精品解析：华东师大版2023-2024学年八年级数学下册期末综合检测试题

2023-2024学年华东师大版数学八年级下册 期末综合检测试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 将分式中的，的值同时扩大为原来的倍，则分式的值（    ） A. 扩大为原来的倍 B. 扩大为原来的倍 C. 不变 D. 扩大为原来的倍 2. 若关于的分式方程有增根，则的值为(　　) A. B. C. D. 3. 我国已建成全球规模最大的光纤和移动宽带网络．截至2023年底，光缆线路总长度达至64580000千米，其中数64580000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平面直角坐标系中有一个等腰如图放置，，，点，，在x轴上找一点P，使最短，则点P坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 若点，，，都在反比例函数（k为常数）的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 四边形的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形是平行四边形（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 如图，在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CE=AC连接AE交CD于点F，则∠AFC等于（ ） A. 112.5° B. 120° C. 135° D. 145° 8. 如图，在中，，，P为边上一动点，作于点D，于点E，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 9. 某校运动会中，九年级有13名女同学参加女子百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛，小梅已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（　　） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 10. 宽度均为的矩形依次排列在轴上，第一个矩形的两边分别与轴、轴重合，第二个矩形的长是第一个矩形的二分之一，第三个矩形的长是第一个矩形的三分之一，第四个矩形的长是第一个矩形的四分之一，以此类推．若第个矩形的面积为，则经过每个矩形右上角顶点的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 若分式的值为零，则x的值等于_________． 12. 若关于的方程无解，则的值为________． 13. 将一次函数的图象沿y轴向下平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是______． 14. 如图，在菱形ABCD中，点E是CD上一点，连接AE交对角线BD于点F，连接CF，若∠AED＝50°，则∠BCF＝__________度． 15. 如图所示，将长方形沿直线折叠，使点落在点处，交于，，，则的长为________． 16. 一组数据的方差计算如下：，则这组数据的总和等于________． 17. 某鞋厂随机调查了1000人鞋号大小，并得到这组数据的平均数，中位数和众数中，则鞋厂最感兴趣的是________． 18. 如图，点是反比例函数图像上一点，作轴，轴，垂足分别为、，交反比例函数的图像于、两点，的面积是，则的值是______． 三、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 已知，与成正比例，与成反比例，当时，，当时，． （1）求y的表达式； （2）求当时的值． 21. 阅读下面材料，解答后面的问题． 解方程：－＝0 解：设y＝，则原方程可化为y－＝0，方程两边同时乘y，得y2－4＝0，解得y1＝2，y2＝－2. 经检验，y1＝2，y2＝－2都是方程y－＝0的解． 当y＝2时，＝2，解得x＝－1；当y＝－2时，＝－2，解得x＝. 经检验，x1＝－1，x2＝都是原分式方程的解．所以原分式方程的解为x1＝－1，x2＝. 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题： (1)若在方程－＝0中，设y＝，则原方程可化________________； (2)若在方程－＝0中，设y＝，则原方程可化为________________； (3)模仿上述换元法解方程：－－1＝0. 22. 某中学开展安全知识竞赛活动，八（1）班、八、（2）班根据初赛成绩各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分为100分）如下面的图表所示： 班别 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 八（1）班 80 80 八（2）班 85 85 （1）将上表填写完整． （2）试问哪班的5名选手的复赛成绩更整齐？通过计算说明．（方差计算公式：） （3）复赛后如果要在两班中选出一个优胜班，你认选哪个班更合适些？并至少列举两条理由说明． 23. 某地计划修建一条长1080米的健身步道，由甲、乙两个施工队合作完成．已知乙施工队每天修建的长度比甲施工队每天修建的长度多，若乙施工队单独修建这项工程，那么他比甲施工队单独修建这项工程提前3天完成． （1）求甲、乙两施工队每天各修建多少米？ （2）若甲施工队每天的修建费用为13000元，乙施工队每天的修建费用为15000元，实际修建时，先由甲施工队单独修建若干天，为了尽快完成工程，后请乙施工队加入，甲、乙施工队共同修建，乙工作队恰好工作3天完成修建任务，求共需修建费用多少元？ 24. 如图，已知函数图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点、，且点的坐标为． （1）求，，的值； （2）若函数的函数值不大于函数的函数值，直接写出的取值范围　　； （3）求的面积． 25. 如图，在中，对角线与相交于点，点，分别为，的中点． （1）求证：； （2）延长至，使，连接，延长，交于点． ①当与满足什么数量关系时，四边形是矩形？请说明理由； ②若，，，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年华东师大版数学八年级下册 期末综合检测试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 将分式中的，的值同时扩大为原来的倍，则分式的值（    ） A. 扩大为原来的倍 B. 扩大为原来的倍 C. 不变 D. 扩大为原来的倍 【答案】B 【解析】 【分析】将分式中的，的值同时扩大为原来的倍，进行计算后，再与原分式进行比较得出答案． 【详解】解：将分式中的，的值同时扩大为原来的倍，原分式可变为， 因此分式的值较原来扩大了倍， 故选：B． 【点睛】本题考查分式的基本性质，掌握分式的基本性质是正确判断的前提． 2. 若关于的分式方程有增根，则的值为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为的根．有增根，那么最简公分母，所以增根是，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值． 【详解】解：方程两边都乘，得 ， 由最简公分母，可知增根是， 把代入整式方程， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式方程中的增根问题，通常可按如下步骤进行：①确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 3. 我国已建成全球规模最大的光纤和移动宽带网络．截至2023年底，光缆线路总长度达至64580000千米，其中数64580000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键． 科学记数法的表现形式为的形式，其中为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正整数，当原数绝对值小于1时，是负整数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：． 故选：C． 4. 如图，在平面直角坐标系中有一个等腰如图放置，，，点，，在x轴上找一点P，使最短，则点P坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质．作轴，垂足为，作点关于轴的对称点，连接交轴于点P，此时最短，最小值为的长，证明，求得，再求得直线的解析式，据此求解即可． 【详解】解；作轴，垂足为，作点关于轴的对称点，连接交轴于点P，此时最短，最小值为的长， ∵，∴， 由题意得，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 令，则， 解得， ∴点P坐标为， 故选：C． 5. 若点，，，都在反比例函数（k为常数）的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的特征．由可知，此函数图象在第一、三象限，根据反比例函数的性质即可判定． 【详解】解：∵， ∴反比函数图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， ∴在第三象限内，在第一象限内， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 6. 四边形的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形是平行四边形（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行四边形的判定定理分别进行分析即可． 【详解】A、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题意； B、不能判定四边形是平行四边形，故此选项符合题意； C、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题意； D、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 7. 如图，在正方形ABCD边BC的延长线上取一点E，使CE=AC连接AE交CD于点F，则∠AFC等于（ ） A. 112.5° B. 120° C. 135° D. 145° 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形的性质及已知条件可求得∠E的度数，从而根据外角的性质可求得∠AFC的度数． 【详解】∵四边形ABCD是正方形，CE=CA， ∴∠ACE=45°+90°=135°,∠E=22.5°， ∴∠AFC=90°+22.5°=112.5°. 故答案为A． 【点睛】本题考查正方形的性质，解题的关键是掌握正方形的性质. 8. 如图，在中，，，P为边上一动点，作于点D，于点E，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 连接，先求出的长，再证明四边形是矩形，得，然后由垂线段最短，得出当时，线段的值最小，进而由等腰直角三角形的性质求出的长，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， ，， ， ，， ， ∴四边形是矩形， ， 由垂线段最短可得，当时，线段的值最小，则线段的值最小， 此时，， ， 的最小值为， 故选：A． 9. 某校运动会中，九年级有13名女同学参加女子百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛，小梅已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（　　） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 【答案】D 【解析】 【分析】根据小梅需要在前6才能进入决赛，知道13个人的成绩的中位数后即可确定自己是否可以进入决赛． 【详解】把13个人的数据按大小顺序排序后，第七个数据即为中位数，将小梅的成绩与之相比即可确定自己是否可以进入决赛． 故选：D 【点睛】本题考查了中位数的应用，寻找出题意所述的隐含条件，即找中位数是关键． 10. 宽度均为的矩形依次排列在轴上，第一个矩形的两边分别与轴、轴重合，第二个矩形的长是第一个矩形的二分之一，第三个矩形的长是第一个矩形的三分之一，第四个矩形的长是第一个矩形的四分之一，以此类推．若第个矩形的面积为，则经过每个矩形右上角顶点的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数解析式、坐标与图形的知识点，确定经过每个矩形右上角顶点的坐标为成为解题的关键． 先根据坐标与图形以及矩形的面积得到顶点的坐标为，然后根据反比例函数的特征即可解答． 【详解】解：由题意可知：第个矩形的宽为， ∵第个矩形的面积为， ∴第个矩形的高1， ∴经过每个矩形右上角顶点的坐标为， 根据题意可知：点所在的图像在双曲线上，即所在解析式为反比例函数解析式， ∴C选项的解析式符合题意． 故选C． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 若分式的值为零，则x的值等于_________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零，掌握以上知识是解题的关键． 根据分式的值为零的条件得：且，即可求解． 【详解】解：根据分式值为零的条件得：且， 解得：． 故答案为：1． 12. 若关于的方程无解，则的值为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了分式方程无解问题，掌握整式方程无解或分式方程有增根时，分式方程无解是关键． 将分式方程转化为整式方程，分整式方程无解和分式方程有增根两种情况求解． 【详解】解：去分母得：， 整理得：，即， 当，即时，整式方程无解，满足题意； 当，即时，， 此时分式方程的增根为或， 代入得：（无解）或， 解得：， 综上所述，的值为或． 13. 将一次函数的图象沿y轴向下平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数图象与几何变换．根据一次函数的平移规律：“上加下减，左加右减”解题即可． 【详解】解：由一次函数的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的图象对应的函数关系式为， 化简得：， 故答案为：． 14. 如图，在菱形ABCD中，点E是CD上一点，连接AE交对角线BD于点F，连接CF，若∠AED＝50°，则∠BCF＝__________度． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，先通过菱形的性质求证，可得，再根据三角形内角和定理及同旁内角的关系进行角度的求解即可． 【详解】∵四边形ABCD是菱形 ∴，， 在与中 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， 故答案为：50． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，三角形全等的判断及性质，平行线的性质，三角形内角和定理等，熟练掌握相关几何综合求解方法是解决本题的关键． 15. 如图所示，将长方形沿直线折叠，使点落在点处，交于，，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠和平行线的性质得到，设，则，根据勾股定理求出得到的长． 【详解】解：如图， 由题意可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中， ∵， ∴， 解得， 即， 故答案为：． 【点睛】此题考查折叠的性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的等角对等边，题中证得是解题的关键，由此利用勾股定理解答问题． 16. 一组数据方差计算如下：，则这组数据的总和等于________． 【答案】12 【解析】 【分析】由方差的计算算式知，这组数据共有6个，且这组数据的平均数为2，再根据平均数的概念可得答案． 【详解】解：由方差的计算算式知，这组数据共有6个，且这组数据的平均数为2， 所以这组数据的和为6×2＝12， 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的计算公式及平均数的定义． 17. 某鞋厂随机调查了1000人的鞋号大小，并得到这组数据的平均数，中位数和众数中，则鞋厂最感兴趣的是________． 【答案】众数 【解析】 【分析】本题主要考查众数的知识点，理解众数的实际意义成为解题的关键． 根据众数的意义结合实际解答即可． 【详解】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故鞋厂最感兴趣的是众数． 故答案为：众数． 18. 如图，点是反比例函数图像上一点，作轴，轴，垂足分别为、，交反比例函数的图像于、两点，的面积是，则的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，设，可求，，根据的面积是，可得，结合，求出符合题意的k即可． 【详解】解：设， 则， ∵作轴，交反比例函数的图像于， ∴， ∴， ∵轴，交反比例函数的图像于点， ∴， ∴， ∵的面积是， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴或， 由题意知， ∴， 故答案为：2． 三、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）分式方程无解 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，掌握解一元一次方程的基本步骤成为解题的关键． （1）先将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可； （2）先将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可． 【小问1详解】 解： 去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的解． 【小问2详解】 解：， 去分母得：， 移项合并得：， 解得：， 经检验是增根，分式方程无解． 20. 已知，与成正比例，与成反比例，当时，，当时，． （1）求y的表达式； （2）求当时的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据题意得出，，根据，当时，，当时，得出、的函数关系式即可； （2）把代入（1）中的函数关系式，求出的值即可． 本题考查的是反比例函数及正比例函数的定义，能根据题意得出与的函数关系式是解答此题的关键． 【小问1详解】 解：与成正比例，与成反比例， ，， ，当时，，当时，． ， ，， ； 【小问2详解】 解：当，． 21. 阅读下面材料，解答后面的问题． 解方程：－＝0. 解：设y＝，则原方程可化为y－＝0，方程两边同时乘y，得y2－4＝0，解得y1＝2，y2＝－2. 经检验，y1＝2，y2＝－2都是方程y－＝0的解． 当y＝2时，＝2，解得x＝－1；当y＝－2时，＝－2，解得x＝. 经检验，x1＝－1，x2＝都是原分式方程的解．所以原分式方程的解为x1＝－1，x2＝. 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题： (1)若在方程－＝0中，设y＝，则原方程可化为________________； (2)若在方程－＝0中，设y＝，则原方程可化为________________； (3)模仿上述换元法解方程：－－1＝0 【答案】（1）；（2）；（3）x＝－. 【解析】 【分析】（1）将所设的y代入原方程即可； （2）将所设的y代入原方程即可； （3）利用换元法解分式方程，设y＝，将原方程化为y−＝0，求出y的值并检验是否为原方程的解，然后求解x的值即可． 【详解】（1）将y＝代入原方程，则原方程化为−＝0； （2）将y＝代入方程，则原方程可化为y−＝0； （3）原方程可化为－＝0，设y＝，则原方程可化为y－＝0， 方程两边同时乘y，得y2－1＝0，解得y1＝1，y2＝－1， 经检验，y1＝1，y2＝－1都是方程y－＝0的解； 当y＝1时，＝1，该方程无解；当y＝－1时，＝－1，解得x＝－， 经检验，x＝－是原分式方程的解， 所以原分式方程的解为x＝－. 【点睛】本题考查了分式方程的解法，关键是如何换元，题目比较好，有一定的难度． 22. 某中学开展安全知识竞赛活动，八（1）班、八、（2）班根据初赛成绩各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分为100分）如下面的图表所示： 班别 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 八（1）班 80 80 八（2）班 85 85 （1）将上表填写完整． （2）试问哪班的5名选手的复赛成绩更整齐？通过计算说明．（方差计算公式：） （3）复赛后如果要在两班中选出一个优胜班，你认为选哪个班更合适些？并至少列举两条理由说明． 【答案】（1）85，85 （2）八（2）班的成绩比较稳定 （3）八（2）班为优胜班，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查平均数、方差、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据平均数以及众数的定义求解即可； （2）根据统计图中的数据可以计算两个班的方差，然后比较大小，即可解答本题； （3）在平均数相同的情况下，中位数高的成绩较好． 【小问1详解】 解：八（1）班的平均成绩是：（分，众数是80， 八（2）班的众数是85； 故答案为：85，85； 【小问2详解】 解：八（2）班的成绩比较稳定， 理由：八（1）班的方差是：， 八（2）班的方差是：， 八（2）班的方差小于八（1）班的方差， 八（2）班的成绩比较稳定； 【小问3详解】 解：八（2）班为优胜班， 因为两个班的平均数一样，八（2）班的中位数高，成绩比较稳定，所以八（2）班为优胜班． 23. 某地计划修建一条长1080米的健身步道，由甲、乙两个施工队合作完成．已知乙施工队每天修建的长度比甲施工队每天修建的长度多，若乙施工队单独修建这项工程，那么他比甲施工队单独修建这项工程提前3天完成． （1）求甲、乙两施工队每天各修建多少米？ （2）若甲施工队每天的修建费用为13000元，乙施工队每天的修建费用为15000元，实际修建时，先由甲施工队单独修建若干天，为了尽快完成工程，后请乙施工队加入，甲、乙施工队共同修建，乙工作队恰好工作3天完成修建任务，求共需修建费用多少元？ 【答案】（1）甲施工队每天修建90米，乙施工队每天修建120米 （2）共需修建费用149000元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用以及一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设甲施工队每天修建的长度为米，则乙施工队每天修建米，列式代入数值进行计算，注意验根； （2）设甲施工队单独修建天，列式，得出，结合“甲施工队每天的修建费用为13000元，乙施工队每天的修建费用为15000元”进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：设甲施工队每天修建的长度为米，则乙施工队每天修建米 依题意，得 解得 经检验，是原分式方程的解 ∴（米） ∴甲施工队每天修建90米，乙施工队每天修建120米； 【小问2详解】 解：设甲施工队单独修建天， 依题意，得 解得 ∴甲施工队单独修建5天 则（元） ∴共需修建费用149000元． 24. 如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点、，且点的坐标为． （1）求，，的值； （2）若函数的函数值不大于函数的函数值，直接写出的取值范围　　； （3）求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法、一次函数的图象与性质，求直线围成的图形面积；熟练掌握待定系数法和函数图象法是解题关键． （1）将点代入函数可得的值，再将点的坐标代入函数求解即可得； （2）结合函数图象，根据点的坐标求解即可得； （3）先求出，从而可得，再根据三角形的面积公式求解即可得． 【小问1详解】 解：将点代入函数得：， 将点，代入中，得：，解得． 故； 【小问2详解】 解：由函数图象可知，若函数的函数值不大于函数的函数值，则， 故答案为：． 【小问3详解】 解：对于一次函数， 当时，，即， ∴， ∵， ∴的边上的高为1， ∴的面积为． 25. 如图，在中，对角线与相交于点，点，分别为，的中点． （1）求证：； （2）延长至，使，连接，延长，交于点． ①当与满足什么数量关系时，四边形是矩形？请说明理由； ②若，，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）①当AC=2AB时，四边形EGCF是矩形，理由见解析；②四边形EGCF的面积为． 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥CD，OB=OD，OA=OC，由平行线的性质得出∠ABE=∠CDF，证出BE=DF，由SAS证明△ABE≌△CDF即可； （2）①证出AB=OA，由等腰三角形的性质得出AG⊥OB，∠OEG=90°，同理：CF⊥OD，得出EG∥CF，证出EG=CF，得出四边形EGCF是平行四边形，即可得出结论； ②过点C作CH⊥AD于点H，连接CE，利用=,求得，CH4，由即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD，OB=OD，OA=OC， ∴∠ABE=∠CDF， ∵点E，F分别为OB，OD的中点， ∴BE=OB，DF=OD， ∴BE=DF， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）； （2）①解：当AC=2AB时，四边形EGCF是矩形； 理由如下： ∵AC=2OA，AC=2AB， ∴AB=OA， ∵E是OB的中点， ∴AG⊥OB， ∴∠OEG=90°， 同理：CF⊥OD， ∴AG∥CF， ∴EG∥CF， 由（1）得：△ABE≌△CDF， ∴AE=CF， ∵EG=AE， ∴EG=CF， ∴四边形EGCF是平行四边形， ∵∠OEG=90°， ∴四边形EGCF矩形； ②解：过点C作CH⊥AD于点H，连接CE， 则=, ∵AP=2DP=8， ∴DP=4，， 设，则， ∴， 解得：=3，即， ∴CH=4， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∵点E，F分别为OB， OD的中点， ∴EFBD， ∴， ∵四边形EGCF是平行四边形， ∴． 故四边形EGCF的面积为． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$