课时作业16 导数与函数的极值、最值-【名师大课堂】2025年高考数学艺术生总复习必备训练册

课时作业(十六) 导数与函数的极值、最值 1.(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)=2x3- 3ax2+1,则 ( ) A.当a>1时,f(x)有三个零点 B.当a<0时,x=0是f(x)的极大值点 C.存在a,b,使得x=b为曲线y=f(x)的 对称轴 D.存在a,使得点(1,f(1))为曲线y=f(x) 的对称中心 2.已知函数f(x)=x(x-m)2 在x=1处有极 大值,则m 的值为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.1或3 3.若函数f(x)=x3-ax2+4x-8在x=2处 取得极小值,则a= ( ) A.4 B.2 C.-2 D.-4 4.(多选)(2024·哈尔滨高三哈师大附中质量 检测)如 图 所 示 是y=f(x)的 导 数y= f'(x)的图象,列结论中正确的有 ( ) A.f(x)的单调递增区间是(-1,2)∪(4,+∞) B.x=-1是f(x)的极小值点 C.f(x)在 区 间(2,4)单 调 递 减,在 区 间 (-1,2)单调递增 D.x=2是f(x)的极小值点 5.已知函数f(x)=13x 3-2x2+2ax-3,若函 数f(x)在(0,2)有极值,则实数a可以为 ( ) A.0 B.1 C.32 D.2 6.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx,其导函数 y=f'(x)的图象经过点(1,0)(2,0),如图所 示,则列说法中正确结论的序号为 . ①当x=32 时函数取得极小值; ②f(x)有两个极值点; ③当x=2时函数取得极小值; ④当x=1时函数取得极大值. 7.若函数f(x)=x3-12x2+36x+1,则f(x) 的极大值点为 . 8.已知函数f(x)=x3-3x-1在区间[-3,2]的 最大值为M,最小值为N,则MN= . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —822— 课时作业 9.已知函数f(x)=x3+ax+b,且满足f(x) 的导数y=f'(x)的最小值为-34. (1)求a值; (2)若函数y=f(x)在区间[-1,2]的最大 值与最小值的和为7,求b值. 10.已知函数f(x)=ax3+bx在x=1处有极 值2. (1)求a,b的值; (2)求函数f(x)在区间[-2,3]的最值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —922— 班级: 姓名: 令f'(x)=1-xx =0 ,则x=1. ∴当0<x<1时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x>1时, f'(x)<0,f(x)单调递减, ∴函数f(x)的极大值为f(1)=-1,无极小值. (2)∵f(x)=lnx-ax,∴f'(x)=1x-a= 1-ax x , 当a≤0时,f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)单调递增; 当a>0时,由f'(x)=0,得x=1a , 若0<x<1a ,则f'(x)>0,若x>1a ,则f'(x)<0,f(x) 单调递减, 当a>0时,f(x)的单调递增区间为 0,1a ,单调递减区 间为 1 a ,+∞ , 综,当a≤0时,函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞); 当a>0时,函数f(x)的单调递增区间为 0,1a ,单调递 减区间为 1 a ,+∞ . 10.解析:(1)当a=1时,f(x)=-2lnx+12x 2+x, f'(x)=-2x+x+1 ,所以f'(1)=-2+1+1=0,f(1) =32 ,曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y=32. (2)f'(x)=x 2+ax+2a2 x = (x+2a)(x-a) x , ①当a=0时,f'(x)=x>0,所以函数在(0,+∞)单调 递增; ②当a>0时,令f'(x)=0,则x1=-2a(舍)或x2=a, f'(x)<0,0<x<a,当x∈(0,a)时,函数f(x)单调 递减; f'(x)>0,x>a,当x∈(a,+∞)时,函数f(x)单调 递增. ③当a<0时,令f'(x)=0,则x1=-2a或x2=a(舍), f'(x)<0,0<x<-2a,当x∈(0,-2a)时,函数f(x)单 调递减; f'(x)>0,x>-2a,当x∈(-2a,+∞)时,函数f(x)单 调递增. 综所述:当a=0时,函数在(0,+∞)单调递增; 当a>0时,当x∈(0,a)时,函数f(x)单调递减 当x∈(a,+∞)时,函数f(x)单调递增; 当a<0时,当x∈(0,-2a)时,函数f(x)单调递减; 当x∈(-2a,+∞)时,函数f(x)单调递增. 课时作业(十六) 1.AD 由题可知,f'(x)=6x(x-a). 对于A,当a>1时,由f'(x)<0得0<x<a,由f'(x)>0 得x<0或x>a,则f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0, a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,且当x→-∞时, f(x)→-∞,f(0)=1,f(a)=-a3+1<0,当x→+∞ 时,f(x)→+∞,故f(x)有三个零点,A正确;对于B,当 a<0时,由f'(x)<0得a<x<0,由f'(x)>0得x>0 或x<a,则f(x)在(-∞,a)上单调递增,在(a,0)上单调 递减,在(0,+∞)上单调递增,故x=0是f(x)的极小值 点,B错误; 对于C,当x→+∞时,f(x)→+∞,当x→-∞时,f(x) →-∞,故曲线y=f(x)必不存在对称轴,C错误; 对于D,解法一(配方、平移) f(x)=2x3-3ax2+1= 2(x-a2 )3-32a 2(x-a2 )+1-a 3 2 ,令t=x-a2 ,则f (x)可转化为g(t)=2t3-32a 2t+1-a 3 2 ,由y=2t3-32 a2t为奇函数,且其图象关于原点对称,可知g(t)的图象 关于点(0,1-a 3 2 )对称,则f(x)的图象关于点 a2,1- a3 2 对称,故存在a=2,使得点(1,f(1))为曲线y=f(x) 的对称中心,D正确.故选AD. 解法二(二级结论) 任意三次函数f(x)=ax3+bx2+cx +d(a≠0)的图象均关于点 -b3a,f -b3a 成中心对 称,D正确.故选AD. 2.C ∵f'(x)=(x-m)(3x-m),∴f'(1)=(1-m)(3- m)=0, ∴m=1或m=3, 当m=1时,f'(x)=(x-1)(3x-1), 令f'(x)>0,得x<13 或x>1;令f'(x)<0,得13<x <1; 从而f(x)在 -∞,13 单调递增,在 13,1 单调递减, 在(1,+∞)单调递增,所以f(x)在x=1处有极小值,不 合题意, 当m=3时,经检验,满足题意;综,m=3. 故选:C 3.A 由题意可得f'(x)=3x2-2ax+4,则f'(2)=3×22 -4a+4=0,解得a=4. 当a=4时,f'(x)=3x2-8x+4=(x-2)(3x-2), 当x<23 或x>2时,f'(x)>0,则f(x)在 -∞,23 , (2,+∞)单调递增, 当2 3<x<2 时,f'(x)<0,则f(x)在 32 ,2 单调递减, 所以,函数f(x)=x3-ax2+4x-8在x=2处取得极小 值,此时a=4. 故选:A 4.BC 由导函数的图象可知,当-3<x<-1或2<x<4 时,f'(x)<0;当-1<x<2或x>4时,f'(x)>0;所以 f(x)的单调递增区间为(-1,2)和(4,+∞),单调递减区 间为(-3,1)和(2,4).故A错误,C正确;所以x=-1或 x=4是f(x)的极小值点;故B正确;所以x=2是f(x) 取得极大值点;故D错误.故选:BC. 5.BC 由题意知,f'(x)=x2-4x+2a 在(0,2)有 变 号 零点, 又易知f'(x)=x2-4x+2a在(0,2)单调递减,故f'(x) ∈(2a-4,2a), 可得 2a>0, 2a-4<0, 解得0<a<2.故选:BC. 6.答案:②③④ 解析:由图象可知,当x∈(-∞,1)时,f'(x)>0;当x∈ (1,2)时,f'(x)<0;当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —933— 所以函数f(x)在(-∞,1)单调递增,在(1,2)单调递减, 在(2,+∞)单调递增, 所以函数f(x)有两个极值点,当x=1时函数取得极大 值,当x=2时函数取得极小值,故①错误,②③④正确. 故答案为:②③④ 7.答案:2 解析:f'(x)=3x2-24x+36=3(x-2)(x-6), 令f'(x)=0,解得x=2或6, 当x<2或x>6时,f'(x)>0,f(x)单调递增, 当2<x<6时,f'(x)<0,f(x)单调递减, 故f(x)在x=2取得极大值,故极大值点为2. 故答案为:2 8.答案:-19 解析:因为f'(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),x∈[-3, 2], f'(x)>0,1<x≤2或-3≤x<-1, f'(x)<0,-1<x<1, 所以f(x)在[-3,-1),(1,2]单调递增,在[-1,1]单调 递减. 因为f(-3)=-19,f(-1)=1,f(1)=-3,f(2)=1, 所以 M=1,N=-19,故 MN=-19. 故答案为:-19 9.解析:(1)∵f'(x)=3x2+a,则f'(x)的最小值为f'(0)= a, 由题意可得:a=-34. (2)由(1)可得:f(x)=x3-34x+b ,x∈[1,2],则f'(x) =3x2-34 ,x∈[-1,2], 令f'(x)>0,解得12<x≤2 或-1≤x<-12 ;令f'(x) <0,解得-12<x< 1 2 ; 则 f (x)在 -1,-12 , 12,2 单 调 递 增,在 -12 ,1 2 单调递增, 且f 12 = 12 3 -34× 1 2+b=- 1 4+b ,f -12 = -12 3 +34× 1 2+b= 1 4+b , f(-1)=-1-34 (-1)+b=-14+b ,f(2)=23-34× +b=132+b , 且-14+b< 1 4+b< 13 2+b , 所以函数y=f(x)在区间[-1,2]的最大值 f(x) max= 13 2+b ,最小值 f(x) min=- 1 4+b , 又∵函数y=f(x)在区间[-1,2]的最大值与最小值的 和为7, 则13 2+b+ - 1 4+b =254+2b=7,解得b=38. 10.解析:(1)f(x)=ax3+bx,f'(x)=3ax2+b. ∵函数f(x)=ax3+bx在x=1处取得极值2, ∴f(1)=a+b=2,f'(1)=3a+b=0, 解得a=-1,b=3, ∴f(x)=-x3+3x, 经验证在x=1处取得极大值2, 故a=-1,b=3. (2)f'(x)=-3(x+1)(x-1), 令f'(x)>0,解得-1<x<1, 令f'(x)<0,解得x>1或x<-1, 因此f(x)在[-2,-1)单调递减,在(-1,1)单调递增, 在(1,3]单调递减, f(3)=-18<f(-1), 故函数f(x)的最小值是-18, f(-2)=2=f(1),故函数f(x)的最大值是2. 课时作业(十七) 1.C 与43°角终边重合的角为:α=43°+k·360°(k∈Z),则 当k=-1时,α=-317°,故C正确.经检验,其他选项都 不正确.故选:C. 2.A 因为40°=40× π180rad ,所以该扇形的面积为S=12 × π180×40 ×92=9π.故选:A 3.C 当k=2n(n∈Z)时,2nπ+π4≤α≤2nπ+ π 2 ,n∈Z,此 时α表示的范围与π4≤α≤ π 2 表示的范围一样;当k=2n +1(n∈Z)时,2nπ+π+π4≤α≤2nπ+n+ π 2 ,n∈Z,此时 α表示的范围与π4+π≤a≤ π 2+n 表示的范围一样,故 选:C. 4.C 因为角α第二象限角,所以90°+k·360°<α<180°+ k·360°(k∈Z), 所以45°+k·180°<a2<90°+k ·180°(k∈Z), 当k是偶数时,设k=2n(n∈Z),则45°+n·360°<α2< 90°+n·360°(n∈Z), 此时α 2 为第一象限角; 当k是奇数时,设k=2n+1(n∈Z),则225°+n·360°< α 2<270°+n ·360°(n∈Z),此时α2 为第三象限角;综上 所述:α 2 为第一象限角或第三象限角, 因为 cosα2 =-cos α 2 ,所以cosα2≤0 ,所以α 2 为第三 象限角.故选:C. 5.A 设扇形的半径为r,圆心角为α(0<α<2π),由题意, 得 1 2r 2α=4 2r+rα=10 , 由2r+rα=10得,r= 102+α ,代入1 2r 2α=4, 得2α2-17α+8=0,解得α=12 或α=8(舍去). 故扇形圆心角的弧度数为1 2. 故选:A 6.C ∵P - 55 ,m 在单位圆即 - 55 2 +m2=1∴m2=1 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —043—