课时作业13 函数模型及其应用-【名师大课堂】2025年高考数学艺术生总复习必备训练册

课时作业(十三) 函数模型及其应用 1.若三个变量y1,y2,y3 随着变量x的变化情 况如表. x 1 3 5 7 9 11 y1 5 25 45 65 85 105 y2 5 29 245 2189 19685 177149 y3 5 6.10 6.61 6.95 7.2 7.6 则关于x分别呈函数模型:y=mlogax+n,y= pax+q,y=kxa+t变化的变量依次是 ( ) A.y1,y2,y3 B.y3,y2,y1 C.y1,y3,y2 D.y3,y1,y2 2.(2024·重庆九龙坡统考质量检测)某同学 参加研究性学习活动,得到如实验数据: x 3 9 27 81 y 2 3.1 4.1 5.2 以函数中最符合变量y与x 的对应关系的 是 ( ) A.y=19x+2 B.y=49x 2 C.y=14×2 x-110 D.y=log3x+1 3.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了 列一组实验数据.现准备用列四个函数中的 一个近似地表示这些数据的规律,其中最接 近的一个是 ( ) x 1.95 3.00 3.94 5.10 6.12 y 0.97 1.59 1.98 2.35 2.61 A.y=2x B.y=log2x C.y=12 (x2-1) D.y=2.61x 4.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,洄游到产卵 地产卵.科学家发现鲑鱼的游速v(单位: m/s)与鲑鱼的耗氧量的单位数P 的关系为 v=12log3 P 100 ,则鲑鱼静止时耗氧量的单位 数为 ( ) A.1 B.100 C.200 D.300 5.陕西榆林神木石峁遗址发现于1976,经过 数十年的发掘研究,已证实是中国已发现的 龙山晚期到夏早期规模最大的城址,出土了 大量玉器、陶器、壁画、房屋、城池、人体骨骼 等遗迹,2019年科技人员对遗迹中发现的 某具人娄骨骼化石进行碳14测定年代,公 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —422— 课时作业 式为:t=5730lnA0A ÷0.693(其中t为样 本距今年代,A0 为现代活体中碳14放射性 丰度,A 为测定样本中碳14放射性丰度),已 知现代活体中碳14放射性丰度A0=1.2× 10-12,该人类骨骼碳14放射性丰度A=7.4× 10-13,则该骨骼化石距今的年份大约为( ) (附:ln1.6216≈0.4834,ln1.7≈0.5306, ln1.5≈0.4055) A.3353 B.3997 C.4125 D.4387 6.农场为了解某农作物的产量情况,将近四年 的年产量f(x)(单位:万斤)与年份序号x 之间的关系统计如: x(第×年) 1 2 3 4 f(x)(万斤)4.00 5.62 7.00 8.86 若f(x)近似符合以两种函数模型之一: ①f(x)=ax+b;②f(x)=x2+b. 则你认为最适合的函数模型的序号是 .请简要说明理由. 7.一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装 配流水线,这条流水线生产的摩托车数量x (单位:辆)与创造的价值y(单位:元)之间 的关系为:y=-20x2+2200x.如果这家工 厂希望在一个星期内利用这条流水线创收 60000元以,请你给出一个该工厂在这周内 生成的摩托车数量的建议,使工厂能够达成 这个周创收目标,那么你的建议是 . 8.某商品进货单价为40元,若销售价为50 元,可卖出50个,如果销售单价每涨1元, 销售量就减少1个,为了获得最大利润,则 此商品的最佳售价应为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —522— 班级: 姓名: 8.D 解法一:二分法 由已知可求得,f(-2)=-28<0,f(1)=-4<0,f(2.5) =378>0 ,f(4)=38>0,f(1.75)=-9764<0. 对于 A项, 因为f(-2)f(1)>0,所以 A项错误;对于B项,因为 f(2.5)f(4)>0,所以B项错误;对于C项,因为f(1) f(1.75)>0,所以C项错误;对 于 D项,因 为f(1.75) f(2.5)<0,所以D项正确.解法二:因为f(x)=x3-2x2 +3x-6=(x-2)(x2+3),所以f(2)=0,即函数f(x)= x3-2x2+3x-6在区间[-2,4]的零点为2,故D正确. 故选:D. 9.D 因为f(1.25)=-0.3716<0,f(1.5)=0.3284>0, 且1.5-1.25=0.25>0.1,故AC错误;因为f(1.375)= -0.0313<0,f(1.40625)=0.0567>0,且1.40625- 1.375=0.03125<0.05,故 D正确;因为f(1.4375)= 0.1460>0,且1.4375-1.375=0.0625>0.05故C错误; 故选:D. 10.BC 因为函数y=2x、y=-2x 在定义域{x|x≠0}单调 递增,所以函数f(x)=2x-2x -a 在{x|x≠0}单调递 增,由函数f(x)=2x-2x-a 的一个零点在区间(1,2) 内,得f(1)×f(2)=2(2-2-a)(4-1-a)=(-a)×(3 -a)<0,解得0<a<3,故选:BC 11.答案:a|a>524 解析: 由已知得a>0,f(0)=-1,f(2)=24a-5.由二次函数 图象及函数零点存在定理可知,该函数在(0,2)内只有 一个 零 点,只 需 f(2)>0,解 得 a> 524. 故 答 案 为:a|a>524 . 12.答案:74 /1.75 解析:因为f(1)=-2<0,f(2)=22+2-5=1>0, 取[1,2]的中点x1= 3 2 ,则f(32 )=2 3 2+32-5=2 2- 7 2= 8- 49 4 <0 ,所 以,函 数 f(x)的 零 点 在 区 间 3 2 ,2 内,故x2 为区间 32,2 的中点值,因此,x2= 3 2+2 2 = 7 4. 故答案为:7 4. 13.AB 因为函数f(x)=lnx+2x-6在其定义域单调递 增,结合表格可知,方程lnx+2x-6=0的近似解在 (2.5,3),(2.5,2.75),(2.5,2.5625)内,又精确度0.1, ∴方程lnx+2x-6=0的近似解(精确度0.1)可取为 2.51,2.56.故选:AB. 14.答案:1.55935(答案不唯一) 解析:因为f(1.5625)=0.003>0,f(1.5562)=-0.029 <0,根 据 零 点 存 在 性 定 理,可 知 零 点 在(1.5562,1. 5625)内, 由二分法可得零点的近似值可取为1.5562+1.5625 2 = 1.55935,所以f(x)=3x-x-4的一个零点的近似值可 取为1.55935,误差不超过0.005.故答案为:1.55935(答 案不唯一). 课时作业(十三) 1.B 由题表可知,y2随着x 的增大而迅速增大,是指数型 函数的变化;y3随着x 的增大而增大,但是变化缓慢,是 对数型函数的变化;y1 相对于y2 的变化要慢一些,是幂 函数型的变化.故选:B. 2.D 根据表格给出的数据,函数的增长速度越来越慢,对 选项A:增长速度不变,不满足;对选项B:x≥3时,增长 速度越来越大,不满足;对选项C:x≥3时,增长速度越来 越大,不满足;对选项D:函数的增长速度越来越慢,满足. 故选:D. 3.B 法一:由表格数据得到如散点图,为递增趋势,随x变 大增长率变小,只有B符合; 法二:对于A,函数y=2x 是指数函数,增长速度很快,且 在x=2时y=4,x=4时y=16,代入值偏差较大,不符合 要求;对于B,函数y=log2x,是对数函数,增长速度缓 慢,且在x=2时y=1,x=4时y=2,基本符合要求;对于 C,函数y=12 (x2-1)是二次函数,且当x=2时y=1.5, x=4时y=7.5,代入值偏差较大,不符合要求;对于D, 函数y=2.61x,当x=3时y=7.83,代入值偏差较大,不 符合要求,故选:B. 4.B 因为v=12log3 P 100 ,所以当鲑鱼静止时,v1=0m/s, 即1 2log3 P 100=0 ,化简得 P 100=1 ,所以P=100;故选:B. 5.B 由题知, A0 A = 1.2×10-12 7.4×10-13 ≈1.6216, ∴t=5730ln1.6216÷0.693≈5730×0.4834÷0.693≈ 3997.故选:B. 6.答案:①,理由见解析 解析:①,理由如: 若模型为f(x)=ax+b,由已知x=1,y=4和x=3,y= 7,得 a+b=4 3a+b=7 ,解得a=32,b=52,故f(x)=32x+52 (x=1,2,3,4),当经x=2时,f(2)=3+52=5.5 ,当x= 4时,f(4)=6+52=8.5 ,两处相差不大,拟合较好;若模 型为f(x)=x2+b,则由f(1)=1+b=4,得b=3,即f(x) =x2+3,当x=2时,f(2)=4+3=7,当x=3时,f(3)= 9+3=12,当x=4时,f(4)=16+3=19,三处相差较大, 拟合相对不好.故最适合的函数模型的序号是①. 7.答案:摩托车数量在51到59辆 解析:由题意得-20x2+2200x>60000,化简得x2-110x +3000<0, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —633— 得(x-50)(x-60)<0,解得50<x<60, 因为x取正整数, 所以该工厂在这周内生成的摩托车数量在51到59辆时, 工厂能够达成这个周创收目标.故答案为:摩托车数量在 51到59辆. 8.答案:70元 解析:设此商品的销售单价为x元,销售量为g(x)个,则 g(x)为一次函数, 设 g (x)= kx + b (k ≠ 0),由 题 意 可 得 g(50)=50k+b=50 g(51)=51k+b=49 ,解得 k=-1b=100 , 所以,g(x)=100-x,所以,40≤x≤100, 设销售该商品的利润为f(x)元, 则f(x)=(x-40)·g(x)=(x-40)(100-x)=-x2+ 140x-4000=-(x-70)2+900, 故当x=70时,f(x)取得最大值, 故答案为:70元. 课时作业(十四) 1.A f'(x)= (ex+2cosx)(1+x2)-(ex+2sinx)·2x (1+x2)2 ,所以f'(0)= 3,所以曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为y-1= 3(x-0),即3x-y+1=0,切线与两坐标轴的交点分别 为(0,1),-13 ,0 ,所以切线与两坐标轴所围成的三角 形的面积为1 2×1× 1 3= 1 6 ,故选A. 2.D 对于A,(4)'=0,故A错误;对于B,(3x)'=3x·ln3, 故B错误;对于C,(lnx)'=1x ,故C错误;对于D,(x5)' =5x4,故D正确. 3.D 因为f(x)=2xf'(1)+x2,所以f'(x)=2f'(1)+2x 所以f'(1)=2f'(1)+2,得f'(1)=-2 所以f'(x)=-4+2x,所以f'(0)=-4 故选:D. 4.B 因 为 y =lnxx ,所 以 y' =1-lnxx2 ,设 切 点 为 x0, lnx0 x0 ,所以y' x=x0=1-lnx0x20 , 所以切线方程为y- lnx0 x0 = 1-lnx0 x0 (x-x0), 又切线过坐标原点,所以- lnx0 x0 = 1-lnx0 x20 (-x0),解得 x0=e, 所以切线方程的斜率为k= 1-lnx0 x20 = 1-12 (e)2 =12e. 故 选:B 5.C f'(x)=2x+2x-b (x>0),所以在点(b,f(b))处的切 线斜率是f'(b)=2b+2b -b=b+ 2 b ,因为b>0,所以 f'(b)=b+2b≥2 2 ,当且仅当b=2b 即b= 2时等号成 立,故选:C. 6.A 由题设f'(x)=3x2-2ax+(a+3)是偶函数,∴3(- x)2-2a(-x)+(a+3)=3x2-2ax+(a+3),解得a= 0,∴k=f'(0)=3, ∴曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=3x.故选:A. 7.A f'(x)=3x2+4ax+1,由题意可知,切线的斜率k= tan3π4=-1 ,则 f (1)=2+2a+b=0 f'(1)=3+4a+1=-1 ,解得:a=-54, b=12 , 所以a+b=-34. 故选:A. 8.B 直线x-2y+2-2ln2=0,即y=12x+1-ln2 , 对于f(x)=ax-lnx,则f'(x)=a-1x , 设切点坐标为(x0,ax0-lnx0),切 线 斜 率k=f'(x0) =a-1x0 , 则切线方程为y-(ax0-lnx0)= a- 1 x0 (x-x0),即 y= a-1x0 x+1-lnx0, 由题意可得 a-1x0 =12 1-lnx0=1-ln2 ,解得 x0=2a=1 .故选:B. 9.ABD (3x)'=3xln3,正确;(x2lnx)'=(x2)'lnx+x2(lnx)' =2xln+x,正确;(sinxcosx)'=(sinx)'cosx+sinx (cosx)'=cos2x-sin2x=cos2x,正确;因为 cosxx '= -xsinx-cosx x2 ,所 以 C 项 错 误,其 余 都 正 确.故 选:ABD. 10.BC 由f(x)=x3-3x+1,得f'(x)=3x2-3,设切点 坐标为(t,t3-3t+1),则f'(t)=3t2-3,则过切点的切 线方程为y=(3t2-3)(x-t)+t3-3t+1,把点(1,-1) 代入,可得-1=(3t2-3)(1-t)+t3-3t+1,整理得: (t-1)2(2t+1)=0,即t=1或t=-12. 当t=-12 时, 切线方程为9x+4y-5=0;当t=1时,切线方程为y= -1.故选:BC. 11.答案:3x-y-2=0或3x-4y+1=0 解析:设切点为 Q(x0,y0),由f(x)=x3 可得,f'(x) =3x2, 由导数的几何意义可得,切线的斜率k=3x20, 因为y0=x30,所以切线方程为y-x30=3x20(x-x0), 将点(1,1)代入,得1-x30=3x20(1-x0), 即(x0-1)(2x20-x0-1)=0,得(x0-1)2(2x0+1)=0, 解得x0=1或x0=- 1 2 , 当x0=1时,切点坐标为(1,1),相应的切线方程为3x- y-2=0; 当x0=- 1 2 时,切点坐标为 -12 ,-18 ,相应的切线 方程为y+18= 3 4 x+ 1 2 ,即3x-4y+1=0, 所以切线方程为3x-y-2=0或3x-4y+1=0. 故答案为:3x-y-2=0或3x-4y+1=0 12.答案:2x+y-1=0 解析:由f(x)=xex-3x+1可得f'(x)=(x+1)ex- 3,所以f'(0)=-2, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —733—