2.3 一元二次方程根的判别式 课件 2024-2025学年湘教版数学九年级上册

湘教·九年级上册 2.3 一元二次方程根的判别式 回顾总结 1.用公式法解方程 ❶ ❷ ❸ 2.解一元二次方程时,最终结果,可分为哪三种不同情形? 3.为什么会有三种不同情形?由什么决定? ①有两个不相等的实根 ②有两个相等的实根 ③无实根 由Δ=b2-4ac的值来决定 新课探究 我们在运用公式法求解一元二次方程ax2+bx +c =0 ( a≠0)时，总是要求b2-4ac≥0.这是为什么? 回顾：用配方法解方程 ax2 + bx +c = 0(a≠0) . 解：二次项系数化为1，得 x2 + x + = 0 . 配方，得 x2 + x + - - = 0, 移项，得 = 问题1：接下来能用直接开平方解吗？ 一元二次方程根的判别式 问题2：什么情况下可以直接开平方？什么情况下不能直接开？ ≥0，4a2＞0 . 当 b2 - 4ac＞0 时，x1= ， x2= 当 b2 - 4ac = 0 时， x1 = x2 = 当 b2 - 4ac＜0 时，不能开方(负数没有平方根)， 所以原方程没有实数根. 我们把b2-4ac叫作一元二次方程ax2+bx +c = 0 (a≠0)的根的判别式，记作“Δ”，即Δ = b2-4ac . 综上可知，我们不难发现一元二次方程ax2+ bx +c =0 (a≠0)的根的情况可由Δ = b2- 4ac来判断: 当Δ >0时，原方程有两个不相等的实数根，其根为 当Δ =0时，原方程有两个相等的实数根，其根为 当Δ <0时，原方程没有实数根. 两个不等的实数根 两个相等的实数根 没有实数根 两个实数根 判别式的情况 根的情况 Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 Δ≥0 要点归纳 要点归纳 例 不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况: (1) 3x2+4x -3=0; (2) 4x2= 12x - 9; (3) 7y= 5(y2+1 ) . 解：(1)因为Δ = b2-4ac =42-4×3×( -3 ) =16+ 36 =52>0， 所以，原方程有两个不相等的实数根. 3.判别根的情况，得出结论. 1.化为一般式，确定 a，b，c 的值. 根的判别式使用方法 2.计算 Δ 的值，确定 Δ 的符号. 要点归纳 例 不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况: (1) 3x2+4x -3=0; (2) 4x2= 12x - 9; (3) 7y= 5(y2+1 ) . 解：(1)因为Δ = b2-4ac =42-4×3×( -3 ) =16+ 36 =52>0， 所以，原方程有两个不相等的实数根. (2)将原方程化为一般形式，得 4x2- 12x +9=0. 因为Δ =b2-4ac = ( -12 )2-4×4×9 =144-144=0, 所以，原方程有两个相等的实数根. 例 不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况: (1) 3x2+4x -3=0; (2) 4x2= 12x - 9; (3) 7y= 5(y2+1 ) . (3)将原方程化为一般形式，得 5y2-7y+5=0. 因为Δ =b2-4ac = ( -7 )2-4×5×5 =49-100=-51<0, 所以，原方程没有实数根. 课堂练习 练习 1. 一元二次方程x2-x+1=0 的根的情况为( ) (A)有两个相等的实数根 (B)有两个不相等的实数根 (C)只有一个实数根 (D)没有实数根 因为Δ =b2-4ac = ( -1 )2-4×1×1 =1-4=-3<0, x2-x+1=0 所以，原方程没有实数根. D 2. 不解方程,利用判别式判断下列方程根的情况: 解：(1)因为Δ = b2-4ac =32-4×1×( -1 ) =9+ 4 =13>0， 所以，原方程有两个不相等的实数根. 2. 不解方程,利用判别式判断下列方程根的情况: 解：(2)因为Δ = b2-4ac =(-6)2-4×1×9 =36-36=0， 所以，原方程有两个相等的实数根. 2. 不解方程,利用判别式判断下列方程根的情况: 解：(3)因为Δ = b2-4ac =(-3)2-4×2×4 =9-32 =-23<0， 所以，原方程没有实数根. 2. 不解方程,利用判别式判断下列方程根的情况: 解：(4)将原方程化为一般形式，得 所以，原方程有两个相等的实数根. 3. 若关于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集(用含a的式子表示)． 解：∵关于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数根． ∴(-2a)2-4(a-2)(a+1)=4a2-4a2+4a+8<0 ∴a<-2 4.已知一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2． (1)求q关于p的关系式； (2)求证：抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点． 解：(1)∵一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2， ∴4+2p+q+1=0， 即q=-2p-5； 4.已知一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2． (1)求q关于p的关系式； (2)求证：抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点． (2)证明：令x2+px+q=0． 则Δ=p2-4q=p2-4(-2p-5)=(p+4)2+4＞0，即Δ＞0， 所以，关于x的方程x2+px+q=0有两个不相等的实数根． 即抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点． 课堂小结 一元二次方程ax2+ bx +c =0 (a≠0)的根的情况可由Δ = b2- 4ac来判断: 当Δ >0时，原方程有两个不相等的实数根，其根为 当Δ =0时，原方程有两个相等的实数根，其根为 当Δ <0时，原方程没有实数根. 2.不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况: 【选自教材P45 习题2.3 第2题】 (1)3x2-4x+1=0; (2)3x2-6x+1 =0; (3) x (x+8)= 16; (4) (x+2) (x-5)= 1. 解：(2)因为Δ = b2-4ac =(-6) 2-4×3×1 =36-12 =24>0， 所以，原方程有两个不相等的实数根. 2.不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况: 【选自教材P45 习题2.3 第2题】 (1)3x2-4x+1=0; (2)3x2-6x+1 =0; (3) x (x+8)= 16; (4) (x+2) (x-5)= 1. 解：(3)将原方程化为一般形式，得 所以，原方程有两个不相等的实数根. x2+8x-16=0 因为Δ = b2-4ac =82-4×1×(-16) =64+64 =128>0， 2.不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况: 【选自教材P45 习题2.3 第2题】 (1)3x2-4x+1=0; (2)3x2-6x+1 =0; (3) x (x+8)= 16; (4) (x+2) (x-5)= 1. 解：(4)将原方程化为一般形式，得 所以，原方程有两个不相等的实数根. x2-3x-11=0 因为Δ = b2-4ac =(-3)2-4×1×(-11) =9+44=53>0， B 组 3.不解方程，利用判别式判断方程 【选自教材P45 习题2.3 第3题】 的根的情况. 解：因为 所以，原方程有两个不相等的实数根. 4.先阅读下面的材料: 【选自教材P45 习题2.3 第4题】 对于一元二次方程ax2+bx+c =0( a≠0)，如果方程有两个不相等的实数根，那么Δ>0；如果方程有两个相等的实数根，那么Δ =0；如果方程没有实数根，那么Δ <0. 再解答下面的题目: 当t取什么值时，关于x的一元二次方程x2+x +t=2t-1， (1)有实数根; (2)没有实数根. 如果方程有两个不相等的实数根，那么Δ>0； 如果方程有两个相等的实数根，那么Δ =0； 如果方程没有实数根，那么Δ <0. 当t取什么值时，关于x的一元二次方程x2+x +t=2t-1， (1)有实数根; (2)没有实数根. 当t取什么值时，关于x的一元二次方程x2+x +t=2t-1， (1)有实数根; (2)没有实数根. 解：(1)关于x的方程可化为 x2+x +1–t=0 依题意 Δ = b2-4ac =12-4×1×(1-t) =4t-3≥0 所以 当时，方程有实数根. 当t取什么值时，关于x的一元二次方程x2+x +t=2t-1， (1)有实数根; (2)没有实数根. 解：(2)依题意 Δ = b2-4ac =12-4×1×(1-t) =4t-3<0 所以 当时，方程没有实数根. x2+x +1–t=0 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 课后作业 $$