7.1 角与弧度8题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册） 7.1 角与弧度8题型分类 知识点1 任意角的概念 1、角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 正角：按逆时针方向旋转所形成的角． 负角：按顺时针方向旋转所形成的角． 零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角． 注：角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角，从而得到正角、负角和零角的定义． 2、终边相同的角、象限角 终边相同的角为 角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合．那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 注：（1）终边相同的前提是：原点，始边均相同； （2）终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同； （3）终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍． 3、常用的象限角 角的终边所在位置 角的集合 x轴正半轴 y轴正半轴 x轴负半轴 y轴负半轴 x轴 y轴 坐标轴 是第一象限角，所以 是第二象限角，所以 是第三象限角，所以 是第四象限角，所以 知识点2 弧度制 1、弧度制的定义 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1（单位可以省略不写）． 2、角度与弧度的换算 弧度与角度互换公式： 1rad=≈57．30°=57°18′，1°=≈0．01745（rad） 3、弧长公式：（是圆心角的弧度数）， 扇形面积公式：． 注：（1）角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如等等，一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，角的正负主要由角的旋转方向来决定． （2）角的弧度数的绝对值是：，其中，是圆心角所对的弧长，是半径． （一） 理解与角的概念有关问题的关键 关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可． 题型1：角的概念 1-1．（2024高一下·广西钦州·阶段练习）已知集合第一象限的角，锐角，小于的角，下列四个命题： ①；②；③；④ 其中正确命题的个数为（    ） A． B． C． D． 1-2．（2024高一下·全国·课后作业）时间经过1小时50分钟，则分针转过的角度是（    ） A． B． C． D． 1-3．（2024高一下·全国·课后作业）下列说法正确的有几个（    ） （1）第一象限的角都是锐角；（2）锐角都是第一象限的角；（3）锐角是大于小于的角； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 1-4．（2024高一上·全国·课后作业）下列各命题正确的是（    ） A．第一象限角都是锐角 B．三角形的内角必是第一，二象限角 C．不相等的角终边必不相同 D．相等的角终边相同 1-5．（2024高一下·新疆塔城·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．锐角是第一象限角 B．终边相等的角必相等 C．小于的角一定在第一象限 D．第二象限角必大于第一象限角 （二） 在0°～360°范围内找与给定角终边相同的角的方法 （1）把任意角化为（且）的形式，关键是确定k．可以用观察法（的绝对值较小），也可用除法． （2）要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值． 题型2：终边相同的角的表示 2-1．（2024高一·全国·课堂例题）在区间内找出与下列各角终边相同的角，并判定它是第几象限角． (1)； (2)； (3)． 2-2．（2024高一上·全国·课后作业）与角终边相同的角可表示为（    ） A． B． C． D． 2-3．（2024高一·全国·随堂练习）写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式的元素写出来： (1)； (2)； (3)； (4)． 2-4．（2024高一下·全国·课后作业）如果角与具有相同的终边，角与具有相同的终边，那么角与角之间满足的等量关系是 . （三） 已知的范围，确定的范围，一般应先将的范围用不等式表示，然后再两边同除以，根据的取值进行分类讨论，以确定的范围，讨论角的范围时要做到不重不漏，尤其对象限界角应引起注意． 题型3：分角、倍角所在象限的研究 3-1．（2024高一·全国·课后作业）若角是第二象限角，试确定，的终边所在位置． 3-2．（2024高一·全国·随堂练习）已知角α的终边在第四象限，确定下列各角终边所在的象限： (1)； (2)； (3)； (4)． 3-3．（2024高一·全国·课堂例题）若角是第二象限角，试确定角，是第几象限角． （四） 判断一个角在第几象限或哪条坐标轴上的一般方法 （1）若的绝对值比较大，可通过加上或减去360°的整数倍得到内或内的一个角β； （2）判断所在象限，则在第几象限，就在第几象限． 题型4：象限角的判定 4-1．（2024高一下·江西景德镇·期中）角是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4-2．（2024高一下·辽宁辽阳·期末）若是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 4-3．（2024高一上·甘肃天水·期末）若是第二象限角，则是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 （五） 区域角的写法可 （1）按逆时针方向找到区域的起始和终止边界； （2）由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角，，写出所有与，终边相同的角； （3）用不等式表示区域内的角，组成集合． 题型5：区域角的表示 5-1．（2024高一上·安徽芜湖·阶段练习）如图所示，终边落在阴影部分区域（包括边界）的角的集合是 ． 5-2．（2024高一上·山东烟台·期末）如图所示，终边落在阴影部分包括边界的角的集合是 . 5-3．（2024高一下·全国·课后作业）已知角的终边在下图中，所表示的范围内（不含边界），则角的范围为 .    （六） ①在进行角度与弧度的换算时，关键是抓住πrad=180°，这一关系．②用弧度作为单位时，常出现，如果题目没有特殊的要求，应当保留的形式，不要写成小数．③角度制与弧度制不得混用，如，k∈Z；，k∈Z都是不正确的写法． 题型6：弧度制与角度制的互化 6-1．（2024高一上·甘肃武威·开学考试）将下列角度与弧度进行互化： (1) (2) (3) (4) (5) 6-2．（2024高一·江苏·课后作业）把下列各角从度化为弧度： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 6-3．（2024高一下·河北石家庄·阶段练习）的弧度数为（    ） A． B． C． D． （七） 有关扇形的弧长，圆心角，面积的题目，一般是知二求一的题目，解此类题目的关键在于灵活运用，两组公式． 题型7：扇形的弧长及面积公式的应用 7-1．（2024高一上·山东枣庄·期末）已知弧长为的弧所对圆心角为，则这条弧所在圆的半径为 cm． 7-2．（2024高一下·浙江宁波·阶段练习）已知一扇形的圆心角为，周长为，面积为，弧长为,所在圆的半径为． (1)若，，求扇形的弧长； (2)若，，求扇形的半径和圆心角． 7-3．（2024高一下·重庆长寿·期中）已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的周长为 . 7-4．（2024高三上·山西晋中·阶段练习）圆心角为2的扇形的周长为4，则此扇形的面积为 . （八） 解决最值问题采用消元思想或二次函数思想加以解决 题型8：扇形中的最值问题 8-1．（2024高一下·上海宝山·阶段练习）已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l． (1)若，，求扇形的弧长l； (2)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角． 8-2．（2024高一下·湖北宜昌·期中）某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形后构成的)．已知米，米，线段、线段与弧、弧的长度之和为米，圆心角为弧度． (1)求关于的函数解析式； (2)记该宣传牌的面积为，试问取何值时，的值最大?并求出最大值． 8-3．（2024高一下·辽宁沈阳·期中）已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为r． (1)若，求扇形的弧长． (2)若扇形的周长为24，当为多少弧度时，该扇形面积最大？求出最大面积． 8-4．（2024高一下·河北张家口·期中）如图，已知扇形的周长为，当该扇形的面积取最大值时，弦长（    ）    A． B． C． D． 一、单选题 1．（2024高一上·天津河西·期末）已知半径为的圆上，有一条弧的长是，则该弧所对的圆心角的弧度数为（    ） A．12 B．1.2 C．16 D．1.6 2．（2024高一下·全国·课后作业）已知角的终边在x轴上方，那么角的范围是（    ） A．第一象限角的集合 B．第一或第二象限角的集合 C．第一或第三象限角的集合 D．第一或第四象限角的集合 3．（2024高一下·河南南阳·阶段练习）若，则的终边在（   ） A．第二或第三象限 B．第一或第三象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限 4．（2024高一下·江西南昌·阶段练习）若是第二象限角，则一定是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 5．（2024高一下·广西南宁·阶段练习）已知α是第二象限角，则是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 6．（2024高一上·河北保定·阶段练习）800°是以下哪个象限的角（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（2024高一下·山西朔州·期末）集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（    ） A．   B．   C．   D．   8．（2024高二上·安徽·期中）在平面直角坐标系中，下列与角 终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 9．（2024高一下·北京·阶段练习）钟表的分针在一个半小时内转了（    ） A．180° B． C．542° D． 10．（2024高一下·全国·课后作业）已知角的顶点与原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，是第几象限角（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 11．（2024高一下·辽宁大连·期中）若，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 12．（2024高一下·内蒙古呼和浩特·期中）若角是第二象限角，则角的终边所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 13．（2024高一下·全国·课后作业）手表走过2小时，时针转过的角度为（    ） A．60° B．-60° C．30° D．-30° 14．（2024高一上·全国·课后作业）射线绕端点逆时针旋转到达位置，由位置绕端点旋转到达位置，得，则射线旋转的方向与角度分别为（　　） A．逆时针， B．顺时针， C．逆时针， D．顺时针， 15．（2024高一上·全国·课后作业）已知集合A={| 为锐角}，B={|为小于的角}，C={|为第一象限角}，D={|为小于的正角}，则下列等式中成立的是（    ） A．A=B B．B=C C．A=C D．A=D 16．（2024高一上·全国·课后作业）砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形OCD截去同心扇形OAB所得图形，已知，，，则该扇环形砖雕的面积为（    ）.    A． B． C． D． 17．（2024·安徽·模拟预测）已知角终边上有一点，则为（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 18．（2024高三上·安徽铜陵·阶段练习）已知扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 19．（2024高一上·湖北·阶段练习）已知相互啮合的两个齿轮，大轮50齿，小轮20齿，当大轮转动一周时小轮转动角度是（    ） A． B． C． D． 20．（2024高一下·黑龙江绥化·阶段练习）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜欢在扇面上写字作画．如图是书画家唐寅（1470—1523）的《枯木寒鸦图》扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为（    ）      A． B． C． D． 21．（2024高一下·湖南长沙·阶段练习）秀峰公园里有块周长为46米的扇形花田，其弧长30米，则这块扇形花田的圆心角的弧度数是（    ） A． B． C． D．120 22．（2024高一下·北京·期中）设是第二象限角，则的终边在（    ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限 23．（2024高三·新疆·学业考试）若在第三象限，那么在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第二、三象限 24．（2024高一上·广西河池·阶段练习）与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 25．（2024高一下·全国·单元测试）若为第二象限角，则的终边所在的象限是（    ） A．第二象限 B．第一、二象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 26．（2024高一下·四川达州·阶段练习）已知为第二象限角，则所在的象限是（    ） A．第一或第二象限 B．第二或第三象限 C．第二或第四象限 D．第一或第三象限 27．（2024高一下·全国·课后作业）一个半径为R的扇形，它的周长是，则这个扇形所含弓形的面积是（    ） A． B． C． D． 28．（2024高一下·上海嘉定·期中）若是第一象限角，则下列各角是第三象限角的是（    ） A． B． C． D． 29．（2024高三上·安徽·期中）扇子是引风用品，夏令必备之物.我国传统扇文化源远流长，是中华文化的一个组成部分.历史上最早的扇子是一种礼仪工具，后来慢慢演变为纳凉、娱乐、观赏的生活用品和工艺品.扇子的种类较多，受大众喜爱的有团扇和折扇.如图1是一把折扇，是用竹木做扇骨，用特殊纸或绫绢做扇面而制成的.完全打开后的折扇为扇形（如图2），若图2中，，分别在，上，，的长为，则该折扇的扇面的面积为（    ）         图1                   图2 A． B． C． D． 30．（2024高一下·辽宁·阶段练习）已知扇形的周长为10cm，面积为，则该扇形圆心角的弧度数为（    ） A．1或4 B．或8 C．1 D． 二、多选题 31．（2024高一上·海南省直辖县级单位·期末）已知{第一象限角}，{锐角}，{小于的角}，那么A、B、C关系是（ ） A． B． C． D． 32．（2024高一上·陕西商洛·阶段练习）下列转化结果正确的是（    ） A．化成弧度是 B．化成角度是 C．化成弧度是 D．化成角度是 33．（2024高一下·四川遂宁·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．钝角是第二象限角 B．第二象限角比第一象限角大 C．大于的角是钝角 D．是第二象限角 34．（2024高一上·全国·课后作业）下列选项不正确的是（    ） A．终边落在第一象限的角为锐角 B．锐角是第一象限的角 C．第二象限的角为钝角 D．小于的角一定为锐角 35．（2024高一上·河北保定·期中）设为第二象限角，则可能是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 36．（2024高一上·陕西宝鸡·阶段练习）下列转化结果正确的是（    ） A．化成弧度是 B．化成角度是 C．化成弧度是 D．化成角度是 37．（2024高一上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）把表示成，的形式，则值可以是（    ） A． B． C． D． 38．（2024高一上·湖北黄冈·阶段练习）若是第二象限的角，则的终边所在位置可能是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 39．（2024高一下·辽宁抚顺·阶段练习）如果α是第三象限的角，那么可能是下列哪个象限的角（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 40．（2024高三·全国·专题练习）如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B 的坐标为(1，0)，∠BOA＝60°，质点A 以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B 以2 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则（    ） A．经过1 s后，∠BOA的弧度数为＋3 B．经过 s后，扇形AOB的弧长为 C．经过s后，扇形AOB的面积为 D．经过 s后，A，B在单位圆上第一次相遇 三、填空题 41．（2024高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为 ． 42．（2024高一下·四川广元·期中）半径为2cm，圆心角为所对的弧长为 cm . 43．（2024高一上·湖北武汉·阶段练习）集合中，角所表示的取值范围（阴影部分）正确的是 （填序号）. 44．（2024高一·全国·随堂练习）如果角α为锐角，那么，所在的象限是 ． 45．（2024高一上·福建南平·期中）把分针拨快15分钟，则分针转过的角度为 . 46．（2024高三上·湖北武汉·期中）杭州第届亚洲运动会，于年月日至月日在中国浙江省杭州市举行，本届亚运会的会徽名为“潮涌”，主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成（如图），其中扇面造型突出反映了江南的人文意蕴.已知该扇面呈扇环的形状，内环和外环均为圆周的一部分，若内环弧长是所在圆周长的，内环所在圆的半径为，径长（内环和外环所在圆的半径之差）为，则该扇面的面积为 . 47．（2024高一上·甘肃定西·期末）如图1，折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，其展开的平面图如图2的扇形，其中，则扇面（曲边四边形）的面积是 .    48．（2024高一下·上海奉贤·期中）已知半径为的扇形的圆心角为，则扇形的面积为 ． 49．（2024高一下·上海嘉定·期中）已知扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的面积为 ； 50．（2024高一上·山西太原·阶段练习）用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内（含边界）的角的集合是 ．    51．（2024高一·全国·课后作业）如图，用弧度制表示终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合： . 52．（2024高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，写出顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分内的角的集合 ． 53．（2024高一上·全国·课后作业）已知角的终边在如图所示的阴影区域内，则角的取值范围是 ． 四、解答题 54．（2024高一·全国·课堂例题）已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，作出下列各角，指出它们是第几象限角，并指出在范围内与其终边相同的角． (1)； (2)； (3)； (4)． 55．（2024高一·全国·课后作业）写出与下列各角终边相同的角的集合，并找出集合中适合不等式的元素： (1)； (2)． 56．（2024高一·全国·随堂练习）在范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角： (1)； (2)； (3)； (4)． 57．（2024高一下·江西赣州·阶段练习）已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为． (1)已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角； (2)若扇形周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积． 58．（2024高三·全国·专题练习）已知扇形的圆心角是，半径是，弧长为. (1)若，求扇形的面积； (2)若扇形的周长为，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数． 59．（2024高一·全国·课后作业）如图，点是圆上的点. (1)若，，求劣弧的长； (2)已知扇形的周长为，求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小. 60．（2024高一·全国·单元测试）一个扇形的周长是20cm，问它的半径r多大时，此扇形的面积最大？最大面积为多少？ 61．（2024高一·全国·课后作业）若扇形的周长是一定值C厘米（）．求证：该扇形面积有最大值，并求出面积最大时圆心角的弧度数． 62．（2024高一·全国·课后作业）写出终边落在图中阴影区域内的角的集合． (1)   (2)   63．（2024高一上·全国·课后作业）写出终边落在的图象所夹区域内（不包括边界）的角的集合. 64．（2024高一·全国·随堂练习）把下列各角的角度化成弧度： (1)； (2)； (3)； (4)． 65．（2024高一·江苏·课后作业）设是第一象限角，试探究： （1）一定不是第几象限角？ （2）是第几象限角？ 66．（2024高一·全国·课后作业）若，，试确定，分别是第几象限角． 67．（2024高一上·全国·课后作业）已知，. (1)指出各自终边所在的象限； (2)在内找出与终边相同的所有角. 68．（2024高一·全国·随堂练习）分别写出终边在y轴正半轴、y轴负半轴和y轴上的角的集合． 69．（2024高一·江苏·课后作业）下列角中哪些角与角的终边相同： (1)； (2)； (3)； (4). 70．（2024高一·全国·专题练习）把下列角度与弧度进行互化． (1)； (2)； (3)； (4). (5) (6) (7) (8) (9) (10) 71．（2024高一下·上海·课后作业）已知角的终边在第四象限. （1）试分别判断、是哪个象限的角； （2）求的范围. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（苏教版2019必修第一册） 7.1 角与弧度8题型分类 知识点1 任意角的概念 1、角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 正角：按逆时针方向旋转所形成的角． 负角：按顺时针方向旋转所形成的角． 零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角． 注：角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角，从而得到正角、负角和零角的定义． 2、终边相同的角、象限角 终边相同的角为 角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合．那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 注：（1）终边相同的前提是：原点，始边均相同； （2）终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同； （3）终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍． 3、常用的象限角 角的终边所在位置 角的集合 x轴正半轴 y轴正半轴 x轴负半轴 y轴负半轴 x轴 y轴 坐标轴 是第一象限角，所以 是第二象限角，所以 是第三象限角，所以 是第四象限角，所以 知识点2 弧度制 1、弧度制的定义 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1（单位可以省略不写）． 2、角度与弧度的换算 弧度与角度互换公式： 1rad=≈57．30°=57°18′，1°=≈0．01745（rad） 3、弧长公式：（是圆心角的弧度数）， 扇形面积公式：． 注：（1）角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如等等，一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，角的正负主要由角的旋转方向来决定． （2）角的弧度数的绝对值是：，其中，是圆心角所对的弧长，是半径． （一） 理解与角的概念有关问题的关键 关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可． 题型1：角的概念 1-1．（2024高一下·广西钦州·阶段练习）已知集合第一象限的角，锐角，小于的角，下列四个命题： ①；②；③；④ 其中正确命题的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断出集合、、的包含关系，可得出合适的选项. 【详解】因为集合第一象限的角，锐角，小于的角， 则，，但、无包含关系，故①②③④均错. 故选：A. 1-2．（2024高一下·全国·课后作业）时间经过1小时50分钟，则分针转过的角度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据任意角的概念求得正确答案. 【详解】，则， 因为时针都是顺时针旋转， 所以时间经过1小时50分钟，分针转过的角度是. 故选：A 1-3．（2024高一下·全国·课后作业）下列说法正确的有几个（    ） （1）第一象限的角都是锐角；（2）锐角都是第一象限的角；（3）锐角是大于小于的角； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据角的定义及象限角的确定方法来解答. 【详解】第一象限角的集合为， 锐角是大于小于的角，锐角的集合为，所以（1）错误，（2）正确，（3）正确， 故选：C. 1-4．（2024高一上·全国·课后作业）下列各命题正确的是（    ） A．第一象限角都是锐角 B．三角形的内角必是第一，二象限角 C．不相等的角终边必不相同 D．相等的角终边相同 【答案】D 【分析】取反例可判断ABC，根据角的相关概念可判断D. 【详解】为第一象限角，显然不是锐角，A错误； 为轴线角，不属于第一，二象限角，B错误； 与的终边相同，C错误； 两角相等终边相同，D正确. 故选：D 1-5．（2024高一下·新疆塔城·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．锐角是第一象限角 B．终边相等的角必相等 C．小于的角一定在第一象限 D．第二象限角必大于第一象限角 【答案】A 【分析】利用角的定义一一判定即可. 【详解】锐角是指大于小于的角，故其在第一象限，即A正确； 选项B．终边相等的角必相等，两角可以相差整数倍，故错误； 选项C．小于的角不一定在第一象限，也可以为负角，故错误； 选项D．根据任意角的定义，第二象限角可以为负角，第一象限角可以为正角，此时第二象限角小于第一象限角，故错误. 故选：A （二） 在0°～360°范围内找与给定角终边相同的角的方法 （1）把任意角化为（且）的形式，关键是确定k．可以用观察法（的绝对值较小），也可用除法． （2）要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值． 题型2：终边相同的角的表示 2-1．（2024高一·全国·课堂例题）在区间内找出与下列各角终边相同的角，并判定它是第几象限角． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)280°，第四象限角 (2)160°，第二象限角 (3)，第三象限角 【分析】通过角的终边所成角为，分别对各个小问进行化简，并在区间内找出与之终边相同的角，并判定它是第几象限角． 【详解】（1）因为，所以在区间内，与角终边相同的角是280°，它是第四象限角． （2）因为，所以在区间内，与1600°角终边相同的角是160°，它是第二象限角． （3）因为，所以在区间内，与角终边相同的角是，它是第三象限角． 2-2．（2024高一上·全国·课后作业）与角终边相同的角可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角与角的终边相同可确定正确的表示方法. 【详解】，角与角的终边相同， 与角终边相同的角可表示为. 故选：B. 2-3．（2024高一·全国·随堂练习）写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式的元素写出来： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】（1）（2）（3）（4）根据终边相同角的定义可写出满足条件的角的集合，然后解不等式，求出满足条件的整数的值，即可得出满足条件的元素. 【详解】（1）解：与终边相同的角的集合为， 由，可得， 当时，， 当时，， 当时，， 所以，适合不等式的元素为、、. （2）解：因为， 所以，与终边相同的角的集合为， 由，可得， 当时，， 当时，， 当时，， 所以，适合不等式的元素为、、. （3）解：因为， 所以，与终边相同的角的集合为， 由，可得、、， 当时，， 当时，， 当时，， 所以，适合不等式的元素为、、. （4）解：因为， 所以，与终边相同的角的集合为， 由，可得， 当时，， 当时，， 当时，. 所以，适合不等式的元素为、、. 2-4．（2024高一下·全国·课后作业）如果角与具有相同的终边，角与具有相同的终边，那么角与角之间满足的等量关系是 . 【答案】， 【分析】利用终边相同的角的表示方法表示出，，进而求解. 【详解】因为角与具有相同的终边， 所以，， 又角与具有相同的终边， 所以，， 所以，， 令，， 则，. 故答案为：，. （三） 已知的范围，确定的范围，一般应先将的范围用不等式表示，然后再两边同除以，根据的取值进行分类讨论，以确定的范围，讨论角的范围时要做到不重不漏，尤其对象限界角应引起注意． 题型3：分角、倍角所在象限的研究 3-1．（2024高一·全国·课后作业）若角是第二象限角，试确定，的终边所在位置． 【答案】角的终边落在第三象限、第四象限或轴的负半轴；角的终边落在第一象限、第三象限 【分析】根据象限角的知识确定正确答案. 【详解】由于角是第二象限角， 所以， 所以，， 所以角的终边落在第三象限、第四象限或轴的负半轴， 角的终边落在第一象限、第三象限. 3-2．（2024高一·全国·随堂练习）已知角α的终边在第四象限，确定下列各角终边所在的象限： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)的终边在第二或第四象限 (2)的终边在第三或第四象限，也可在轴的负半轴上 (3)的终边在第二､第三或第四象限 (4)的终边在第二或三或第四象限，也可在轴的负半轴上 【分析】由为第四象限角可知，根据不等式的性质可得，，，角终边所在区域，对分类讨论可得角终边所在的位置. 【详解】（1）由于为第四象限角，所以， 所以， 当时，，终边在第二象限， 当时，，终边在第四象限， 所以的终边在第二或第四象限； （2）由（1）得， 所以的终边在第三或第四象限，也可在轴的负半轴上. （3）由（1）得， 当时，，终边在第二象限， 当时，，终边在第三象限， 当时，，终边在第四象限， 所以的终边在第二､第三或第四象限； （4）由（1）得，即， 所以的终边在第二或三或第四象限，也可在轴的负半轴上. 3-3．（2024高一·全国·课堂例题）若角是第二象限角，试确定角，是第几象限角． 【答案】可能是第三象限角、第四象限角或终边在轴非正半轴上的角；可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角 【分析】根据象限角的表示方法，得到和的表示，进而判定其象限，得到答案. 【详解】因为是第二象限角，所以， 可得， 所以可能是第三象限角、第四象限角或终边在轴非正半轴上的角． 又由 ， 当时，，此时是第一象限角； 当时，，此时是第二象限角； 当时，，此时是第四象限角． 综上所述，可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角． （四） 判断一个角在第几象限或哪条坐标轴上的一般方法 （1）若的绝对值比较大，可通过加上或减去360°的整数倍得到内或内的一个角β； （2）判断所在象限，则在第几象限，就在第几象限． 题型4：象限角的判定 4-1．（2024高一下·江西景德镇·期中）角是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据条件，再利用终边相同角的集合即可求出结果. 【详解】因为，根据终边相同角的集合知，与终边相同，又是第二象限角. 故选：B. 4-2．（2024高一下·辽宁辽阳·期末）若是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】B 【分析】先判断角终边的位置，然后再判断出角终边的位置. 【详解】由与的终边关于轴对称，可知若是第二象限角，则是第三象限角， 所以是第二象限角． 故选：B. 4-3．（2024高一上·甘肃天水·期末）若是第二象限角，则是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【分析】由象限角的定义即可求解. 【详解】由题意是第二象限角， 所以不妨设， 所以， 由象限角的定义可知是第四象限角. 故选：D. （五） 区域角的写法可 （1）按逆时针方向找到区域的起始和终止边界； （2）由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角，，写出所有与，终边相同的角； （3）用不等式表示区域内的角，组成集合． 题型5：区域角的表示 5-1．（2024高一上·安徽芜湖·阶段练习）如图所示，终边落在阴影部分区域（包括边界）的角的集合是 ． 【答案】 【分析】由已知，分别表示出射线OA和射线OB终边所表示的角度，然后根据题意表示阴影部分的范围即可. 【详解】因为终边落在射线OA上的角的集合是为， 终边落在射线OB上的角的集合为． 所以终边落在阴影部分处（包括边界）的角的集合是． 故答案为： 5-2．（2024高一上·山东烟台·期末）如图所示，终边落在阴影部分包括边界的角的集合是 . 【答案】 【分析】写出终边落在边界上的角，即可求出. 【详解】因为终边落在y轴上的角为， 终边落在图中直线上的角为； ， 即终边在直线上的角为，， 所以终边落在阴影部分的角为， 故答案为： 5-3．（2024高一下·全国·课后作业）已知角的终边在下图中，所表示的范围内（不含边界），则角的范围为 .    【答案】 【分析】根据实线表示的边界可取，虚线表示的边界不可取，且按逆时针方向旋转时角度变大分析即可. 【详解】由题图可知，终边落在阴影部分的角的集合为 . 故答案为： （六） ①在进行角度与弧度的换算时，关键是抓住πrad=180°，这一关系．②用弧度作为单位时，常出现，如果题目没有特殊的要求，应当保留的形式，不要写成小数．③角度制与弧度制不得混用，如，k∈Z；，k∈Z都是不正确的写法． 题型6：弧度制与角度制的互化 6-1．（2024高一上·甘肃武威·开学考试）将下列角度与弧度进行互化： (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1)15330° (2) (3) (4) (5)690° 【分析】根据角度与弧度制的转化公式即可逐一求解 【详解】（1） （2） （3） （4） （5） 6-2．（2024高一·江苏·课后作业）把下列各角从度化为弧度： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】由换算即可. 【详解】（1）. （2）. （3）. （4）. （5）. （6）. 6-3．（2024高一下·河北石家庄·阶段练习）的弧度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角度与弧度关系求对应弧度即可. 【详解】由. 故选：B （七） 有关扇形的弧长，圆心角，面积的题目，一般是知二求一的题目，解此类题目的关键在于灵活运用，两组公式． 题型7：扇形的弧长及面积公式的应用 7-1．（2024高一上·山东枣庄·期末）已知弧长为的弧所对圆心角为，则这条弧所在圆的半径为 cm． 【答案】 【分析】由弧长与半径、圆心角之间的关系，代入数据即可得解. 【详解】依题意把代入公式得，解得. 故答案为：. 7-2．（2024高一下·浙江宁波·阶段练习）已知一扇形的圆心角为，周长为，面积为，弧长为,所在圆的半径为． (1)若，，求扇形的弧长； (2)若，，求扇形的半径和圆心角． 【答案】(1) (2)扇形半径为4，圆心角为 【分析】（1）直接用扇形的弧长公式求解； （2）根据条件列方程组可得弧长和半径，进而可得圆心角. 【详解】（1）由已知得； （2）由已知得，解得 ， 即扇形的半径为4，圆心角为. 7-3．（2024高一下·重庆长寿·期中）已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的周长为 . 【答案】 【分析】根据题意结合扇形的弧长和面积公式运算求解. 【详解】设扇形的半径为，由题意可得，解得， 所以扇形的周长为. 故答案为：. 7-4．（2024高三上·山西晋中·阶段练习）圆心角为2的扇形的周长为4，则此扇形的面积为 . 【答案】1 【分析】根据弧长公式结合面积公式计算即可. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，又，所以，，扇形的面积. 故答案为：1. （八） 解决最值问题采用消元思想或二次函数思想加以解决 题型8：扇形中的最值问题 8-1．（2024高一下·上海宝山·阶段练习）已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l． (1)若，，求扇形的弧长l； (2)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角． 【答案】(1) (2)扇形周长的最小值为，此时 【分析】（1）先将圆心角化为弧度制，再根据弧长公式即可得解； （2）根据扇形的面积公式求得的关系，再利用基本不等式即可得出答案. 【详解】（1）因为，， 所以扇形的弧长； （2）由扇形面积，得， 则扇形周长为， 当且仅当，即时，取等号， 此时，，所以， 所以扇形周长的最小值为，此时. 8-2．（2024高一下·湖北宜昌·期中）某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形后构成的)．已知米，米，线段、线段与弧、弧的长度之和为米，圆心角为弧度． (1)求关于的函数解析式； (2)记该宣传牌的面积为，试问取何值时，的值最大?并求出最大值． 【答案】(1)； (2)当时，y的值最大，最大值为． 【分析】(1)根据弧长公式和周长列方程得出关于的函数解析式； (2)根据面积公式求出关于的函数表达式，根据二次函数性质可得的最大值． 【详解】（1）根据题意，弧的长度为米，弧的长度米， ， ． （2）依据题意，可知， 化简得：，， 当，． ∴当时，y的值最大，且最大值为． 8-3．（2024高一下·辽宁沈阳·期中）已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为r． (1)若，求扇形的弧长． (2)若扇形的周长为24，当为多少弧度时，该扇形面积最大？求出最大面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由扇形弧长公式计算； （2）由扇形面积公式及二次函数求最值即可. 【详解】（1）设扇形的弧长为l． 因为，即， 所以． （2）由题设条件，知，则， 所以扇形的面积． 当时，S有最大值36， 此时， 所以当时，扇形的面积最大，最大面积是36． 8-4．（2024高一下·河北张家口·期中）如图，已知扇形的周长为，当该扇形的面积取最大值时，弦长（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，可得出，利用基本不等式可求得扇形面积的最大值及其对应的的值，进而可求出、，然后线段的中点，可得出，进而可求得线段的长. 【详解】设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，则，， 由可得， 所以，扇形的面积为， 当且仅当，即时，扇形的面积最大，此时． 因为，则扇形的圆心角， 取线段的中点，由垂径定理可知，      因为，则， 所以，. 故选：A. 一、单选题 1．（2024高一上·天津河西·期末）已知半径为的圆上，有一条弧的长是，则该弧所对的圆心角的弧度数为（    ） A．12 B．1.2 C．16 D．1.6 【答案】B 【分析】根据弧长公式即可得解. 【详解】设该弧所对的圆心角的弧度数为， 则，解得. 故选：B. 2．（2024高一下·全国·课后作业）已知角的终边在x轴上方，那么角的范围是（    ） A．第一象限角的集合 B．第一或第二象限角的集合 C．第一或第三象限角的集合 D．第一或第四象限角的集合 【答案】C 【分析】由题设知且，求的范围，进而判断其所在的象限. 【详解】由题意，且，则， ∴角的范围是第一或第三象限角的集合. 故选：C 3．（2024高一下·河南南阳·阶段练习）若，则的终边在（   ） A．第二或第三象限 B．第一或第三象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限 【答案】B 【分析】分k为奇数和偶数讨论可得. 【详解】当k为奇数时，记，则，此时为第三象限角；当k为偶数时，记，则，此时为第一象限角. 故选：B 4．（2024高一下·江西南昌·阶段练习）若是第二象限角，则一定是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【分析】根据与的终边关于x轴对称即可求解. 【详解】由与的终边关于x轴对称， 可知若是第二象限角，则一定是第三象限角． 故选：C． 5．（2024高一下·广西南宁·阶段练习）已知α是第二象限角，则是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】A 【分析】根据各个象限角的取值范围求出即可. 【详解】由α是第二象限角可得，． 所以， 即，所以为第一象限角． 故选：A 6．（2024高一上·河北保定·阶段练习）800°是以下哪个象限的角（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】由可进行判断. 【详解】因为， 所以与的终边相同，而是第一象限的角， 所以是第一象限的角， 故选：A. 7．（2024高一下·山西朔州·期末）集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】分奇偶讨论，结合图象可得答案. 【详解】当时，， 当时，,所以选项C满足题意. 故选：C. 8．（2024高二上·安徽·期中）在平面直角坐标系中，下列与角 终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用终边相同的角的定义计算即可. 【详解】由题意可知，所以与 终边相同. 故选：B 9．（2024高一下·北京·阶段练习）钟表的分针在一个半小时内转了（    ） A．180° B． C．542° D． 【答案】D 【分析】根据分针旋转的圈数和方向求解. 【详解】分针是每小时顺时针旋转一圈（- ），所以根据任意角的定义：1个半小时旋转了 ； 故选：D. 10．（2024高一下·全国·课后作业）已知角的顶点与原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，是第几象限角（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】B 【分析】利用终边相同的角之间的关系将转化为，进而判断即可. 【详解】因为， 所以是第二象限角. 故选：B. 11．（2024高一下·辽宁大连·期中）若，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】B 【分析】直接根据角所在象限判断方法即可得到答案. 【详解】因为，故是第二象限角， 故选：B. 12．（2024高一下·内蒙古呼和浩特·期中）若角是第二象限角，则角的终边所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据象限角的范围即可求解. 【详解】角是第二象限角，则, 所以，故角的终边在第三象限， 故选：C 13．（2024高一下·全国·课后作业）手表走过2小时，时针转过的角度为（    ） A．60° B．-60° C．30° D．-30° 【答案】B 【分析】根据任意角的知识确定正确答案. 【详解】时针每小时转过的角度为30°，由于时针顺时针旋转， 因此时针转过的角度为负数. 所以手表走过2小时，时针转过的角度为. 故选：B 14．（2024高一上·全国·课后作业）射线绕端点逆时针旋转到达位置，由位置绕端点旋转到达位置，得，则射线旋转的方向与角度分别为（　　） A．逆时针， B．顺时针， C．逆时针， D．顺时针， 【答案】B 【分析】由题意可得，，从而可求出，进而可得答案. 【详解】由题意可得，设，则 ， 解得， 所以射线绕端点顺时针旋转， 故选：B 15．（2024高一上·全国·课后作业）已知集合A={| 为锐角}，B={|为小于的角}，C={|为第一象限角}，D={|为小于的正角}，则下列等式中成立的是（    ） A．A=B B．B=C C．A=C D．A=D 【答案】D 【分析】根据题意，将各个集合化简，即可得到结果. 【详解】因为A={| 为锐角}， D={|为小于的正角}， 对于集合，小于的角包括零角与负角， 对于集合，C={|为第一象限角}， 所以A=D， 故选：D 16．（2024高一上·全国·课后作业）砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形OCD截去同心扇形OAB所得图形，已知，，，则该扇环形砖雕的面积为（    ）.    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用扇形的面积公式，即可求得扇环的面积，得到答案. 【详解】由题意知，，，，可得， 可得扇形的面积为，扇形的面积为， 所以该扇环形砖雕的面积为. 故选：D. 17．（2024·安徽·模拟预测）已知角终边上有一点，则为（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【分析】根据终边相同角的定义即可求解. 【详解】已知角终边上有一点，即点， ， 为第三象限角. 故选：C. 18．（2024高三上·安徽铜陵·阶段练习）已知扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据扇形周长，应用扇形弧长公式列方程求半径，再由面积公式求面积即可. 【详解】令扇形的半径为，则， 所以此扇形的面积为. 故选：D 19．（2024高一上·湖北·阶段练习）已知相互啮合的两个齿轮，大轮50齿，小轮20齿，当大轮转动一周时小轮转动角度是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过相互啮合的两个齿轮转动的齿数相同，得到大轮转动一周时，小轮转动的周数，即可求小轮转动的角度. 【详解】因为相互啮合的两个齿轮，大轮50齿，小轮20齿， 所以当大轮转动一周时时，大轮转动了50个齿， 所以小轮此时转动周， 即小轮转动的角度为. 故选：D 20．（2024高一下·黑龙江绥化·阶段练习）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜欢在扇面上写字作画．如图是书画家唐寅（1470—1523）的《枯木寒鸦图》扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造扇形，根据已知条件求出半径，由扇形面积不出扇面面积. 【详解】如图，设，，    由弧长公式可得：，解得：， 扇形的面积， 扇形的面积 所以扇面的面积． 故选：D． 21．（2024高一下·湖南长沙·阶段练习）秀峰公园里有块周长为46米的扇形花田，其弧长30米，则这块扇形花田的圆心角的弧度数是（    ） A． B． C． D．120 【答案】A 【分析】利用扇形的周长和扇形的弧长公式计算即可. 【详解】设扇形的圆心角为，半径为,弧长为， 则由扇形的周长为46得：，所以 则， 故选：A. 22．（2024高一下·北京·期中）设是第二象限角，则的终边在（    ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限 【答案】D 【分析】由 ，得到，对k赋值判断. 【详解】解：因为是第二象限角， 所以 ， ， 当 时， ，在第一象限； 当 时， ，在第二象限； 当 时， ，在第四象限； 故选：D 23．（2024高三·新疆·学业考试）若在第三象限，那么在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第二、三象限 【答案】C 【分析】根据的范围求出的范围即可得答案. 【详解】因为在第三象限 所以， 所以， 所以在第二、四象限. 故选：C. 24．（2024高一上·广西河池·阶段练习）与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】写出与终边相同的角的形式，检验各个选项中的角是否满足此条件． 【详解】与终边相同的角一定可以写成的形式，其中， 令可得，与终边相同，其它选项均不合题意， 故选：D． 25．（2024高一下·全国·单元测试）若为第二象限角，则的终边所在的象限是（    ） A．第二象限 B．第一、二象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 【答案】D 【分析】根据给定条件，由的范围求出的范围，再分奇偶作答. 【详解】因为为第二象限角，则， 因此， 而为偶数，当为奇数时，为奇数，则为第四象限角， 当为偶数时，为偶数，则为第二象限角， 所以的终边所在的象限是第二、四象限. 故选：D 26．（2024高一下·四川达州·阶段练习）已知为第二象限角，则所在的象限是（    ） A．第一或第二象限 B．第二或第三象限 C．第二或第四象限 D．第一或第三象限 【答案】D 【分析】由象限角的定义可得出，求出的取值范围，对分奇数和偶数两种情况讨论，可得出的终边所在的象限. 【详解】因为为第二象限角，则， 所以，， ①当为奇数时，设，则， 即，此时为第三象限角； ②当为偶数时，设，则， 此时为第一象限角. 综上所述，为第一或第三象限角. 故选：D. 27．（2024高一下·全国·课后作业）一个半径为R的扇形，它的周长是，则这个扇形所含弓形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】算出扇形的面积和三角形的面积后可得弓形的面积． 【详解】如图，的长为，故（弧度）， 所以， 而扇形的面积为， 故弓形的面积为． 故选：D.      28．（2024高一下·上海嘉定·期中）若是第一象限角，则下列各角是第三象限角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据象限角的概念判断即可. 【详解】若是第一象限角，则， ，则是第四象限角，故D错误； ，则是第一象限角，故A错误； ，则是第二象限角，故B错误； ，则是第三象限角，故C错误. 故选：C. 29．（2024高三上·安徽·期中）扇子是引风用品，夏令必备之物.我国传统扇文化源远流长，是中华文化的一个组成部分.历史上最早的扇子是一种礼仪工具，后来慢慢演变为纳凉、娱乐、观赏的生活用品和工艺品.扇子的种类较多，受大众喜爱的有团扇和折扇.如图1是一把折扇，是用竹木做扇骨，用特殊纸或绫绢做扇面而制成的.完全打开后的折扇为扇形（如图2），若图2中，，分别在，上，，的长为，则该折扇的扇面的面积为（    ）         图1                   图2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得，再根据扇环的面积公式求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以， 所以该折扇的扇面的面积为. 故选：D 30．（2024高一下·辽宁·阶段练习）已知扇形的周长为10cm，面积为，则该扇形圆心角的弧度数为（    ） A．1或4 B．或8 C．1 D． 【答案】D 【分析】设半径为，弧长为，由已知得出方程组，解方程组，然后根据弧长公式，求出圆心角，检验，即可得出答案. 【详解】设扇形圆心角为，半径为，弧长为. 由已知可得，，解得或. 当时，，舍去； 当时，. 综上所述，. 故选：D. 二、多选题 31．（2024高一上·海南省直辖县级单位·期末）已知{第一象限角}，{锐角}，{小于的角}，那么A、B、C关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据各集合所表示的角的范围一一分析即可. 【详解】对于A选项，除了锐角，还包括其它角，比如，所以A选项错误. 对于B选项，锐角是小于的角，故B选项正确. 对于C选项，锐角是第一象限角，故C选项正确. 对于D选项，中角的范围不一样，所以D选项错误.   故选：BC. 32．（2024高一上·陕西商洛·阶段练习）下列转化结果正确的是（    ） A．化成弧度是 B．化成角度是 C．化成弧度是 D．化成角度是 【答案】ABD 【分析】根据角度制与弧度制之间的互化即可逐一求解. 【详解】对于A, 化成弧度是,故A正确， 对于B，，故B正确， 对于C，，故C错误， 对于D，，故D正确， 故选：ABD 33．（2024高一下·四川遂宁·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．钝角是第二象限角 B．第二象限角比第一象限角大 C．大于的角是钝角 D．是第二象限角 【答案】BCD 【分析】利用象限角的概念可判断ABD选项；取可判断C选项. 【详解】对于A选项，钝角的范围是， 第二象限角的取值范围是， 因为， 所以，钝角是第二象限角，A对； 对于B选项，是第二象限角，是第一象限角，但，B错； 对于C选项，，但不是钝角，C错； 对于D选项，，且， 故是第三象限角，D错. 故选：BCD. 34．（2024高一上·全国·课后作业）下列选项不正确的是（    ） A．终边落在第一象限的角为锐角 B．锐角是第一象限的角 C．第二象限的角为钝角 D．小于的角一定为锐角 【答案】ACD 【分析】根据象限角、锐角、钝角的定义依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，终边落在第一象限的角不一定是锐角，如的角终边位于第一象限，但不是锐角，A错误； 对于B，锐角是之间的角，终边位于第一象限，是第一象限角，B正确； 对于C，终边落在第二象限的角不一定是钝角，如的角的终边位于第二象限，但不是钝角，C错误； 对于D，小于的角不一定是锐角，如的角小于，但不是锐角，D错误. 故选：ACD. 35．（2024高一上·河北保定·期中）设为第二象限角，则可能是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】CD 【分析】为第二象限角，得到，得到答案. 【详解】为第二象限角，故， 所以， 所以可能是第三象限角，也可能是第四象限角,或轴的负半轴. 故选：CD 36．（2024高一上·陕西宝鸡·阶段练习）下列转化结果正确的是（    ） A．化成弧度是 B．化成角度是 C．化成弧度是 D．化成角度是 【答案】AD 【分析】根据，计算判断即可． 【详解】因为，所以选项A正确； 因为，所以选项B不正确； 因为，所以选项C不正确； 因为，所以选项D正确， 故选：AD． 37．（2024高一上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）把表示成，的形式，则值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据角度制与弧度制的互化公式，以及终边相同角的表示，准确运算，即可求解. 【详解】根据角度制与弧度制的互化公式，可得， 再由终边相同角的表示，可得， 所以与和的终边相同. 故选：AD. 38．（2024高一上·湖北黄冈·阶段练习）若是第二象限的角，则的终边所在位置可能是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ABD 【分析】用不等式表示的范围，求得的范围后确定其所在象限． 【详解】是第二象限的角，则，， ，， 当时，是第一象限角， 当时，是第二象限角， 当时，是第四象限角， 故选：ABD． 【点睛】结论点睛：本题考查象限觚判断，掌握各象限角的表示是解题关键． 第一象限角：，， 第二象限角：，， 第三象限角：，， 第四象限角：，． 另外还有非象限角，即终边在坐标轴的轴线角． 39．（2024高一下·辽宁抚顺·阶段练习）如果α是第三象限的角，那么可能是下列哪个象限的角（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ACD 【分析】先写出角的范围，再除以，从而求出角的范围，分析即得解 【详解】是第三象限的角，则，， 所以，； 当，，在第一象限； 当，，在第三象限； 当，，在第四象限； 所以可以是第一、第三、或第四象限角． 故选：ACD 40．（2024高三·全国·专题练习）如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B 的坐标为(1，0)，∠BOA＝60°，质点A 以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B 以2 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则（    ） A．经过1 s后，∠BOA的弧度数为＋3 B．经过 s后，扇形AOB的弧长为 C．经过s后，扇形AOB的面积为 D．经过 s后，A，B在单位圆上第一次相遇 【答案】ABD 【分析】结合条件根据扇形面积，弧长公式逐项分析即得. 【详解】经过1 s后，质点A运动1 rad，质点B运动2 rad，此时∠BOA的弧度数为，故A正确； 经过 s后，，故扇形AOB的弧长为，故B正确； 经过 s后，，故扇形AOB的面积为，故C不正确； 设经过t s后，A，B在单位圆上第一次相遇，则，解得 (s)，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 41．（2024高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为 ． 【答案】/ 【分析】求出扇形的半径，利用扇形的面积公式可求得该扇形的面积. 【详解】由题意可知，扇形的半径为， 故该扇形的面积为. 故答案为：. 42．（2024高一下·四川广元·期中）半径为2cm，圆心角为所对的弧长为 cm . 【答案】/ 【分析】将圆心角化成弧度制后，根据弧度制下的弧长公式求弧长. 【详解】由题意，圆心角，则弧长. 故答案为： 43．（2024高一上·湖北武汉·阶段练习）集合中，角所表示的取值范围（阴影部分）正确的是 （填序号）. 【答案】③ 【分析】根据集合直接判断即可. 【详解】当时，集合，当时，集合， 则可得出角所表示的取值范围为③. 故答案为：③. 44．（2024高一·全国·随堂练习）如果角α为锐角，那么，所在的象限是 ． 【答案】一或三 【分析】已知α为锐角，要确定，所在的象限，只需对分类讨论即可. 【详解】因为角α为锐角，所以角α为第一象限角， 当为偶数时，，为第一象限角， 当为奇数时，，为第三象限角， 综上所述：，所在的象限是一或三. 故答案为：一或三. 45．（2024高一上·福建南平·期中）把分针拨快15分钟，则分针转过的角度为 . 【答案】 【分析】分针拨快15分钟，则分针转过的角度为，计算得到答案. 【详解】分针拨快15分钟，则分针转过的角度为. 故答案为：. 46．（2024高三上·湖北武汉·期中）杭州第届亚洲运动会，于年月日至月日在中国浙江省杭州市举行，本届亚运会的会徽名为“潮涌”，主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成（如图），其中扇面造型突出反映了江南的人文意蕴.已知该扇面呈扇环的形状，内环和外环均为圆周的一部分，若内环弧长是所在圆周长的，内环所在圆的半径为，径长（内环和外环所在圆的半径之差）为，则该扇面的面积为 . 【答案】 【分析】根据题意求出内环圆弧所对的圆心角，并求出外环圆弧所在圆的半径，利用扇形的面积公式可求得该扇面的面积. 【详解】设内环圆弧所对的圆心角为，因为内环弧长是所在圆周长的，且内环所在圆的半径为， 所以，，可得， 因为径长（内环和外环所在圆的半径之差）为，所以，外环圆弧所在圆的半径为， 因此，该扇面的面积为. 故答案为：. 47．（2024高一上·甘肃定西·期末）如图1，折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，其展开的平面图如图2的扇形，其中，则扇面（曲边四边形）的面积是 .    【答案】/ 【分析】由大扇形面积减去小扇形面积即可得． 【详解】， 由题意可得，扇形的面积是，扇形的面积是.则扇面（曲边四边形）的面积是. 故答案为：． 48．（2024高一下·上海奉贤·期中）已知半径为的扇形的圆心角为，则扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】根据弧度制的定义，求得弧长，根据扇形的面积公式，可得答案. 【详解】因为半径扇形的圆心角为，则圆心角， 所以弧长，面积. 故答案为：. 49．（2024高一下·上海嘉定·期中）已知扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的面积为 ； 【答案】/ 【分析】利用扇形面积公式直接计算作答. 【详解】圆心角为，即圆心角为，该扇形弧长为（）， 所以该扇形的面积为（）. 故答案为： 50．（2024高一上·山西太原·阶段练习）用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内（含边界）的角的集合是 ．    【答案】 【分析】确定以边界为终边的角，即可得角的集合. 【详解】由题图，终边对应角为且，终边对应角为且， 所以阴影部分角的集合是. 故答案为： 51．（2024高一·全国·课后作业）如图，用弧度制表示终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合： . 【答案】 【分析】将角度化为弧度，结合任意角概念表示出来即可. 【详解】因为，， 结合图像可看作范围内的角，结合任意角的概念可表示为 . 故答案为:. 52．（2024高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，写出顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分内的角的集合 ． 【答案】 【分析】利用终边相同的角的集合定义即可得出． 【详解】阴影部分内的角的集合为 故答案为：. 53．（2024高一上·全国·课后作业）已知角的终边在如图所示的阴影区域内，则角的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据图形先求出终边在角的终边所在直线上的角的集合和终边在角的终边所在直线上的角的集合，从而可求出角的取值范围，进而可求得的取值范围 【详解】终边在角的终边所在直线上的角的集合为， 终边在角的终边所在直线上的角的集合为， 因此终边在题图中的阴影区域内的角的取值范围是， 所以角的取值范围是， 故答案为： 四、解答题 54．（2024高一·全国·课堂例题）已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，作出下列各角，指出它们是第几象限角，并指出在范围内与其终边相同的角． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，第一象限角 (2)，第四象限角 (3)，第二象限角 (4)，第三象限角 【分析】先作图，再根据角的定义求解. 【详解】（1）   角是第一象限角，，所以在范围内，与角终边相同的角是角； （2）     角是第四象限角，，所以在范围内，与角终边相同的角是角； （3）     角是第二象限角，，所以在范围内，与角终边相同的角是角； （4）   角是第三象限角，，所以在范围内，与角终边相同的角是角； 综上，（1）第一象限，与角终边相同，（2）第四象限，与角终边相同，（3）第二象限，与角终边相同，（4）第三象限，与角终边相同. 55．（2024高一·全国·课后作业）写出与下列各角终边相同的角的集合，并找出集合中适合不等式的元素： (1)； (2)． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析； 【分析】根据终边相同的角的定义，可分别写出与和相同的角的集合，再取合适的值即可求出适合不等式的角的值. 【详解】（1）根据题意可知， 所以与终边相同的角的集合为， 易知当时，；当时，；当时，； 所以适合不等式的元素有：，，； （2）与终边相同的角的集合为， 易知当时，；当时，；当时，； 所以适合不等式的元素有：，，； 56．（2024高一·全国·随堂练习）在范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】（1）（2）（3）（4）根据终边相同的角的定义结合象限角的定义可得出结论. 【详解】（1）解：， 所以，在范围内，与终边相同的角为，且为第四象限角. （2）解：因为， 所以，在范围内，与终边相同的角为，且为第一象限角. （3）解：因为， 所以，在范围内，与终边相同的角为，且为第三象限角. （4）解：因为， 所以，在范围内，与终边相同的角为，且为第二象限角. 57．（2024高一下·江西赣州·阶段练习）已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为． (1)已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角； (2)若扇形周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积． 【答案】(1) (2)取得最大值25，此时 【分析】（1）根据弧长公式及扇形的面积公式，再结合扇形的周长公式即可求解； （2）根据扇形的周长公式及扇形的面积公式，再结合二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）由题意得，解得(舍去)，． 所以扇形圆心角． （2）由已知得，． 所以， 所以当时，取得最大值25， ,解得. 当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大为25. 58．（2024高三·全国·专题练习）已知扇形的圆心角是，半径是，弧长为. (1)若，求扇形的面积； (2)若扇形的周长为，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数． 【答案】(1) (2)最大值为25； 【分析】（1）先把角度化为弧度，再利用扇形面积公式求解即可； （2）由题意可知扇形的面积为，利用二次函数的的性质，结合弧度的定义即可求解 【详解】（1）因为， 所以扇形的面积为； （2）由题意可知：，即， 所以扇形的面积为， 当时，扇形面积的最大值为， 此时， 59．（2024高一·全国·课后作业）如图，点是圆上的点. (1)若，，求劣弧的长； (2)已知扇形的周长为，求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由圆心角为可知为等边三角形，由扇形弧长公式可求得结果； （2）设圆的半径为，扇形的弧长为，圆心角为，可知； 方法一：由，利用基本不等式可知当时，取得最大值，由可求得结果； 方法二：由，将表示成关于的二次函数的形式，根据二次函数性质可确定最大值点，由此可得，由可求得结果. 【详解】（1），，又，为等边三角形， ，则劣弧的长为. （2）设圆的半径为，扇形的弧长为，圆心角为， 扇形的周长为，， 方法一：扇形面积（当且仅当时取等号）， 当扇形面积取得最大值时，圆心角. 方法二：扇形面积， 则当时，取得最大值，此时， 当扇形面积取得最大值时，圆心角. 60．（2024高一·全国·单元测试）一个扇形的周长是20cm，问它的半径r多大时，此扇形的面积最大？最大面积为多少？ 【答案】当半径为5cm时，此扇形的面积的取到最大值 【分析】利用扇形面积公式求得扇形的面积的表达式，并利用配方法求得面积的最大值. 【详解】设半径为r，弧长为l，则，即， ， 当时，取到最大值25， 故当半径为5cm时，此扇形的面积取到最大值. 61．（2024高一·全国·课后作业）若扇形的周长是一定值C厘米（）．求证：该扇形面积有最大值，并求出面积最大时圆心角的弧度数． 【答案】证明见解析， 【分析】先设出扇形得弧长和半径，利用扇形的弧长、半径与周长的关系以及弧长、半径与面积的关系建立等式求解即可. 【详解】设该扇形的弧长为，半径为，则有，得， 所以扇形面积， 所以当时此时面积有最大值，此时， 所以圆心角 62．（2024高一·全国·课后作业）写出终边落在图中阴影区域内的角的集合． (1)   (2)   【答案】(1) (2) 【分析】写出终边在边界上的角，结合图象，利用不等式表示终边在阴影内的角，注意边界的虚实. 【详解】（1）在范围内，图中终边在第二象限的区域边界线所对应的角为，终边在第四象限的区域边界线所对应的角为， 因此，阴影部分区域所表示的集合为； （2）图中从第四象限到第一象限阴影部分区域表示的角的集合为， 图中从第二象限到第三象限阴影部分区域所表示的角的集合为 ， 因此，阴影部分区域所表示角的集合为 . 63．（2024高一上·全国·课后作业）写出终边落在的图象所夹区域内（不包括边界）的角的集合. 【答案】 【分析】根据角的终边落在和图象上的角的集合可确定结果. 【详解】角的终边落在的图象上时，角的集合为；角的终边落在的图象上时，角的集合为； 终边落在的图象所夹区域内（不包括边界）的角的集合为. 64．（2024高一·全国·随堂练习）把下列各角的角度化成弧度： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】直接利用角度制与弧度制的互化公式，准确计算，即可求解. 【详解】（1）解：由角度制与弧度制的互化公式，可得. （2）解：由角度制与弧度制的互化公式，可得. （3）解：由角度制与弧度制的互化公式，可得. （4）解：由角度制与弧度制的互化公式，可得. 65．（2024高一·江苏·课后作业）设是第一象限角，试探究： （1）一定不是第几象限角？ （2）是第几象限角？ 【答案】（1）一定不是第三、四象限角；（2）是第一、二、三象限角. 【分析】根据是第一象限角，得到，再判断即可. 【详解】（1）因为是第一象限角，即， 所以， 所以一定不是第三、四象限角； （2）因为是第一象限角，即， 所以， 当时，，是第一象限； 当时，，是第二象限； 当时，，是第三象限； 当时，，是第一象限； 综上：是第一、二、三象限角. 66．（2024高一·全国·课后作业）若，，试确定，分别是第几象限角． 【答案】为第一象限角；为第一或第三象限角 【分析】分别求得和，根据对的取值的讨论可求得结果. 【详解】由得：，为第一象限角； 由得：， 当时，，则为第一象限角； 当时，，则为第三象限角； 综上所述：为第一象限角；为第一或第三象限角. 67．（2024高一上·全国·课后作业）已知，. (1)指出各自终边所在的象限； (2)在内找出与终边相同的所有角. 【答案】(1) 在第二象限； 第一象限 (2)与终边相同的所有角有，与终边相同的角为. 【分析】（1）（2）根据终边相同的角即可求解. 【详解】（1），在第二象限； 在第一象限； （2），与终边相同的角为，取 范围内与它们终边相同的所有角有 与终边相同的角为，取， 则范围内与它们终边相同的所有角有. 68．（2024高一·全国·随堂练习）分别写出终边在y轴正半轴、y轴负半轴和y轴上的角的集合． 【答案】终边在轴正半轴上的角的集合为；终边在轴负半轴上的角的集合为；终边在轴轴上的角的集合为 【分析】 分别找出一个终边在轴正半轴上、y轴负半轴的最小正角，然后加上的整数倍得答案，从而可得终边在y轴上角的集合． 【详解】 终边在轴正半轴上的最小正角为， 则终边在轴正半轴上的角的集合为． 终边在轴负半轴上的最小正角为， 则终边在轴负半轴上的角的集合为． 故终边在轴轴上的角的集合为． 69．（2024高一·江苏·课后作业）下列角中哪些角与角的终边相同： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)不相同 (2)相同 (3)相同 (4)相同 【分析】（1）利用任意角的定义和表达式运算判断即可得解. （2）利用任意角的定义和表达式运算判断即可得解. （3）利用任意角的定义和表达式运算判断即可得解. （4）利用任意角的定义和表达式运算判断即可得解. 【详解】（1）解：∵与30°角的终边相同的角为， 当时，，解得， ∴角与30°角的终边不相同. （2）解：∵与30°角的终边相同的角为， 当时，，解得， ∴角与30°角的终边相同. （3）解：∵与30°角的终边相同的角为， 当时，，解得， ∴角与30°角的终边相同. （4）解：∵与30°角的终边相同的角为， 当时，，解得， ∴角与30°角的终边相同. 70．（2024高一·全国·专题练习）把下列角度与弧度进行互化． (1)； (2)； (3)； (4). (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）由弧度制和角度值的转化公式解即可得出答案. 【详解】（1）. （2）. （3）. （4）. （5）. （6）. （7）. （8）. （9） （10）. 71．（2024高一下·上海·课后作业）已知角的终边在第四象限. （1）试分别判断、是哪个象限的角； （2）求的范围. 【答案】（1）是第二或第四象限的角，是第三或第四象限或轴的非正半轴的角；（2）（）. 【分析】（1）先写出的范围，再求出和的范围，即可求解； （2）由写出的范围，再求出的范围，再判断即可. 【详解】是第四象限的角， ， ， 当时， 此时是第二象限； 当时， 此时是第四象限； 又 此时是第三象限或第四象限或轴的非正半轴； （2） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$