湖南省长郡中学2024-2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题

长郡中学2025届高三第一次调研考试 数学 本试题卷共4页.时量120分钟，满分150分. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则的一个充分条件是（ ） A. B. C. D. 3. 的展开式中的常数项是（ ） A. 第673项 B. 第674项 C. 第675项 D. 第676项 4. 铜鼓是流行于中国古代南方一些少数民族地区的礼乐器物，已有数千年历史，是作为祭祀器具和打击乐器使用的.如图，用青铜打造的实心铜鼓可看作由两个具有公共底面的相同圆台构成，上下底面的半径均为25cm，公共底面的半径为15cm，铜鼓总高度为30cm.已知青铜的密度约为，现有青铜材料1000kg，则最多可以打造这样的实心铜鼓的个数为（ ）（注：） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知定义在上的函数满足（为的导函数），且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于两点，是的中点，点是上一点，若点的纵坐标为1，直线，则到的准线的距离与到的距离之和的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，对于任意的，，都恒成立，且函数在上单调递增，则的值为（ ） A. 3 B. 9 C. 3或9 D. 8. 如图，已知长方体中，，，为正方形的中心点，将长方体绕直线进行旋转．若平面满足直线与所成的角为，直线，则旋转的过程中，直线与夹角的正弦值的最小值为（ ）（参考数据：，） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某机械制造装备设计研究所为推进对机床设备的优化，成立两个小组在原产品的基础上进行不同方向的研发，组偏向于智能自动化方向，组偏向于节能增效方向，一年后用简单随机抽样的方法各抽取6台进行性能指标测试（满分：100分），测得组性能得分为：，组性能得分为：，则（ ） A. 组性能得分的平均数比组性能得分的平均数高 B. 组性能得分的中位数比组性能得分的中位数小 C. 组性能得分的极差比组性能得分的极差大 D. 组性能得分的第75百分位数比组性能得分的平均数大 10. 嫁接，是植物的人工繁殖方法之一，即把一株植物的枝或芽，嫁接到另一株植物的茎或根上，使接在一起的两个部分长成一个完整的植株.已知某段圆柱形的树枝通过利用刀具进行斜辟，形成两个椭圆形截面，如图所示，其中分别为两个截面椭圆的长轴，且都位于圆柱的同一个轴截面上，是圆柱截面圆的一条直径，设上､下两个截面椭圆的离心率分别为，则能够保证的的值可以是（ ） A. B. C. D. 11. 对于任意实数，定义运算“”，则满足条件的实数的值可能为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在复平面内，复数z对应的点为，则______． 13. 写出一个同时满足下列条件①②③的数列的通项公式______. ①是常数，且；②；③的前项和存在最小值. 14. 清代数学家明安图所著《割圆密率捷法》中比西方更早提到了“卡特兰数”（以比利时数学家欧仁･查理･卡特兰的名字命名）.有如下问题：在的格子中，从左下角出发走到右上角，每一步只能往上或往右走一格，且走的过程中只能在左下角与右上角的连线的右下方（不能穿过，但可以到达该连线），则共有多少种不同的走法？此问题的结果即卡特兰数.如图，现有的格子，每一步只能往上或往右走一格，则从左下角走到右上角共有__________种不同的走法；若要求从左下角走到右上角的过程中只能在直线的右下方，但可以到达直线，则有__________种不同的走法. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知M为圆上一个动点，垂直x轴，垂足为N，O为坐标原点，的重心为G. （1）求点G的轨迹方程； （2）记（1）中的轨迹为曲线C，直线与曲线C相交于A、B两点，点，若点恰好是的垂心，求直线的方程. 16. 如图，四边形为圆台的轴截面，，圆台的母线与底面所成的角为45°，母线长为，是的中点． （1）已知圆内存在点，使得平面，作出点的轨迹（写出解题过程）； （2）点是圆上的一点（不同于，），，求平面与平面所成角的正弦值． 17. 素质教育是当今教育改革的主旋律，音乐教育是素质教育的重要组成部分，对于陶冶学生的情操、增强学生的表现力和自信心、提高学生的综合素质等有重要意义．为推进音乐素养教育，培养学生的综合能力，某校开设了一年的音乐素养选修课，包括一个声乐班和一个器乐班，已知声乐班的学生有24名，器乐班的学生有28名，课程结束后两个班分别举行音乐素养过关测试，且每人是否通过测试是相互独立的． （1）声乐班的学生全部进行测试．若声乐班每名学生通过测试的概率都为（），设声乐班的学生中恰有3名通过测试的概率为，求的极大值点． （2）器乐班采用分层随机抽样的方法进行测试．若器乐班的学生中有4人学习钢琴，有8人学习小提琴，有16人学习电子琴，按学习的乐器利用分层随机抽样的方法从器乐班的学生中抽取7人，再从抽取的7人中随机抽取3人进行测试，设抽到学习电子琴的学生人数为，求的分布列及数学期望． 18. 已知数列为等比数列，为等差数列，且，，. （1）求，的通项公式； （2）数列的前项和为，集合共有5个元素，求实数的取值范围； （3）若数列中，，，求证：. 19. 设有维向量，，称为向量和的内积，当，称向量和正交．设为全体由和1构成的元数组对应的向量的集合． （1）若，写出一个向量，使得． （2）令．若，证明：为偶数． （3）若，是从中选出向量的个数的最大值，且选出的向量均满足，猜测的值，并给出一个实例． 长郡中学2025届高三第一次调研考试 数学 本试题卷共4页.时量120分钟，满分150分. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】A 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】AD 【10题答案】 【答案】AD 【11题答案】 【答案】BD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】（答案不唯一） 【14题答案】 【答案】 ①. 35 ②. 14 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） 是的中点，． 要满足平面，需满足， 又平面，平面平面 如图，过作下底面的垂线交下底面于点， 过作的平行线，交圆于，，则线段即点的轨迹． （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2）随机变量的分布列为 0 1 2 3 【18题答案】 【答案】（1） ， （2） . （3） 由， 则当时， ， 当时，也满足上式， 所以， ， 所以原不等式成立. 【19题答案】 【答案】（1）（答案不唯一） （2）证明：对于，，2，，，存在，，，，使得． 当时，；当时，．令，． 所以． 所以为偶数． （3），实例如下： 当时，可猜测互相正交的4维向量最多有4个，即． 不妨取，，，， 则有，，，，，． 若存在，使，则或或． 当时，；当时，； 当时，， 故找不到第5个向量与已知的4个向量互相正交． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $