3.3　幂函数课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.3 必修第一册 幂函数 00 导入 (2)如果正方形的边长为x，那么正方形的面积 ，这里y是x的函数； (3)如果立方体的棱长为x，那么立方体的体积 ，这里y是x的函数； (4)如果正方形广场的面积为x，那么广场的边长 ，这里y是x的函数； (5)如果某人x秒内汽车前进了1km，那么他的平均速度 km/s，这里y是x的函数； (1)如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜x千克，那么他所需要支付的钱数为 ，这里y是x的函数； 00 导入 活动1：请观察（1）—（5）中的函数解析式，讨论它们有何共同特征. 实际上，这些函数的解析式都有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量；幂的指数都是常数，分别是1,2,3， ，-1； 00 概念生成 一般地，函数 称为幂函数，其中x是自变量，是常数. 注：（1）幂函数中前的系数为“1”且后面没有常数项. 01 探索新知 不是 1.辨析1：判断下列函数是不是幂函数？ 是 不是 不是 01 探索新知 2.若f(x)=(m2-4m+5)x-m+|n+1|是幂函数，则f(2)＝_____. 由f(x)=(m2-4m+5)x-m+|n+1|是幂函数得 ∴f(x)=x -2， 简析： 思考：根据之前所学，我们应该是如何研究函数的？ 01 绘制图象 活动2：对于幂函数，我们重点研究时的图象. 对于我们较熟悉的这三类函数的图象只需找 关键点 来作图 01 绘制图象 描点法作图 -2 -1 2 1 0 ... ... 2 1 4 3 0 9 ... -8 -1 0 1 8 1 2 3 0 01 研究性质 活动4：请你将五个函数画在一个坐标系中，并观察图象和整理函数性质表格，思考这些幂函数有哪些共同点和不同点 定义域 值域 奇偶性 单调性 R R R R R [0,+∞) [0,+∞) [0,+∞) 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 在R上单调递增 在R上单调递增 在[0,+∞）上单调递增 在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞）上单调递减 在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞）上单调递增 01 研究性质 可以从以下角度观察： （1）图象分布的区域、公共点 （2）函数的对称性 （3）函数的变化趋势 有哪些共同性质？有哪些不同性质？ 04 思考与提升 思考：观察5个函数图象的分布情况，它们有什么特殊情况。 分布区域：（1）一定过第一象限，一定不过第四象限 （3）图象所在象限 01 研究性质 公共点：（1）幂函数的图象过定点（1，1） 共同性质： 01 研究性质 （1）奇偶性不同 思考3：观察5个函数图象，哪些函数具有奇偶性，且它们的奇偶性是何种情况 指数为奇，幂函数是奇函数； 指数为偶，幂函数是偶函数。 思考：观察5个函数图象，在第一象限它们是否具有单调性，若有，请对他们进行分类 01 研究性质 （2）单调性不同（第一象限）： 指数为正，单调递增； 指数为负，单调递减。 （2） 的特性 01 研究性质 思考：观察5个函数图象，在第一象限内， 函数图象与坐标轴间的位置关系是什么样的？ 在第一象限，函数 的图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近 01 探索新知 幂函数的性质： （1）过定点（1,1）且一定过第一象限内，不过第四象限； （2）当时，幂函数在区间上是增函数； 当时，幂函数在区间上是减函数； （3）当为奇数时，幂函数是奇函数； 当为偶数时，幂函数为偶函数； （4）在第一象限，函数 的图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近 02 巩固提升 例1.证明幂函数是增函数. 证明：函数的定义域是. ,且,有 ∵,, ∴,即幂函数是增函数. 02 巩固提升 例2：比较大小 解：（1） ∵，且-1.5<-1.4 ∴ （2） ∵，且-1.5<-1.4 ∴ 03 小结 04 思考与提升 思考：你能从幂函数的角度求解下列不等式吗？ 04 思考与提升 思考：观察5个函数图象，在第一象限内，若x取值确定，这五个函数值对应的大小关系是什么样的？ 在上，指数越大，幂函数图象越靠近轴（指大图低）； 在上，指数越大，幂函数图象越远离轴（指大图高）； $$