精品解析：2023-2024学年八年级下学期苏科版期末热身练习数学试题

2023-2024学年下学期苏科版八年级期末热身练习数学试卷 测试内容：八下全部+九上第1章 测试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，30分） 1. 2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四副图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率较大 B. 从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得偶数的可能性较大 C. 小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件 D. 抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连续抛此硬币2次必有1次正面朝上 3. 已知四边形是平行四边形，下列条件中，不能判定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 4. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（ ） A 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 如图，在平面直角坐标系中，，将绕点O逆时针旋转到位置，则点B坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在边长为4的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，平分．交于点．若，则的长度为（　　） A. 2 B. C. D. 8. 将一组数，按以下方式进行排列： 则第八行左起第1个数是（ ） A. B. C. D. 9. 分式方程的解为正数，则的取值范围（ ） A. B. 且 C. D. 且 10. 如图，在中，，，．A点P从点A出发、以的速度沿运动，同时点Q从点C出发，以的速度沿往复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动．在此运动过程中，线段出现的次数是（ ） A 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 11. 若分式有意义，则x的取值范围是_________． 12. 已知m是方程的一个根，则的值为___________． 13. 已知点在反比例函数的图象上，则__________． 14. 杠杆平衡时，“阻力阻力臂动力动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为和，动力为，动力臂为．则动力关于动力臂的函数表达式为__________． 15. 若关于的方程无解，则的值为______． 16. 重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为，根据题意，可列方程为________． 17. 若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是________． 18. 已知，直线与轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作轴的平行线与直线交于点，与轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方），以同样的方式依次作等边三角形，等边三角形，则点的横坐标为______． 三、解答题（本大题共9小题，共96分．） 19 计算： （1）； （2）已知，求的值． 20. 下面是某老师讲解一元二次方程的解法时在黑板上的板书过程：请认真阅读并完成任务． 解方程：． 解：， 第一步 ， 第二步 ， 第三步 ， 第四步 ，． 第五步 （1）任务一： ①杨老师解方程的方法是 ； A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 ②第二步变形的依据是 ； （2）任务二： 解方程：； 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求的值． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出时，的取值范围； （3）过点作直线，交反比例函数图象于点，连结，求的面积． 23. 某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用、两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要、两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15000元，已知种外墙漆每千克的价格比种外墙漆每千克的价格多2元． （1）求、两种外墙漆每千克的价格各是多少元？ （2）已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的，乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？ 24. 观察下列运算： ①由，得； ②由，得； ③由，得． （1）通过观察，将你发现规律用含有的式子表示出来，并注明的取值； （2）利用你发现的计算 ． 25. 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若每件衬衫降价5元，则商场平均每天可售出衬衫______件，每天获得的利润为______元． （2）若商场每天要获得利润1200元，请计算出每件衬衫应降价多少元？ （3）商场每天要获得利润有可能达到1400元吗？若能，请求出此时每件衬衫的利润；若不能，请说明理由． 26. 在学习了矩形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： （1）如图，在矩形中，点是对角线的中点．用尺规过点作的垂线，分别交，于点，，连接，．（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知：矩形，点，分别在，上，经过对角线的中点，且．求证：四边形是菱形． 证明：∵四边形是矩形， ∴． ∴①，． ∵点是的中点， ∴②． ∴（AAS）． ∴③． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 进一步思考，如果四边形是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④． 27. 发现问题 小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽． 提出问题 销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？ 分析问题 某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的籽．该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有k个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d（n，k均为正整数，，），如图1所示． 小明设计了如下三种铲籽方案． 方案1：图1是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为________，共铲________行，则铲除全部籽的路径总长为________； 方案2：图2是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为________； 方案3：图3是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长． 解决问题 在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员操作方法进行评价． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年下学期苏科版八年级期末热身练习数学试卷 测试内容：八下全部+九上第1章 测试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，30分） 1. 2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四副图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．本题主要考查了中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A选项不合题意； B．不是中心对称图形，故B选项不合题意； C．不是中心对称图形，故C选项不合题意； D．是中心对称图形，故D选项合题意； 故选：D． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率较大 B. 从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得偶数的可能性较大 C. 小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件 D. 抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连续抛此硬币2次必有1次正面朝上 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查事件发生的可能性与概率．由题意根据事件的可能性以及事件发生的概率对各选项进行依次判断即可． 【详解】解：A、“10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率一样”，故该选项错误，不符合题意； B、从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，奇数有3个，偶数有2个，取得奇数的可能性较大，故该选项错误，不符合题意； C、 “小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件”，故该选项正确，符合题意； D、抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连续抛此硬币2次有可能有1次正面朝上，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 3. 已知四边形是平行四边形，下列条件中，不能判定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形、对角线相等的平行四边形是矩形、有一个角是直角的平行四边形是矩形判断即可． 【详解】解：如图， A、，能判定为矩形，本选项不符合题意； B、∵，，∴，能判定为矩形，本选项不符合题意； C、，能判定为矩形，本选项不符合题意； D、，能判定为菱形，不能判定为矩形，本选项符合题意； 故选：D． 4. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程中，当时，方程有两个不相等的实数根是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式解答即可． 【详解】解：△， 方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 5. 已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式及一次函数和反比例函数的图象．首先根据一元二次方程无实数根确定k的取值范围，然后根据一次函数和反比例函数的性质确定其图象的位置． 【详解】解：∵方程无实数根， ∴， 解得：，则函数的图象过二，四象限， 而函数的图象过一，三象限， ∴函数与函数的图象不会相交，则交点个数为0， 故选：A． 6. 如图，在平面直角坐标系中，，将绕点O逆时针旋转到位置，则点B坐标（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，三角形全等的判定和性质．由旋转的性质得到，推出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵将绕点O逆时针旋转到， ∴， ∴，， ∴点B坐标为， 故选：A． 7. 如图，在边长为4的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，平分．交于点．若，则的长度为（　　） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，先由正方形的性质得到，再证明得到，进一步证明得到，设，则， 在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故选：D． 8. 将一组数，按以下方式进行排列： 则第八行左起第1个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．求出第七行共有28个数，从而可得第八行左起第1个数是第29个数，据此求解即可得． 【详解】解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数， 归纳类推得：第七行共有个数， 则第八行左起第1个数是， 故选：C． 9. 分式方程的解为正数，则的取值范围（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程及分式方程的解，先解分式方程，求出分式方程的解，再根据分式方程解的情况解答即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键． 【详解】解：方程两边同时乘以得，， 解得， ∵分式方程的解为正数， ∴， ∴， 又∵， 即， ∴， ∴的取值范围为且， 故选：． 10. 如图，在中，，，．A点P从点A出发、以的速度沿运动，同时点Q从点C出发，以的速度沿往复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动．在此运动过程中，线段出现的次数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，一元一次方程的应用，全等三角形的判定与性质，分四种情况：当时，当时，当时，四边形为平行四边形；当时，四边形为等腰梯形，分别求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：在中， ，， ∴，， ∵点P从点A出发、以的速度沿运动， ∴点P从点A出发到达D点的时间为：， ∵点Q从点C出发，以的速度沿往复运动， ∴点Q从点C出发到B点的时间为：， ∵， ∴， 当时，四边形为平行四边形， ∴， 当时，四边形为等腰梯形， ∴， 设同时运动的时间为， 当时，， ∴， 此时，四边形为平行四边形，， 如图：过点分别作的垂线，分别交于点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是等腰梯形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 此时是等腰梯形，， 当时，， ∴， 此时，四边形为平行四边形，， 当时，， ∴， 此时，四边形平行四边形，， 综上，当或或或时，，共4次， 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 11. 若分式有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义，根据分式的分母不为零求解即可． 【详解】∵分式有意义，， ∴， 解得， 故答案为：． 12. 已知m是方程的一个根，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，以及已知式子的值求代数式的值，根据m是方程的一个根，可得出，再化简代数式，整体代入即可求解． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴ ， 故答案为：． 13. 已知点在反比例函数的图象上，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，将点代入求值，即可解题． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ， 故答案为：． 14. 杠杆平衡时，“阻力阻力臂动力动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为和，动力为，动力臂为．则动力关于动力臂的函数表达式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式，根据题意可得，进而即可求解，掌握杠杆原理是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， ∴，即， 故答案为：． 15. 若关于的方程无解，则的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的增根，先去分母变成整式方程，再根据无解求解即可． 【详解】方程两边同乘得， ∵关于方程无解， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 16. 重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为，根据题意，可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为，则第二季度低空飞行航线安全运行了架次，第三季度低空飞行航线安全运行了架次，据此列出方程即可． 【详解】解：设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为， 由题意得，， 故答案为：． 17. 若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，根据不等式组的解集求参数，先解不等式组中的两个不等式，再根据不等式组的解集求出；解分式方程得到，再由关于的分式方程的解均为负整数，推出且且a是偶数，则且且a是偶数，据此确定符合题意的a的值，最后求和即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得： ， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴； 解分式方程得， ∵关于的分式方程的解均为负整数， ∴且是整数且， ∴且且a是偶数， ∴且且a是偶数， ∴满足题意的a的值可以为4或8， ∴所有满足条件的整数a的值之和是． 故答案为：． 18. 已知，直线与轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作轴的平行线与直线交于点，与轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方），以同样的方式依次作等边三角形，等边三角形，则点的横坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】直线直线可知，点坐标为，可得，由于是等边三角形，可得点，把代入直线解析式即可求得的横坐标，可得，由于是等边三角形，可得点；同理，，发现规律即可得解，准确发现坐标与字母的序号之间的规律是解题的关键． 【详解】解：∵直线l：与x轴负半轴交于点， ∴点坐标为， ∴， 过，，作轴交x轴于点M，轴交于点D，交x轴于点N， ∵为等边三角形， ∴ ∴， ∴ ∴， 当时，，解得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，解得：， ∴； 而， 同理可得：的横坐标为， ∴点的横坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理的应用，等边三角形的性质，特殊图形点的坐标的规律，掌握探究的方法是解本题的关键. 三、解答题（本大题共9小题，共96分．） 19. 计算： （1）； （2）已知，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则，采用整体代入的思想是解此题的关键． （1）根据二次根式的性质将括号内化简，再根据二次根式的乘法法则计算即可得出答案； （2）先求出、的值，再将式子变形为，整体代入计算即可得出答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵， ，， ． 20. 下面是某老师讲解一元二次方程的解法时在黑板上的板书过程：请认真阅读并完成任务． 解方程：． 解：， 第一步 ， 第二步 ， 第三步 ， 第四步 ，． 第五步 （1）任务一： ①杨老师解方程的方法是 ； A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 ②第二步变形的依据是 ； （2）任务二： 解方程：； 【答案】（1）①B；②等式的性质 （2）， 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的求解过程是解答的关键． （1）①根据解方程过程可得结论； ②根据等式的性质求解即可； （2）仿照例题中的配方法求解过程求解即可． 【小问1详解】 解：①杨老师解方程的方法是配方法， 故选：B； ②第二步变形的依据是等式的性质， 故答案为：等式的性质； 【小问2详解】 解： 解得，． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】（1）证明见解析； （2）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式证明恒成立即可； （2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解． 【小问1详解】 证明：， ∵无论取何值，，恒成立， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 解：∵是方程两个实数根， ∴，， ∴， 解得：或． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出时，的取值范围； （3）过点作直线，交反比例函数图象于点，连结，求的面积． 【答案】（1）反比例函数表达式为，一次函数表达式为 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）根据函数图象即可求解； （）如图，设直线与轴相交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，求出点坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特征求出点坐标，根据计算即可求解； 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数的性质，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：把代入得，， ∴， ∴反比例函数表达式为， 把代入得，， ∴， ∴， 把、代入得， ， 解得， ∴一次函数表达式为； 【小问2详解】 解：由图象可得，当时，的取值范围为或； 【小问3详解】 解：如图，设直线与轴相交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，则， ∴， ∵点关于原点对称， ∴， ∴，， ∴ ， 即面积为． 23. 某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用、两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要、两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15000元，已知种外墙漆每千克的价格比种外墙漆每千克的价格多2元． （1）求、两种外墙漆每千克的价格各是多少元？ （2）已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的，乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？ 【答案】（1）种外墙漆每千克的价格为元，则种外墙漆每千克的价格为元． （2）甲每小时粉刷外墙的面积是平方米． 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次方程的应用，理解题意建立方程是解本题的关键； （1）设种外墙漆每千克的价格为元，则种外墙漆每千克的价格为元，再根据总费用为15000元列方程求解即可； （2）设甲每小时粉刷外墙面积为平方米，则乙每小时粉刷外墙面积是平方米；利用乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．从而建立分式方程求解即可． 【小问1详解】 解：设种外墙漆每千克的价格为元，则种外墙漆每千克的价格为元， ∴， 解得：， ∴， 答：种外墙漆每千克的价格为元，种外墙漆每千克的价格为元． 【小问2详解】 设甲每小时粉刷外墙面积为平方米，则乙每小时粉刷外墙面积是平方米； ∴， 解得：， 经检验：是原方程的根且符合题意， 答：甲每小时粉刷外墙的面积是平方米． 24. 观察下列运算： ①由，得； ②由，得； ③由，得． （1）通过观察，将你发现的规律用含有的式子表示出来，并注明的取值； （2）利用你发现的计算 ． 【答案】（1）（为正整数） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化、二次根据规律探索，熟练掌握运算法则，得出规律，准确进行计算是解此题的关键． （1）根据题目中所给式子即可得出答案； （2）由题意得出，进行计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵①由，得； ②由，得； ③由，得， ∴（为正整数）； 【小问2详解】 解：∵由得， 由得， 由得， ∴， ∴ ． 25. 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若每件衬衫降价5元，则商场平均每天可售出衬衫______件，每天获得的利润为______元． （2）若商场每天要获得利润1200元，请计算出每件衬衫应降价多少元？ （3）商场每天要获得利润有可能达到1400元吗？若能，请求出此时每件衬衫的利润；若不能，请说明理由． 【答案】（1）30，1050 （2）每件衬衫应降价20元 （3）无法达到，理由见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键． （1）根据题意得到每天的销售量，然后由销售量×每件盈利进行解答． （2）设每件衬衫应降价x元，利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可． （3）同样列出方程，若方程有实数根则可以，否则不可以． 【小问1详解】 根据题意可得：商场平均每天可售出衬衫（件），每天获得的利润为（元）． 故答案为：30，1050； 【小问2详解】 设每件衬衫应降价x元，根据题意，得 ， 解得，， ∵要尽快减少库存， ∴， 答：每件衬衫应降价20元； 【小问3详解】 设每件衬衫应降价x元 ， 化简得， ， ∴方程无实根， ∴1400元的利润无法达到 26. 在学习了矩形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： （1）如图，在矩形中，点是对角线的中点．用尺规过点作的垂线，分别交，于点，，连接，．（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知：矩形，点，分别在，上，经过对角线的中点，且．求证：四边形是菱形． 证明：∵四边形是矩形， ∴． ∴①，． ∵点是的中点， ∴②． ∴（AAS）． ∴③． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 进一步思考，如果四边形是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④． 【答案】（1）见解析 （2）①；②；③；④四边形是菱形 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的判定，垂线的尺规作图： （1）根据垂线的尺规作图方法作图即可； （2）根据矩形或平行四边形的对边平行得到，，进而证明，得到，即可证明四边形是平行四边形．再由，即可证明四边形是菱形． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴． ∴，． ∵点是的中点， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 猜想：过平行四边形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形； 证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴，． ∵点是的中点， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 故答案为：①；②；③；④四边形是菱形． 27. 发现问题 小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽． 提出问题 销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？ 分析问题 某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的籽．该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有k个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d（n，k均为正整数，，），如图1所示． 小明设计了如下三种铲籽方案． 方案1：图1是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为________，共铲________行，则铲除全部籽的路径总长为________； 方案2：图2是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为________； 方案3：图3是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长． 解决问题 在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价． 【答案】分析问题：方案1：；；；方案2：；方案3：；解决问题：方案3路径最短，理由见解析 【解析】 【分析】分析问题：方案1：根据题意列出代数式即可求解；方案2：根据题意列出代数式即可求解；方案3：根据图得出斜着铲每两个点之间的距离为，根据题意得一共有列，行，斜着铲相当于有n条线段长，同时有个，即可得出总路径长； 解决问题：利用作差法比较三种方案即可． 题目主要考查列代数式，整式的加减运算，二次根式的应用，理解题意是解题关键． 【详解】解：方案1：根据题意每行有n个籽，行上相邻两籽的间距为d， ∴每行铲的路径长为， ∵每列有k个籽，呈交错规律排列， ∴相当于有行， ∴铲除全部籽的路径总长为， 故答案为：；；； 方案2：根据题意每列有k个籽，列上相邻两籽的间距为d， ∴每列铲的路径长为， ∵每行有n个籽，呈交错规律排列，， ∴相当于有列， ∴铲除全部籽的路径总长为， 故答案为：； 方案3：由图得斜着铲每两个点之间的距离为， 根据题意得一共有列，行， 斜着铲相当于有n条线段长，同时有个， ∴铲除全部籽的路径总长为：； 解决问题 由上得：， ∴方案1的路径总长大于方案2的路径总长； ， ∵， 当时， ， ， ∴方案3铲籽路径总长最短，销售员的操作方法是选择最短的路径，减少对菠萝的损耗． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$