江西省鹰潭市余江区第一中学2025届高三上学期第一次数学周练（9.7）

高三第一次周练 数学试卷1 余江一中 2025 届高三第一次周练（9.7） 数学试卷 考试试间：120 分钟 一．单选题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.已知集合 A＝{x| 20  x }，B＝{x|1－log2x>0}，则( ) A．A⊆B B． BBA  C．  2,0BA D．  2,0BA 2．对于任意实数 x，不等式 2( 2) 2( 2) 4 0a x a x     恒成立，则实数 a取值范围为（ ） A． ( ,2) B． ( , 2] C． ( 2,2) D． ( 2, 2] 3.若  f x 为幂函数，m为常数，且 1m  ，则函数     2 1xg x f x m   的图象经过的定点坐标为（ ） A．  1,1 B．  1,2 C．  1,1 D．  1,2 4．给出下列四个命题，其中正确命题为（ ） A．“ 20, 1x x x    ”的否定是“ 20 0 00, 1x x x    ” B．   2f x x 在  0,  上单调递减 C．若 0x 为  y f x 的导函数的一个零点，则 0x 为函数  f x 的一个极值点 D．若  f x 是奇函数，则  0 0f  5.已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a 在 x＝1 处取得极大值 10，则 a＋b的值为( ) A．－1或 3 B．1 或－3 C．3 D．－1 6.若 3log 7a  ， 9log 40b  ， 4.05c  ，则（ ） A． c<a<b B．b<c<a C．a b c  D．b a c  7．网购已成为人们习以为常的生活方式，大量的网购增加了人们对快递的需求，快递量几何 级增长，快递包装箱的消费量也十分惊人，瓦楞纸板是最主要的快递包装材料，如何使用更少 的纸板来包裹更多的物品，这对于环境保护和商家的利益都是非常重要的问题．现某商家需设 计一体积为 30.02m 的纸箱．要求纸箱底面必须为正方形，为了保护易碎的商品，纸箱的底面和 顶面必须用双层瓦楞纸板制成．已知瓦楞纸板的市场价格大约为 1元/ 2m ，则一个纸箱的成本 最低约为（ ）（参考数据： 3 0.01 0.22 ， 3 0.02 0.27 ） A．0.32 元． B．0.44 元 C．0.56 元 D．0.64 元 高三第一次周练 数学试卷 2 8．已知函数     24 2 2 2x xf x a x ax     有 4个不同的零点，则 a的取值可以为（ ） A． 3 B． 2 C． eln2 D．0 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分. 9.已知 f(x)是定义在 R上的函数，f(x)－f(－x)＝0，且满足 f(x＋1)为奇函数，当 x∈[0,1) 时，f(x)＝－cos πx 2 ，下列结论正确的是( ) A．f(1)＝0 B．f(x)的周期为 2 C．f(x)的图象关于点(1,0)中心对称 D．f 2 023 2 ＝－ 2 2 10.(多选）已知 a>0，b>0，且 2a＋b＝2，则下列说法正确的是( ) A．a2＋b2的最小值为 5 4 B．ab 的最大值为 1 2 C．4a2＋b2的最小值为 4 D. 1 a ＋ 1 b 的最小值为 3 2 ＋ 2 11．已知直线 : 1l y ax  ，曲线 11 : ( ) e 1 xC f x   ，曲线 1C 关于直线 1y x  对称的曲线 2C 所对应的 函数为 ( )y g x ，则以下说法正确的是（ ） A．不论 a为何值，直线 l恒过定点 (0, 1) ； B． ( ) ln 1g x x  ； C．若直线 l与曲线 2C 相切，则 1a  ； D．若直线 l上有两点，这两点关于直线 1y x  对称的点在曲线 1C 上，则0 1a  . 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15 分. 12.已知 0<x<5，－1<y<1，则 x－2y 的取值范围是_________ 13.已知函数 f(x)＝x＋ 4 x ，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈ 1 2 ，1 ，∃x2∈[2,3]，使得 f(x1)≤g(x2)， 则实数 a的取值范围是__________ 14.设实数 k>0，对于任意的 x>1，不等式 kekx≥ln x 恒成立，则 k的最小值为________． 高三第一次周练 数学试卷3 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分 13 分）已知 ,a cR，函数   2x ax cf x x a     ． (1)若  f x 是奇函数，求 a的值； (2)若函数  f x 的图象过点  1,2 ，且与 x轴负半轴有两个不同交点，求 c的取值范围． 16．（本小题满分 15 分）已知函数 ln( ) xf x k x   ， (1)若 ( ) 0f x  恒成立，求实数 k的取值范围； (2)证明： 1 1 1 1 1 1 1ln ln ln ( )( 1, N). 2 3 e 2 3 n n n n           17．（本小题满分 15 分）如图，三棱锥 , 90 , , ,P ABC C AC BC E F     分别是 ,AB BC的中点，且 4, 3P ABC PEFV S  △ ． (1)求点 B到平面 PEF的距离； (2)若面 PEF 面 ABC，求平面 PAC与平面 PEF夹角的余弦值． 高三第一次周练 数学试卷 4 18．（本小题满分 17 分）设 1 2,F F 为椭圆   2 2 2 2 1 0    x yC a b a b ： 的左、右焦点，点 13, 2 A     在椭圆C 上，点A关于原点的对称点为 B，四边形 1 2AF BF 的面积为 3 . (1)求椭圆C的方程； (2)若过 2F 的直线 l交椭圆C于 ,M N两点，求证： 2 2 1 1 F M F N  为定值. 19．（本小题满分 17 分）已知函数      2 ln 2 , ln 1,f x x a x a x g x x x x a a        R . (1)讨论  f x 的单调性； (2)若  g x 有两个零点，求 a的取值范围； (3)若    1 lnf x g x a x   对任意 1x  恒成立，求 a的取值范围. 余江一中2025届高三第一次周练(9.7) 数学试卷 参考答案 1.答案D 2.【答案】D【分析】分类讨论，利用判别式小于0，即可得到结论 【详解】当a-2=0,即a=2时，-4<0，恒成立： a-2<0 当a-2≠0时， 4a-2+16a-2)<0解之得-2<a<2,综上可得-2<a≤2故选：D 3.【答案】B【详解】因为幂函数的图象过定点（山，），即有f()=1,所以g(①)=f()+m=1+1=2, 即g(x)的图象经过定点(1,2).故选：B. 4【答案】B【详解】对于A,易知“x>0,x2+x>1”的否定是“3x。>0,x+x≤1”，所以A错误： 对于B,由幂函数性质可知f(x)=x2在(0，+o)上单调递减，可得B正确： 对于C,若f(x)=x,则f"(x)=3x2:显然x。=0是f'(x)=0的一个零点， 但f(x)=xr在xeR上单调递增，没有极值点，所以C错误： 对于D,若f代是奇高数，不防取-士不满足7O)-0.即D错误：放选：B 5.答案C解析因为x)=x3+ar2+br-a2-7a,所以f(x)=3x2+2ar+b, 因为函数x)在x=1处取得极大值10，所以f(1)=3+2a十b=0,① 1)=1+a+b-a2-7a=10,② 联立①②，解得a=一2，b=1或a=-6,b=9. 当=-之，1时，了的=-+1=-D-小利(，).十四上章调是有.在儿上华满 递减，故x)在x=1处取得极小值10，不符合题意； 当a=-6,b=9时，(x)=3x2-12x十9=(x-1)(3x-9),x)在(-∞，1)和(3，+∞)上单调递增，在(1,3)上单调 递减，故)在x=1处取得极大值10，符合题意. 综上可得，a=-6,b=9.则a十b=3. 6.【答案】D【分析】根据对数函数的性质有a=log7=log,49,可比较a,b,然后a,c再与2比较大小 【详解】依题意，a=log,7=log,49,故a>b:而a<log,9=2<c,故b<a<c,故选D. 7.【答案】C【分析】设该纸箱底面边长为a米，侧棱长为h米，写出成本表达式P=4a2+0.02 a>0),利用导 a 数即可求出其最小值， 【详解】该纸箱为正四棱柱，设其底面边长为a米，侧棱长为h米， 则纸箱的体积V=a2h=0.02,表面积S=4a2+4ah, 成本为P=+4=4+a9,g2>0,则P=4a2） 令P=0,得d2=0.01, 则a=0.01.当0<a<0.01时，P<0,此时P(a)单调递减： 当a>0.01时，P>0,此时P(a)单调递增：当a=0.01时，P有最小值， 所以Pn=4 （(oo+0 0.02 402202 0.22 ≈0.5(（元），故选：C. 8.【答案】A【分析】转化为方程(2+ax)(2-2x)=0有4个不同的根，且方程2-2r=0的2个根为x=1,x1=2, 从而方程2+a=0有2个不同的根，且a≠-2，进一步转化为函数y=2与函数y=-ax的图象有两个交点，利用 导函数与切线斜率的关系求解 【详解】由题意可得方程(2+ax)(2-2x)=0有4个不同的根。 方程2-2x=0的2个根为x=1,x=2,所以方程2+ar=0有2个不同的根，且 a≠-2，即函数y=2与函数y=-r的图象有两个交点. 2 =-ax 当直线y=一瓜与函数y=2的图象相切时，设切点为(，2)， -a=2ln2, 因为y=2n2,所以 -a。=2, 解得无品 =loge,a=-eln2 要使函数y-2"与函数y=-r的图象有两个交点，只需直线y=-ar的斜率大于eln2, 即-a>eln2→a<-eln2. 设g()=enx(x>0.则g=l-,由1-h>0→0<x<e,1-nx<0→x>e. x2 所以g(x)在(0.e)上单调递增，在(e,+o)单调递减，所以g(x)的最大值为g(e)=1. 所以h2<1=ch2<2三-eln2>-2,故a的取值范围为（←0，-2U(2,-en2,故选：A 2 9.答案ACD 解析因为x十1)为奇函数，所以（一x十1）=一x十1)，所以（一0十1）=一0+1)， 所以1)=0，A正确： 因为当xe0,1)时，)=-cos受所以0=-cos0=-1,因为-x+1=-+小 所以2)=一0)=1，故2)≠0)，所以2不是x)的周期，故B错误： 因为x十1)为奇函数，所以函数x十1)的图象关于原点对称， 所以x)的图象关于点(1,0)中心对称，C正确： 由-x+1)=一x+1),)一-x)=0,可得x+2)=一-x-1+1)=一-x)=一x), 所以x十4)=x十2十2)=一x十2)=x,所以函数x)为周期函数，周期为4， 所以9人x258-月（月周 又当x∈[0,1)时，f)=一cos 2 所以-m ,D正确 4 2 10.答案BD解析由题意得，a>0,b=2-2a>0,从而0<a<1, 所以计=G+口-20=5-十4=引+片当a=时，叶分有最小值号故A错误： -4 国为2=2a+b≥22ab,所以b<号当且仅当a=7b=1时等号成立，故B正确 4+=(2a+b-4ab=4-4ab≥4-4X}-2,当且仅当a-之b=1时等号成立，故C错 2 2 +2a+6C+月-+合习+八名别3+22-，当且牧验兰 a b2 22 a b 即a=2-V2,b=2V2-2时等号成立，故D正确. I1.【答案】ACD 【分析】对于A,令x=0,得y=-1,与a无关可判断A:对于B,设Mx,)是曲线C上任意一点，M关于直线y=x+1 的对称点为M(x',y),列式求出g(x)可判断B:设切点为(x,),由导数的几何意义求出a=1可判断C:直线I上 有两个关于直线y=x+1对称的点在曲线G上，等价于直线1与曲线C,有两个不同的交点，即a=血+有两个解， 函数()=血x+!,求出h(y)的单调性，结合题意即可求出a的取值范围可判断D. 【详解】选项A:直线：y=ax-1中，令x=0,得y=-1,与a无关，故正确： 选项B:设M(x,)是曲线C上任意一点，M关于直线y=x+1的对称点为M'(x,y), =+1所以r+1=e+山，即r=e,则=n×,从而g)=nx,故不正确： x=y'-1 则 选项C:由8)=，得g)=设切点为么，y),则切线斜率a=中， 所以x=1,从而a=1,故正确： 选项D:直线1上有两个关于直线y=x+I对称的点在曲线C上， 等价于直线1与曲线C,有两个不同的交点.方程a-1=nx,即a=hx+中有两个解， 设函数)也出，>0,6国=地，令)=0，解得x=1, 所以函数h(x)在(O,)单调递增，在(L,+o)单调递减，所以h(x)=h)=1, 又当x趋近于正无穷时，h(x)趋近于0，当x趋近于0时，h(x)趋近于负无穷， 所以a∈(0，)，故正确.故选：ACD. 12.答案-2<x-2y7解析因为-1<y<1,所以-2<-22，又0Kr<5,所以-2<x-2<7. 13.答案 + 解析依题意知≤g=x十4在2上单调递减。 nm=日=又g)=2+a在2,3]上单调递增，g=8+a,因此7≤8+a,则a≥) 14.答案1解析由ke≥nx得kre≥xhnx,即kre≥c, 令x)=xe,则a)≥Inx).因为fx)=(x+1)e,所以x)在(-1，+o)上单调递增， 因为>0，h0,所以k≥nx,即k≥hx, 令≥小.则因=当e山，9时，P0,带调运增 当x∈(e,十c四)时，h'(0,h)单调递减，所以s=e)=即k≥1，所以k的最小值为 15.【答案】()a=0(2)3+2V2,+∞）【分析】(1)根据函数（)为奇函数结合奇函数的定义及性质，即可求解： 3 [a2-4(a+1)>0 (2)先求出c=1+a,再根据x2+ax+a+1=0有两个负根，则 ,从而可求解。 a+1>0 【详解】(1)因为f(x)的定义域为(-0，-a)(-a,+∞)，且f(x)为奇函数，所以-a=0,即a=0.3分 此时f)=+e,国)的定义域为(o,0八0，+o), 且儿-=十c=f,冈为奇函数，所以a=0. .6分 （2)因为f(d)的图象过点（山，2)，则+a+c=2,解得c=1+a. 1+a .7分 令f(x)=0,得x2+am+a+1=0. 因为函数f(x)与x轴负半轴有两个不同交点，所以方程x2+ar+a+1=0有两个不相等的负根， a2-4(a+1)>0 所以{- 10分 a+1>0 解得a>2+2√2. 12分 所以c=1+a>3+2√2， 所以c的取值范围为3+2V2,+∞) .13分 16【答案】(0)k≥：口证明见解析。【分析】()由不等式恒成立，分离参数构造函数g=血，再求出函数的 最大值即得。 111 (2)由(1)得ln-<-.二，neN,n>1,再利用不等式的性质推理即得. n e n 【详解】(D函数f国)-x-k的定义域为0，+切)，f闲s0台太≥x, x 2分 令g闭)=nx,依题意，次∈0，+四)，k≥g)恒成立，求导得g)=一nx x 3分 由g'(w)>0,得0<X<e:由g'(x)<0,得X>C,5分 则函数g)在(0，e)上单调递增，在(c,+o)上单调递减，gx)=g(e)= e 7分 所以≥1 8分 (2)由(1)知， hx≤，即1nxsx,当且仅当X=e时取等号，10分 x e 111111 则当neN,m>1时，n2.2n n e n 13分 1 11,1,1 因此n。+n+…+n二<二(+。+…+白)，所以原不等式成立… …15分 3 ne 2 3 17【答案】0a5 【分析】(1)利用等体积法，由Vc=4nB=4,解得：ns=1,进而能得点B到平面PEF的距离： (2)解法一：作PM⊥EF,PN⊥AC,则PM⊥I,PN⊥I,则∠MPN是平面PAC与平面PEF所成的一个平面角， 再求解即可： 解法二：建立空间直角坐标系，利用空间向量法进行求解。 【详解】(1)由题可得'n4c=4,=4,解得：'nm=1, 3分 由人m=m-之m4,解得：么=山，所以，点8到平面PEF的距离为1.6分 (2)解法一：（几何法） [面PEF⊥面MBC 面PEFO面ABC=EF 由 BC⊥EF ,台BC1面PEF.8分 BCC面ABC 结合第1间，可得：BF=1.9分 「AC//EF 由EFC面PEF,→ACI/平面PEF记面PEF∩面PAC=I,10分 ACc面PEF ACII面PEF 由{面PEFn面PAC=1,户AC/I,户EF11AC1Il1分. ACC面PAC 作PM⊥EF,PN⊥AC,则PM⊥l,PN⊥I.I2分 可知：∠MPN是平面PAC与平面PEF所成的一个平面角.13分 在RiPMN中，解得：PM=6,MN=l,PN=V37cos∠MPN=pN=√37. 所以，平面PAC与平面PEF夹角的余弦值是，37.5分 解法二：（向量法） 如图，以F为原点，FB为x轴正方向，FE为y轴正方向，过F点，垂直于底面ABC向上为z轴正方向建立如图所 示空间直角坐标系。8分 2 设P(0,a,6）,A(-1,2,0八，C(-1,0,0）,9分 则AC=(0,-2,0),P℃=(-1，-a,可，设面PAC的法向量为=（，，). AC=0 [-2y=0 由 可得 PC=0 -x-ay-6z=0' 令z=1可得：万=(-60,1)， 12分 5 易得，平面PEF的法向量m=(（1,0,0).…。 13分 所以eo低-号7，即平面P4C与平面PEF夹角的余孩值是号7。…15分 8.【答案】0+y12)证明见解析 【分析】(1)根据椭圆的对称性，结合平行四边形的判定定理、三角形面积公式进行求解即可： (2)根据直线1的斜率是否为零，结合一元二次方程根与系数关系分类讨论进行求解即可. 【详解】(1)设椭圆C的焦距为2c(c>0),因为OA=OB.OF=OF, 所以四边形ABF为平行四边形，其面积设为S,则2分 S=2c5,所以e=5,所以g2-=c2=3, …4分 又号证-1，解得公 所以椭圆C的方程为二+y=1 6分 (2)F（5.,0,当直线/与x轴重合时，1的方程为y=0,7分 此时不妨令FM=a+e=245.Na-c=2-6,则M十FN4:9分 当直线与韩不重合时。商方可设为=即+6，曲仁5利4到护25可1e0, △=(25m+4(m2+4F16(m2+1>0, 设M(以V)小，则男+为=2W5m 2+45= -1 m2+4 <0,11分 FM=+mM=+my 13分 1111+L 4+)广-4y FMN+m 4. y+m 2 综上， M十BN为定值4 17分 19.【答案】(1)答案见解析(2)(0,1) (3)(-0,0] 【分析】(1)函数求导，根据参数a进行分类，讨论函数的单调性即得： (2)将函数g(x)有两个零点，转化为(x)=xl山x-x与y=a-1有两个交点问题，利用导数研究并作出函数h(x)的 图象，即得a的取值范围： (3)由原不等式恒成立转化为x-l-lmr-a+4≥0恒成立，设p(x)=x-l-lnr-a+a,就参数a分类讨论，找到使 p(x)≥0恒成立时的情况，即得a的取值范围. 【详解】(1)f(x)的定义域为(0，+∞)， 6 f(x)-2x+2-(@+2)-2'-(a+2)ta_(-1)Rx-a) 1分 当a≤0时，r∈(0,1)时，f()<0.x∈(1，+o)时，f(x)>0:2分 当a=2时，X∈(0，+o）时，∫(x）20:3分 当0<a<2时，e时，f水0：0引+o)时了到>0：4分 当a>2时，xe时f)<0:xe0.小2e时r(少>0：5分 综上，a≤0时，f(x)的递减区间是(0，)，递增区间是（包，+∞）： =h(x) a=2时，f(x)的递增区间是(0，+o),无递减区间： 0<a<2时，国)的递增区间是0，号和+四)，递减区同是号别小月 J=a-1 A1,-1) >2时，f()的递增区间是(Q1)和2+小，递减区间是 6分 (2)令g(x)=0得xnr-x=a-1,设(x)=xlhx-x,则()=nr,7分 当x∈(0，)时，(x)<0,(x)在(0，)上递减：当x∈(1，+∞)时，(x)>0,h(x)在(，+∞)上递增， 则h(x）=h()）=-l …8分 又因x→0时，h(x)→0，x→+∞时，h(x))+o,作出函数h(x)=xnx-x的图象， 由图可得，要使直线y=a-1与函数h(x)的图象有两个交点，须使-1<a-1<0,10分 即0<a<1,故a的取值范围是(0,1)11分 (3)由f(x)+1≥g(x)+alnr得x2-x-xlnr-ax+a≥0， 因x≥1，即得，x-1-lnx-a+≥0(*)，易得x=1时，不等式成立，12分 设)=x-1-lnr-a+8,x>1,则p)=1-↓g--r-a_-》-a x 当a≤0时，p(x)>0,函数(x)在(L,+0)上单调递增，故p(x)>p()=0，(*)恒成立：13分 当a>0时，设px)=x2-x-a,, 则方程x2-x-a=0有两根x,3,+x2=1,x3=-0<0,可得x<0,>1,14分 当1<x<时，p(x)<0,则p(x)<0,(x)在（但，x)上单调递减：15分 又p()=0,所以当1<x<2时，p(x）<0,不满足条件，…16分 综上，a的取值范围是（-0,0]417分 7