3.1.1函数的概念第1课时 课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

函数的概念（1） 3.1.1 复习导入 问题2.初中阶段对函数是怎样定义的？ 正比例函数： 反比例函数： 一次函数： 二次函数： . 问题1.在初中我们学习了哪些基本函数？其解析式分别是什么？ 在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数. 思考 1.某“复兴号”高速列车到350km/h后保持匀速运行半小时。这段时间内，列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t（单位：h）的关系可以表示为 思考：根据对应关系S=350t，这趟列车加速到350km/h后，运行1h就前进了350km，这个说法正确吗？ 不正确。忽略了t的变化范围 对应关系应为S=350t，其中， 数集A 数集B 对应关系 对应关系以表达式形式给出 S=350t 情境导入 2.某电气维修告诉要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天。如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？ 思考：一个工人的工资w（单位：元）是他工作天数d的函数吗？ 工资是一周工作天数的函数，对应关系为w=350d,其中， 数集A 数集B 对应关系 对应关系以表达式形式给出 思考 情境导 3 如图，是北京市2016年11月23日的空气质量指数变化图。如何根据该图确定这一天内任一时刻th的空气质量指数的值I？ 思考：你认为这里的I是t的函数吗？ I是t的函数，t的变化范围是 ，I的范围是 数集A 数集B 对应关系 对应关系以图象形式给出 思考 y的取值范围是 恩格尔系数r是年份y的函数 问题4 国际上常用恩格尔系数 反映一个地区人民生活质量的 高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。上表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况， 从表中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高。 思考：你认为该表给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？ 对应关系以表格形式给出 思考 上述问题1～问题4中的函数有哪些共同点和不同点？ 由此你能概括出函数概念的本质特征吗？ 对于数集 中的任一时刻 按照对应关系 ， 在数集 中都有唯一确定的路程 和它对应. 对于数集 中的任一天数 按照对应关系 ， 在数集 中都有唯一确定的工资 和它对应. 对于数集 中的任一时刻 按照曲线所给定的对应关系， 在数集 中都有唯一确定的数 和它对应. 对于数集 中的任一年份 按照表格所给定的对应关系， 在数集 中都有唯一确定的恩格尔系数 和它对应. 都包含两个非空数集，用A,B来表示； 都有一个对应关系； 函数的概念 函数概念 一 般地，设A，B是非空的 ，如果对于集合A中的 ，按照某种 的对应关系f，在集合B中都有 的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 的取值范围A 值域 与x的值相对应的 值的集合{f(x)|x∈A} 实数集 任意一个数x 确定 唯一确定 x y tips: (1)对数集的要求：集合A，B为非空实数集． (2)任意性和唯一性：集合A中的数具有任意性（即定义域中的每一个元素都有函数值），集合B中的数具有唯一性（每一个自变量都有唯一的函数值与之对应）． (3)函数三要素：定义域、值域和对应关系是函数的三要素，三者缺一不可． (4)对符号“”的认识：它表示对应关系，它可以是一个或几个解析式,可以是图象、表格、也可以是文字描述，在不同的函数中的具体含义不一样． (5)一个区别：是一个符号，不表示与的乘积，而表示函数当自变量=时的一个函数值． 例如：y=3x+1可以写成 f(x)= 3x+1,当x=2时y=7可以写成f(2)=7 （6） “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”“y=h(x)”. tips: 1.对于函数 y=f (x)，以下说法正确的有( ) ①y是x的函数 ②对于不同的x,y的值也不同 ③ f(a)表示当x=a时函数 f(x)的值，是一个常量 ④ f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 B √ √ 探究一　函数的概念问题 2.(多选)下列从集合A到集合B的对应关系f是函数的是 A.A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的数平方 B.A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方 C.A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数 D.A＝R，B＝{x|x≥0}，f：A中的数取绝对值 √ √ 3.若集合，，则下图给出的对应能构成从M到N的函数：的是(　　) D 探究一　函数关系的判断 4. 集合A，B与对应关系f，如图所示， f：A→B是否为从集合A到集合B的函数？ 如果是，那么定义值域与对应关系各是什么？ 【解析】由图知A中的任意一个数，B中都有唯一确定数，与之对应， 所以f：A→B是从A到B的函数， 定义域A={1，2，3，4，5}， 值域C={2，3，4，5}． 值域是集合B吗？ 反思感悟 ◆定义法判断函数关系 判断对应关系是否为函数，主要看以下三个方面： （1）A，B必须是非空数集； （2）A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应； （3）A中任何一个元素在B中必须有唯一 一个元素与其对应. 常见函数 反比例函数 一次函数 二次函数 a > 0 a < 0 图像 定义域 值域 一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域 探究二　求函数定义域问题 探究三　求函数值和函数定义域问题 √ 由图象可知，当x>0时，y＝1， 当x＝0时，y＝0，当x<0时，y＝－1， ∴函数的值域是{－1,0,1}. 跟踪训练3　已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的值域是 A.R B.{y|－1≤y≤1} C.{－1,1} D.{－1,0,1} 　4.(1)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的定义域为 _______________________，值域为______________. {x|－2≤x≤4或5≤x≤8} {y|－4≤y≤3} 根据y＝f(x)的函数图象可看出，f(x)的定义域为{x|－2≤x≤4或5≤x≤8}，值域为{y|－4≤y≤3}. 例4　已知矩形的面积为10，如图所示，试借助该图形构建问题情境描述下列变量关系. 设矩形的一边长为x，另一边长为f(x)， 课堂小结 1.知识清单： (1)函数的概念. (2)函数的三要素. (3)构建问题情境. 2.方法归纳：定义法、图象法. 3.常见误区：函数概念的理解. 例2 下列函数的定义域： (1)y＝eq \f((x＋1)2,x＋1)－eq \r(1－x)；(2)y＝eq \f(\r(5－x),|x|－3)；(3)y＝eq \r(ax－3)(a为常数)． 解　(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋1≠0，,1－x≥0，)) 解得x≤1，且x≠－1，即函数的定义域为{x|x≤1，且x≠－1}． [变式探究]　将本例(1)改为y＝eq \f((x＋1)2,x＋1)－eq \r(1－x2)，其定义域如何？ 解　由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋1≠0，,1－x2≥0，))解得{x|－1＜x≤1}． 例3 已知f(x)＝eq \f(1,1＋x) (x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)． (1)求f(2)，g(2)的值； (2)求f(g(2))的值； (3)求f(x)，g(x)的值域． 那么f(x)＝. 其中x的取值范围A＝{x|x>0}，f(x)的取值范围B＝{f(x)|f(x)>0}，对应关系f把每一个矩形的一边长x，对应到唯一确定的另一边长. (1)f(x)＝； 设矩形的一边长为x，周长为f(x)，那么f(x)＝2x＋. 其中x的取值范围A＝{x|x>0}，f(x)的取值范围B＝{f(x)|f(x)>0}，对应关系f把每一个矩形的一边长x，对应到唯一确定的周长2x＋. (2)f(x)＝2x＋； 其中x的取值范围A＝{x|x>0}，f(x)的取值范围B＝{f(x)|f(x)≥2}，对应关系f把每一个矩形的一边长x，对应到唯一确定的对角线长. (3)f(x)＝. 设矩形的一边长为x，对角线长为f(x)，那么f(x)＝. $$