课时作业19 三角恒等变换-【名师大课堂】2025年高考数学艺术生总复习必备训练册

课时作业(十九) 三角恒等变换 1.(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos(α+β)=m, tanαtanβ=2,则cos(α-β)= ( ) A.-3m B.-m3 C.m3 D.3m 2.已知cos2 π4+α =45,则sin2α= ( ) A.35 B.- 3 5 C.15 D.- 1 5 3.已知α为锐角,cosα=1+ 54 ,则sinα2= ( ) A.3- 58 B. -1+ 5 8 C.3- 54 D. -1+ 5 4 4.函数f(x)=sinxcosx+ 32cos2x 的最小 正周期是 ( ) A.π B.π2 C.2π D.3π2 5.(2024·泰州中学质量检测)如图,在半径为 R、圆心角为π3 的扇形AB 弧任取一点P,作 扇形的内接矩形PNMQ,使点Q 在OA,点 M、N 在OB,则这个矩形面积的最大值为 ( ) A.(2- 3)R2 B.36R 2 C.34R 2 D.33R 2 6.若cosα=-45 ,则 1+tanα2 1-tanα2 的值可能为 ( ) A.12 B.2 C.-12 D.-2 7.已知sinα2-cos α 2=- 5 5 ,450°<α<540°, 则tanα2 的值为 . 8.已知sinα=-45 ,则tanα2= . 9.函数f(x)=cos2x+sinxcosx的单调减区 间为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —432— 课时作业 10.函数f(x)=12sinωx+ 3 2cosωx (ω>0)在 x∈[0,π]恰有2个零点,则ω的取值范围 是 . 11.已知函数f(x)=2sinωx·cosωx+23 cos2ωx- 3(其中ω>0),直线x=x1、x= x2 是y=f(x)图象的任意两条对称轴,且 |x1-x2|的最小值为 π 2. (1)求ω的值; (2)若f(α)=23 ,求cos2α-π6 的值. 12.如图所示,已知OPQ 是半径为2,圆心角 为π 4 的扇形,C 是扇形弧的动点,ABCD 是 扇形的内接矩形,记∠COP=α,求当角α 取何值时,矩形ABCD 的面积最大? 并求 出这个最大面积. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —532— 班级: 姓名: 因为tanθ=43>0 ,θ∈(0,π),所以θ∈ 0,π2 ,所以cosθ =35. 故选:A. 4.C 因为sinα=35 ,α∈ 0,π2 , 故cosα= 1-sin2α= 1-(35 )2=45 ,故选:C. 5.A 因为sinα+cosα=3cosαtanα=3sinα,可得tanα =12 , 可得cos2αtanα=cosαsinα= sinαcosα sin2α+cos2α = tanα tan2α+1 = 1 2 1 4+1 =25 , 所以cos2αtanα-1=25-1=- 3 5. 故选:A. 6.C 由sinα+cosα=1713 ,两边平方得sin2α+cos2α+2sinαcos α=289169 , 因为sin2α+cos2α=1,所以2sinαcosα=120169 ,又(sinα- cosα)2=sin2α+cos2α-2sinαcosα=1-120169= 49 169 , 又因为α∈(0,π4 ),所以sinα<cosα,sinα-cosα<0,得 sinα-cosα=-713 ,联立sinα-cosα=-713 与sinα+cosα =1713 , 求得sinα=513 ,cosα=1213 ,故tanα=sinαcosα= 5 12 ,故选:C 7.C 因为α的终边有一点P(1,3), 所以cos= 1 12+32 = 1010 , cos(π+α)=-cosα= 1010 , 故选:C. 8.D 因为α∈ -π4 ,π 4 ,所以π6+α∈ -π12,5π12 ,又sin π 6+α = 33 > 0, 所 以 sin π3-α = sin π 2- π 6+α =cos π6+α = 1-sin2 π6+α = 6 3. 故选:D. 9.B 由题意可得tanα=2, 所以 原 式 = sin 3α+cos3α sin3α-2cos3α =tan 3α+1 tan3α-2 =8+18-2= 3 2. 故 选:B. 10.ACD 由cosθ=4-2mm+5 ,tanθ= m-34-2m ,可 得sinθ= cosθ×tanθ=m-3m+5 , ∵sin2θ+cos2θ=1, ∴ m-3m+5 2 + 4-2mm+5 2 =1, 解得m=0或m=8. ∵sinθ>0,cosθ<0,经检验,当m=0时,cosθ=4-2mm+5 >0,不合题意,∴m=8, 此时sinθ=513 ,cosθ=-1213 ,sin2θ+2sinθcosθ=-95169. 故A项正确,B项错误,C、D项正确.故选:ACD. 11.答案:34 /0.75 解析:由 同 角 三 角 函 数 的 平 方 关 系 及 已 知 条 件 可 知: sin22α+cos22α=1 3sin2α-cos2α=1 ⇒sin22α+(3sin2α-1)2=1⇒ 10sin22α-6sin2α=0, 当sin2α=0,cos2α=-1,此时cosα=1+cos2α2 =0 ,不 合题意;当sin2α= 35 ,cos2α= 45 ,符 合 题 意;所 以 tan2α=sin2αcos2α= 3 4. 故答案为:3 4 12.答案:-1225 解析:由sinθ,cosθ是关于x 的方程5x2-x+5m=0的 两根,所以 sinθ+cosθ=15 sinθcosθ=m Δ=1-100m>0 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 , 由(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ,可得(15 )2=1+2m, 则m=-1225 , 经检验符合题意,所以实数m 的值为-1225. 故答案为:-1225 13.解析:(1)由题意得f(α)=cosα (-sinα)(-tanα) tanα(-sinα) =- cosα. (2)由(1)知f α-3π2 =-cosα-3π2 =-cosα+π2 = sinα. ∵f(α)·f α-3π2 =-38, ∴cosαsinα=38 , ∴(sinα-cosα)2=1-2cosαsinα=14. 又-3π4<α<- π 2 , ∴cosα>sinα, ∴sinα-cosα=-12. ∴f(α)+f α-3π2 =-cosα+sinα=-12. 课时作业(十九) 1.A 由cos(α+β)=m 得cosαcosβ-sinαsinβ=m ①. 由tanαtanβ=2 得 sinαsinβ cosαcosβ =2 ②,由 ① ② 得 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —243— cosαcosβ=-m sinαsinβ=-2m ,所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinα sinβ=-3m,故选A. 2.B cos2 π4+α = 1+cos π2+2α 2 = 1-sin2α 2 = 4 5 ,解 得:sin2α=-35. 故选:B. 3.D 因为cosα=1-2sin2α2= 1+ 5 4 ,而α为锐角,解得: sinα2= 3- 5 8 = (5-1)2 16 = 5-1 4 . 故选:D. 4.A 由f(x)=sinxcosx+ 32cos2x= 1 2sin2x+ 3 2cos2x= sin2x+π3 , 故函数的最小正周期为2π 2=π. 故选:A 5.B 设∠POB=a,矩形PNMQ 面积为S, ∵扇形AB 的半径为R,圆心角为π3 , 所以QM=PN=Rsinα,ON=Rcosα,OM=QMtanπ6= 3 3Rsinα , 所 以 S=Rsinα Rcosα- 33Rsinα = 12R2sin2α- 3 3R 21-cos2α 2 . 化简得:S= 33R 2sin2α+π6 - 36R2,α∈ 0,π3 , 当α=π6 ,即∠AOP=π6 时, S取最大值 36R 2. 故选:B. 6.CD 1+tanα2 1-tanα2 = 1+ sinα2 cosα2 1- sinα2 cosα2 = cosα2+sin α 2 cosα2-sin α 2 = cosα2+sin α 2 · cosα2+sinα2 cosα2-sin α 2 · cosα2+sinα2 cosα2+sin α 2 2 cos2α2-sin 2α 2 =1+sinαcosα , ∵cosα=-45 ,∴sinα=±35 , 当cosα=-45 ,sinα=-351 时,1+sinα cosα = 1-35 -45 = -12 ; 当cosα=-45 ,sinα=35 时,1+sinα cosα = 1+35 -45 =-2. 故选:CD. 7.答案:2 解析:由 题 意 得 sinα2-cos α 2 2 = 15 ,即 1-sinα =15 , ∴sinα=45 ,∵450°<α<540°,∴cosα=-35 , ∵tanα2= 1-cosα sinα = 1- -35 4 5 =2. 故答案为:2 8.答案:-12 或-2 解析:方法一:因为sinα=-45 ,所以cosα=±35. 由sinα=-45 ,可得5π 4+2kπ<α< 7π 4+2kπ ,k∈Z, 则5π 8+kπ< α 2< 7π 8+kπ ,k∈Z,所以tanα2<0. 故tanα2=- 1-cosα 1+cosα , 将cosα=35 代入可得tanα2=- 1-35 1+35 =-12 , 将cosα=-35 代入可得tanα2=- 1+35 1-35 =-2-2, 故tanα2=- 1 2 或-2; 方法二:因为sinα=-45 ,所以cosα=±35. 若cosα=35 ,则tanα2= 1-cosα sinα = 1-35 -45 =-12 ; 若cosα=-35 ,则tanα2= 1-cosα sinα = 1- -35 -45 =-2. 故答案为:-12 或-2 9.答案:kπ+π8 ,kπ+5π8 ,k∈Z; 解析:因为f(x)=cos2x+sinxcosx=1+cos2x2 + 1 2sin2x = 22sin2x+ π 4 +12, 则函数的单调减区间为:π 2+2kπ≤2x+ π 4≤ 3π 2+2kπ ,k ∈Z, 解得:π 8+kπ≤x≤ 5π 8+kπ ,k∈Z. 故答案为:kπ+π8 ,kπ+5π8 ,k∈Z. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —343— 10.答案: 53 ,8 3 解析:f(x)=12sinωx+ 3 2cosωx=sinωx+ π 3 , 当x∈[0,π]时,ωx+π3∈ π 3 ,ωπ+π3 , ∵f(x)在[0,π]恰有2个零点,∴2π≤ωπ+π3<3π ,解 得:5 3≤ω< 8 3 , 即ω的取值范围为 53 ,8 3 . 故答案为: 5 3 ,8 3 . 11.解析:(1)f(x)=sin2ωx+ 3cos2ωx=2sin2ωx+π3 , 设f(x)的最小正周期为T, 因为直线x=x1、x=x2 是y=f(x)图象的任意两条对 称轴,且|x1-x2|的最小值为 π 2 , 所以T=2×π2=π , 因为ω>0,所以T=2π2ω= π ω=π ,解得ω=1; (2)f(x)=2sin2x+π3 , 由f(α)=23 得sin2α+π3 =13, cos2α-π6 =cos 2α+π3 -π2 =cos π2 2α+π 3 =sin2α+π3 =13, 即cos2α-π6 =13. 12.解 析:在 Rt△OBC 中,OB =2cosα,BC=2sinα, 0<α<π4 ,在Rt△OAD 中,DAOA=tanπ4=1, ∴OA=DA=BC=2sinα, ∴AB=OB-OA=2cosα-2sinα, 设矩形ABCD 的面积为S,则S=AB·BC=(2cosα- 2sinα)2sinα=4sinacosa-4sin2α =2sin2α-2(1-cos2α)=2sin2α+2cos2α-2 =2 2sin2α+π4 -2, 由0<α<π4 ,得π 4<2α+ π 4< 3π 4 , 所以当2α+π4= π 2 ,即a=π8 时,Smax=2 2-2, 因此,当α=π8 时,矩形ABCD 的面积最大,最大面积为 2 2-2. 课时作业(二十) 1.C 因为函数y=2sin(3x-π6 )的最小正周期T=2π3 ,所 以函数y=2sin(3x-π6 )在[0,2π]上的图象恰好是三个 周期的图象,所以作出函数y=2sin(3x-π6 )与y=sinx 在[0,2π]上的图象如图所示. 由图可知,这两个图象共有6个交点,故选C. 2.B 用五点法画出函数y=-cosx(x≥0)的部分图象如 图所示,由图易知与y轴最近的最高点的坐标为(π,1). 故选:B 3.B 由“五点法”作图知:令2x=0,π2 ,π,32π ,2π,解得x =0,π4 ,π 2 ,3π 4 ,π,即为五个关键点的横坐标.故选:B. 4.C ∵y=2sinx为奇函数,∴y=2sinx的图象关于原点 对称,故 排 除 A、D 选 项,三 角 函 数y=2sinx 在 区 间 [-π,π]的最大值为y=2sinπ2=2 ,故排除B选项.故 选:C. 5.C 函数y=sinx2 的最小正周期为T=2π1 2 =4π,故A不 符合;函数y=sin2x,其最小正周期为T=2π2=π ,故B不 符合;因为函数y=sinx2 的最小正周期为T=4π,所以函 数y= sinx2 的最小正周期为2π,故C符合;因为函数 y=sin2x 的最小正周期为T=2π2=π ,所 以 函 数y= sin2x 的最小正周期为π2 ,故D不符合.故选:C. 6.A 因为的f(x)最小正周期为π5 ,所以ω=2πT=10 , 所以f(x)=cos10x-π4 , 令10x-π4=kπ ,k∈Z, 解得x=kπ10+ π 40 (k∈Z), 所以f(x)的对称轴为直线x=kπ10+ π 40 (k∈Z), 当k=1时,x=π8 ,其它各项均不符合, 所以x=π8 是函数f(x)的对称轴, 故选:A. 7.A 设z=x-π6 ,因为x∈ -π6 ,5π 12 , 所以z∈ -π3 ,π 4 . 因为正切函数y=tanz在 -π2 ,π 2 单调递增, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —443—