3.2.2 第1课时奇偶性的概念课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.2.2 第1课时 第三章 <<< 奇偶性的概念 观察下列函数图象,你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗? 问题1 提示　这两个函数图象都关于y轴对称. 如何利用符号语言精确地描述“函数图象关于y轴对称”呢? 问题2 可以发现,当自变量取一对相反数时,相应的两个函数值相等. f(x) ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... 偶函数定义：设函数 的定义域为 ，如果对定义域 内的任意一个 都有 ， 且 ，则这个函数叫做偶函数. 图象关于y轴对称 x∈D且-x∈D,f(-x)=f(x) 偶函数 问题3 　关于原点成中心对称. 观察函数f(x)=x和g(x)=的图象 （1）这两个图象有什么共同特征？ （2）如何用符号语言描述这一特征？ f(x) ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... 问题3 　关于原点成中心对称. 观察函数f(x)=x和g(x)=的图象 （1）这两个图象有什么共同特征？ （2）如何用符号语言描述这一特征？ f(x) ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... 奇函数定义：设函数 的定义域为 ，如果对定义域 内的任意一个 都有 ， 且 ，则这个函数叫做奇函数. 图象关于原点中心对称 x∈D且-x∈D,f(-x)=-f(x) 奇函数 若奇函数在原点处有意义,则必有f(0)=0. 观察这两个图象：他们有什么不同？ 思考： (1)函数的奇偶性判断——图象法（直观）. (2)函数的奇偶性——定义法（抽象） 定义域关于原点对称 还需判断f(-x)与f(x)的关系, 注 意 点 <<< 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=-|x|; 例 1 函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,又f(-x)=-|-x|=-|x|=f(x),∴f(x)为偶函数. (2)f(x)=+; 函数f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称,且f(x)=0,又f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x), ∴f(x)既是奇函数又是偶函数. (3)f(x)=; 函数f(x)的定义域为{x|x≠1},不关于原点对称, ∴f(x)是非奇非偶函数. (4)f(x)=x-. 函数f(x)的定义域为{x|x≠0},∵∀x∈{x|x≠0},都有-x∈{x|x≠0}, 且f(-x)=-x-=-=-f(x), ∴f(x)是奇函数. (5)f(x)= 当x>0时,f(x)=1-x2,此时-x<0, 所以f(-x)=(-x)2-1=x2-1,所以f(-x)=-f(x); 当x<0时,f(x)=x2-1,此时-x>0, f(-x)=1-(-x)2=1-x2,所以f(-x)=-f(x); 当x=0时,f(0)=0. 综上,对∀x∈R,总有f(-x)=-f(x), 所以函数f(x)为R上的奇函数. 12 二 奇、偶函数的图象及应用 已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.现已画出函数y=f(x)在y轴左侧的图象,如图所示. 例 2 (1)请补全函数y=f(x)的图象; (2)根据图象写出函数y=f(x)的单调递增区间; (3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合. 14 已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.现已画出函数y=f(x)在y轴左侧的图象,如图所示. (1)请补全函数y=f(x)的图象; (2)根据图象写出函数y=f(x)的单调递增区间; (3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合. 变式 15 反 思 感 悟 巧用奇、偶函数的图象求解问题 (1)依据:奇函数⇔图象关于原点对称,偶函数⇔图象关于y轴对称. (2)求解:根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题. 三 利用函数的奇偶性求值 v (1)若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,定义域为[a-1,2a],则a=　　, b=　　　.  例 3 0 (2)已知函数f(x)=x7-ax5+bx3+cx+2,若f(-3)=-3,则f(3)=　　　.  7 利用奇偶性求值的常见类型 (1)求参数值:若解析式含参数,则根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式,比较系数利用待定系数法求解;若定义域含参数,则根据定义域关于原点对称,利用区间的端点和为0求参数. (2)求函数值:利用f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)求解,有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值. 反 思 感 悟 (1)已知函数f(x)=ax2+2x是奇函数,则f(1)=　　　.  跟踪训练 3 2 由奇函数定义有f(-x)+f(x)=0, 得a(-x)2+2(-x)+ax2+2x=2ax2=0, 又上式对∀x∈R恒成立,故a=0, 所以f(x)=2x,f(1)=2. (2)设函数f(x)=为奇函数,则a=　　　.  -1 因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x), 即=-, 显然x≠0,整理得x2-(a+1)x+a=x2+(a+1)x+a,故a+1=0,得a=-1. 1.知识清单: (1)函数奇偶性的概念. (2)奇函数、偶函数的图象特征. 2.方法归纳:特值法、数形结合法. 3.常见误区:忽略奇、偶函数的定义域关于原点对称. 知识小结 课堂小结 $$