第二十五章 图形的相似单元重点综合测试-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（冀教版）

第二十五章 图形的相似单元重点综合测试 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共16个小题，共38分，1~6小题每题3分，7~16小题每题2分.每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．已知，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的基本性质．根据比例的性质将等积式转化为比例式即可求解． 【详解】解：， ，即， 故选：D． 2．下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A．1、2、3、4 B．2、3、4、5 C．3、4、6、9 D．2、3、4、6 【答案】D 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查比例线段，理解比例线段的概念，注意在线段相乘时，要让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等进行判断． 根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； B、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； 、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； 、，故此选项中四条线段成比例，故本选项符合题意， 故选：D． 3．如果 ，且b是a和c的比例中项，那么（    ） A． B．12 C． D． 【答案】B 【知识点】成比例线段 【分析】利用比例中项的定义得到，然后利用比例的性质求的值．本题考查了比例线段：对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 【详解】解：根据题意得， 即， 解得． 故选：B 4．若，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查相似三角形的知识，解题的关键是掌握相似三角形的性质，三角形的内角和定理． 根据，则，根据三角形的内角和定理计算即可． 【详解】解：∵， ， ，， ． 故选：C． 5．下列说法中，错误的是（   ） A．全等图形一定是相似图形 B．两面大小不等的标准国旗一定相似 C．两个等腰直角三角形一定相似 D．两个直角三角形一定相似 【答案】D 【知识点】相似图形 【分析】本题考查的是相似图形的定义，“相似图形的形状相同，但大小不一定相同”．根据相似图形的定义，结合选项中提到的图形，对选项一一分析，选出正确答案． 【详解】解：A、全等图形一定是相似图形，故本选项不符合题意； B、两面大小不等的标准国旗一定相似，故本选项不符合题意； C、等腰直角三角形形状相同，只是大小不同，一定相似，故本选项不符合题意； D、两个直角三角形的锐角不一定相等，则两个直角三角形不一定相似，故本选项符合题意； 故选：D． 6．已知，，，则与的相似比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题是相似三角形的性质的基础应用题，解题时只需注意对应字母写在对应位置上． 根据相似三角形的对应边的比等于相似比即可得到结果． 【详解】解∶ ∵，，， ∴与的相似比为， 故选∶B． 7．如图，下列条件中不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似、证明两三角形相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，熟记定理的内容是解题关键．根据相似三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A．∵，， ∴根据两角分别对应相等的两个三角形相似，可得； 故A不符合题意； B．∵，， ∴根据两角分别对应相等的两个三角形相似，可得； 故B不符合题意； C．若， ∵的对应边为，的对应边为， ∴不能推出； 故C符合题意； D．∵， ∴， ∵， ∴根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得； 故D不符合题意； 故选：C． 8．如图，，直线，与这三条平行线分别交于点、、和点、、，已知，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理得到比例式，代入已知数据计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：， 故选：C． 9．如图小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】勾股定理与网格问题、证明两三角形相似 【分析】此题考查了相似三角形的判定以及勾股定理．根据网格中的数据求出钝角等于，钝角的夹边比为，再利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似判断即可． 【详解】解：观察题图，钝角等于，钝角的夹边比为， 选项A、C和D中，钝角都小于，故排除选项A、C和B； 选项B中，钝角等于，钝角的夹边比为， 故选：B． 10．若且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的性质，先利用分式的基本性质得到，然后根据等比性质解决问题．掌握比例的系数是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 又， ∴ 故选：D． 11．如图，已知为的角平分线，交于E，如果，那么等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】题目主要考查平行线分线段成比例，根据题意得出即可求解，熟练掌握此定理是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 12．古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦筝，是汉民族古老的民族乐器，流行于中国各地．若古筝上有一根弦，支撑点是靠近点的一个黄金分割点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算即可得出答案，熟练掌握黄金分割的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵，支撑点是靠近点的一个黄金分割点， ∴， 故选：C． 13．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上．已知纸板的两条边，，测得边离地面的高度，则树高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】相似三角形应用举例、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型． 利用和相似求得的长后加上边到地面的高度，即可求得树高． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故选A． 14．如图，在菱形中，点E 在边上，射线交的延长线于点F，若，，则的长为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【知识点】利用菱形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】此题考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由菱形的性质得，，可证明，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∵点F在直线上， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 15．在矩形中，已知，点E为上一点，连接并延长交的延长线于点F，连接，若，则的长为（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】A 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，作于，则，由平行可得，结合可得，则，由勾股定理得到，再由平行得到，代入计算即可． 【详解】∵矩形中，已知， ∴，，，， 作于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴, ∴， ∵， ∴, ∴， ∴， 解得， 故选：A． 16．按下列方法，将的三边缩小为原来的，如图所示，任取一点O，连接，，，并取它们的中点，连接得到，则下列说法正确的有（      ） ①与是位似图形；②与是相似图形；③与的周长之比为；④与的面积之比为. A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】D 【知识点】利用相似三角形的性质求解、求两个位似图形的相似比 【分析】本题考查了位似变换的相关知识，注意掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方，对应的周长的比等于相似比． 【详解】解：根据位似性质得出与是位似图形，故正确； 位似图形也是相似图形，与是相似图形，故正确； 将的三边缩小的原来的， 与的周长比为，故正确； 根据面积比等于相似比的平方， 与的面积比为，故正确， 故选：． 二、填空题（本大题共3个小题，共10分；17小题2分，18~19小题各4分，每空2分，答案写在答题卡上） 17．如图，在中，平分交于点．若，，则 ． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、根据等角对等边证明边相等 【分析】此题考查了平行线分线段成比例，等角等对边性质，解题的关键是掌握以上知识点． 过点作交的延长线于点，证明出，然后由得到，然后等量代换得到，然后代数求解即可． 【详解】如图，过点作交的延长线于点， 则， 平分， ． 故答案为：． 18．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将放大后得到．已知点，，则与的面积比是 ，点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】利用相似求坐标、求两个位似图形的相似比、利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的性质，求得位似比是解题的关键． 根据题意求得位似比，根据相似比等于位似比，面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵将放大后得到．点， ∴与的相似比为， ∵， ∴， ∴点的坐标是， ∵与的相似比为， 则与的面积比是， 故答案为：；． 19．如图，在等腰直角三角形中，，点P为线段上一动点（不与点C，D重合），连接，将射线绕点A顺时针旋转，交过点P且与垂直的直线于点Q． （1）连接，则的度数是 ； （2）连接，则周长的最小值是 ． 【答案】 /45度 / 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、根据旋转的性质求解 【分析】（1）以为边向下作正方形，连接、，证明，可得； （2）首先得到点Q在上移动，然后根据点D与点E关于对称可知当点A、Q、E在一条直线上时，取最小值，最小值为的长，利用勾股定理求出，进而可得答案． 【详解】（1）如图，以为边向下作正方形，连接、， 由题意知和是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵为的高线， ∴， ∴， ∴， （2）∵， ∴点Q在上移动， ∵四边形是正方形， ∴点D与点E关于对称， ∴当点A、Q、E在一条直线上时，取最小值，最小值为的长， ∵在等腰直角中，为高线，， ∴，， ∴， ∴， ∴周长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质以及轴对称最短路径问题，作出合适的辅助线，判断出点Q的运动路径是解题的关键． 三、解答题（本大题共7个小题，20~22小题各9分，23~24小题各10分，25小题12分，26小题13分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20．已知三边满足，且． (1)求的值； (2)判断的形状． 【答案】(1)； (2)直角三角形． 【知识点】比例线段、判断三边能否构成直角三角形 【分析】（）设，，，可得，即得，进而得到，，再由，可得，据此即可求解； （）利用勾股定理逆定理即可判断求解； 本题考查了比例的有关计算，勾股定理的逆定理，掌握比例的有关计算是解题的关键． 【详解】（1）解：设，，， ∴， 即， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，，； （2）解：∵，， ∴， ∴为直角三角形． 21．如图，． (1)，求； (2)，的长． 【答案】(1)6 (2)5 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据平行线分线段成比例定理求解即可； （2）根据平行线分线段成比例定理得到，然后代值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的长为5． 22．如图，在与中，点、分别在边、上，且，若___________，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明． 【答案】见解析 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查相似三角形的判定定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 根据相似三角形的判定定理证明即可． 【详解】解：若选①， 证明：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴． 选择②，不能证明． 若选③， 证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 23．如图，路灯（P点）距地面8米，小明在距路灯的底部（O点）20米的A点时，测得此时他的影长为5米．    (1)求小明的身高； (2)小明沿所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？ 【答案】(1)米 (2)变短了，变短了米 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、相似三角形应用举例 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例． （1）通过证明，得出，即可解答； （2）通过证明，得出，求出，即可解答． 【详解】（1）解：∵米，米， ∴米， ∵，， ∴， ∴，即 解得，． 即小明的身高为米． （2）解：∵米，米， ∴米， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴（米）， ∴小明的身影变短了，变短了米． 24．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、．    (1)画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； (2)以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出将放大后的； (3)判断与，能否是关于某一点为位似中心的位似图形，若是，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是，Q点的坐标为 【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、在坐标系中画位似中心、平移(作图) 【分析】（1）根据平移规律，画图即可． （2）根据位似的性质，确定坐标，后画图即可． （3）根据位似的性质，确定坐标，解答即可． 本题考查了平移作图，位似作图，待定系数法，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，的顶点坐标分别为、、． 将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的坐标分别为、、．画图如下：    则即为所求． （2）解：由、、．以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，将放大后的坐标分别为、、．画图如下：    则即为所求． （3）解：∵、、，、、． ∴直线为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， ∴， 解得 故Q点的坐标为． 故与，是关于某一点为位似中心的位似图形，且位似中心为Q点的坐标为． 25．已知矩形ABCD，点E、F分别在AD、DC边上运动，连接BF、CE，记BF、CE交于点P. (1)如图1，若，，于P， ①求证：； ②求线段的长度； (2)如图2，若，，求. 【答案】(1)①见详解② (2) 【知识点】根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）①根据矩形的性质可得：，，，，结合四边形内角和可证得，②因为，所以得出，即可求得答案； （2）根据已知条件可证得，得出，进而得出，利用，即可得出答案． 本题是矩形综合题，考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，添加辅助线构造相似三角形是解题关键． 【详解】（1）解：① 四边形是矩形， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ②∵， ， ， ； （2）四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 26．如图，正方形的边长为4，E是边的中点，点P在射线上，过P作于F，设． (1)求证：； (2)当P也是边中点时，求的值； (3)若以P，F，E为顶点的三角形也与相似，试求x的值； (4)当点F与点E重合时，设交于点G，试判断与的大小关系并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)2或5 (4)相等，理由见解析 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明 【分析】（1）先证明，再由，即可证出； （2）当P是的中点时，，由，由相似三角形对应边成比例即可得出结论； （3）分两种情况：当时，则，得出四边形为矩形．求出，即；当，且时，先求出，得到 ，再由勾股定理得出的长，再得出的长，根据相似三角形的性质求出的长，即可得出结论； （4）先证明，求出、，再证明，即可得出． 【详解】（1）∵四边形是正方形， ∴，， ∴，． 又∵， ∴， ∴； （2）当P是的中点时，． ∵， ∴，即， ∴； （3）分两种情况： ①当，且时，则有， ∴四边形为矩形， ∴，即． ②当，且时． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴点F为的中点． ∵， ∴ ，即， ∴， ∴，即； ∴满足条件的x的值为2或5； （4）．理由如下： 如图，∵四边形是正方形， ∴，， ∴． ∵E是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ， ∴． 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，和相似三角形的判定与性质；证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十五章 图形的相似单元重点综合测试 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共16个小题，共38分，1~6小题每题3分，7~16小题每题2分.每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．已知，那么等于（   ） A． B． C． D． 2．下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A．1、2、3、4 B．2、3、4、5 C．3、4、6、9 D．2、3、4、6 3．如果 ，且b是a和c的比例中项，那么（    ） A． B．12 C． D． 4．若，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．下列说法中，错误的是（   ） A．全等图形一定是相似图形 B．两面大小不等的标准国旗一定相似 C．两个等腰直角三角形一定相似 D．两个直角三角形一定相似 6．已知，，，则与的相似比为（   ） A． B． C． D． 7．如图，下列条件中不能判定的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，，直线，与这三条平行线分别交于点、、和点、、，已知，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 9．如图小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（    ） A． B． C． D． 10．若且，则的值为（    ） A． B． C． D． 11．如图，已知为的角平分线，交于E，如果，那么等于（　　） A． B． C． D． 12．古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦筝，是汉民族古老的民族乐器，流行于中国各地．若古筝上有一根弦，支撑点是靠近点的一个黄金分割点，则（    ） A． B． C． D． 13．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上．已知纸板的两条边，，测得边离地面的高度，则树高为（    ） A． B． C． D． 14．如图，在菱形中，点E 在边上，射线交的延长线于点F，若，，则的长为（    ） A．1 B． C． D．2 15．在矩形中，已知，点E为上一点，连接并延长交的延长线于点F，连接，若，则的长为（    ） A． B． C．3 D．5 16．按下列方法，将的三边缩小为原来的，如图所示，任取一点O，连接，，，并取它们的中点，连接得到，则下列说法正确的有（      ） ①与是位似图形；②与是相似图形；③与的周长之比为；④与的面积之比为. A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 二、填空题（本大题共3个小题，共10分；17小题2分，18~19小题各4分，每空2分，答案写在答题卡上） 17．如图，在中，平分交于点．若，，则 ． 18．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将放大后得到．已知点，，则与的面积比是 ，点的坐标是 ． 19．如图，在等腰直角三角形中，，点P为线段上一动点（不与点C，D重合），连接，将射线绕点A顺时针旋转，交过点P且与垂直的直线于点Q． （1）连接，则的度数是 ； （2）连接，则周长的最小值是 ． 三、解答题（本大题共7个小题，20~22小题各9分，23~24小题各10分，25小题12分，26小题13分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20．已知三边满足，且． (1)求的值； (2)判断的形状． 21．如图，． (1)，求； (2)，的长． 22．如图，在与中，点、分别在边、上，且，若___________，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明． 23．如图，路灯（P点）距地面8米，小明在距路灯的底部（O点）20米的A点时，测得此时他的影长为5米．    (1)求小明的身高； (2)小明沿所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？ 24．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、．    (1)画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； (2)以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出将放大后的； (3)判断与，能否是关于某一点为位似中心的位似图形，若是，请直接写出点的坐标． 25．已知矩形ABCD，点E、F分别在AD、DC边上运动，连接BF、CE，记BF、CE交于点P. (1)如图1，若，，于P， ①求证：； ②求线段的长度； (2)如图2，若，，求. 26．如图，正方形的边长为4，E是边的中点，点P在射线上，过P作于F，设． (1)求证：； (2)当P也是边中点时，求的值； (3)若以P，F，E为顶点的三角形也与相似，试求x的值； (4)当点F与点E重合时，设交于点G，试判断与的大小关系并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$