课时作业22～23 平面向量的概念及线性运算 平面向量基本定理及坐标表示-【名师大课堂】2025年高考数学艺术生总复习必备训练册

课时作业(二十二) 平面向量的概念及线性运算 1.(2024·辽宁大连质量检测)下列命题正确 的是 ( ) A.若|a|=0,则a=0 B.若|a|=|b|,则a=b C.若|a|=|b|,则a∥b D.若a∥b,则a=b 2.下列命题正确的个数是 ( ) (1)向量就是有向线段;(2)零向量是没有方 向的向量;(3)零向量的方向是任意的; (4)零向量的长度为0. A.(1) B.(2) C.(3) D.(4) 3.如图,四边形 ABCD 是 梯形,AD∥BC,对角线 AC与BD 相交于点O, 则OA → +BC → +AB → +DO → 等于 ( ) A.CD → B.DC → C.DA → D.DO → 4.(2024·广西统考质量检测)在矩形ABCD 中,AB=2,BC=1,则|AB → +AD → +AC → |等于 ( ) A.2 5 B.2 3 C.3 D.4 5.已知列各式:①AB → +BC → +CA →;②OA → +OB → +BO → +CO →;③AB → -AC → +BD → -CD → .其中结 果为零向量的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 6.在△ABC中,若|AB → |=|AC → |=|AB → -AC → |,则 △ABC的形状为 ( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 7.(2024·泰安高三统考阶段练习)已知向量 e1,e2 是平面内的一组基底,若向量a=2e1 +3e2 与b=λe1-2e2 共线,则λ的值为 ( ) A.1 B.-1 C.43 D.- 4 3 8.△ABC中,BD → =3DC →,则AD → = ( ) A.14AB → +34AC → B.34AB → +14AC → C.13AB → +23AC → D.23AB → +13AC → 9.△ABC中,D为AC一点且满足CD → =34CA →,若 P为BD 一点,且满足AP → =λAB → +μAC →,λ,μ 为正实数,则下列结论正确的是 ( ) A.λμ的最小值为 1 16 B.λμ的最大值为1 C.1λ+ 1 4μ 的最大值为16 D.1λ+ 1 4μ 的最小值为4 10.设e1,e2 是两个不共线的向量,关于向量 a,b,有①a=2e1,b=-2e1;②a=e1-e2,b =-2e1+2e2;③a=4e1- 2 5e2 ;b=e1- 1 10 e2,④a=e1+e2;b=2e1-2e2.其中a,b共 线的有 .(填序号) 11.已知e1,e2 为平面内向量的一组基底,a= 2e1+λe2,b=e1+(λ+1)e2,若a∥b,则λ= . 12.设e1,e2 是不共线的两个向量,AB → =e1+ ke2,CB → =e1+3e2,CD → =2e1-e2.若A,B, D 三点共线,则k的值为 . 13.在△ABC中,BD → =13BC →,E 是线段AD 的 动点,设CE → =xCA → +yCB →(x,y∈R),则 2x+3y= . 14.△ABC 是由3个全等的 三角形与中间一个小等边 三角形拼成的一个较大的 等 边 三 角 形,若 AF → = 3EF →,|AF → |=3,且AF → = λAB → +μAC →,则λ+μ ( ) A.1519 B. 6 19 C.919 D. 4 19 19 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —042— 课时作业 课时作业(二十三) 平面向量基本定理及坐标表示 1.已知向量e1,e2 不共线,则列向量不可以作 为一组基底的是 ( ) A.e1+e2 和e1-e2 B.4e1-2e2 和6e1-3e2 C.2e1-e2 和e2 D.e1-e2 和2e2+e1 2.在△ABC 中,D 是边AB 一点,且 BD= 2AD,点E 是CD 的中点.设CA=a,CB → = b,则AE → = ( ) A.13a+ 1 6b B.- 1 3a+ 1 6b C.-23a+ 1 6b D.- 2 3a- 1 6b 3.(2024·广西校联考模拟预测)已知i和j 是两个正交单位向量,a=2i+3j,b=i+kj 且|a-b|= 2,则k= ( ) A.2或3 B.2或4 C.3或5 D.3或4 4.平行四边形ABCD 中,AB → =(3,7),AD → = (-2,3),则AC → 的坐标为 ( ) A.(1,5) B.(5,4) C.(1,10) D.(-2,7) 5.已知 O 为坐标原点,P1P → = -2PP2 →,若 P(1,2)、P2(2,-1),则与OP → 共线的单位向 量为 ( ) A.(3,-4) B.(3,-4)或(-3,4) C.35 ,-45 或 -35,45 D.35 ,-45 6.(2024·常州高三校联考阶段练习)已知a= (m,-2),b=(3,4),若a∥b,则 a-32b = ( ) A.20 B.15 C.10 D.5 7.已知向量a=(3,1),b=(0,-1),c= (k,3k),若a-kb与c共线,则k= ( ) A.2或-2 B.2或1 C.-2或0 D.0或2 8.(2024·广东校联考阶段练习)已知a=(1, 3),则与a同向的单位向量的坐标是 ( ) A.1 2 ,3 2 B. 32,12 C.-12 ,- 32 D.- 32,-12 9.(多选)如图所示,设 O 是平行四边形ABCD 的 两条对角线的交点,给 出列向量组,其中可作 为该平面内所有向量的基底的是 ( ) A.AD → 与BC → B.AC → 与BD → C.CA → 与DC → D.OD → 与OB → 10.(多选)(2024·江西赣州质量检测)向量 PA → =(k,12),PB → =(4,5),PC → =(10,k), 若A,B,C三点共线,则k的值可能为 ( ) A.2 B.-2 C.11 D.-11 11.如图,在△ABC 中,∠C =90°,且AC=BC=3,点 M 满 足BM → =2MA →,则 CM →·CB → = . 12.在平行四边形ABCD 中, 点E 满 足AC → =λAE → 且DE → =14AB → - 3 4AD →,则实数λ= . 13.已知向量a,b满足a+b=(2,3),a-b= (-2,1),则a-2b= . 14.已知向量a=(x,2),b=(-x,1),且|2a+b| = 26,则实数x= . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —142— 班级: 姓名: 故g(x)为奇函数,其图象关于原点对称,C正确; D选项,x∈ -π2 ,0 时,2x+π3∈ -2π3,π3 , 由于y=sinz在z∈ -2π3 ,π 3 的最小值为-1,当且仅 当z=-π2 时,等号成立, 故f(x)在区间x∈ -π2 ,0 的最小值是-1,D错误. 故选:AC. 11.答案:f(x)=4sin 12x+ 5π 4 解析:由图象可知A=4,T=7π2- - π 2 =4π, 又ω>0,则 ω =2πT = 2π 4π= 1 2 ,所 以 f (x)= 4sin 12x+φ , 又 3π 2 ,0 在该曲线,所以4sin3π4+φ =0, 则3π 4+φ=2kπ ,k∈Z,即φ=- 3π 4+2kπ ,k∈Z, 又0<φ<2π,则φ= 5π 4 ,故f(x)=4sin 12x+ 5π 4 . 故答案为:f(x)=4sin 12x+ 5π 4 . 12.答案:2π3 /2 3π 解析:由于f(x)在区间 π12 ,π 4 具有单调性, 则π 4- π 12≤ 1 2T ,所以T≥π3 , 由f π4 =f 5π12 可知函数f(x)的一条对称轴为x= π 4+ 5π 12 2 = π 3 , 又f π4 =-f π12 ,则f(x)有对称中心 π6,0 , 从而T=4 π3- π 6 =2π3. 故答案为:2π 3. 13.解析:(1)由图易知小球的振幅A=3, 最小正周期T=27π8- 3π 8 =π,所以ω=2πT=2,∴h(t) =3sin(2t+φ), ∴代入 π8 ,3 可得3=3sin2×π8+φ ,∴π4+φ=π2 +2kπ,k∈Z,即φ= π 4+2kπ ,k∈Z,又0<φ< π 2 ,∴初相 φ= π 4 ; (2)∵小球在振动过程中位于最高、最低位置时的速度 为0cm/s,∴小球有100次速度为0cm/s等价于函数h (t)有100次取得最值,∵函数h(t)在一个周期内取得一 次最大值、一次最小值,100 2 =50 , ∴函 数 h(t)经 过 50个 周 期 时 小 球 有 100次 速 度 为0cm/s, ∴t∈[0,50π]时,小球有100次速度为0cm/s, 又∵当t=π8 时,小球速度为0cm/s, ∴t0的最小值为50+ π 8= 401π 8 . 14.解析:(1)由图形可得A=1,2π3- π 6= T 2= 1 2 ·2π ω ,解得 ω=2, ∵y=f(x)过点 π6 ,1 ,∴sin2×π6+φ =1,即π3+ φ= π 2+2kπ (k∈Z), ∴φ= π 6+2kπ (k∈Z).又∵|φ|< π 2 ,∴φ= π 6. ∴f(x)=sin2x+π6 . (2)由(1)知f(x)=sin2x+π6 , 将y=f(x)图象所有点向右平移π6 个单位长度,再将纵 坐标变为原来的2倍, 得到g(x)=2sin2x-π6 +π6 =2sin2x-π6 , ∵x∈ 0,π2 ,∴2x-π6∈ -π6,5π6 , ∴sin2x-π6 ∈ -12,1 ∴g(x)∈[-1,2] 所以g(x)的值域为[-1,2]. 课时作业(二十二) 1.A 模为零的向量是零向量,所以 A项正确;|a|=|b| 时,只说明向a,b的长度相等,无法确定方向,所以B,C 均错;a∥b时,只说明a,b方向相同或相反,没有长度关 系,不能确定相等,所以D错.故选:A. 2.B (1)向量可以用有向线段表示,但不能把两者等同,故 错误;(2)根据对零向量的规定零向量是有方向的,是任 意的,故错误;(3)根据对零向量的规定,零向量的方向是 任意的,故正确;(4)根据对零向量的规定,零向量的大小 为0,所以零向量的长度为0,故正确.故选:B. 3.B OA→+BC→+AB→+DO→=DO→+OA→+AB→+BC→=DC→.故 选:B. 4.A 在矩形ABCD 中,由AB=2,BC=1可得AC= 5,又 因为AB→+AD→=AC→,故AB→+AD→+AC→=2AC→,故|AB→+ AD→+AC→|=2 5.故选:A. 5.C 根据平面向量的加法、减法运算法则,逐一计算即可 求得结果.①中AB→+BC→+CA→=AC→+CA→=AC→-AC→=0; ②中OA→+OB→+BO→+CO→=OA→+CO→=CA→;③AB→-AC→+ BD→-CD→=CB→+BC→=0;即①③结果为零向量,故选:C. 6.D 根据向量的减法法则可得|AB→-AC→|=|CB→|,由三边 相等关系即可得出结果.因为|AB→-AC→|=|CB→|,|AB→| =|AC→|=|AB→-AC→|,所以|AB→|=|AC→|=|CB→|,所以 △ABC为等边三角形.故选:D. 7.D 因为向量a=2e1+3e2 与b=λe1-2e2 共线,所以存 在唯一实数k,使a=kb,即2e1+3e2=k(λe1-2e2),所以 2e1+3e2=kλe1-2ke2, 因为向量e1,e2是平面内的一组基底,所以 kλ=2 -2k=3 , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —743— 解得k=-32 ,λ=-43 ,故选:D. 8.A AD→=AB→+BD→=AB→+34BC → =AB→+34 (AC→-AB→)= 1 4AB → +34AC →,故选:A. 9.D AB选项,因为CD→=34CA →,所以AC→=4AD→, 故AP→=λAB→+μAC → =λAB→+4μAD →, 因为B,P,D 三点共线,设PB→=mBD→,即AB→-AP→=m AD→-mAB→, 故AP→=(1+m)AB→-mAD→, 令λ=1+m,4μ=-m,故λ+4μ=1, λ,μ为正实数,由基本不等式得λ+4μ=1≥2 4λμ=4 λμ,解得λμ≤ 1 16 ,当且仅当λ=12 ,μ= 1 8 时,等号成立, 所以λμ 的 最 大 值 为 1 16 ,AB错 误;CD选 项,1λ + 1 4μ = 1 λ+ 1 4μ ·(λ+4μ)=1+1+4μλ +λ4μ≥2+2 4μλ ·λ4μ= 4,当且仅当4μλ = λ 4μ ,即λ=12 ,μ= 1 8 时,等号成立,C错 误,D正确.故选:D. 10.答案:①②③ 解析:①a=-b,共线;②a=-12b ,共线;③a=4b,共 线;④a和b 无法表示成a=λb,所以不共线.故答案为: ①②③ 11.答案:-2 解析:由a∥b得,λλ+1=2 ,解得λ=-2. 故答案为:-2. 12.答案:-4 解析:因为A,B,D 三点共线,故AB→∥BD→, 则∃λ∈R,使得AB→=λBD→, 又BD→=CD→-CB→=2e1-e2-(e1+3e2)=e1-4e2, 故e1+ke2=λ(e1-4e2),则 λ=1 -4λ=k ,解得k=-4, 故答案为:-4 13.答案:2 解析:如图所示,由题意知CE→=xCA→+32yCD →, 因为A,E,D 三点共线,所以x+32y=1 , 所以2x+3y=2. 故答案为:2. 14.A 由题设AF→=AB→+BF→=AB→+23BD → =AB→+23 (BC→ +CD→)=AB→+23 (BC→+23CE →) =AB→+23BC → +49 (CA→+AE→)=AB→+23BC → +49CA → + 8 27AF → =AB→+23 AC → -AB→ -49AC → +827AF → =13AB → +29AC → +827AF →, 所以19 27AF → =13AB → +29AC →,即AF→=919AB → +619AC →, 又AF→=λAB→+μAC →,故λ+μ= 15 19. 故选:A 课时作业(二十三) 1.B A选项,设e1+e2=a(e1-e2),则 a=1 a=-1 ,无解,故 e1+e2和e1-e2是不共线的向量,可作为一组基底,A错 误;B选项,∵4e1-2e2= 2 3 6e1-3e2 ,∴4e-2e2和6e1 -3e2共线,不能作为一组基底,故B正确;C选项,设2e1 -e2=be2,则 2=0 b=-1 ,无解,故2e2-e2 和e2 不共线,故 可作为一组基底,C错误;D选项,设e1-e2=c(2e2+e1), 则 2c=-1 c=1 ,无解,e1-e2和2e2+e1不共线,可作为一组 基底,D错误.故选:B 2.C 如图, AE→=12AC → +12AD → =-12CA → +16AB → =- 12CA → + 1 6 (CB→-CA→)=-23a+ 1 6b ,故选:C. 3.B 因为i和j是正交单位向量,a=2i+3j=(2,3),b=i +kj=(1,k),可 得a-b=(1,3-k),所 以|a-b|= 1+(3-k)2= 2,解得k=2或k=4.故选:B. 4.C 根据向量加法的平行四边形法则AC→=AB→+AD→= (3,7)+(-2,3)=(1,10),故选C. 5.C 由P1P → =-2PP2 → 得P1P → +2PP2 → =0,即P1P2 → +PP2 → =0,P1P2 → =P2P →, OP2 → -OP1 → =OP→-OP2 →, OP→=2OP2 → -OP1 → =2(2,-1)-(1,2)=(3,-4), |OP→|= 32+(-4)2=5, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —843— 与OP→同向的单位向量为 OP → |OP→| = 35 ,-45 ,反向的单位 向量为 -35 ,4 5 .故选:C. 6.C 因为a∥b,所以:4m-(-2)×3=0⇒m=-32. 所 以:a-32b= - 3 2 ,-2 -32(3,4)=(-6,-8) 所以:a-32b =| (-6,-8)|=10. 故选:C. 7.D 由a=(3,1),b=(0,-1),则a-kb=(3,1+k), 因为a-kb与c共线,所以k(1+k)-3k=0,即k2-2k= 0,解得k=0或k=2. 故选:D 8.A 由题|a|=2,则与a同向的单位向量是 a|a| ,对应坐标 是 1 2 ,3 2 .故选:A. 9.BC A项中AD→与BC→共线,D项中OD→与OB→共线,B,C项 中两向量不共线,故选:BC. 10.BC 由已知可得BA→=PA→-PB→=(k,12)-(4,5)=(k -4,7),CA→=PA→-PC→=(k,12)-(10,k)=(k-10,12 -k). 因为A,B,C三点共线,所以BA→∥CA→, 所以(k-4)(12-k)-7(k-10)=0,整理得k2-9k-22 =0, 解得k=-2或11.故选:BC. 11.答案:3 解析:先利用基底法求出CM→=13CB → +23CA →,再利用数 量积的运算法则即可得解. 因为∠C=90°,所以CB→·CA→=0, 因为BM→=2MA→,AC=BC=3, 所以CM→=CA→+AM→=CA→+13AB → =CA→+13 CB → -CA→ = 1 3CB → +23CA →, 则CM→·CB→= 13CB → +23CA → ·CB→=13|CB→|2=3. 故答案为:3. 12.答案:4 解析:根据平面向量的线性运算结合平面向量基本定理 分析可得结果.由题意可得:DE→=AE→-AD→=1λAC → - AD=1λ (AB→+AD→)-AD→, =1λAB → + 1λ-1 AD→=14AB→-34AD→,∴λ=4. 故答案为:4. 13.答案:(-4,0) 解析:首先计算出a,b,再进行线性运算即可. 因为a+b=(2,3),a-b=(-2,1), 两式相加得2a=(0,4),即a=(0,2),b=a+b-a=(2,1) 所以a-2b=(-4,0), 故答案为:(-4,0). 14.答案:±1 解析:由题意,得2a+b=(x,5),所以|2a+b|= x2+52 = 26,解得x±1. 故答案为:±1. 课时作业(二十四) 1.C 因为a·b=1,|a|=2,a,b的夹角为π3 , 所以a·b=|a||b|cos<a,b>=2|b|cosπ3=1 , 解得|b|=1, |a - 2b| = (a-2b)2 = a2-4a·b+4b2 = 4-4×1+4×12=2, 故选:C. 2.D 因为|b|=2|a|=2,且a⊥(a+b),所以a·(a+b)= 0,即a2+a·b=0, 所以a·b=-a2=-1, 设a与b的夹角为θ,则cosθ= a ·b |a|·|b|= -1 2×1=- 1 2 , 因为0∈[0,π], 所以θ=2π3 ,即a与b的夹角为2π3. 故选:D. 3.A 因为a=(1,2),b=(-2,-1),所以a-b=(3,3),则 a-b在a 的投影向量的模为cos<a-b,a>·|a-b|= (a-b)·a |a| = 9 5 =9 55 , 则a-b在a 的投影向量为9 55 · a |a|= 9 5 ,18 5 . 故选:A. 4.C 由 题 意 得:a ·b<0 且 a 与 b 不 共 线,即 12x+3(x-5)<0 x(x-5)≠3×12 ,解得:x<1且x≠4, 所以实数x的范围是(-∞,-4)∪(-4,1), 故选:C. 5.A 因向量a=(4,3-m),b=(1,m)的夹角为锐角,则 a·b>0⇒m2-3m-4<0⇒-1<m<4, 且a,b不共线,即3-m≠4m⇒m≠35. 综上可知,-1<m<35 或3 5<m<4. 故选:A. 6.AC 对于A:若a∥b,则1×(3-x)=x×2x⇒2x2+x- 3=0, 解得x=-32 或x=1,A正确; 对于B:a+b=(2x+1,3),若(a+b)⊥a,则a·b=0,即 (2x+1)×1+3×x=0,解得x=-15 ,所以B错误;对于 C:当x=3时a=(1,3),b=(6,0), 所以向量b 在 向 量a 方 向 的 投 影 向 量 为a ·b |a| · a |a|= 1×6 12+32 a=610a= 3 5 ,9 5 ,C正确;对于 D:当x=-32 时,a= 1,-32 ,b= -3,92 , 此时a与b的方向相反,此时a与b 夹角为π,D错误,故 选:AC. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —943—