第22章二次函数——二级结论、性质总结 2024—2025学年人教版数学九年级上册

初中数学二次函数性质、结论汇总 本文精心整理了初中数学二次函数中的一些优美的二级结论，并给出了详细证明。许多二次函数压轴题以这些结论为背景，熟知这些结论对我们的解题会有很大的帮助。 性质1： 如图，二次函数的图像与轴交于两点， 结论：. 证明：设，则 . 性质2： 如图，二次函数的图像与轴交于两点，与轴交于点，且， 结论：. 证明：设，.由射影定理：，得： ，故. 推论:如图，为二次函数的图像上三点，轴，且，于，记， 结论：. 证明：作平移变换，使位于新坐标系的原点，由结论2立得. 性质3： 如图，二次函数的图像与轴交于两点，顶点为，， 结论：. 证明：如图，由得： ，即： ，即： ，即：，即：. 推论：(1)当为等腰直角三角形时，； (2)当为等边三角形时，； (3)当为顶角的等腰三角形时，. 性质4： 如图，直线交二次函数图像于两点，且， 结论：直线过定点. 证明：设，则 由得：， 即， ， ， 令，得， 即直线过定点. 性质5： 二次函数的图像上两条弦， 结论：（或中点的横坐标与中点的横坐标相同）. 证明：设，， 由 得：， 故， 同理：， 即：. 性质6： 如图，二次函数的图像上两定点，在下方抛物线上找一点，使面积最大. 结论：. 证明：要使面积最大，点应位于与平行且与抛物线相切的直线上，为切点. 设，， 由 得：， 故， 由得：， ， 此时，即：. 性质7： 如图，二次函数的图像与轴交于两点，为下方抛物线上一点，过作轴于， 结论：. 证明：设，， 则抛物线方程为：， 令，得：， 于是 . 性质8： 二次函数的图像上三点， 结论：. 证明：如图：过点作轴交于，过点作于，过点作于. 于是 于是 . 于是 . 利用上面的方法，我们可以得到抛物线上类似于圆内相交弦定理的一条性质. 性质9： 如图，为抛物线内部一点，过的两条直线，分别交抛物线于和两点， 结论：. 证明：过点作轴交抛物线于，过点作于，过点作于，设 . 由性质8的证明可得： ， 同理可得：， 于是：. 性质10： 二次函数的图像上一点，，直线，过点作于.（抛物线的定义，为焦点，为准线）， 结论：. 证明：设， . 性质11： 二次函数的图像与直线相切于点，与轴、轴分别交于点， 结论：. 证明：设，过的切线方程为：， 有唯一一组解，得： ， ， 由得， 所以切线方程为：， 即， 于是， 所以. 性质12： 二次函数的图像上一点，过点作交轴于点，过点作轴交抛物线于点， 结论：. 证明：设， 则，于是 令，得： 在中，令 得： 于是，， 即：. 性质13： 如图，为轴正半轴上一点，为关于轴的对称点，过点的直线交抛物线的图像于两点. 结论：. 证明：设， ， ， 令，得， 于是， ，， 即：，故. 性质14： 过点的直线交二次函数的图像于两点（焦点弦）， 结论：. 证明：设，则 ， ， 令，得， 于是：， ，， 于是： . 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$