第22章二次函数 课后作业 2024-2025学年人教版数学九年级上册

专题13 二次函数基础课后作业（原卷板） 班级_________ 姓名_________ 学号_________ 分数_________ 一、单选题 1．下列函数中，属于二次函数的是( ) A．y=ax2–7x+9 B．y=x2–（x-3）2 C．y=x（x+2）–3 D． 2．若关于x的函数y＝（3+a）x2﹣x是二次函数，则a的取值范围是（ ） A．A=－3 B．a≠－3 C．a＜－3 D．a＞－3 3．若函数y＝（2﹣a）﹣2x+5是二次函数，则a的值为（ ） A．2 B．﹣2 C．±2 D．4 4．若y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，则a的值是（　　） A．1 B．﹣5 C．﹣1 D．﹣5或﹣1 5．一个长方形的周长为24,则长方形的面积y与长方形一边长x的关系式为(　　) A．y=x(12-2x) B．y=x(24-x) C．y=x(24-2x) D．y=x(12-x) 二、填空题 6．二次函数y=2x-3x2-8的二次项系数、一次项系数、常数项分别为________． 7．当函数y＝（a﹣1）x2+bx+c是二次函数时，a的取值为 ________. 8．已知函数y=（m+3）x2-5x+7，当________时，该函数是二次函数；当_______时，该函数是一次函数． 三、解答题 9．己知函数y=（m2-2）x2+（m+ ）x+8． （1）若这个函数是一次函数，求m的值； （2）若这个函数是二次函数，求m的取值范围. 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 二次函数y=ax2的图象和性质课后作业（原卷版） 班级_________ 姓名_________ 学号_________ 分数_________ 一、单选题 1．关于抛物线y＝3x2，下列说法正确的是（　　） A．开口向下 B．顶点坐标为（0，3） C．对称轴为y轴 D．当x＜0时，函数y随x的增大而增大 2．抛物线的开口方向和顶点分别是（ ） A．向下， B．向上， C．向上， D．向下， 3．抛物线y＝2x2的顶点坐标、对称轴是（　　） A．（0，0），x＝2 B．（0，0），x＝0 C．（1，2），x＝0 D．（1，2），x＝1 4．下列关于二次函数y＝2x2的说法正确的是（　　） A．它的图象经过点（－1，－2） B．它的图象的对称轴是直线x＝2 C．当x＜0时，y随x的增大而增大 D．当－12时，y有最大值为8，最小值为0 5．若二次函数的图象过点，则必在该图象上的点还有（ ） A． B． C． D． 6．已知二次函数，当时，随增大而减小，则的取值范围是（　　） A． B．a＞-2 C．a≥-2 D．a＜-2 7．下列关于函数y＝-2x2的图象说法：①图象是一条抛物线；②开口向下；③对称轴是y轴；④顶点（0，0），其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 8．函数y＝ax2（a＞0）中，当x＜0时，y随x的增大而　 　.（填“增大”或“减小”）． 9．如果抛物线y＝（m+2）x2有最高点，那么m的取值范围为_____． 10．若抛物线y=ax2经过点A (，－9)，则其解析式为_______________． 三、解答题 11．已知是关于x的二次函数. (1)求满足条件的k的值； (2)k为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点.当x为何值时，y的值随x值的增大而增大？ (3)k为何值时，函数有最大值？最大值是多少？当x为何值时，y的值随x值的增大而减小？ 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质课后作业（原卷版） 班级_________ 姓名_________ 学号_________ 分数_________ 一、单选题 1．抛物线y＝x2+1的图象大致是（　　） A． B． C． D． 2．二次函数y＝（x﹣4）2﹣1的顶点坐标是（ ） A．（﹣4，﹣1） B．（﹣4，1） C．（4，﹣1） D．（4，1） 3．对于抛物线y＝﹣（x+2）2﹣1，下列说法错误的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣2 C．x＞﹣2时，y随x的增大而增大 D．x＝﹣2，函数有最大值y＝﹣1 3．对于函数y=-2（x-3）2，下列说法不正确的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是 C．最大值为0 D．与y轴不相交 4．已知函数y＝（x﹣1）2，下列结论正确的是（　　） A．当x＞0时，y随x的增大而减小 B．当x＜0时，y随x的增大而增大 C．当x＜1时，y随x的增大而减小 D．当x＜﹣1时，y随x的增大而增大 5．顶点为（3,0），开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线的表达式为（ ） A． B． C． D． 6．将抛物线向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）. A．； B．； C．； D．. 7．抛物线y=（x﹣2）2﹣1可以由抛物线y=x2平移而得到，下列平移正确的是（　　） A．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度 B．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度 C．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度 D．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度 二、填空题 8．抛物线y＝3（x＋2）2的顶点坐标为________ ． 9．把二次函数化成的形式，则________，把此函数图象向右平移个单位后，它的顶点坐标是________． 10．抛物线y＝﹣2x2﹣3的开口 　 　，对称轴是 　 　，顶点坐标是 　 　，当x　 　时，y随x的增大而增大，当x　 　时，y随x的增大而减小． 三、解答题 11．已知：二次函数 （1）通过配方将它写成的形式. （2）当 时，函数有最 值，是 . （3）当 时，随的增大而增大；）当 时，随的增大而减小. （4）该函数图象由的图象经过怎样的平移得到？ 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质课后作业（原卷版） 班级_________ 姓名_________ 学号_________ 分数_________ 一、单选题 1．二次函数y＝2（x+1）2+3的顶点坐标是（　　） A．（﹣1，﹣3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（1，3） 2．已知抛物线y＝（x﹣2）2+1，下列结论错误的是（　　） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线x＝2 C．抛物线的顶点坐标为（2，1） D．当x＜2时，y随x的增大而增大 3．用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）2+k的形式为（　　） A．y=（x﹣4）2+7 B．y=（x+4）2+7 C．y=（x﹣4）2﹣25 D．y=（x+4）2﹣25 4．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是x=－1．有以下结论：①abc>0，②4ac<b2，③2a+b=0，④a－b+c>2，其中正确的结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 5．已知二次函数的图象经过（﹣1、0）、（3、0）、（0、3）三点，那么这个二次函数的解析式为　 　． 6．二次函数y＝2x2+bx+3的图象的对称轴是直线x＝1，则常数b的值为_____． 7．点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是______． 三、解答题 8．一抛物线以（﹣1，9）为顶点，且经过x轴上一点（﹣4，0），求该抛物线解析式及抛物线与y轴交点坐标． 9．已知抛物线y=a（x-h）+k的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出抛物线的解析式； （2）写出随的增大而增大的自变量的取值范围； （3）当自变量取何值时，函数有最大值？最大值为多少？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题17 二次函数与一元二次方程课后作业（原卷版） 班级_________ 姓名_________ 学号_________ 分数_________ 一、单选题 1．抛物线y＝x2+3x﹣5与坐标轴的交点个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．二次函数y＝x2﹣kx+k﹣2的图象与x轴交点的情况，下面判断正确的是（　　） A．有两个交点 B．有且只有一个交点 C．没有交点 D．无法确定 3．如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（ ） A． B． C．且 D．x＜－1或x＞5 4．二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有一个公共点．这对应着一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 5．函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ） A． B．且 C． D．且 二、填空题 6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），对称轴为直线x＝2，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标为 7.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为　 　． 8.抛物线（为常数）与轴交点的个数是__________． 三、解答题 9．已知抛物线y＝ax2-4ax+5a﹣7（a≠0）经过点A（4，﹣2），顶点为B． （1）求a的值及顶点B的坐标； （2）求直线AB的函数表达式； 10．如图，已知二次函数y＝ax2+2x+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C． （1）求二次函数的解析式和点B的坐标； （2）直接写出y的最大值为 　　． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题18 利用二次函数解决图形问题课后作业（原卷版） 班级_________ 姓名_________ 学号_________ 分数_________ 一、单选题 1.某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为38米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，围成的苗圃面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（　　） A．y＝x（38﹣x） B．y＝x（18﹣x） C．y＝x（38﹣2x） D．y＝2x（38﹣2x） 2．如图，假设篱笆（虚线部分）的长度12m,则所围成矩形ABCD最大面积是（ ） A．6 m2 B．12 m2 C．36 m2 D．144 m2 3．某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比，设边长为xcm.当x＝3时，y＝18，那么当成本为72元时，边长为（ ） A．6cm B．12cm C．24cm D．36cm 二、填空题 4.如图，依靠一面长18米的墙，用34米长的篱笆围成一个矩形场地花圃ABCD，AB边上留有2米宽的小门EF（用其他材料做，不用篱笆围）．设花圃的一边AD长为x米，请你用含x的代数式表示另一边CD的长为 　 　米； 5．如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900m（篱笆的厚度忽略不计），当AB=_____m时，矩形土地ABCD的面积最大． 6．用一根长为30cm的铁丝围成一个长方形，若该长方形的一边长为xcm，面积为ycm2，则y与x之间的关系式为_____． 三、解答题 7．小明的爸爸投资1800元围一个矩形菜园（如图），其中一边靠墙（墙长36m），另外三边选用不同材料建造．平行于墙的边的费用为30元/m，垂直于墙的边的费用为15元/m，设平行于墙的边长为xm． （1）设垂直于墙的一边长为ym，直接写出y与x之间的函数关系式； （2）设菜园的面积为Sm2，求S与x的函数关系式，并求出当S＝800时x的值； 8．如图，有长为30m的篱笆，现一面利用墙(墙的最大可用长度为18m)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2． (1)求S与x的函数关系式及x值的取值范围； (2)要围成面积为48m2的花圃，AB的长是多少米？ (3)当AB的长是多少米时，围成的花圃的面积最大？ 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题19 利用二次函数解决拱桥问题课后作业（原卷版） 班级_________ 姓名_________ 学号_________ 分数_________ 一、单选题 1．一拱桥如图所示，此拱桥(近似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为81米(即最高点O到AB的距离为81米)，跨径为18米(即AB=18米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，则此抛物线拱桥的函数表达式为( ) A． B． C． D． 2．如图，图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时水面宽4m．水面下降1m，水面宽度为（ ） A．2m B．2m C．m D．m 二、填空题 3.如图，桥洞的拱形是抛物线，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m．若选取拱形顶点C为坐标原点，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，此时该抛物线解析式为　 　． 4．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加______m. 5.中国贵州省省内的射电望远镜（FAST）是目前世界上口径最大，精度最高的望远镜．根据有关资料显示，该望远镜的轴截面呈抛物线状，口径AB为500米，最低点P到口径面AB的距离是100米，若按如图（2）所示建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是　 ． 三、解答题 6.如图，某隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长OA为12m，宽OB为4m，隧道顶端D到路面的距离为10m，建立如图所示的直角坐标系． （1）求该抛物线的解析式； （2）一辆货运汽车载一长方体集装箱，集装箱最高处与地面距离为7m，宽为4m，隧道内设双向行车道，问这辆货车能否安全通过？ 7．图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，建立如图所示的平面直角坐标系： （1）求拱桥所在抛物线的解析式； （2）当水面下降3m时，则水面的宽度为多少？ 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题20 利用二次函数解决销售问题课后作业（原卷版） 班级_________ 姓名_________ 学号_________ 分数_________ 一、单选题 1．某商品现在的售价为每件50元，每天可卖出120件．市场调查反映：如果调整价格，每降价1元，每天可多卖出4件．请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，求最大销售额是（　　） A．6000元 B．5600元 C．6400元 D．7600元 2．某农产品市场经销一种销售成本为45元的水产品．据市场分析，若按每千克60元销售，一个月能售出400千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少20千克．设商品涨价每千克x元，月销售额为y元，则y与x的函数关系式为（　　） A．y＝（60+x）（400+20x） B．y＝（60+x）（400-20x） C．y＝（x﹣45）[400﹣20（x﹣60）] D．y＝（45+x）（400﹣20x） 3．某品牌钢笔进价10元，按12元1支出售时每天能卖出40支，市场调查发现如果每支每涨价1元，每天就少卖出4支，为了每天获得最大利润，其售价应定为（ ） A．13元 B．14元 C．20元 D．16元 4．某大学生利用课余时间在网上销售一种成本为50元/件的商品，每月的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式为y=–4x+440，要获得最大利润，该商品的售价应定为 A．60元 B．70元 C．80元 D．90元 二、填空题(共5小题) 5．出售某种文具盒，若每个获利x元，一天可售出（12-x）个，则当x=________元时，一天出售该种文具盒的总利润y最大． 6．某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，为使该服装店平均每天的销售利润最大，则每件的定价为 7．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为_______元． 三、解答题 8．2020年春节临近，新冠肆虐，自我保护，刻不容缓．据市民需要，聪明的商人李某购进一款防护PM2.5的口罩，每件成本是5元，为了合理定价，投放市场试销，经调查可知，销售单价是10元时，每天的销量是50件，而销售单价每降低0.1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本． （1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式． （2）求出销售单价定为多少元时，每天的利润最大，最大是多少元？ 9．“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为元(为正整数)，每月的销售量为条． (1)直接写出与的函数关系式； (2)设该网店每月获得的利润为元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？ (3)该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？ 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21 利用二次函数解决运动类问题课后作业（原卷版） 班级_________ 姓名_________ 学号_________ 分数_________ 一、单选题 1．如图，某排球运动员站在O点处发球，排球从点O的正上方A点发出，排球的运动路线是抛物线y＝﹣（x﹣12）2+的一部分，则排球落地点距发球点的水平距离是（　　） A．22m B．23m C．24m D．25m 2．板球是以击球、投球和接球为主的运动，该项目主要锻炼手眼的协调能力，集上肢动作控制能力、技巧与力量为一体的综合性运动．如图，是运动员击球过程中板球运动的轨迹示意图，板球在点A处击出，落地前的点B处被对方接住，已知板球经过的路线是抛物线，其表达式为y＝﹣x2+x+2，则板球运行中离地面的最大高度为（　　） A． B． C．2 D．4 3．某种爆竹点燃后升空，并在最高处燃爆．该爆竹点燃后离地高度h（单位：m）关于离地时间t（单位：s）的函数解析式是h＝32t﹣4t2，其中t的取值范围是（　　） A．t≥0 B．0≤t≤8 C．4≤t≤8 D．0≤t≤4 4．铅球运动员掷铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式为y＝－x2＋x＋.则该运动员此次掷铅球的成绩是(　　) A．6 m B．12 m C．8 m D．10 m 二、填空题 5．从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度y（单位：m）与它距离喷头的水平距离x（单位：m）之间满足函数关系式y＝﹣2x2+8x+3，则喷出水珠的最大高度是 　　m． 6．发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y＝ax2+bx（a≠0）．若此炮弹在第8秒与第16秒时的高度相等，则第 　 　秒时，炮弹位置达到最高． 7．如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米)关于水平距离x(米)的函数表达式为y＝－x2＋x＋，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为________米． 三、解答题 8．疫情期间，按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测，某校统计了学生早晨到校情况，发现从7：00开始，在校门口的学生人数y（单位：人）随时间x（单位：分钟）的变化情况的图象是二次函数图象的一部分，如图所示． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）求校门口排队等待体温检测的学生人数最多时有多少人； （3）从7：00开始，需要多少分钟校门口的学生才能全部进校？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 二次函数基础课后作业（解析版） 班级_________ 姓名_________ 学号_________ 分数_________ 一、单选题 1．下列函数中，属于二次函数的是( ) A．y=ax2–7x+9 B．y=x2–（x-3）2 C．y=x（x+2）–3 D． 【答案】C 详解：A．a≠0时才是二次函数，故本选项错误； B． 整理后是一次函数，故本选项错误； C． 整理后是二次函数，故本选项正确； D．y与x2是反比例函数关系，故本选项错误．故选C． 点睛：本题考查了二次函数的定义，关键是掌握二次函数的定义条件：二次函数y=ax2+bx+c的定义条件是：a、b、c为常数，a≠0，自变量最高次数为2． 2．若关于x的函数y＝（3+a）x2﹣x是二次函数，则a的取值范围是（ ） A．A=－3 B．a≠－3 C．a＜－3 D．a＞－3 【答案】B 【详解】：∵函数y＝（3+a）x2﹣x是二次函数，∴3+a≠0，即a≠－3，故选B． 3．若函数y＝（2﹣a）﹣2x+5是二次函数，则a的值为（ ） A．2 B．﹣2 C．±2 D．4 【答案】B 【详解】根据二次函数的定义，可知 a2-2=2 ，且 2-a≠0 ，解得 a= -2 ，所以选择B. 故答案为B 【点睛】本题考查了二次函数的定义，注意二次项的系数不能为0. 4．若y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，则a的值是（　　） A．1 B．﹣5 C．﹣1 D．﹣5或﹣1 解：∵函数y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数， ∴|a+3|＝2且a+1≠0， 解得a＝﹣5， 故选：B． 5．一个长方形的周长为24,则长方形的面积y与长方形一边长x的关系式为(　　) A．y=x(12-2x) B．y=x(24-x) C．y=x(24-2x) D．y=x(12-x) 【答案】D 【详解】∵长方形的周长为24，其中一边长为，∴该长方形的另一边长为：，∴该长方形的面积：. 故选D. 二、填空题 6．二次函数y=2x-3x2-8的二次项系数、一次项系数、常数项分别为________． 【答案】﹣3、2、-8 解：二次函数y=2x-3x2-8的二次项系数、一次项系数、常数项分别为-3、2、-8． 故答案为﹣3、2、-8． 【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，要熟练掌握，一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 7．当函数y＝（a﹣1）x2+bx+c是二次函数时，a的取值为 ________. 解：由题意得：a﹣1≠0，解得：a≠1， 【点睛】本题考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义是解题关键． 8．已知函数y=（m+3）x2-5x+7，当________时，该函数是二次函数；当_______时，该函数是一次函数． 【答案】m≠ -3 m= -3 解：y=（m+3）x2-5x+7，当m≠ -3时，该函数是二次函数；当m= -3 时，该函数是一次函数， 故答案为m≠ -3 m= -3． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，利用y=ax2+bx+c　　（a≠0）是二次函数得出关于a的不等式是解题关键． 三、解答题 9．己知函数y=（m2-2）x2+（m+ ）x+8． （1）若这个函数是一次函数，求m的值； （2）若这个函数是二次函数，求m的取值范围. 【答案】（1）m= （2）m≠ 且m≠- . 【解答】（1）解：由题意得， ，解得m= （2）解：由题意得，m2-2≠0，解得m≠ 且m≠- . 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 二次函数y=ax2的图象和性质课后作业（解析版） 班级_________ 姓名_________ 学号_________ 分数_________ 一、单选题 1．关于抛物线y＝3x2，下列说法正确的是（　　） A．开口向下 B．顶点坐标为（0，3） C．对称轴为y轴 D．当x＜0时，函数y随x的增大而增大 【答案】C 【解答】解：∵y＝3x2，∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标是（0，0）， ∴A、B都不符合题意，C符合题意， ∵a＝3＞0，对称轴为x＝0，∴当x＜0时，y随x的增大而减小，∴D不符合题意，故答案为：C． 2．抛物线的开口方向和顶点分别是（ ） A．向下， B．向上， C．向上， D．向下， 【答案】D 解：∵抛物线y=-5x2，-5<0,∴该抛物线的开口方向向下，顶点坐标为（0，0），故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 3．抛物线y＝2x2的顶点坐标、对称轴是（　　） A．（0，0），x＝2 B．（0，0），x＝0 C．（1，2），x＝0 D．（1，2），x＝1 【答案】B 解：∵y＝x2，∴抛物线的顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴；故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，以及顶点坐标和对称轴，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 4．下列关于二次函数y＝2x2的说法正确的是（　　） A．它的图象经过点（－1，－2） B．它的图象的对称轴是直线x＝2 C．当x＜0时，y随x的增大而增大 D．当－12时，y有最大值为8，最小值为0 【答案】D 【解答】解：二次函数y=2x2，当x=-1时，y=2，故它的图象不经过点（-1，-2），故选项A不合题意； 二次函数y=2x2的图象的对称轴是y轴，故选项B不合题意； 该函数开口向上，对称轴是y轴，所以当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项C不合题意； 二次函数y=2x2，在-1≤x≤2的取值范围内，当x=2时，有最大值8；当x=0时，y有最小值为0，故选项D符合题意. 故答案为：D. 5．若二次函数的图象过点，则必在该图象上的点还有（ ） A． B． C． D． 【答案】C 解：由二次函数可得该二次函数的图像关于y轴对称， ∵二次函数图像过点，∴点关于y轴对称的点为，∴点必在二次函数的图像上； 故选C． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 6．已知二次函数，当时，随增大而减小，则的取值范围是（　　） A． B．a＞-2 C．a≥-2 D．a＜-2 【答案】D 【解答】解：∵二次函数的对称轴为y轴，当时，y随x增大而减小， ∴二次函数 的图象开口向下，∴a+2<0，即：a<-2，故答案为：D. 7．下列关于函数y＝-2x2的图象说法：①图象是一条抛物线；②开口向下；③对称轴是y轴；④顶点（0，0），其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 解：①二次函数y＝-2x2的图象是抛物线，正确； ②因为a＝﹣2＜0，所以抛物线开口向下，正确； ③因为b＝0，所以对称轴是y轴，正确； ④顶点（0，0）也正确．故选：D． 二、填空题 8．函数y＝ax2（a＞0）中，当x＜0时，y随x的增大而　 　.（填“增大”或“减小”）． 【答案】减小 【解答】解：∵二次函数解析式为y＝ax2（a＞0），∴二次函数开口向上，对称轴为y轴， ∴当x＜0时，y随x的增大而减小.故答案为：减小. 9．如果抛物线y＝（m+2）x2有最高点，那么m的取值范围为_____． 【答案】m<-2． 【详解】∵抛物线y=（m+2）x2有最gao1点，∴m+2<0，解得：m<-2．故答案为：m<-2． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，正确掌握二次函数的性质是解题的关键． 10．若抛物线y=ax2经过点A (，－9)，则其解析式为_______________． 【答案】y=-3x2 【解析】把点A代入：得，，解得：，∴该抛物线的解析式为：. 三、解答题 11．已知是关于x的二次函数. (1)求满足条件的k的值； (2)k为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点.当x为何值时，y的值随x值的增大而增大？ (3)k为何值时，函数有最大值？最大值是多少？当x为何值时，y的值随x值的增大而减小？ 【详解】 (1) 根据二次函数的定义得 解得k=±2.  ∴当k=±2时，原函数是二次函数.  (2) 根据抛物线有最低点，可得抛物线的开口向上， ∴k＞0，根据第(1)问得：k=2.  ∴该抛物线的解析式为，∴抛物线的顶点为(0，0)，当x＞0时，y随x的增大而增大.  (3) 根据二次函数有最大值，可得抛物线的开口向下， ∴k＜0，根据第(1)问得：k= -2.  ∴该抛物线的解析式为，顶点坐标为(0，0)， ∴当k= -2时，函数有最大值为0. 当x＞0时，y随x的增大而减小. 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的定义，正确掌握二次函数的性质是解题关键，是基础题型． 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质课后作业（解析版） 班级_________ 姓名_________ 学号_________ 分数_________ 一、单选题 1．抛物线y＝x2+1的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次函数的图象的性质，开口方向，顶点坐标，对称轴，直接判断． 【解答】解：抛物线y＝x2+1的图象开口向上，且顶点坐标为（0，1）．故选C． 2．二次函数y＝（x﹣4）2﹣1的顶点坐标是（ ） A．（﹣4，﹣1） B．（﹣4，1） C．（4，﹣1） D．（4，1） 【答案】C 解：∵二次函数y＝（x﹣4）2﹣1，∴该函数的顶点坐标为（4，﹣1），故选C． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）． 3．对于抛物线y＝﹣（x+2）2﹣1，下列说法错误的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣2 C．x＞﹣2时，y随x的增大而增大 D．x＝﹣2，函数有最大值y＝﹣1 【答案】C 【详解】∵y＝﹣（x+2）2﹣1，∴该抛物线的开口向下，顶点坐标是（﹣2，﹣1），对称轴为直线x＝﹣2， 当x＝﹣2时，函数有最大值y＝﹣1，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，故选项C的说法错误.故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练运用二次函数的性质是解决问题的关键. 4．对于函数y=-2（x-3）2，下列说法不正确的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是 C．最大值为0 D．与y轴不相交 【答案】D 【详解】对于函数y=-2(x-3)2的图象，∵a=-2＜0，∴开口向下，对称轴x=3，顶点坐标为(3，0)，函数有最大值0， 故选项A、B、C正确， 选项D错误，故选D． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，属于基础题，中考常考题型． 5．顶点为（3,0），开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线的表达式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 解：由开口方向、形状与函数的图象相同，∴， ∵顶点为（3,0），∴抛物线的表达式为.故选择：D 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握性质特征. 6．将抛物线向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）. A．； B．； C．； D．. 【答案】B 解：将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为，故选B． 【点睛】本题考查了二次函数的平移规律，熟练掌握其平移规律是解题的关键. 7．抛物线y=（x+2）2﹣1可以由抛物线y=x2平移而得到，下列平移正确的是（　　） A．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度 B．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度 C．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度 D．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度 【答案】B 【详解】 分析：抛物线平移问题可以以平移前后两个解析式的顶点坐标为基准研究． 详解：抛物线y=x2顶点为（0，0），抛物线y=（x+2）2﹣1的顶点为（2，﹣1），则抛物线y=x2向左平移2个单位，向下平移1个单位得到抛物线y=（x+2）2﹣1的图象． 故选B． 点睛：本题考查二次函数图象平移问题，解答时最简单方法是确定平移前后的抛物线顶点，从而确定平移方向． 二、填空题 8．抛物线y＝3（x＋2）2的顶点坐标为________ ． 【答案】（－2，0） 9．把二次函数化成的形式，则________，把此函数图象向右平移个单位后，它的顶点坐标是________． 【答案】 解：把二次函数化成顶点式得y= , 把y= 的图像向右平移个单位后得y= ,∴函数的顶点坐标是. 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质,一般式与顶点式的转换,属于简单题,熟悉概念是解题关键. 10．抛物线y＝﹣2x2﹣3的开口 　 　，对称轴是 　 　，顶点坐标是 　 　，当x　 　时，y随x的增大而增大，当x　 　时，y随x的增大而减小． 解：抛物线y＝﹣2x2﹣3的开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，﹣3），当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小．故答案为：向下，y轴，（0，﹣3），＜0，＞0． 三、解答题 11．已知：二次函数 （1）通过配方将它写成的形式. （2）当 时，函数有最 值，是 . （3）当 时，随的增大而增大；）当 时，随的增大而减小. （4）该函数图象由的图象经过怎样的平移得到？ 【答案】（1）；（2），大，；（3），；（4）该函数图象可由的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位得到. 【分析】 （1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式；（2）根据二次函数的性质解决问题；（3）根据二次函数的性质解决问题；（4）根据抛物线的平移规律进行答题 【详解】 （1）=； （2）由（1）得顶点坐标为（3,5），且图象开口向下，所以当x=3时有最大值为5 （3）由，得对称轴x=3，已知图象开口向下，所以当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； （4）函数先向右平移个单位，再向上平移个单位得到函数. 【点睛】 本题考查了二次函数的顶点式，二次函数的性质和图象．根据抛物线得出对称轴、顶点坐标以及抛物线的开口方向． 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质课后作业（解析版） 班级_________ 姓名_________ 学号_________ 分数_________ 一、单选题 1．二次函数y＝2（x+1）2+3的顶点坐标是（　　） A．（﹣1，﹣3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（1，3） 解：∵二次函数为y＝2（x+1）2+3，∴顶点坐标为：（﹣1，3），故选：B． 2．已知抛物线y＝（x﹣2）2+1，下列结论错误的是（　　） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线x＝2 C．抛物线的顶点坐标为（2，1） D．当x＜2时，y随x的增大而增大 解：A选项，∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上，故该选项不符合题意； B选项，抛物线的对称轴为直线x＝2，故该选项不符合题意； C选项，抛物线的顶点坐标为（2，1），故该选项不符合题意； D选项，当x＜2时，y随x的增大而减小，故该选项符合题意；故选：D． 3．用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）2+k的形式为（　　） A．y=（x﹣4）2+7 B．y=（x+4）2+7 C．y=（x﹣4）2﹣25 D．y=（x+4）2﹣25 【答案】C 【详解】y=x2-8x-9=x2-8x+16-25=（x-4）2-25．故选C． 【点睛】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确配方是解题关键． 4．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是x=－1．有以下结论：①abc>0，②4ac<b2，③2a+b=0，④a－b+c>2，其中正确的结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】 ①∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x==﹣1，∴b=2a＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＞0，所以①正确； ②∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2-4ac＞0，∴4ac <b2，所以②正确； ③∵b=2a，∴2a﹣b=0，所以③错误； ④∵x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞2，所以④正确． 故选C． 二、填空题 5．已知二次函数的图象经过（﹣1、0）、（3、0）、（0、3）三点，那么这个二次函数的解析式为　 　． 【答案】y＝﹣x2+2x+3 【解答】解：设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），把（0，3）代入得3＝a（0+1）（0﹣3）， 解得a＝﹣1，所以抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3），即y＝﹣x2+2x+3． 故答案为y＝﹣x2+2x+3． 6．二次函数y＝2x2+bx+3的图象的对称轴是直线x＝1，则常数b的值为_____． 【答案】-4 【详解】∵二次函数y=2x2﹣+bx+3的对称轴是直线x=1，∴x=﹣=1，∴b=﹣4．故答案为﹣4． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟悉对称轴公式是解答本题的关键． 7．点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是______． 【答案】 解：，对称轴为，，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小， ，， 根据二次函数图象的对称性可知，与关于对称轴对称，故，故答案为． 【点睛】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性． 三、解答题 8．一抛物线以（﹣1，9）为顶点，且经过x轴上一点（﹣4，0），求该抛物线解析式及抛物线与y轴交点坐标． 解：设抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k，依题意得h＝﹣1，k＝9，将（﹣4，0）代入y＝a（x+1）2+9中， 得0＝9a+9，解得a＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+9． 令x＝0，则y＝8，∴抛物线与y轴交点为（0，8）． 9．已知抛物线y=a（x-h）+k的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出抛物线的解析式； （2）写出随的增大而增大的自变量的取值范围； （3）当自变量取何值时，函数有最大值？最大值为多少？ 【详解】（1）根据图象可知，抛物线的顶点坐标为，且过点， 设顶点式，将代入得，， 解得，抛物线的解析式为； （2）根据函数图象可知，在对称轴的左侧，随的增大而增大，即时，随的增大而增大， （3）根据图象可知，抛物线的顶点坐标为，且开口朝下，当时，有最大值，最大值为2． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握的图象与性质是解题的关键． 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题17 二次函数与一元二次方程 班级_________ 姓名_________ 学号_________ 分数_________ 一、单选题 1．抛物线y＝x2+3x﹣5与坐标轴的交点个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【解答】解：∵y＝x2+3x﹣5，∴a＝1，b＝3，c＝﹣5，∴△=b2﹣4ac＝32+20＝29＞0，∴抛物线与x轴有2个交点，∵c＝﹣5，∴抛物线与y轴交点为（0．﹣5），∴抛物线与坐标轴有3个交点，故选：D． 2．二次函数y＝x2﹣kx+k﹣2的图象与x轴交点的情况，下面判断正确的是（　　） A．有两个交点 B．有且只有一个交点 C．没有交点 D．无法确定 【答案】A 【解答】解：令y＝0，则x2﹣kx+k﹣2＝0，∴Δ＝（﹣k）2﹣4（k﹣2）＝k2﹣4k+8＝（k﹣2）2+4＞0， ∴函数图象与x轴有两个交点，故选：A． 3．如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（ ） A． B． C．且 D．x＜－1或x＞5 【答案】D 【详解】利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出的解集：由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0）， ∴图象与x轴的另一个交点坐标为（－1，0）．由图象可知：的解集即是y＜0的解集， ∴x＜－1或x＞5．故选D． 4．二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有一个公共点．这对应着一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】B 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有一个公共点，∴当y＝0时，对应的x的值只有一个， ∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的情况是有两个相等的实数根，故选：B． 5．函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ） A． B．且 C． D．且 【答案】C 【详解】（1）当k≠0时：∵二次函数y=kx2−6x+3的图象与x轴有交点，∴方程kx2−6x+3=0(k≠0)有实数根， 即△=36−12k⩾0，k⩽3，由于是二次函数，故k≠0，则k的取值范围是k⩽3且k≠0. （2）当k=0时：一次函数y=−6x+3的图象与x轴有交点，所以k=0。综合以上故选C. 【点睛】此题考查抛物线与坐标轴的交点，解题关键在于掌握其性质定义. 二、填空题 6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），对称轴为直线x＝2，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标为 【答案】（6，0） 【解答】解：∵抛物线对称轴为直线x＝2，与x轴一个交点坐标为（﹣2，0），∴抛物线与x轴另一交点坐标为（6，0），【答案】（6，0）。 7.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为　 　． 【答案】 【解答】解：∵函数图象可知抛物线与坐标轴交于点，对称轴为， ∴另一个交点为，x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为 故答案为： 8．抛物线（为常数）与轴交点的个数是__________． 【答案】2 解：∵∆=4(k-1)2+8k=4k2+4>0，∴抛物线与轴有2个交点．故答案为：2． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象与x轴的交点横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根．当∆=0时，二次函数与x轴有一个交点，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆>0时，二次函数与x轴有两个交点，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆<0时，二次函数与x轴没有交点，一元二次方程没有实数根． 三、解答题 9．已知抛物线y＝ax2-4ax+5a﹣7（a≠0）经过点A（4，﹣2），顶点为B． （1）求a的值及顶点B的坐标； （2）求直线AB的函数表达式； 解：（1）将点A（4，﹣2）代入y＝ax2-4ax+5a﹣7得，16a-16a+5a﹣7＝﹣2，解得a＝1，∴y＝x2-4x﹣2， ∴x＝＝2，y＝-6，∴B（2，-6）； （2）设直线AB的函数解析式为y＝kx+b，∴，解得，， ∴直线AB的函数解析式为：y＝2x﹣10； 10．如图，已知二次函数y＝ax2+2x+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C． （1）求二次函数的解析式和点B的坐标； （2）直接写出y的最大值为 　　． 解：（1）∵抛物线y＝ax2+2x+3经过点A（﹣1，0），∴a﹣2+3＝0， 解得：a＝﹣1，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3， 令y＝0，得﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣1，∴B（3，0）； （2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴当x＝1时，y最大值＝4． 故答案为：4． 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题18 利用二次函数解决图形问题课后作业（解析版） 班级_________ 姓名_________ 学号_________ 分数_________ 一、单选题 1.某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为38米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，围成的苗圃面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（　　） A．y＝x（38﹣x） B．y＝x（18﹣x） C．y＝x（38﹣2x） D．y＝2x（38﹣2x） 【答案】C 【解答】解：设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，则苗圃园与墙平行的一边长为（40﹣2x）米． 依题意可得：y＝x（40﹣2x）．故选：C． 2．如图，假设篱笆（虚线部分）的长度12m,则所围成矩形ABCD最大面积是（ ） A．6 m2 B．12 m2 C．36 m2 D．144 m2 【答案】C 【详解】：设BC=xm，表示出AB，矩形面积为ym2，表示出y与x的关系式为y=（12﹣x）x=﹣x2+12x=﹣（x﹣6）2+36，，利用二次函数性质即可求出求当x=6m时，ymax=36m2，即所围成矩形ABCD的最大面积是36m2．故答案选C． 考点：二次函数的应用． 3．某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比，设边长为xcm.当x＝3时，y＝18，那么当成本为72元时，边长为（ ） A．6cm B．12cm C．24cm D．36cm 【答案】A 解：设y与x之间的函数关系式为y＝kx2，由题意，得18＝9k，解得：k＝2，∴y＝2x2， 当y＝72时，72＝2x2，∴x＝6．故选A． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式的运用，根据解析式由函数值求自变量的值的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 二、填空题 4.如图，依靠一面长18米的墙，用34米长的篱笆围成一个矩形场地花圃ABCD，AB边上留有2米宽的小门EF（用其他材料做，不用篱笆围）．设花圃的一边AD长为x米，请你用含x的代数式表示另一边CD的长为 　 　米； 【答案】（36﹣2x） 【解答】解：设AD＝x米，则BC＝AD＝x米，∴CD＝34+2﹣2AD＝34+2﹣2x＝（36﹣2x）米． 故答案为：（36﹣2x）． 5．如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900m（篱笆的厚度忽略不计），当AB=_____m时，矩形土地ABCD的面积最大． 【答案】150 解：设AB=xm，则BC=（900﹣3x）， 由题意可得，S=AB×BC= （900﹣3x）x=﹣（x2﹣300x）=﹣（x﹣150）2+33750， ∴当x=150时，S取得最大值，此时，S=33750，∴AB=150m，故答案为150． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质求出最值． 6．用一根长为30cm的铁丝围成一个长方形，若该长方形的一边长为xcm，面积为ycm2，则y与x之间的关系式为_____． 【答案】y＝﹣x2+15x 解：由题意知：y=x•（）=x（15-x）=-x2+15x．故答案为：y=-x2+15x． 【点睛】此题主要考查利用二次函数解决实际问题，解决本题的关键是熟记长方形的面积=长×宽． 三、解答题 7．小明的爸爸投资1800元围一个矩形菜园（如图），其中一边靠墙（墙长36m），另外三边选用不同材料建造．平行于墙的边的费用为30元/m，垂直于墙的边的费用为15元/m，设平行于墙的边长为xm． （1）设垂直于墙的一边长为ym，直接写出y与x之间的函数关系式； （2）设菜园的面积为Sm2，求S与x的函数关系式，并求出当S＝800时x的值； 解：（1）根据题意知，30x+30y＝1800,y＝﹣x+60，(0<x≤36),故y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+60； （2）根据题意得，S＝xy＝x(60-x)=-x2+60x (0<x≤36)，当S＝800时，-x2+60x＝800， 解这个方程，得x1＝20，x2＝40，∵x≤36，∴当S＝800时，x＝20； 8．如图，有长为30m的篱笆，现一面利用墙(墙的最大可用长度为18m)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2． (1)求S与x的函数关系式及x值的取值范围； (2)要围成面积为48m2的花圃，AB的长是多少米？ (3)当AB的长是多少米时，围成的花圃的面积最大？ 解：（1）根据题意，得S＝x（30﹣3x），即所求的函数解析式为：S＝﹣3x2+30x，又∵0＜30﹣3x≤18，∴； （2）根据题意，设花圃宽AB为xm，则长为（30-3x），∴﹣3x2+30x＝48．整理，得x2﹣10x+16＝0， 解得x＝2或8， 当x＝2时，长＝30﹣6＝24＞18不成立， 当x＝8时，长＝30﹣24＝6＜18成立， ∴AB长为8m； （3）S＝30x﹣3x2＝﹣3（x﹣5）2+75 ∵墙的最大可用长度为10m，0≤30﹣3x≤18，∴， ∵对称轴x＝5，开口向下，∴当x＝5m，有最大面积的花圃． 【点睛】二次函数在实际生活中的应用是本题的考点，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题的关键. 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题19 利用二次函数解决拱桥问题课后作业（解析版） 班级_________ 姓名_________ 学号_________ 分数_________ 一、单选题 1．一拱桥如图所示，此拱桥(近似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为81米(即最高点O到AB的距离为81米)，跨径为18米(即AB=18米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，则此抛物线拱桥的函数表达式为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵拱高为81米(即最高点O到AB的距离为81米)，跨径为18米(即AB=18米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，∴设抛物线解析式为y=ax2，点B(9，-81)，∴-81=92a，解得：a=， ∴此抛物线钢拱的函数表达式为，故选B. 【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解本题的关键. 2．如图，图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时水面宽4m．水面下降1m，水面宽度为（ ） A．2m B．2m C．m D．m 【答案】A 【详解】建立如图所示直角坐标系： 可设这条抛物线为y=ax2，把点（2，–2）代入，得–2=a×22，解得：a=–， ∴y=–x2，当y=–3时，–x2=–3．解得：x=±，∴水面下降1m，水面宽度为2m．故选A． 二、填空题 3.如图，桥洞的拱形是抛物线，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m．若选取拱形顶点C为坐标原点，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，此时该抛物线解析式为　 　． 【答案】y＝ 【解答】解：如图，拱形顶点C为坐标原点，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系， 由题意知B（6，﹣4），设抛物线解析式为y＝ax2，将点B（6，﹣4）代入，得：﹣4＝36a，解得a＝﹣， ∴y＝﹣x2，故答案为：y＝﹣x2． 4．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加______m. 【答案】4-4 【详解】建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点， 抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为 通过以上条件可设顶点式，其中可通过代入A点坐标 代入到抛物线解析式得出：所以抛物线解析式为 当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离， 可以通过把代入抛物线解析式得出： 解得： 所以水面宽度增加到米，比原先的宽度当然是增加了 故答案是： 【点睛】考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键． 5.中国贵州省省内的射电望远镜（FAST）是目前世界上口径最大，精度最高的望远镜．根据有关资料显示，该望远镜的轴截面呈抛物线状，口径AB为500米，最低点P到口径面AB的距离是100米，若按如图（2）所示建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是　 ． 【答案】：y＝x2﹣100． 【解答】解：由题意可得：A（﹣250，0），P（0，﹣100），设抛物线解析式为：y＝ax2﹣100， 则0＝62500a﹣100，解得：a＝，故抛物线解析式为：y＝x2﹣100． 故答案为：y＝x2﹣100． 三、解答题 6.如图，某隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长OA为12m，宽OB为4m，隧道顶端D到路面的距离为10m，建立如图所示的直角坐标系． （1）求该抛物线的解析式； （2）一辆货运汽车载一长方体集装箱，集装箱最高处与地面距离为7m，宽为4m，隧道内设双向行车道，问这辆货车能否安全通过？ 【答案】（1）y＝﹣（x﹣6）2+10（2）能安全通过 【解答】解：（1）根据题意，该抛物线的顶点坐标为（6，10），设抛物线解析式为：y＝a（x﹣6）2+10， 将点B（0，4）代入，得：36a+10＝4，解得：a＝﹣， 故该抛物线解析式为y＝﹣（x﹣6）2+10； （2）根据题意，当x＝6+4＝10时，y＝﹣×16+10＝＞7， ∴这辆货车能安全通过． 7．图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，建立如图所示的平面直角坐标系： （1）求拱桥所在抛物线的解析式； （2）当水面下降3m时，则水面的宽度为多少？ 解：（1）由题意设抛物线解析式为：y=ax2+b（a≠0），∵当拱顶离水面2m时，水面宽4m， ∴点C（0，2），点B（2，0），代入得：，解得：， ∴拱桥所在抛物线的解析式为y=﹣x2+2； （2）当水位下降3m时，水位纵坐标为﹣3，令y=﹣3，则﹣3=﹣x2+2，解得x=±， ∴水面宽度为2米. 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，建立直角坐标系，求出抛物线的解析式是解题的关键. 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题20 利用二次函数解决销售问题课后作业（解析版） 班级_________ 姓名_________ 学号_________ 分数_________ 一、单选题 1．某商品现在的售价为每件50元，每天可卖出120件．市场调查反映：如果调整价格，每降价1元，每天可多卖出4件．请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，求最大销售额是（　　） A．6000元 B．5600元 C．6400元 D．7600元 【答案】C 【解答】解：设每件商品降价x元，每天的销售额为y元． 依题意有：y＝（50﹣x）（120+4x）＝﹣4x2+80x+6000＝﹣4（x﹣10）2+6400， ∵﹣4＜0，∴当x＝10时，y最大，最大值为6400，∴最大销售额为6400元．故选：C． 2．某农产品市场经销一种销售成本为45元的水产品．据市场分析，若按每千克60元销售，一个月能售出400千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少20千克．设商品涨价每千克x元，月销售额为y元，则y与x的函数关系式为（　　） A．y＝（60+x）（400+20x） B．y＝（60+x）（400-20x） C．y＝（x﹣45）[400﹣20（x﹣60）] D．y＝（45+x）（400﹣20x） 【答案】B 详解：设商品涨价每千克x元，此时的销售数量为，每千克售价为 则.故选B. 点睛：此题主要考查了二次函数在实际问题中的运用,根据利润=(售价-进价)销量,列出函数解析式,求最值是解题关键. 3．某品牌钢笔进价10元，按12元1支出售时每天能卖出40支，市场调查发现如果每支每涨价1元，每天就少卖出4支，为了每天获得最大利润，其售价应定为（ ） A．13元 B．14元 C．20元 D．16元 【答案】D 【解析】设利润为w，设钢笔每支涨价x元，由题意得，每天利润为： w=（2+x）（40–4x）=–4x2+32x+80=–4（x–4）2+144． 所以当涨价4元（即售价为16元）时，每天利润最大，最大利润为144元．故选D． 4．某大学生利用课余时间在网上销售一种成本为50元/件的商品，每月的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式为y=–4x+440，要获得最大利润，该商品的售价应定为 A．60元 B．70元 C．80元 D．90元 【答案】C 【解析】设销售该商品每月所获总利润为w，则w=（x–50）（–4x+440）=–4x2+640x–22000=–4（x–80）2+3600， ∴当x=80时，w取得最大值，最大值为3600，即售价为80元/件时，销售该商品所获利润最大，故选C． 二、填空题 5．出售某种文具盒，若每个获利x元，一天可售出（12-x）个，则当x=________元时，一天出售该种文具盒的总利润y最大． 【答案】3. 【解析】：由题意可得函数式y=（12-x）x，即y= -x2+12x，其中 当x=-=6时，y有最大值，即当x=6元时，一天出售该种文具盒的总利润y最大． 考点：二次函数的应用． 6．某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，为使该服装店平均每天的销售利润最大，则每件的定价为 【答案】22元 【解答】解：设定价为x元，每天的销售利润为y．根据题意得：y＝（x﹣15）[8+2（25﹣x）]＝﹣2x2+88x﹣870， ∴y＝﹣2x2+88x﹣870＝﹣2（x﹣22）2+98， ∵a＝﹣2＜0，∴抛物线开口向下，∴当x＝22时，y最大值＝98．故答案为22元． 7．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为_______元． 【答案】70 解：设降价x元，利润为W，由题意得：W=(80-50-x)(200+20x)， 整理得：W=-20x2+400x+6000=-20(x-10)2+8000，∴当x=10时，可获得最大利润， 此时每顶头盔的售价为：80-10=70（元），故答案为：70． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意列出式子是解题关键． 三、解答题 8．2020年春节临近，新冠肆虐，自我保护，刻不容缓．据市民需要，聪明的商人李某购进一款防护PM2.5的口罩，每件成本是5元，为了合理定价，投放市场试销，经调查可知，销售单价是10元时，每天的销量是50件，而销售单价每降低0.1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本． （1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式． （2）求出销售单价定为多少元时，每天的利润最大，最大是多少元？ 【解答】解：（1）根据题意得：y＝（x﹣5）（50+5×） ＝﹣50x2+800x﹣2750（5≤x≤10）， 答：每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式是y＝﹣50x2+800x﹣2750（5≤x≤10）； （2）由（1）知y＝﹣50x2+800x﹣2750＝﹣50（x﹣8）2+450 ∵﹣50＜0，5≤x≤10，∴当x＝8时，y有最大值，最大值为450， 答：销售单价定为8元时，每天的利润最大，最大是450元． 9．“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为元(为正整数)，每月的销售量为条． (1)直接写出与的函数关系式； (2)设该网店每月获得的利润为元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？ (3)该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？ 解：(1)由题意可得：整理得； (2)由题意，得： ∵，∴有最大值，即当时，，∴应降价(元) 答：当降价10元时，每月获得最大利润为4500元； (3)由题意，得：, 解之，得：，， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线，∴当时，符合该网店要求 而为了让顾客得到最大实惠，故， ∴当销售单价定为66元时，即符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案，正确得出与之间的函数关系式是解题关键． 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21 利用二次函数解决运动类问题课后作业（解析版） 班级_________ 姓名_________ 学号_________ 分数_________ 一、单选题 1．如图，某排球运动员站在O点处发球，排球从点O的正上方A点发出，排球的运动路线是抛物线y＝﹣（x﹣12）2+的一部分，则排球落地点距发球点的水平距离是（　　） A．22m B．23m C．24m D．25m 【答案】B 【解答】解：令y＝﹣（x﹣12）2+＝0，∴（x﹣12）2＝169，∴x﹣10＝13或x﹣10＝﹣13， 解得x＝23或x＝﹣3（不符合题意，舍去），∴排球落地点距发球点的水平距离是23米，故选：B． 2．板球是以击球、投球和接球为主的运动，该项目主要锻炼手眼的协调能力，集上肢动作控制能力、技巧与力量为一体的综合性运动．如图，是运动员击球过程中板球运动的轨迹示意图，板球在点A处击出，落地前的点B处被对方接住，已知板球经过的路线是抛物线，其表达式为y＝﹣x2+x+2，则板球运行中离地面的最大高度为（　　） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【解答】解：将二次函数y＝＝﹣x2+x+2，化成y＝﹣（x﹣5）2+， 当x＝5时，y有最大值，y最大值＝，因此，板球运行中离地面的最大高度为． 故选：B． 3．某种爆竹点燃后升空，并在最高处燃爆．该爆竹点燃后离地高度h（单位：m）关于离地时间t（单位：s）的函数解析式是h＝32t﹣4t2，其中t的取值范围是（　　） A．t≥0 B．0≤t≤8 C．4≤t≤8 D．0≤t≤4 【答案】B 【解答】解：∵h＝32t﹣4t2＝﹣4（t﹣4）2+64，∴当t＝4时，爆竹达到最大高度燃爆， ∴t的取值范围是0≤t≤4，故选：B． 4．铅球运动员掷铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式为y＝－x2＋x＋.则该运动员此次掷铅球的成绩是(　　) A．6 m B．12 m C．8 m D．10 m 【答案】D 【详解】把y=0代入y=-x2+x+得：-x2+x+=0，解之得：x1=10，x2=-2．又x＞0，解得x=10． 故选D． 二、填空题 5．从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度y（单位：m）与它距离喷头的水平距离x（单位：m）之间满足函数关系式y＝﹣2x2+8x+3，则喷出水珠的最大高度是 　　m． 【答案】11 【解答】解：∵y＝﹣2x2+8x+3＝﹣2（x﹣2）2+11，∴当x＝2时，y有最大值为11， ∴喷出水珠的最大高度是11m，故答案为：11． 6．发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y＝ax2+bx（a≠0）．若此炮弹在第8秒与第16秒时的高度相等，则第 　 　秒时，炮弹位置达到最高． 【答案】12 【解答】解：∵此炮弹在第8秒与第16秒时的高度相等，∴抛物线的对称轴是直线x＝＝12， ∴炮弹位置达到最高时，时间是第12秒．故答案为：12． 7．如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米)关于水平距离x(米)的函数表达式为y＝－x2＋x＋，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为________米． 【答案】2 解:∵函数解析式为: y＝－x2＋x＋，∴y最值===2.故答案为:2. 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用,属于简单题,正确记忆最值公式是解题关键. 三、解答题 8．（2021春•金安区校级期末）疫情期间，按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测，某校统计了学生早晨到校情况，发现从7：00开始，在校门口的学生人数y（单位：人）随时间x（单位：分钟）的变化情况的图象是二次函数图象的一部分，如图所示． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）求校门口排队等待体温检测的学生人数最多时有多少人； （3）从7：00开始，需要多少分钟校门口的学生才能全部进校？ 【完整解答】解：（1）设y与x之间的函数解析式为y＝ax2+bx+c，根据题意得：， 解得：，∴y＝﹣x2+16x+34； （2）由（1）知，﹣＜0，∴y有最大值，ymax＝＝＝162， ∴校门口排队等待体温检测的学生人数最多时有162人； （3）令y＝0，得：﹣x2+16x+34＝0，解得：x1＝﹣2（舍），x2＝34， ∴从7：00开始，需要34分钟校门口的学生才能全部进校． 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $$