课时作业20 三角函数的图象与性质-【名师大课堂】2025年高考数学艺术生总复习必备训练册

课时作业(二十) 三角函数的图象与性质 1.(2024·新课标Ⅰ卷)当x∈[0,2π]时,曲线 y=sinx与y=2sin 3x-π6 的交点个数为 ( ) A.3 B.4 C.6 D.8 2.函数y=-cosx(x≥0)的图象中与y轴最 近的最高点的坐标为 ( ) A.π2 ,1 B.(π,1) C.(0,1) D.(2π,1) 3.用“五点法”作y=2cos2x 的图象,首先描 出的五个点的横坐标是 ( ) A.0,π2 ,π,3π2 ,2π B.0,π4 ,π 2 ,3π 4 ,π C.0,π,2π,3π,4π D.0,π6 ,π 3 ,π 2 ,2π 3 4.三角函数y=2sinx在区间[-π,π]的图象 为 ( ) A. B. C. D. 5.下列函数,最小正周期为2π的是 ( ) A.y=sinx2 B.y=sin2x C.y= sinx2 D.y=|sin2x| 6.设函数f(x)=cosωx-π4 ,(ω>0)的最小 正周期为π 5 ,则它的一条对称轴方程为 ( ) A.x=π8 B.x=- π 8 C.x=π12 D.x=- π 12 7.函数y=tanx-π6 ,x∈ -π6,5π12 的值域 为 ( ) A.(- 3,1) B.-1,33 C.(1,3) D. 3 3 ,1 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —632— 课时作业 8.(2024·河北秦皇岛质量检测)(多选)下列 函数中是奇函数,且最小正周期是π的函数 是 ( ) A.y=sin2x B.y=sin|x| C.y=cos2x-3π2 D.y=sin2x+π2 9.(多选)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω≠0) 为偶函数,则φ的取值可以为 ( ) A.π2 B.π C.-3π2 D. 2023π 2 10.(多选)函数y=sinx-1,x∈[0,2π]与y =a有一个交点,则a的值为 ( ) A.-1 B.0 C.1 D.-2 11.已知关于x 的方程2sin2x+π6 -m=0 在 π 2 ,π 有两个不同的实数根,则m 的取 值范围是 . 12.函数y=tanx+π6 ,x∈ -π6,π3 的值域 为 . 13.若函数f(x)=tanx在区间 -aπ3 ,aπ 2 是 增函数,则实数a的取值范围是 . 14.已知函数f(x)=2sin4x+π6 . (1)求f(x)的单调区间; (2)求f(x)在[0,π3 ]的值域. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —732— 班级: 姓名: 10.答案: 53 ,8 3 解析:f(x)=12sinωx+ 3 2cosωx=sinωx+ π 3 , 当x∈[0,π]时,ωx+π3∈ π 3 ,ωπ+π3 , ∵f(x)在[0,π]恰有2个零点,∴2π≤ωπ+π3<3π ,解 得:5 3≤ω< 8 3 , 即ω的取值范围为 53 ,8 3 . 故答案为: 5 3 ,8 3 . 11.解析:(1)f(x)=sin2ωx+ 3cos2ωx=2sin2ωx+π3 , 设f(x)的最小正周期为T, 因为直线x=x1、x=x2 是y=f(x)图象的任意两条对 称轴,且|x1-x2|的最小值为 π 2 , 所以T=2×π2=π , 因为ω>0,所以T=2π2ω= π ω=π ,解得ω=1; (2)f(x)=2sin2x+π3 , 由f(α)=23 得sin2α+π3 =13, cos2α-π6 =cos 2α+π3 -π2 =cos π2 2α+π 3 =sin2α+π3 =13, 即cos2α-π6 =13. 12.解 析:在 Rt△OBC 中,OB =2cosα,BC=2sinα, 0<α<π4 ,在Rt△OAD 中,DAOA=tanπ4=1, ∴OA=DA=BC=2sinα, ∴AB=OB-OA=2cosα-2sinα, 设矩形ABCD 的面积为S,则S=AB·BC=(2cosα- 2sinα)2sinα=4sinacosa-4sin2α =2sin2α-2(1-cos2α)=2sin2α+2cos2α-2 =2 2sin2α+π4 -2, 由0<α<π4 ,得π 4<2α+ π 4< 3π 4 , 所以当2α+π4= π 2 ,即a=π8 时,Smax=2 2-2, 因此,当α=π8 时,矩形ABCD 的面积最大,最大面积为 2 2-2. 课时作业(二十) 1.C 因为函数y=2sin(3x-π6 )的最小正周期T=2π3 ,所 以函数y=2sin(3x-π6 )在[0,2π]上的图象恰好是三个 周期的图象,所以作出函数y=2sin(3x-π6 )与y=sinx 在[0,2π]上的图象如图所示. 由图可知,这两个图象共有6个交点,故选C. 2.B 用五点法画出函数y=-cosx(x≥0)的部分图象如 图所示,由图易知与y轴最近的最高点的坐标为(π,1). 故选:B 3.B 由“五点法”作图知:令2x=0,π2 ,π,32π ,2π,解得x =0,π4 ,π 2 ,3π 4 ,π,即为五个关键点的横坐标.故选:B. 4.C ∵y=2sinx为奇函数,∴y=2sinx的图象关于原点 对称,故 排 除 A、D 选 项,三 角 函 数y=2sinx 在 区 间 [-π,π]的最大值为y=2sinπ2=2 ,故排除B选项.故 选:C. 5.C 函数y=sinx2 的最小正周期为T=2π1 2 =4π,故A不 符合;函数y=sin2x,其最小正周期为T=2π2=π ,故B不 符合;因为函数y=sinx2 的最小正周期为T=4π,所以函 数y= sinx2 的最小正周期为2π,故C符合;因为函数 y=sin2x 的最小正周期为T=2π2=π ,所 以 函 数y= sin2x 的最小正周期为π2 ,故D不符合.故选:C. 6.A 因为的f(x)最小正周期为π5 ,所以ω=2πT=10 , 所以f(x)=cos10x-π4 , 令10x-π4=kπ ,k∈Z, 解得x=kπ10+ π 40 (k∈Z), 所以f(x)的对称轴为直线x=kπ10+ π 40 (k∈Z), 当k=1时,x=π8 ,其它各项均不符合, 所以x=π8 是函数f(x)的对称轴, 故选:A. 7.A 设z=x-π6 ,因为x∈ -π6 ,5π 12 , 所以z∈ -π3 ,π 4 . 因为正切函数y=tanz在 -π2 ,π 2 单调递增, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —443— 且tan(-π3 )=- 3,tanπ4=1 , 所以tanz∈(- 3,1). 故选:A. 8.AC 对于A:函数y=f(x)=sin2x满足y=f(-x)= sin(-2x)=-sin2x=-f(x), 且y=f(x)=2sinx的定义域为R关于原点对称,即y= f(x)=2sinx是奇函数, 且注意到其周期为T=2πω= 2π 2=π ,故A正确; 对于B:函数y=f(x)=sin|x|满足y=f(-x)=sin|-x|= sin|x|=f(x), 且y=f(x)=sin|x|的定义域为R关于原点对称, 所以y=f(x)=sin|x|是偶函数,不是奇函数,故B错误; 对于C:y=cos2x-3π2 =cos2x+π2 =-sin2x, 由A选项分析易知y=f(x)=-sin2x是奇函数, 同时也是最小正周期是π的周期函数,故C正确; 对于D:函数y=f(x)=sin2x+π2 =cos2x满足f(- x)=cos(-2x)=cos(2x)=f(x), 且y=f(x)=cos2x的定义域为R关于原点对称, 所以y=f(x)=cos2x 是 偶 函 数,不 是 奇 函 数,故 D 错误. 故选:AC. 9.ACD f(x)=sin(ωx+φ)(ω≠0)为偶函数,因此f(x)= cosωx或f(x)=-cosωx.所以φ= π 2+kπ ,k∈Z,故A, C,D正确,故选:ACD. 10.BD 画出y=sinx-1,x∈[0,2π]的图象.如图:直线y =0和y=-2与y=sinx-1,x∈[0,2π]的图象只有一 个交点, 故a=0或a=-2. 故选:BD. 11.答案:(-2,-1) 解析:由题设sin 2x+π6 =m2在 π2,π 有两个不同 的实数根, 又 2x + π6 ∈ 7π 6 ,13π 6 ,故 y =sin 2x+π6 在 π 2 ,π 的图象如, 只需y=sin2x+π6 与y=m2在给定区间内有两个交 点即可, 如图,-1<m2<- 1 2 ,则-2<m<-1. 故答案为:(-2,-1) 12.答案:(0,+∞) 解析:设z=x+π6 ,因为x∈ -π6 ,π 3 , 可得z∈ 0,π2 , 因为正切函数y=tanz在 0,π2 的值域为(0,+∞), 即函数y=tanx+π6 在 -π6,π3 的值域为(0,+∞). 故答案为:(0,+∞). 13.答案:(0,1] 解析:因为aπ 2>- aπ 3 ,所以a>0, 所以 a>0 -aπ3≥- π 2 aπ 2≤ π 2 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 ,解得0<a≤1,即a∈(0,1]. 故答案为:(0,1] 14.解析:(1)令-π2+2kπ≤4x+ π 6≤ π 2+2kπ ,k∈Z, 得-π6+ kπ 2≤x≤ π 12+ kπ 2 ,k∈Z, 所以f(x)的单调递增区间为 -π6+ kπ 2 ,π 12+ kπ 2 (k∈ Z). 令π 2+2kπ≤4x+ π 6≤ 3π 2+2kπ ,k∈Z,得π12+ kπ 2≤x≤ π 3+ kπ 2 ,k∈Z, 所以f(x)的 单 调 递 减 区 间 为 π12+ kπ 2 ,π 3+ kπ 2 (k∈ Z), 综 上 所 述,f (x ) 的 单 调 递 增 区 间 为 -π6+ kπ 2 ,π 12+ kπ 2 (k ∈ Z),单 调 递 减 区 间 为 π 12+ kπ 2 ,π 3+ kπ 2 (k∈Z); (2)由(1)知f(x)在 -π6 ,π 12 单调递增,在 π12,π3 单 调递减, 故f(x)在 0,π12 的 最 大 值 为f π12 =2,最 小 值 为 f(0)=1, 在 π 12 ,π 3 的最大值为f π12 =2,最小值为f π3 = -2. 所以f(x)在 0,π3 的最大值为2,最小值为-2, 即f(x)在 0,π3 的值域为[-2,2]. 课时作业(二十一) 1.A 由f(x)的最小正周期为π,可得π=2π3ω ,所以ω=23 , 所 以 f(x)=sin(2x +π)= -sin2x.当 x ∈ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —543—