课时作业21 函数y=Asin(ωx+φ)及三角函数的应用-【名师大课堂】2025年高考数学艺术生总复习必备训练册

课时作业(二十一) 函数y=Asin(wx+φ)及三角函数的应用 1.(2024·天津卷)已知函数f(x)=sin3 ωx +π3 的最小正周期为π,则f(x)在 -π12, π 6 的最小值为 ( ) A.- 32 B.- 3 2 C.0 D.32 2.(2024·湛江市第二中学校考质量检测)要 得到函数y=cosx-π6 的图象,只要将函 数y=cosx的图象 ( ) A.向左平移π3 个单位长度 B.向右平移π3 个单位长度 C.向左平移π6 个单位长度 D.向右平移π6 个单位长度 3.已知函数f(x)=2sinωx+π3 (ω>0)的最 小正周期为π,把函数f(x)的图象向右平移 π 6 个单位长度,所得图象对应函数解析式为 ( ) A.y=2sin2x B.y=2cos2x C.y=2sin2x+2π3 D.y=2sin2x+π6 4.(2024·河南统考模拟预测)若函数f(x)= sin(ωx+π6 )(ω>0)在 0,2π3 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 恰有两个零 点,且在 -π12 ,π 12 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 单调递增,则ω 的取值 范围是 ( ) A.114 ,4 􀭤􀭥 􀪁 􀪁 B.114 ,4􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 C.114 ,17 4 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 D.114,174 5.已知函数f(x)=12sin2x+ 3 2cos2x ,则将 函数f(x)的图象向左平移φ(0<φ< π 2 )个 单位后得到函数g(x)的图象,g(x)图象关 于原点对称,则 ( ) A.φ= π 12 B.φ= π 6 C.φ= π 3 D.φ= 5π 12 6.把函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图 象向左平移π 6 个单位后,得到一个偶函数的 图象,则φ= ( ) Aπ6 B. π 3 C. 2π 3 D. 5π 6 7.将函数f(x)=2sin2x+π4 的图象向左平 移5 6π 个单位长度,得到函数y=g(x)的图 象,则函数g(x)在x∈ -π8 ,3π 8 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 时的值域 为 ( ) A.[-2,1] B.[-1,2] C.[-2,3] D.[- 3,2] 8.(2024·河南高三校联考阶段练习)将函数 f(x)=cosωx+π4 (ω>0)的图象向左平 移π 3 个单位长度后得到函数y=sinωx的图 象,则正实数ω的最小值为 ( ) A.214 B. 15 4 C. 9 4 D.2 9.(多选)已知函数f(x)=2sinxcosx+2 3 sin2x,则 ( ) A.f(x)的最小正周期为π B.-π12 ,3 是曲线f(x)的一个对称中心 C.x=-π12 是曲线f(x)的一条对称轴 D.f(x)在区间 π6 ,5π 12 单调递增 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —832— 课时作业 10.(多 选)已 知 π3 ,0 是 函 数 f(x)=sin ωx+π3 (0<ω<3)的一个对称中心,则 ( ) A.ω=2 B.x=π6 是函数f(x)的一条对称轴 C.将函数f(x)的图象向右平移π6 单位长 度后得到的图象关于原点对称 D.函数f(x)在区间 -π2 ,0􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 的最小值是 - 32 11.(2024·江西省宜丰中学校考质量检测)函 数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0< φ<2π)一个周期的图象如图所示,则函数 f(x)的解析式为 . 12.设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数, A>0,ω>0).若f(x)在区间 π12 ,π 4 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 具有单 调性,且f π4 =f5π12 =-f π12 ,则f(x) 的最小正周期是 . 13.已知挂在弹簧方的小球振动,小球在时间t (单位:s)时相对于平衡位置(即静止时的 位置)的距离h(单位:cm)由函数解析式 h(t)=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0,0<φ< π 2 )决定,其部分图象如图所示 (1)求小球在振动过程中的振幅、最小正周 期和初相; (2)若t∈[0,t0]时,小球至少有101次速 度为0cm/s,则t0 的最小值是多少? 14.已 知 函 数 f (x)= Asin(ωx +φ) A>0,ω>0,|φ|< π 2 的 部 分 图 象 如 图 所示. (1)求函数f(x)的解析式; (2)将y=f(x)图象所有点先向右平移π6 个单位长度,再将纵坐标变为原来的2 倍,得到函数y=g(x),求y=g(x)在 0,π2 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 的值域. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —932— 班级: 姓名: 且tan(-π3 )=- 3,tanπ4=1 , 所以tanz∈(- 3,1). 故选:A. 8.AC 对于A:函数y=f(x)=sin2x满足y=f(-x)= sin(-2x)=-sin2x=-f(x), 且y=f(x)=2sinx的定义域为R关于原点对称,即y= f(x)=2sinx是奇函数, 且注意到其周期为T=2πω= 2π 2=π ,故A正确; 对于B:函数y=f(x)=sin|x|满足y=f(-x)=sin|-x|= sin|x|=f(x), 且y=f(x)=sin|x|的定义域为R关于原点对称, 所以y=f(x)=sin|x|是偶函数,不是奇函数,故B错误; 对于C:y=cos2x-3π2 =cos2x+π2 =-sin2x, 由A选项分析易知y=f(x)=-sin2x是奇函数, 同时也是最小正周期是π的周期函数,故C正确; 对于D:函数y=f(x)=sin2x+π2 =cos2x满足f(- x)=cos(-2x)=cos(2x)=f(x), 且y=f(x)=cos2x的定义域为R关于原点对称, 所以y=f(x)=cos2x 是 偶 函 数,不 是 奇 函 数,故 D 错误. 故选:AC. 9.ACD f(x)=sin(ωx+φ)(ω≠0)为偶函数,因此f(x)= cosωx或f(x)=-cosωx.所以φ= π 2+kπ ,k∈Z,故A, C,D正确,故选:ACD. 10.BD 画出y=sinx-1,x∈[0,2π]的图象.如图:直线y =0和y=-2与y=sinx-1,x∈[0,2π]的图象只有一 个交点, 故a=0或a=-2. 故选:BD. 11.答案:(-2,-1) 解析:由题设sin 2x+π6 =m2在 π2,π 有两个不同 的实数根, 又 2x + π6 ∈ 7π 6 ,13π 6 ,故 y =sin 2x+π6 在 π 2 ,π 的图象如, 只需y=sin2x+π6 与y=m2在给定区间内有两个交 点即可, 如图,-1<m2<- 1 2 ,则-2<m<-1. 故答案为:(-2,-1) 12.答案:(0,+∞) 解析:设z=x+π6 ,因为x∈ -π6 ,π 3 , 可得z∈ 0,π2 , 因为正切函数y=tanz在 0,π2 的值域为(0,+∞), 即函数y=tanx+π6 在 -π6,π3 的值域为(0,+∞). 故答案为:(0,+∞). 13.答案:(0,1] 解析:因为aπ 2>- aπ 3 ,所以a>0, 所以 a>0 -aπ3≥- π 2 aπ 2≤ π 2 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 ,解得0<a≤1,即a∈(0,1]. 故答案为:(0,1] 14.解析:(1)令-π2+2kπ≤4x+ π 6≤ π 2+2kπ ,k∈Z, 得-π6+ kπ 2≤x≤ π 12+ kπ 2 ,k∈Z, 所以f(x)的单调递增区间为 -π6+ kπ 2 ,π 12+ kπ 2 (k∈ Z). 令π 2+2kπ≤4x+ π 6≤ 3π 2+2kπ ,k∈Z,得π12+ kπ 2≤x≤ π 3+ kπ 2 ,k∈Z, 所以f(x)的 单 调 递 减 区 间 为 π12+ kπ 2 ,π 3+ kπ 2 (k∈ Z), 综 上 所 述,f (x ) 的 单 调 递 增 区 间 为 -π6+ kπ 2 ,π 12+ kπ 2 (k ∈ Z),单 调 递 减 区 间 为 π 12+ kπ 2 ,π 3+ kπ 2 (k∈Z); (2)由(1)知f(x)在 -π6 ,π 12 单调递增,在 π12,π3 单 调递减, 故f(x)在 0,π12 的 最 大 值 为f π12 =2,最 小 值 为 f(0)=1, 在 π 12 ,π 3 的最大值为f π12 =2,最小值为f π3 = -2. 所以f(x)在 0,π3 的最大值为2,最小值为-2, 即f(x)在 0,π3 的值域为[-2,2]. 课时作业(二十一) 1.A 由f(x)的最小正周期为π,可得π=2π3ω ,所以ω=23 , 所 以 f(x)=sin(2x +π)= -sin2x.当 x ∈ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —543— -π12 ,π 6 时,2x∈ -π6,π3 ,sin2x∈ -12,32 ,所 以f(x)min=- 3 2 ,故选A. 2.D 由三角函数图象的相位变换可知,将函数y=cosx的 图象向右平移π 6 个单位长度所得图象的解析式为y= cosx-π6 .故选:D. 3.A 因为ω>0,所以2πω=π ,故ω=2, 则f(x)=2sin2x+π3 , 则 向 右 平 移 π 6 个 单 位 长 度 后 得 到 y = 2sin 2x-π6 +π3 =2sin2x.故选:A. 4.B 由题意得:∵函 数f(x)=sin(ωx+π6 )(ω>0)在 0,2π3 恰有两个零点, ∴2π≤ω·2π3+ π 6<3π , 解得:11 4≤ω< 17 4 ① , 又∵f(x)在 -π12 ,π 12 单调递增, ∴ -π12ω+ π 6≥- π 2 π 12ω+ π 6≤ π 2 ω>0 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 ,解得:0<ω≤4 ②, 由①②式联立可知ω的取值范围是 114 ,4 .故选:B 5.C ∵f(x)=12sin2x+ 3 2cos2x ∴f(x)=12sin2x+ 3 2cos2x=sin2x+ π 3 , ∴将函数f(x)的图象向左平移φ 0<φ< π 2 个单位后 得到函数g(x)的图象, 即g(x)=sin2(x+φ)+ π 3 =sin2x+2φ+π3 , 又g(x)图象关于原点对称,可得2φ+ π 3=kπ ,k∈Z, 即φ= kπ 2- π 6 ,k∈Z, ∵0<φ< π 2 ,∴φ= π 3. 故选:C. 6.A 函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象向左平移 π 6 个单位后, 得函数y=sin 2x+π6 +φ =sin 2x+π3+φ 的图 象,由函数为偶函数,则有π 3+φ= π 2+kπ (k∈Z),即φ= π 6+kπ (k∈Z), 又0<φ<π,所以φ= π 6. 故选:A. 7.D 函数f(x)=2sin2x+π4 的图象向左平移56π个单 位长度, 得到 函 数 y=g(x)=2sin 2x+56π +π4 =2sin 2x+2312π =2sin(2x-π12), 因为x∈ -π8 ,3π 8 ,所以2x-π12∈ -π3,2π3 , 所以2sin2x-π12 ∈[- 3,2],故选:D. 8.B 由 题 意 f x+π3 =cos ω x+π3 +π4 =cos ωx+ωπ3+ π 4 =sinωx. 所以ωπ 3+ π 4=- π 2+2kπ (k∈Z),得ω=-94+6k ,k∈ Z.又ω>0,所以正实数ω的最小值为-94+6= 15 4. 故选:B. 9.ACD A选项,f(x)=2sinxcosx+2 3sin2x=sin2x- 3cos2x+ 3=2sin2x-π3 + 3, 故f(x)的最小正周期为2π2=π ,A正确; B选项,当x=-π12 时,f -π12 =2sin -π6-π3 + 3 =-2+ 3,故 -π12 ,3 不是曲线f(x)的一个对称中 心,B 错 误;C 选 项,当 x= - π12 时,2sin 2x-π3 = 2sin -π6- π 3 = -2,故 x = - π12是 y =2sin 2x-π3 的一条对称轴,也是f(x)的一条对称轴,C正 确;D选项,x∈ π6 ,5π 12 时,2x-π3∈ 0,π2 ,由于y= sinz在z∈ 0,π2 单调递增, 故f(x)在区间 π6 ,5π 12 单调递增,D正确.故选:ACD 10.AC A选项,由题意得sin π3ω+ π 3 =0,故π3ω+π3 =kπ,k∈Z, 解得ω=3k-1,k∈Z,又0<ω<3,故0<3k-1<3,解得 1 3<k< 4 3 , 又k∈Z,故k=1,所以ω=2,A正确; B选项,f(x)=sin 2x+π3 ,当x=π6时,f π6 = sin π3+ π 3 = 32, 故x=π6 不是函数f(x)的一条对称轴,B错误; C选项,将函数f(x)的图象向右平移π6 个单位长度后得 到g(x)=sin2x-π6 +π3 =sin2x, 由于g(x)的 定 义 域 为 R,且g(-x)=sin(-2x)= -sin2x=-g(x), 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —643— 故g(x)为奇函数,其图象关于原点对称,C正确; D选项,x∈ -π2 ,0 时,2x+π3∈ -2π3,π3 , 由于y=sinz在z∈ -2π3 ,π 3 的最小值为-1,当且仅 当z=-π2 时,等号成立, 故f(x)在区间x∈ -π2 ,0 的最小值是-1,D错误. 故选:AC. 11.答案:f(x)=4sin 12x+ 5π 4 解析:由图象可知A=4,T=7π2- - π 2 =4π, 又ω>0,则 ω =2πT = 2π 4π= 1 2 ,所 以 f (x)= 4sin 12x+φ , 又 3π 2 ,0 在该曲线,所以4sin3π4+φ =0, 则3π 4+φ=2kπ ,k∈Z,即φ=- 3π 4+2kπ ,k∈Z, 又0<φ<2π,则φ= 5π 4 ,故f(x)=4sin 12x+ 5π 4 . 故答案为:f(x)=4sin 12x+ 5π 4 . 12.答案:2π3 /2 3π 解析:由于f(x)在区间 π12 ,π 4 具有单调性, 则π 4- π 12≤ 1 2T ,所以T≥π3 , 由f π4 =f 5π12 可知函数f(x)的一条对称轴为x= π 4+ 5π 12 2 = π 3 , 又f π4 =-f π12 ,则f(x)有对称中心 π6,0 , 从而T=4 π3- π 6 =2π3. 故答案为:2π 3. 13.解析:(1)由图易知小球的振幅A=3, 最小正周期T=27π8- 3π 8 =π,所以ω=2πT=2,∴h(t) =3sin(2t+φ), ∴代入 π8 ,3 可得3=3sin2×π8+φ ,∴π4+φ=π2 +2kπ,k∈Z,即φ= π 4+2kπ ,k∈Z,又0<φ< π 2 ,∴初相 φ= π 4 ; (2)∵小球在振动过程中位于最高、最低位置时的速度 为0cm/s,∴小球有100次速度为0cm/s等价于函数h (t)有100次取得最值,∵函数h(t)在一个周期内取得一 次最大值、一次最小值,100 2 =50 , ∴函 数 h(t)经 过 50个 周 期 时 小 球 有 100次 速 度 为0cm/s, ∴t∈[0,50π]时,小球有100次速度为0cm/s, 又∵当t=π8 时,小球速度为0cm/s, ∴t0的最小值为50+ π 8= 401π 8 . 14.解析:(1)由图形可得A=1,2π3- π 6= T 2= 1 2 ·2π ω ,解得 ω=2, ∵y=f(x)过点 π6 ,1 ,∴sin2×π6+φ =1,即π3+ φ= π 2+2kπ (k∈Z), ∴φ= π 6+2kπ (k∈Z).又∵|φ|< π 2 ,∴φ= π 6. ∴f(x)=sin2x+π6 . (2)由(1)知f(x)=sin2x+π6 , 将y=f(x)图象所有点向右平移π6 个单位长度,再将纵 坐标变为原来的2倍, 得到g(x)=2sin2x-π6 +π6 =2sin2x-π6 , ∵x∈ 0,π2 ,∴2x-π6∈ -π6,5π6 , ∴sin2x-π6 ∈ -12,1 ∴g(x)∈[-1,2] 所以g(x)的值域为[-1,2]. 课时作业(二十二) 1.A 模为零的向量是零向量,所以 A项正确;|a|=|b| 时,只说明向a,b的长度相等,无法确定方向,所以B,C 均错;a∥b时,只说明a,b方向相同或相反,没有长度关 系,不能确定相等,所以D错.故选:A. 2.B (1)向量可以用有向线段表示,但不能把两者等同,故 错误;(2)根据对零向量的规定零向量是有方向的,是任 意的,故错误;(3)根据对零向量的规定,零向量的方向是 任意的,故正确;(4)根据对零向量的规定,零向量的大小 为0,所以零向量的长度为0,故正确.故选:B. 3.B OA→+BC→+AB→+DO→=DO→+OA→+AB→+BC→=DC→.故 选:B. 4.A 在矩形ABCD 中,由AB=2,BC=1可得AC= 5,又 因为AB→+AD→=AC→,故AB→+AD→+AC→=2AC→,故|AB→+ AD→+AC→|=2 5.故选:A. 5.C 根据平面向量的加法、减法运算法则,逐一计算即可 求得结果.①中AB→+BC→+CA→=AC→+CA→=AC→-AC→=0; ②中OA→+OB→+BO→+CO→=OA→+CO→=CA→;③AB→-AC→+ BD→-CD→=CB→+BC→=0;即①③结果为零向量,故选:C. 6.D 根据向量的减法法则可得|AB→-AC→|=|CB→|,由三边 相等关系即可得出结果.因为|AB→-AC→|=|CB→|,|AB→| =|AC→|=|AB→-AC→|,所以|AB→|=|AC→|=|CB→|,所以 △ABC为等边三角形.故选:D. 7.D 因为向量a=2e1+3e2 与b=λe1-2e2 共线,所以存 在唯一实数k,使a=kb,即2e1+3e2=k(λe1-2e2),所以 2e1+3e2=kλe1-2ke2, 因为向量e1,e2是平面内的一组基底,所以 kλ=2 -2k=3 , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —743—