3.2.1 函数的基本性质单调性、最值 课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.2.1函数的基本性质 ——单调性 导 数学成绩变化图 导 呈下降趋势 呈上升趋势 局部上升（下降） 曲线的变化趋势不同 导 函数图象的这种变化趋势，反映的就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性 导 探究活动一：观察图象（上升、下降），如何理解函数图象上升，并用数学语言刻画图象呈上升或下降的趋势？ 图象是上升的 图象在该区间从左至右呈上升趋势 ——x值增大，函数值y也增大 单调递增 图象在该区间从左至右呈下降趋势 ——x值增大，函数值y反而减小 单调递减 探 探究活动二：请大家思考对于函数 图象呈上升趋势，即x值增大，函数值y也增大怎么用符号语言表示？ x增大 函数值f(x)也增大 x增大，函数值f(x)也增大 探 探究活动三：若x=1，2，3，4时，相应地y=1，3，4，6，能否说在区间（0，+∞）上，y随x的增大而增大？ 任意 探 一般地，设函数f(x)的定义域为D,区间 增函数 减函数 探 单调递增 一般地，设函数f(x)的定义域为I,区间 探 增函数 单调递减 一般地，设函数f(x)的定义域为I,区间 探 减函数 题型一：判别函数的单调性（图象法） 注意：1.在考虑它的单调区间时，端点有定义时包括端点，端点无定义时不包括端点 练习1：请你说出下列函数的单调区间 （1）y=4x-2 请你再举几个函数例子，它们分别在整个定义域内是单调递增，在某些区间上单调递增，但在另一些区间上单调递减 例1　已知函数f(x)＝x2－4|x|＋3，x∈R.画出f(x)的图象并根据图象写出它的单调区间. 如图. 由图象可知，函数f(x)的单调递增区间为[－2,0)，[2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－2)，[0,2). 题型二：判别函数的单调性（定义法） 例2：证明函数y=4x-2在定义域内单调递增 任意取值 作差变形 判断符号 得出结论 练习3：证明函数 在（-∞，-1]内单调递减 跟踪训练2　求证：函数f(x)＝ －1在区间(－∞，0)上单调递增. ∀x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2<0， 由题设可得，x1－x2<0，x1x2>0， 所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 例3　(1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上单调递增，则实数a的取值范围是_____________. (－∞，－4] f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3 ＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3. 因此函数的单调递增区间为(－∞，－a－1]， 因为f(x)在(－∞，3]上单调递增， 所以3≤－a－1， 解得a≤－4，即实数a的取值范围为(－∞，－4]. 题型三：利用单调性求参数 延伸探究　在本例(1)中，若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的单调递增区间是(－∞，3]，则实数a的值为________. －4 f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3 ＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3. 因此函数的单调递增区间为(－∞，－a－1]， 由题意得－a－1＝3，所以a＝－4. A 跟踪训练3　已知f(2x－3)>f(5x－6)，若函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，则实数x的取值范围为__________.若函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的 减函数，则实数x的取值范围为___________. (－∞，1) 若f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， 且f(2x－3)>f(5x－6)， 则2x－3>5x－6，即x<1. ∴实数x的取值范围为(－∞，1). 若函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数， 若f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， 且f(2x－3)>f(5x－6)， 则2x－3>5x－6，即x<1. ∴实数x的取值范围为(－∞，1). 若函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数， 导 函数的基本性质——最大（小）值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1)∀x∈I，都有__________. (2)∃x0∈I，使得__________. 那么，我们称M是函数y＝f(x)的____________. 知识点　函数的最大(小)值 f(x)≤M　 f(x0)＝M　 最大值　 你能仿造函数的最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值定义吗？ 探 几何意义：函数的最大值对应 函数图象最高点的纵坐标 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足： (1)∀x∈I，都有__________. (2)∃x0∈I，使得__________. 那么，我们称M是函数y＝f(x)的____________. 知识点　函数的最大(小)值 f(x)≥m　 f(x0)＝m　 最小值　 探 几何意义：函数的最小值对应 函数图象最低点的纵坐标 微体验： (1)任何函数都有最大(小)值．(　　) (2)函数f(x)在[a，b]上的最值一定是f(a)(或f(b))．(　　) (3)函数的最大值一定比最小值大．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)× 探 注意点： (1)最大(小)值的几何意义：最高(低)点的纵坐标. (2)并不是所有的函数都有最大(小)值，比如y＝x，x∈R. (3)一个函数至多有一个最大(小)值. (4)研究函数最值需先研究函数的定义域和单调性. (5)对于定义域内的任意x都满足f(x)≤M(f(x)≥M)，那么M不一定是函数f(x)的最大(小)值，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大(小)值，否则不是.比如f(x)＝－x2≤3成立，但3不是f(x)的最大值，0才是它的最大值. 反思感悟 题型一：利用图象研究最大（小）值 1．如图为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，则它的最大值是________，最小值是________． 例1 作出函数f(x)的图象，如图. 由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值1. 当x＝0时，f(x)取最小值0， 故f(x)的最大值为1，最小值为0. （2） 试画出函数f(x)＝|x+1|＋|2－x|的图象，并说明最值情况． 图象法求函数最值的一般步骤 反思感悟 题型二：利用函数单调性研究最大（小）值 例2 (1)利用单调性求最值的一般步骤 ①判断函数的单调性.②利用单调性写出最值.③求最值时注意定义域 (2)函数的最值与单调性的关系 ①若函数在闭区间[a，b]上单调递减，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b). ②若函数在闭区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a). ③求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值. 反思感悟 例3（1）求 的最大值 （2）求 的最值 由题意得，总成本为(20 000＋100x)元， 例4　某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器 需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)＝ 其中x(单位：台)是仪器的月产量. (1)将利润表示为月产量x的函数f(x)； ∴当x＝300时，f(x)max＝25 000； 当x>400时，f(x)＝60 000－100x单调递减， f(x)<60 000－100×400<25 000. ∴当x＝300时，f(x)max＝25 000. 即月产量为300台时，利润最大，最大利润为25 000元. (2)当月产量x为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润) 题型三：利用函数性质求解参数问题 1.知识清单： (1)函数的最大值、最小值定义. (2)求解函数最值的方法. 2.方法归纳：配方法、分类讨论法、数形结合法. 3.常见误区： (1)在利用单调性求最值时，勿忘求函数的定义域. (2)求含参数的二次函数的最值时不要忘记按对称轴与区间的位置分类讨论. 课堂小结 f(x)＝x2－4|x|＋3＝ 因为f(x1)－f(x2)＝－－1－＝－＝， 故函数f(x)＝－－1在区间(－∞，0)上单调递增. － (2)若函数f(x)＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围为 A. B. C. D.∪ ∴实数x的取值范围为. 则解得x>， ∴实数x的取值范围为. 则解得x>， （1）已知函数f(x)＝求f(x)的最大值、最小值. 已知函数f(x)＝eq \f(2x＋1,x＋1). (1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值． 解　(1)f(x)在(－1，＋∞)上为增函数，证明如下： ∀x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝eq \f(2x1＋1,x1＋1)－eq \f(2x2＋1,x2＋1)＝eq \f(x1－x2,(x1＋1)(x2＋1))， 因为－1<x1<x2 所以x1＋1>0，x2＋1>0，x1－x2<0， 所以f(x1)－f(x2)<0即f(x1)<f(x2)， 所以f(x)在(－1，＋∞)上为增函数． (2)由(1)知f(x)在[2,4]上单调递增， 所以f(x)的最小值为f(2)＝eq \f(2×2＋1,2＋1)＝eq \f(5,3)，最大值f(4)＝eq \f(2×4＋1,4＋1)＝eq \f(9,5). 从而f(x)＝ 当0≤x≤400时，f(x)＝－(x－300)2＋25 000. $$