精品解析：2023-2024学年人教版八年级下册数学期中复习试题

2023－2024学年人教版八年级下册数学期中复习试卷 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1. 已知平行四边形ABCD中，∠A＋∠C＝110°，则∠B的度数为（ ） A. 125° B. 135° C. 145° D. 155° 2. 如图，在平行四边形中，，，且，相交于点O，则图中平行四边形有（ ） A. 4个 B. 5个 C. 8个 D. 9个 3. 如图 ，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O ，AE⊥BC于E ，AB＝ ，AC＝2 ，BD＝4 ，则AE的长为（　　） A. B. C. D. 4. 如图．在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知AO＝5，∠AOB＝60°，则下列选项中图形的周长是有理数的是（　　） A. ABC B. BOC C. COD D. 矩形ABCD 5. 如图，中，已知，，平分交边于点，则等于（ ） A. 2 B. 4 C. 3 D. 8 6. 如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，线段EF与对角线AC交于点O且互相平分．若AD＝BC＝10，AB＝6，则四边形ABCD的周长是（ ） A. 26 B. 32 C. 34 D. 36 7. 关于▱ABCD的叙述，正确的是（　　） A. 若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形 B. 若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形 C. 若AC=BD，则▱ABCD是矩形 D. 若AB=AD，则▱ABCD是正方形 8. 如图，在正方形ABCD中，，连接AC，的平分线交AD于点E，在AB上截取．连接DF，分别交CE、CA于点G、H，P是线段GC上的动点，于Q，连接PH，则下列四个结论：①；②；③；④的最小值是；其中所有正确的结论有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图所示，有一块直角三角形纸片，，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（ ）． A. 1cm B. 1.5cm C. 2cm D. 3cm 10. 如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE，交AD于点F．若DG＝GE，AF＝8，BF＝4，△ADG的面积为10，则点F到直线BC的距离为（　　） A. B. C. D. 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 11. 如图，在平行四边形中，点是的中点，作交于，若，，下列结论中：①，②，③，④，正确的是________． 12. 如图,在△ABC中,∠C=90°,E,F分别是AC,BC上两点,AE=16,BF=12,点P,Q,D分别是AF,BE,AB的中点,则PQ的长为______. 13. 如图，平行四边形对角线，相交于点O，点E、F分别是线段、的中点，若，的周长是18，则__________． 14. 将长方形纸片 ABCD 沿过点 B 的直线折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 F 处， 折痕为 BE（如图③）；再沿过点 E 的直线折叠，使点 D 落在 BE 上的点处 D′，折痕为 EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤），则图⑤中∠α=________． 15. 已知四边形是菱形，的两边分别与相交于点E、F，且，设的面积为y，则y关于x之间的函数解析式为______． 16. 如图，菱形中，，，点在边上，且，动点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转至线段，连接，则线段长的最小值为________． 17. 如图，在正方形中，，点是的中点，连接，则__________；点F在边上，将沿折叠，点B恰好落在上的点G处，连接，则___________． 18. 如图，公园里长为20米宽为10米的长方形草地内修建了宽为1米的道路，则草地面积是________平方米． 三．解答题（共7小题，满分56分） 19. 如图，在平行四边形中，点在上，且， （1）用直尺和圆规在上方作使得，交于点． （2）求证： 证明：∵四边形是平行四边形 ∴， ① ∴ ② ∵在与中 ∴ ∴ ④ ∴ 20. 如图，四边形ABCD是平行四边形，，且分别交对角线于点E、F，连接ED、BF． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若AE＝EF，请直接写出图2中面积等于四边形ABCD的面积的的所有三角形． 21. 如图1，点E是正方形边上一点，点G是延长线上一点，四边形是正方形，连接，点M是线段的中点，连接并延长与边交于点H，连接． （1）猜想和的数量关系和位置关系，直接写出结论，不必说明理由； （2）将图1中的正方形绕点B按顺时针方向旋转． ①如图2，当点E恰好落在边的延长线上，连接，点M是的中点，连接，，（1）中的两个结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； ②若，，在旋转过程中，当A，E，F三点在一条直线上时，请直接写出MF的长． 22. 已知：如图1，在平行四边形中，连结，，点，分别为，的中点，连结并延长交的延长线于点． （1）如图1，若，，求四边形的周长； （2）如图2，连结，．求证：四边形是菱形． 23. 在中，，，点D在射线上（不与点B，点C重合），以为边作正方形，使点E与点B在直线异侧，射线与射线相交于点G． （1）若点D在线段上，如图1，请判断与的关系． （2）若点D在线段的延长线上，如图2，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． （3）在（2）的条件下，连接，若，，求的长． 24. 如图，在中，，，，点从点出发，沿线段向终点匀速运动，速度为，过点作，交折线于点，以为一边作正方形，使点落在射线上，设运动时间为（单位：． （1）如图1，连接，若平分，求的长； （2）如图2，若是等腰三角形，求t的值； （3）在整个运动过程中，点M的运动路径长是 ． 25. 如图1，在正方形中，E是边上一动点（与C，D不重合），连接，将沿所在的直线折叠得到，延长交于点G，连接，作，交的延长线于点H，连接． （1）求证：平分； （2）如图2，过点H作交于点P；在点E运动过程中，四边形能否为菱形？若能，请求出度数；若不能，无需证明． （3）连接，若，请直接写出长度的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023－2024学年人教版八年级下册数学期中复习试卷 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1. 已知平行四边形ABCD中，∠A＋∠C＝110°，则∠B的度数为（ ） A. 125° B. 135° C. 145° D. 155° 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，对角相等以及邻角互补，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A+∠B=180°，∠A=∠C， ∵∠A+∠C=110°， ∴∠A=∠C=55°， ∴∠B=125°． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，灵活的应用平行四边形的性质是解决问题的关键． 2. 如图，在平行四边形中，，，且，相交于点O，则图中的平行四边形有（ ） A. 4个 B. 5个 C. 8个 D. 9个 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 根据平行四边形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴，，，， ∴四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形均为平行四边形． ∴图中共有个平行四边形9个． 故选：D． 3. 如图 ，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O ，AE⊥BC于E ，AB＝ ，AC＝2 ，BD＝4 ，则AE的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由勾股定理的逆定理可判定△BAO是直角三角形，然后根据平行四边形ABCD的面积即可求出． 【详解】解：∵AC=2，BD=4，四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∵， ∴， ∴． 故选D 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和平行四边形的性质，能得出△BAC是直角三角形是解此题的关键． 4. 如图．在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知AO＝5，∠AOB＝60°，则下列选项中图形的周长是有理数的是（　　） A. ABC B. BOC C. COD D. 矩形ABCD 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质得出∠ABC＝90°，AD＝BC，AB＝CD，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，求出AO＝CO＝BO＝DO＝5，根据勾股定理求出BC，再求出答案即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，AD＝BC，AB＝CD，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD， ∴AO＝CO＝BO＝DO， ∵AO＝5， ∴AO＝CO＝BO＝DO＝5，AC＝10， ∵∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB＝AO＝5， 由勾股定理得：BC＝， ∴△ABC的周长是AB+BC+AC＝5++10＝15+，是无理数，不是有理数， △BOC的周长是BC+BO+ CO＝+5+5＝10+，是无理数，不是有理数， △COD的周长是CD+DO+CO＝5+5+5＝15，是有理数， 矩形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD＝5++5+＝10+，是无理数，不是有理数， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，注意：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线互相平分且相等，矩形的对边相等． 5. 如图，在中，已知，，平分交边于点，则等于（ ） A. 2 B. 4 C. 3 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，由平行四边形的性质可得，，，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得，即可求的长． 【详解】四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， ， 故选：C． 6. 如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，线段EF与对角线AC交于点O且互相平分．若AD＝BC＝10，AB＝6，则四边形ABCD的周长是（ ） A. 26 B. 32 C. 34 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】根据SAS得到△AOE≌△COF，进而可得∠EAO＝∠FCO，AE＝CF，进一步证得四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质求得四边形ABCD的周长． 【详解】解：∵线段EF与AC交于点O且互相平分， ∴OA＝OC，OE＝OF． 又∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF（SAS）， ∴∠EAO＝∠FCO， ∴AD∥BC． ∵AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB， ∵AD＝BC＝10，AB＝6， ∴CD＝6， ∴四边形EFCD的周长＝AB+BC+CD+DA＝6+10+6+10＝32． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质．熟练掌握这些性质判定是解题关键． 7. 关于▱ABCD的叙述，正确的是（　　） A. 若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形 B. 若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形 C. 若AC=BD，则▱ABCD是矩形 D. 若AB=AD，则▱ABCD是正方形 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、若AB⊥BC，则▱ABCD是矩形，故本选项不符合题意； B、若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形，故本选项不符合题意； C、若AC=BD，则▱ABCD是矩形，故本选项符合题意； D、若AB=AD，则▱ABCD是菱形，故本选项不符合题意； 故选：C 8. 如图，在正方形ABCD中，，连接AC，的平分线交AD于点E，在AB上截取．连接DF，分别交CE、CA于点G、H，P是线段GC上的动点，于Q，连接PH，则下列四个结论：①；②；③；④的最小值是；其中所有正确的结论有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先根据定理证出，从而可得，再根据角的和差即可判断结论①；根据等腰三角形的性质可得，然后根据线段的和差、等量代换即可判断结论②；在中，由勾股定理，结合，由此即可判断结论③；过点作于点，连接，先根据角平分线的性质可得，再根据两点之间线段最短、垂线段最短可得当时，取得最小值，然后解直角三角形即可得判断结论④． 【详解】解：四边形是正方形，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，即，结论①正确； 平分，， ， ， ， ， ， ， ，结论②正确； 在中，, , 又， 故结论③正确； 如图，过点作于点，连接， 平分，，， ， ， 由两点之间线段最短得：当点共线时，取得最小值， 由垂线段最短得：当时，取得最小值， 此时在中，， 即的最小值是，结论④正确； 综上，所有正确结论的序号是①②③④， 故选择：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形等知识点，较难的是④，利用两点之间线段最短、垂线段最短得出当时，取最小值是解题关键． 9. 如图所示，有一块直角三角形纸片，，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（ ）． A. 1cm B. 1.5cm C. 2cm D. 3cm 【答案】A 【解析】 【分析】由勾股定理可求出，根据折叠的性质可得出，进而可直接由求解． 【详解】解：在中，， 根据折叠的性质可知：． ∵， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查勾股定理，折叠的性质．利用数形结合的思想是解题关键． 10. 如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE，交AD于点F．若DG＝GE，AF＝8，BF＝4，△ADG的面积为10，则点F到直线BC的距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据等底同高三角形的面积相等求出S△ADG＝S△AEG＝10，则S△ADE＝20，再由翻折的性质得到S△ABD＝S△ADE＝20，∠BFD＝90°，由此可以求出DF＝2，即可利用勾股定理求出，最后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵DG＝GE， ∴S△ADG＝S△AEG＝10， ∴S△ADE＝20， 由翻折可知，△ADB≌△ADE，BE⊥AD， ∴S△ABD＝S△ADE＝20，∠BFD＝90°， ∴•（AF+DF）•BF＝20， ∴•（8+DF）•4＝20， ∴DF＝2， ∴DB＝＝＝2， 设点F到BD的距离为h，则有•BD•h＝•BF•DF， ∴2h＝4×2， ∴h＝． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，三角形面积公式，点到直线的距离，熟知相关知识是解题的关键． 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 11. 如图，在平行四边形中，点是的中点，作交于，若，，下列结论中：①，②，③，④，正确的是________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，延长、交于，结合平行线的性质和中点可证明，得到，，再结合根据垂直平分线的性质可得，进一步可得，，即可判断①②④正确；③缺少条件证明． 【详解】延长、交于，如图所示： ∵平行四边形， ∴， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∴，，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∴， ，故④正确； 由现有条件无法证明，③不一定正确； 故答案为：①②④． 12. 如图,在△ABC中,∠C=90°,E,F分别是AC,BC上两点,AE=16,BF=12,点P,Q,D分别是AF,BE,AB的中点,则PQ的长为______. 【答案】10. 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理得到PD=BF=6，PD∥BC，根据平行线的性质得到∠PDA=∠CBA，同理得到∠PDQ=90°，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】∵∠C=90°， ∴∠CAB+∠CBA=90°， ∵点P，D分别是AF，AB的中点， ∴PD=BF=6,PD∥BC， ∴∠PDA=∠CBA， 同理,QD=AE=8，∠QDB=∠CAB， ∴∠PDA+∠QDB=90°,即∠PDQ=90°， ∴PQ==10. 故答案为10. 【点睛】本题考查三角形中位线定理和平行线的性质，解题的关键是掌握三角形中位线定理和平行线的性质. 13. 如图，平行四边形的对角线，相交于点O，点E、F分别是线段、的中点，若，的周长是18，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可知，结合，的周长是18，求出的长，利用三角形中位线定理求出的长． 【详解】解：∵平行四边形的对角线，相交于点O， ∴点O是，的中点， ∵， ∴， ∵的周长是18， ∴， ∵平行四边形的对角线，相交于点O，点E、F分别是线段、的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理以及平行四边形的性质的知识，解答本题的关键是求出的长，此题难度不大． 14. 将长方形纸片 ABCD 沿过点 B 的直线折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 F 处， 折痕为 BE（如图③）；再沿过点 E 的直线折叠，使点 D 落在 BE 上的点处 D′，折痕为 EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤），则图⑤中∠α=________． 【答案】22.5° 【解析】 【分析】利用折叠的性质，可得∠AEB=45°，∠BEG=DEG，四边形 ABFE 是正方形， 又由平角的定义即可求得∠DEG 的度数，继而求得∠α的值． 【详解】解：根据题意得： 如图③：四边形 ABFE 是正方形， ∴∠AEB=∠FEB=45°， 如图⑤：∵EG 是折痕， ∴∠BEG=DEG， ∵∠AEB=45°，∠AEB+∠BEG+∠DEG=180°， ∴∠DEG=675°， 故答案为22.5°． 【点睛】此题考查了折叠的性质，正方形的性质以及角的和差关系．题目难度不大，解题的关键是数形结合思想的应用． 15. 已知四边形是菱形，的两边分别与相交于点E、F，且，设的面积为y，则y关于x之间的函数解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点A作于H，由“”可证，可得，可证为等边三角形，由勾股定理和等边三角形的面积公式可求解，证明为等边三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，过点A作于H， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， 如上图，在其中的等边中，作，垂足为G，则， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，菱形中，，，点在边上，且，动点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转至线段，连接，则线段长的最小值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，在上取一点，使得，连接，，作直线交于，过点作于．证明，推出点在射线上运动，根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，求出即可． 【详解】在上取一点，使得，连接，，作直线交于，过点作于． ，， 是等边三角形， ，， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 点在射线上运动， 根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小， ，， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ∴， ， 的最小值为， 故答案为：． 17. 如图，在正方形中，，点是的中点，连接，则__________；点F在边上，将沿折叠，点B恰好落在上的点G处，连接，则___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据正方形的性质和勾股定理可得，由翻折可得，设，然后利用勾股定理列出方程求出x的值，再根据三角形面积公式即可解决问题． 【详解】解：在正方形ABCD中，， ∵点E是的中点， ∴， ∴， 由翻折可知：， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，正方形的性质，勾股定理，三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键． 18. 如图，公园里长为20米宽为10米的长方形草地内修建了宽为1米的道路，则草地面积是________平方米． 【答案】162 【解析】 【分析】利用平移的性质得到草地部分的图形为一个长方形，利用公式计算即可． 【详解】解：草地部分的面积为152（平方米）， 故答案为：162． 【点睛】此题考查了利用平移的性质解决实际问题，正确理解平移的性质是解题的关键． 三．解答题（共7小题，满分56分） 19. 如图，在平行四边形中，点在上，且， （1）用直尺和圆规在上方作使得，交于点． （2）求证： 证明：∵四边形平行四边形 ∴， ① ∴ ② ∵在与中 ∴ ∴ ④ ∴ 【答案】（1）作图见解析 （2）①；②；③；④ 【解析】 【分析】（1）根据题意，作出图形即可得到答案； （2）根据平行线的性质，再结合三角形全等的判定与性质即可得证． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵在与中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：①；②；③；④． 【点睛】本题考查尺规作图及线段相等证明，涉及作等角、平行四边形的性质、两个三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握基本尺规作图及全等三角形的判定是解决问题的关键． 20. 如图，四边形ABCD是平行四边形，，且分别交对角线于点E、F，连接ED、BF． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若AE＝EF，请直接写出图2中面积等于四边形ABCD面积的的所有三角形． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）先证明再证明可得从而有 于是可得结论； （2）先证明再证明，从而可得结论. 【详解】证明：（1） 四边形ABCD是平行四边形， ， 四边形BEDF是平行四边形. （2）由（1）得： 四边形BEDF是平行四边形, 四边形ABCD是平行四边形， ， 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，熟练的运用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是证明的关键，第（2）问先确定面积为平行四边形ABCD的的三角形是解题的关键. 21. 如图1，点E是正方形边上一点，点G是延长线上一点，四边形是正方形，连接，点M是线段的中点，连接并延长与边交于点H，连接． （1）猜想和的数量关系和位置关系，直接写出结论，不必说明理由； （2）将图1中的正方形绕点B按顺时针方向旋转． ①如图2，当点E恰好落在边的延长线上，连接，点M是的中点，连接，，（1）中的两个结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； ②若，，在旋转过程中，当A，E，F三点在一条直线上时，请直接写出MF的长． 【答案】（1）， （2）①成立，见解析；②或 【解析】 【分析】（1）证明，得出，，证明，根据，得出是等腰直角三角形，再根据，即可证明结论； （2）①延长交的延长线于H，证明，得出，，证明，根据，得出是等腰直角三角形，再根据，即可证明结论； ②分两种情况进行讨论：当点E在线段上时，当点F在上时，分别画出图形，求出结果即可． 【小问1详解】 解：，，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴， ∴， ∵点M是线段的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， 又∵， ∴，； 【小问2详解】 解：①仍然成立，理由如下： 如图2，延长交的延长线于H， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴， ∴， ∵点M是线段的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， 又∵， ∴，； ②如图，当点E在线段上时，过点F作，交的延长线于点N，过点D作，交于点P，交的延长线于点H，延长交于点Q，连接， ∵四边形和是正方形， ∴，，，， ∵M为的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 当点F在上时，过点M作于P， 同理可求，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述： 或． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质，注意进行分类讨论． 22. 已知：如图1，在平行四边形中，连结，，点，分别为，的中点，连结并延长交的延长线于点． （1）如图1，若，，求四边形的周长； （2）如图2，连结，．求证：四边形是菱形． 【答案】（1）13 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理得到，推出四边形是平行四边形，根据勾股定理得到，根据平行四边形的周长公式即可得到结论； （2）根据平行四边形的性质得到，求得，推出四边形是平行四边形，根据菱形的判定定理即可得到结论． 【小问1详解】 点，分别为，的中点， 是的中位线， ∴， 在中，， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， 的周长； 【小问2详解】 四边形是平行四边形， ， 是中点，， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形． 【点睛】本题考查了菱形判定和性质，平行四边形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 23. 在中，，，点D在射线上（不与点B，点C重合），以为边作正方形，使点E与点B在直线的异侧，射线与射线相交于点G． （1）若点D在线段上，如图1，请判断与的关系． （2）若点D在线段的延长线上，如图2，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． （3）在（2）的条件下，连接，若，，求的长． 【答案】（1）， （2）成立，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，结合正方形的，即可证明，有，则，进一步得，可证明，有； （2）由（1）得是等腰直角三角形，则是等腰直角三角形，，，那么，，利用证明，有； （3）由（2）可得，，，，过点A作于M，则，结合已知得，有和，过点E作于N，可证明，则，结合等腰三角形的性质得为的垂直平分线，有． 【小问1详解】 解：，，理由如下： 在中，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：（1）中的结论还成立，理由如下： 同（1）得：是等腰直角三角形， ∵， ∴是等腰直角三角形，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）可得，，，， ∵， ∴， 过点A作于M，如图2所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ， 过点E作于N， 则， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴为的垂直平分线， ∴． 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质和判定、正方形的性质、全等三角形的判定和性质和解直角三角形，解题的关键是熟悉等腰三角形的性质和全等三角形性质． 24. 如图，在中，，，，点从点出发，沿线段向终点匀速运动，速度为，过点作，交折线于点，以为一边作正方形，使点落在射线上，设运动时间为（单位：． （1）如图1，连接，若平分，求的长； （2）如图2，若是等腰三角形，求t的值； （3）在整个运动过程中，点M的运动路径长是 ． 【答案】（1） （2）或1或或2 （3） 【解析】 【分析】（1）首先证明，由此构建方程即可解决问题． （2）分四种情形：①如图2中，当时，②如图3中，当时，③如图4中．当时，④如图5中，当时，连接，则，分别求解即可． （3）分别求出点在或上运动时，点的运动轨迹的长，即可解决问题． 【小问1详解】 如图1中， 在中，，，， ， 四边形是正方形， ， ，，平分， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ． 【小问2详解】 ①如图2中，当时，作于． ， ， ， ， 经检验是分式方程的解． ②如图3中，当时，则有，解得． ③如图4中．当时，作于． ， ， ， 经检验，是分式方程的解， ④如图5中，当时，连接，则， ， ， ， 综上所述，当或1或或2时，是等腰三角形． 【小问3详解】 如图中，当点在线段上时，过点作于，过点作于． ， ，， ， ， ， ，， ， ， 是定值， 点的运动轨迹是线段，可得， 当点与重合时，如图中，， ． 如图中，当点在线段上时，同法可证，点的运动轨迹是线段，作于． ，， ， ， 点的运动轨迹的长． 故答案为：． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 25. 如图1，在正方形中，E是边上一动点（与C，D不重合），连接，将沿所在的直线折叠得到，延长交于点G，连接，作，交的延长线于点H，连接． （1）求证：平分； （2）如图2，过点H作交于点P；在点E运动过程中，四边形能否为菱形？若能，请求出的度数；若不能，无需证明． （3）连接，若，请直接写出长度的最小值． 【答案】（1）见解析 （2）能， （3） 【解析】 【分析】（1）在上截取，连接，根据正方形性质可证得是等腰直角三角形，有，由折叠的性质得，则，可证明，有和，即，则为等腰直角三角形，进一步证明，有，求得，结合即可； （2）当时，，则四边形为平行四边形，，由（1）得和，则有，即可证明四边形为菱形，有，则，即可得； （3）根据题意得，当A、F、C三点共线时，最短，则长度的最小值 ． 【小问1详解】 证明：在上截取，连接，如图1所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分； 【小问2详解】 解：四边形能为菱形，理由如下： 当时，， ∵， ∴四边形为平行四边形，， 由（1）得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图2所示，连接： ∵，， ∴， 由（1）得：， 当A、F、C三点共线时，最短， 则长度的最小值 ． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、等腰三角形的判定和性质、折叠的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质和菱形的判定，解题的关键是熟悉等腰三角形的性质和特殊四边形的相互转化． 第1页/共1页 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