a|=3t(t> 0),则|b|=2t,又b⊥(2a-b),所以b· (2a-b)=0,则 2b·a-b2=0, 解得b·a=2t2, 设向 量a,b 的 夹 角 为θ,则cosθ= b ·a |b|·|a|= 2t2 3t×2t =13 , 即向量a,b夹角的余弦值为13. 故答案为:1 3 8.答案:2π3 解析:由|a+2b|=2可得(a+2b)2=4, 即(a)2+4a·b+4(b)2=4,即a·b=1, 所以cos<a,b>= a ·b |a||b|=- 1 2 ,又<a,b>∈[0,π], 所以<a,b>=2π3. 故答案为:2π 3. 9.答案:768 解 析:a = (12 ,1),b = (- 2,8),则 a - λb = 12+2λ ,1-8λ , 由(a-λb)⊥b,所以-1-4λ+8-64λ=0,解得λ=768. 故答案为:7 68 10.答案:2 2 解析:因为AB→·AC→=12 ,|AC→|=12 所以向量AB→在向量AC→的投影向量为AB →·AC→ |AC→| · AC → |AC→| = 1 2 1 4 AC→=2AC→, 所以λ=2,所以AB→+λAC→=(2,1)+20,12 =(2,2), 所以|AB→+λAC→|= 22+22=2 2. 故答案为:2 2 11.答案: 3 4 ,- 34 解析:设c=(x,y), 则由<c,a>=<c,b>,得 c ·a |c|·|a|= c·b |c|·|b| ,所以c·a |a| =c ·b |b| , 所以 (x,y)·(1,0) 1 = (x,y)·(1,3) 2 ,即x=x- 3y2 ,化 得x=- 3y. 又c-a=(x-1,y), 所以|c-a|= (x-1)2+y2= 43 x- 3 4 2 +14. 当x=34 时,|c-a|取得最小值12 , 此时y=- 34 ,即c= 3 4 ,- 34 . 故答案为: 3 4 ,- 34 . 12.解析:(1)若k=0,则a=(1,6),b=(-7,0), 故2a-b=2(1,6)-(-7,0)=(9,12), ∴b·(2a-b)=-7×9+0×12=-63≠0,所以当k=0 时,向量b与2a-b不垂直; (2)由题意知,a·b=1×(-7)+k(6+k)=k2+6k-7, 向量a与b的夹角为钝角,∴k2+6k-7<0,解得-7<k <1, 当a与b反向时,有 1-7= 6+k k <0 ,解得k=-214 ,所以 向量a 与b 的 夹 角 为 钝 角 时,实 数k 的 取 值 范 围 是 -7,-214 ∪ -214,1 . 课时作业(二十五) 1.B 由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA, 将A=π3 ,a= 3,b=1,代入得3=12+c2-2acosπ3 , 则有c2-c-2=0,且c>0,解得c=2. 故选:B. 2.D 由余弦定理,a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc, 因为b-c=1,a= 7,所以c2+(c+1)2-c(c+1)=7, 即c2+c-6=0,解得c=2或c=-3(舍), 所以b=3,c=2,cosB=a 2+c2-b2 2ac = 7+4-9 2× 7×2 = 714. 故 选:D 3.C 因为△ABC中,AB=1,BC= 5,cosA=56 , 所以由余弦定理知,cosA=AB 2+AC2-BC2 2AB·AC , 即5 6= 1+AC2-5 2AC , 化简整理得3AC2-5AC-12=0, 解得AC=3或AC=-43 (舍去). 故选:C 4.B 在△ABC中,0<B<π, 因为cosB=916 ,所以sinB= 1-cos2B= 1- 916 2 =5 716 , 则由正弦定理得b=sinBsinA ·a= 5 7 16 3 7 8 ×6=5.故选:B. 5.D 因为△ABC中,BC=4,AC=4 3,∠A=30°, 所以 BC sin∠A= AC sin∠B ,sin∠B=AC ·sin∠A BC = 4 3×12 4 = 32 , 因为AC>BC,可得∠B>∠A,即30°<∠B<180°, 所以∠B=60°或120°.故选:D. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —053— 6.A 由 asinA= b sinB ,得sinB=b ·sinA a = 2× 32 3 = 22 , 又a>b,A=π3 ,故B 只能为锐角,即B=π4 ,故该三角形 只有一解.故选:A. 7.ABD 易知A、B、C∈(0,π),A+B+C=180° 对于A,由正弦定理可知sinA=absinB= 6 3∈ 2 2 ,3 2 由正弦函数的图象与性质可得45°<A<60°或120°<A< 135°, 又a>b⇒A>B,则A有两个解,即A正确; 对于B,同sinB 或basinA= 2 3∈ 1 2 ,2 2 ⇒30°<B< 45°或135°<B<150°,又a<b⇒A<B,则B 有两个解,即 B正确;对 于 C,同 得sinC= cbsinB= 38 47sin50°< sin50°,且c<b⇒C<B⇒C<50°, 故C只有一解,即C错误;对于D,如图所示AD⊥BC,则 易知25sin23°<252<13<25 ,即此时有两解,即D正确. 故选:ABD. 8.答案:14 解析:如图所示,在△ABC 中,因为AB=3 6,∠ABC= π 4 ,∠ACB=π3 由正弦定理知 AC sinB= AB sinC ,可得AC 2 2 =3 6 3 2 ,解得AC=6, 在△ADC中,由AC=6,CD=10且∠ACD=2π3 , 由余弦定理得AD2=AC2+CD2-2AC·CD·cos2π3= 196,所以AD=14. 故答案为:14. 9.答案: 97 解析:因为a=7,c=8,所以△ABC 的面积为12acsinB= 1 2×7×8sinB=16 3 ,解得sinB=4 37 , 又因为△ABC为锐角三角形,所以cosB= 1-sin2B= 1- 4 3 7 2 =17 , 由 余 弦 定 理 得 b = a2+c2-2accosB = 49+64-2×7×8×17= 97. 故答案为: 97. 10.答案:45 /0.8 解析:已知a=3,b=4,c=5, 由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA 得,9=16+25-2×4 ×5cosA, 解得cosA=3240= 4 5. 11.答案:5 解析:由于2sinB=3sinC,由正弦定理可得2b=3c, 因为b-c=1解得c=2,b=3, 又cosA=23 ,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA= 4+9-2×2×3×23=5 , 解得a= 5. 故答案为:5. 12.解:(1)解法一(辅助角法) 第1步:利用辅助角公式化 简已知等式 由sinA+ 3cosA=2,得12sinA+ 3 2cosA=1 , 所以sin(A+π3 )=1. 第2步:判断角的范围,求出角A 的大小 因为0<A<π,所以π3<A+ π 3< 4π 3 , 所以A+π3= π 2 ,故A=π6. 解法二(同角三角函数的基本关系法) 第1步:利用同角三角函数的基本关系求sinA 的值 由sinA+ 3cosA=2,得 3cosA=2-sinA, 两边同时平方,得3cos2A=4-4sinA+sin2A, 则3(1-sin2A)=4-4sinA+sin2A, 整理,得1-4sinA+4sin2A=0. 所以(1-2sinA)2=0,则sinA=12. 第2步:求角A 的大小 因为0<A<π,所以A=π6 或A=5π6. 当4=π6 时,sinA+ 3cosA=2成立,符合条件; 当A=5π6 时,sinA+ 3cosA=2不成立,不符合条件. 故A=π6. 解法三(同角三角函数的基本关系法) 第1步:利用同 角三角函数的基本关系求cosA 的值 由sinA+ 3cosA=2,得sinA=2- 3cosA, 两边同时平方,得sin2A=4-4 3cosA+3cos2A 则1-cos2A=4-4 3cosA+3cos2A, 整理,得3-4 3cosA+4cos2A=0, 所以(3-2cosA)2=0,则cosA= 32. 第2步:求角A 的大小 因为0<A<π,所以A=π6. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —153— (2)第1步:利用正弦定理求B 的值 由 2bsinC=csin2B,得 2bsinC=2csinBcosB, 由正弦定理,得 2bc=2cbcosB,所以cosB= 22 , 因为0<B<π,所以B=π4. 第2步:利用两角和的正弦公式及三角形的内角和定理 求sinC的值 C=π-(A+B)=7π12 , 所以sinC=sin7π12=sin π3+π4 =sinπ3cosπ4+cos π 3sin π 4= 3 2× 2 2+ 1 2× 2 2= 6+ 2 4 . 第3步:求△ABC的周长 解法一(基本量法) 由正弦定理 asinA= b sinB= c sinC , 得b=asinBsinA = 2sinπ4 sinπ6 =2 2, c=asinCsinA= 2sin7π12 sinπ6 = 6+ 2. 所以△ABC的周长为a+b+c=2+ 6+3 2. 解法二(整体思想法) 由 正 弦 定 理 asinA= b sinB= c sinC ,得 a sinA= a+b+c sinA+sinB+sinC= 2 sinπ6 =4, 所以a+b+c=4(sinA+sinB+sinC)=4× 12+ 22+ 6+ 2 4 =2+ 6+3 2, 所以△ABC的周长为2+ 6+3 2. 13.解析:(1)因为a2-b2=bc 所 以 cos A = b 2+c2-a2 2bc = c2-bc 2b = c-b 2b =sinC-sinB2sinB , 整理得2sinBcosA=sinC-sinB, 又C=π-(A+B),所 以sinC=sin[π-(A+B)] =sin(A+B), 所以2sinBcosA=sin(A+B)-sinB=sinAcosB+ cosAsinB-sinB, 整理 得sinB=sinAcosB-cosAsinB,所 以sinB =sin(A-B), 因为△ABC为锐角三角形,所以0<B<π2 ,0<A<π2 , 所以-π2<-B<0 ,所以-π2<A-B< π 2 , 因为函数y=sinx在 -π2 ,π 2 单调递增, 所以B=A-B,即A=2B. (2)由(1)可知,即A=2BC=π-3B, 因为a=1,所 以 由 正 弦 定 理 可 得, 1sin2B= b sinB ,即 1 2sinBcosB= b sinB , 因为B∈(0,π),sinB>0,所以b= 12cosB , 又a2-b2=bc,所以b2+bc=1,即b+c=1b , 所以2b+c=b+c+b=1b+b=2cosB+ 1 2cosB , 因为△ABC为锐角三角形,所以 0<B<π2 0<2B<π2 0<π-3B<π2 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ,解得 π 6<B< π 4 , 则 2 2<cosB< 3 2. 记t=2cosB,则2b+c=t+1t ,t∈(2,3) 由对勾函数可知,y=t+1t 在(2,3)单调递增, 所 以 3 2 2 <y < 4 3 3 ,即 2b +c 的 取 值 范 围 为 3 2 2 ,4 3 3 14.解析:(1)利用正弦定理由a+2ccosA=2b可得sinA+ 2sinCcosA=2sinB, 又在△ABC中,易知A+B+C=π,可得A+C=π-B, 所以sin(A+C)=sin(π-B)=sinB; 即sinA+2sinCcosA=2sin(A+C)=2sinAcosC+ 2cosAsinC, 可得sinA=2sinAcosC,显 然sinA≠0,所 以1= 2cosC, 所以cosC=12 ,又C∈(0,π),可得C=π3 ; (2)由余弦定理可得cosC=a 2+b2+c2 2ab = 1 2 , 代入c= 7b整理可得a2-ab-6b2=0, 解得a=3b或a=-2b(舍); 所以△ABC的面积为S=12absinC=3 3 ,解得b=2, 所以a=6; 设BC边的高为h,则S=12h ·|BC|=12ah=3 3 ,可 得h= 3, 即BC边的高为 3. 课时作业(二十六) 1.C |z|=|-1-i|,则|z|= (-1)2+(-1)2= 2,故 选C. 2.D 因为z(3+i)-(2+i)=(3m-2)+(m-1)i,实部为 3m-2,虚部为m-1, 因为2 3<m<1 ,所以0<3m-2<1,m-1<0, 所以复数z在复平面内对应的点为(3m-2,m-1)位于 第四象限. 3.D z=(1+2i)(2-i)=4+3i,􀭵z=4-3i,故选D. 4.D 由题意z=1-i2+2i= 1 2 · (1-i) 2 (1+i)(1-i)= 1-2i+i2 4 = -i2 ,所以􀭵z=12i. 故选D. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —253—