4.3 解直角三角形 课件 2024-2025学年湘教版数学九年级上册

4.3 解直角三角形 渌江中学九年级数学组 （1）理解解直角三角形中五个元素的关系,以及什么是解直角三角形．  （2）灵活运用三边关系、两锐角关系和边角关系，知道其中两个元素（至少一个是边），求出其余三个元素。 学习目标 灵活运用三边关系、两锐角关系和边角关系，知道其中两个元素（至少一个是边），求出其余三个元素。 学习重点、难点 两锐角互余 勾股定理 B C A （ a b c 正弦 余弦 正切 已知△ABC,且∠C=90°,则直角三角形的边角有什么关系? 1.角的关系: 2.边的关系: 3.边角关系: 复习回顾 特殊角的三角函数  锐角A 锐角三角函数 sinA cosA tanA 30° 45° 60° 1 复习回顾 问题一：任意的一个三角形有几个元素？ 问题二：任意的一个三角形至少要给出几个元素能唯一确定？ 问题三：在直角三角形中，除直角外， 知道其中哪几个元素，可以求出其余的元素? 三条边和三个角，6个元素 至少三个元素，SSS,SAS,ASA,AAS 合作探究 已知两个锐角 画一画：画一个直角三角形，∠A=40º，∠B=50º,这样的三角形 能画出多少个？能确定直角三角形边长a,b,c吗？ 在直角三角形中已知两个锐角不能求出三角形三边的长度。 在直角三角形中，除直角外只要知道其中的两个元素（必须要有一边）就能求出其余的三个元素 已知2个角不行 发现: ﹁ 我们把在直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的过程叫解直角 三角形 在一个直角三角形中，除直角外还有5个元素（3条边、2个锐角），只要知道其中的几个元素就可以求出其余的元素？ 合作探究 例1、如图，在Rt△ABC中∠C=90°，∠A=30°，a=5，解这个直角三角形（求∠B，b，c.） 解： ∠B=900-∠A= 900-300=600 ∴ b=a∙tanB=5tan60°=5√3 又 ∵tanB= b a ∵ sinA= a c ∴ c= = = =10 a sinA 5 sin300 5 1 2 还可以用勾股定理求c 类型一：已知一边和一角 (或：c= = =10 ) 典例精析 教材P123 练习T1, 思考： 1. 如果题中∠A=40°（题中会给出参考数据sin40°=0.643，cos40°=0.776，tan40°=0.839），解题的方法还是一样吗？ 学以致用 2. 你能归纳出已知一边一角解直角三角形的一般步骤吗？ 已知一边一角解直角三角形步骤： 1. 如果没有图，先画个草图； 2. 根据两直角三角形两锐角互余，可求另一角； 3. 根据已知角（或以求角）的三角函数求另两边 或根据已知角（或以求角）的三角函数求出另一边后，由勾股定理求出第三边。 例2. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，a =3cm， c=6cm，解这个直角三角形（即求b，∠A，∠B ）。 由勾股定理得：b= =3 从而∠A =30 º 解：在Rt∆ABC中∠C = 90°，a =3cm， c=6cm = = ∠B=60º 类型二：已知两边 如果将本题条件改为:a=3,b=4，能求出c和∠A，∠B的值吗？ 在直角三角形中，如果不是特殊角的函数值，可以借助计算器计算求出角度。 学以致用 教材P123 A组 T1（2） 思考： 你能归纳出已知两边解直角三角形的一般步骤吗？ 已知两边解直角三角形步骤： 1. 如果没有图，先画个草图； 2. 根据两边可求角的三角函数，就可求出角； 3. 已知两边根据勾股定理可求出第三边，或根据求出的角的三角函数求第三边 C B A 解：∵∠C=90°，cosA = 3 1 ∴ AB的长是3 √2 1、 如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，cosA = ， BC = 4， 试求AB的长. 3 1 ∴ AC AB = 3 1 设AB=x，则AC= x. 3 1 【点评】在直角三角形中，已知一边和另两边的关系，常用勾股定理、方程思想解决. 即：( x)2+16=x2 由勾股定理AC2+BC2=AB2， 教材P122例2变式 解得：x1= 3 ，x2= - 3 (舍去） 解直角三角形，只有下面两种情况： （1）已知两条边； （2）已知一条边和一个锐角 课堂小结 我们应当掌握： 1、掌握直角三角形的五个元素，已知两个元素（至少 有一个是边），能求出其余三个元素； 2、三个元素没有顺序，会做的先做。 若一个题中有多个直角三角形，我们应从可解直角三角形入手 1、 在Rt△ABC中，∠C = 90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边. (1) 已知a=4，b=4，则∠A= ； (2). 已知c=8，b=4，则a= ，∠A= ； (3). 已知c=8，∠A=45°，则a= ，b= . 一、填空题： 45° 60° 4√3 4√2 4√2 当堂检测 2、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=8， cosA= ，则AC的长是_______。 3．如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=4，cosB= ，则AC=____. B C A D 5 A C B 4、在Rt△ABC中，已知∠C=90º，sinA= , D为AC上一点 ∠BDC =45º，DC=5，求AB的长。 ┐ $$