函数性质的综合问题课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

培优课 第三章 <<< 函数性质的综合问题 当函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称时,会满足怎样的条件呢? 问题1 函数图象的对称性 1.函数图象关于直线对称 y=f(x)在定义域内恒满足的条件 y=f(x)的图象的对称轴 f(a+x)=f(a-x) f(x)=f(a-x) f(a+x)=f(b-x) 知识梳理 当函数y=f(x)的图象关于点(a,0)对称时,又会满足怎样的条件呢? 问题2 2.函数图象关于点对称 y=f(x)在定义域内恒满足的条件 y=f(x)的图象的对称中心 f(a-x)=-f(a+x) (a,0) f(x)=-f(a-x) f(a+x)=-f(b-x) f(a+x)+f(b-x)=c 2.函数图象关于点对称 y=f(x)在定义域内恒满足的条件 y=f(x)的图象的对称中心 f(a-x)=-f(a+x) f(x)=-f(a-x) f(a+x)=-f(b-x) f(a+x)+f(b-x)=c 知识梳理 已知定义在R上的偶函数y=f(x),其图象关于点对称,且当x∈[0,1]时,f(x)=-x+,则f等于 A.-1 B.0 C.1 D. 例 1 √ 解决对称性、单调性和奇偶性综合问题的方法 (1)图象法,根据题意,作出符合要求的草图,便可得出结论. (2)性质法,根据对称性、单调性和奇偶性的性质,逐步推导解决求值和比较大小的问题. 注意:使用性质要规范,切不可自创性质! 反 思 感 悟 8 　 （1）已知函数f(x)＝x2，分别作出y＝f(x＋1)，y＝f(x－1)的图象 问题3 平移变换 （2）已知函数f(x)＝x2，分别作出y＝f(x)+1，y＝f(x)-1的图象 y=f(x) y=f(x) y=f(x+a) 向左平移a个单位（a>0） y=f(x) y=f(x) y=f(x+a) 向右平移a个单位（a>0） y=f(x) y=f(x) y=f(x)+b 向上平移b个单位（a>0） y=f(x) y=f(x) y=f(x)-b 向下平移b个单位（a>0） 左加右减 上加下减 函数图象的变换 (1)若函数f(x+a)是偶函数,则函数f(x)关于 对称. (2)若函数f(x+a)是奇函数,则函数f(x)关于 对称. 思考： 练习：已知函数y=f（x+1）是定义在R的偶函数，且f（x）在区间[1，+∞）上单调递减，则不等式f（2x-1）> f(x+2)的解集是 . 10 若函数f(x)在(0,2)上单调递增,函数f(x+2)是偶函数,则下列结论正确的是 A.f(1)<f<f B.f<f(1)<f C.f<f<f(1) D.f<f(1)<f 跟踪训练 1 √ 11 　 已知函数f(x)＝x+1，分别作出y＝f(-x)，y＝-f(x)，y＝-f(-x)的图象 问题4 对称变换 函数图象的变换 y=f(x) y=f(x) y=-f(x) 关于y轴对称 y=f(x) y=f(x) y=f(-x) 关于x轴对称 y=f(x) y=f(x) y=-f(-x) 关于原点中心对称 　 已知函数f(x)＝x+1，分别作出y＝| f(x) |,y＝f(|x|)，的图象 问题5 翻折变换 函数图象的变换 y=f(x) y=f(x) y=|f(x)| 保留x轴上方的图象， x轴下方图象对称到上方 y=f(x) y=f(x) y=f(|x|) 保留x轴右方的图象， x轴右方图象对称到左方 例 2 画函数 图象 已知函数f(x)=是定义在(-1,1)上的奇函数,且f=. (1)确定函数f(x)的解析式; 例 3 (2)用定义法证明f(x)在(-1,1)上是增函数; (3)解不等式:f(t-1)+f(t)<0. 函数性质的综合应用 15 反 思 感 悟 奇偶性、单调性的综合应用 利用函数的奇偶性将函数式转化,利用单调性解决常见不等式问题,在综合性题目中,要熟练掌握奇偶性、单调性的性质及变形,适当应用解题技巧,化简求值,解题时,一定要特别注意函数的定义域. 已知函数f(x)的定义域为(-2,2),函数g(x)=f(x-1)+f(3-2x). (1)求函数g(x)的定义域; 跟踪训练 2 (2)若f(x)为奇函数,并且在定义域上是减函数,求不等式g(x)≤0的解集. 17 1.知识清单: (1)函数的对称轴和对称中心. (2)函数性质的综合应用. 2.方法归纳:数形结合、等价转化. 3.常见误区:容易忽视奇函数中的隐含条件f(0)=0. 课堂小结 课堂小结 $$