第2章轴对称图形 课时同步-2024-2025学年苏科版八年级数学上册

苏科版八年级上册 第2章 轴对称图形 目录 2.1-2.3轴对称与轴对称图形.............................................................................................2 2.4.1线段的轴对称性.......................................................................................................36 2.4.2角的轴对称性性.......................................................................................................61 2.5.1等腰三角形的轴对称性............................................................................................91 2.5.2等边三角形的轴对称性...........................................................................................132 2.5.3斜边上的中线的性质+含30°角的直角三角形.........................................................155 2.1-2.3 轴对称图形的性质 2.1-2.3考点汇总 【考点一：生活中的轴对称现象】 【考点二：轴对称图形】 【考点三：镜面对称】 【考点四：轴对称的性质】 【考点五：作图-轴对称变换】 【考点六：剪纸】 【考点七：翻折】 【考点八：设计轴对称图案】 基础巩固 【考点一：生活中的轴对称现象】 1.（2024•南昌模拟）如图，一张台球桌的桌面长为2.84m，宽为1.42m，一个台球在桌面的一个角落，将该球按如图所示的45°角击出，球持续直线运动（球碰到桌面边界会以相同角度反弹），最终落入台球桌角落的一个球袋．则该球（入球袋前，在桌面边缘反弹的次数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】生活中的轴对称现象．版权所有 【分析】根据题意画出图形，然后即可作出判断． 【解答】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： 所以该球在桌面边缘反弹的次数为1． 故选：A． 【点评】本题主要考查了轴对称的性质．轴对称的性质：（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；（2）对应线段相等，对应角相等．注意结合图形解题的思想；严格按轴对称画图是正确解答本题的关键． 2.（2023秋•寻乌县期末）如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，……；第2024次碰到矩形的边时的点为图中的（　　） A．点P B．点Q C．点M D．点N 【考点】生活中的轴对称现象；规律型：图形的变化类．版权所有 【分析】第1次碰到：Q，第2次碰到：M，第3次碰到：N，第4次碰到：A，第5次碰到：B，第6次碰到：P，第7次碰到：Q，第8次碰到：M，…，可得Q到P，每6次循环1次，即可求解． 【解答】解：如图， 第1次碰到：Q，第2次碰到：M，第3次碰到：N，第4次碰到：A，第5次碰到：B，第6次碰到：P，第7次碰到：Q，第8次碰到：M，……， ∴从Q到P，每6次循环1次， ∴， ∴第2024次碰到是第338组的第2次碰到M； 故选：C． 【点评】本题考查了循环变化规律问题，找出循环规律是解题的关键． 3.（2023秋•玉山县期末）如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【考点】生活中的轴对称现象．版权所有 【分析】要击中点N，则需要满足点M反弹后经过的直线过N点，画出反射路线即可得出答案． 【解答】解： 可以瞄准点D击球． 故选：D． 【点评】本题考查了轴对称的知识，注意结合图形解答，不要凭空想象，实际操作一下． 4.（2024春•拱墅区期末）一个台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面上的点O滚向桌边AB，碰到AB上的点P后反弹而滚向桌边CD，碰到CD上的点Q后反弹而滚向点R．如果AB∥CD，OP，PQ，QR都是直线，且∠OPQ的平分线PM垂直于AB，∠PQR的平分线QN垂直于CD． （1）判断并直接写出PM和QN的位置关系． （2）猜想QR是否平行于OP？说明理由． （3）若∠RQD＝α，求∠OPQ的度数（用含α的代数式表示）． 【考点】生活中的轴对称现象；列代数式；平行线的判定与性质．版权所有 【分析】（1）根据平行线的判断方法判断即可； （2）根据平行线的判断方法判断即可； （3）根据平行线的性质即可得出答案； 【解答】解：（1）∵AB∥CD，PM⊥AB，QN⊥CD． ∴PM∥QN； （2）QR∥OP， 理由：∵PM∥QN， ∴∠MPQ＝∠NQP， ∵PM平分∠OPQ，QN平分∠RQP， ∴∠OPQ＝2∠MPQ，∠PQR＝2∠NQP， ∴∠OPQ＝∠PQR， ∴QR∥OP； （3）∵∠RQD＝α， ∴∠RQN＝90°﹣α， ∴∠PQR＝2∠RQN＝180°﹣2α， ∵QR∥OP， ∴∠OPQ＝∠PQR＝180°﹣2α． 【点评】本题考查生活中的轴对称现象，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 5.（2024春•河南月考）如图，台球运动中母球P击中桌边的点A，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点B，再次反弹经过点C，其中∠PAD＝∠BAE，∠ABE＝∠CBF． （1）若∠PAD＝32°，求∠PAB的度数； （2）已知∠BAE+∠ABE＝90°，求证：BC∥PA． 【考点】生活中的轴对称现象；平行线的判定．版权所有 【分析】（1）根据题意先得到∠PAD＝∠BAE＝32°，再由平角的定义求解即可； （2）根据题意得到∠PAD＝∠CBF＝90°，再由平角的定义得到∠PAD+∠BAE+∠PAB＝180°，∠CBF+∠ABC+∠ABE＝180°，由此可得∠PAB+∠ABC＝180°，即可证明BC∥PA． 【解答】（1）解：∵∠PAD＝32°， ∴∠PAD＝∠BAE＝32°， ∵∠PAD+∠BAE+∠PAB＝180°， ∴∠PAB＝180°﹣32°﹣32°＝116°； （2）证明：∵∠PAD＝∠BAE，∠ABE＝∠CBF，∠BAE+∠ABE＝90°， ∴∠PAD＝∠CBF＝90°， ∵∠PAD+∠BAE+∠PAB＝180°，∠CBF+∠ABC+∠ABE＝180°， ∴∠PAD+∠BAE+∠PAB+∠CBF+∠ABC+∠ABE＝360°， ∴∠PAB+∠ABC＝180°， ∴BC∥PA． 【点评】本题主要考查了平行线的判定，关键是平行线判定定理的应用． 【考点二：轴对称图形】 6.（2024春•长安区期末）第33届奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，如图是巴黎奥运会项目图标，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【考点】轴对称图形．版权所有 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：A，C、D选项中的字都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：B． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 7.（2024•赤峰）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【考点】轴对称图形．版权所有 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线成轴对称． 【解答】解：A．是轴对称图形，故本选项符合题意； B．不是轴对称图形，故本选项不合题意； C．不是轴对称图形，故本选项不合题意； D．不是轴对称图形，故本选项不合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 8.（2024春•巫山县期末）下列图形不一定是轴对称图形的是（　　） A．等边三角形 B．菱形 C．矩形 D．平行四边形 【考点】轴对称图形．版权所有 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不一定是轴对称图形； A、B、C选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：D． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 9.（2024春•碑林区校级期末）下列图形中，是轴对称图形的有（　　）个． ①一条线段；②一个角；③等腰直角三角形；④等边三角形；⑤平行四边形；⑥正方形；⑦圆． A．4 B．5 C．6 D．7 【考点】轴对称图形．版权所有 【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形进行逐一判断即可． 【解答】解：①一条线段；②一个角；③等腰直角三角形；④等边三角形；⑥正方形；⑦圆都是轴对称图形，共6个． 故选：C． 【点评】本题主要考查了轴对称图形，熟练掌握相关定义是解答本题关键． 【考点三：镜面对称】 10.（2024•金平区二模）从平面镜里看到背后墙上电子钟的示数如图所示，这时的正确时间是（　　） A．21：05 B．21：15 C．20：15 D．20：12 【考点】镜面对称．版权所有 【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【解答】解：由图分析可得题中所给的“20：15”与“21：05”成轴对称，这时的时间应是21：05． 故选：A． 【点评】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧． 11.（2023秋•华亭市校级期末）小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，此时的时间应是 　15：01　． 【考点】镜面对称．版权所有 【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称来解答此题． 【解答】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与10：21成轴对称，所以此时实际时刻为15：01． 故答案为：15：01． 【点评】本题考查了镜面对称，解决此类题应认真观察，注意技巧，①平面镜成像的特点之一就是左右上下互换，数字时钟的像对应的时间一般从后面读数即为像对应的时间，也可将数字左右互换，并将每一个数字左右反转，即为像对应的时间．②读取时间问题可以把试卷反过来直接去读． 12.（2022秋•惠民县期末）如图，是小亮在镜中看到身后墙上的时钟，此时时钟的实际时刻是（　　） A．3：55 B．8：05 C．3：05 D．8：55 【考点】镜面对称．版权所有 【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的钟面上的时针、分针的位置和实物应关于过12时、6时的直线成轴对称． 【解答】解：根据平面镜成像原理可知，镜中的像与原图象之间实际上只是进行了左右对换，由轴对称知识可知，只要将其进行左可翻折，即可得到原图象，实际时间为8点的时针关于过12时、6时的直线的对称点是4点，分针指向11实际对应点为1，故此时的实际时刻是：8点5分． 故选：B． 【点评】此题考查了镜面对称，这是一道开放性试题，解决此类题注意技巧；注意镜面反射的原理与性质． 13.（2023秋•思明区校级期中）一平面镜以与水平面成45°角固定在水平面上，如图所示，一个小球以1m/s的速度沿桌面向点O匀速滚去，则小球在平面镜中的像是（　　） A．以1m/s的速度，做竖直向下运动 B．以1m/s的速度，做竖直向上运动 C．以2m/s的速度运动，且运动路线与地面成45°角 D．以2m/s的速度，做竖直向下运动 【考点】镜面对称．版权所有 【分析】利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【解答】解：根据镜面对称的性质，在平面镜中的顺序与现实中的恰好相反，且关于镜面对称， 则小球在平面镜中的像是以1m/s的速度，做竖直向下运动． 故选：A． 【点评】本题考查了镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧，充分发挥想象能力． 14.（2023春•镇平县期末）小明同学照镜子，如图所示镜子里哪个是他的像？（　　） A． B． C． D． 【考点】镜面对称．版权所有 【分析】直接利用镜面对称的定义得出答案． 【解答】解：由镜面对称的性质，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即可得出只有B与原图形成镜面对称． 故选：C． 【点评】此题主要考查了镜面对称，正确把握镜面对称的定义是解题关键． 【考点四：轴对称的性质】 15.（2024•河北）如图，AD与BC交于点O，△ABO和△CDO关于直线PQ对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（　　） A．AD⊥BC B．AC⊥PQ C．△ABO≌△CDO D．AC∥BD 【考点】轴对称的性质；全等三角形的判定．版权所有 【分析】根据△ABO和△CDO关于直线PQ对称得出△ABO≌△CDO，PQ⊥AC，PQ⊥BD，然后逐项判断即可． 【解答】解：如图，连接AC、BD， ∵△ABO和△CDO关于直线PQ对称， ∴△ABO≌△CDO，PQ⊥AC，PQ⊥BD， ∴AC∥BD， 故B、C、D选项正确， AD不一定垂直BC，故A选项不一定正确， 故选：A． 【点评】本题考查轴对称的性质，关于某条直线对称的两个三角形全等，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 16.（2024春•郸城县期末）如图，四边形ABCD关于直线l是对称的，有下面的结论： ①AB∥CD；②AC⊥BD；③AO＝CO；④AB⊥BC，其中正确的结论有（　　） A．①② B．②③ C．①④ D．② 【考点】轴对称的性质．版权所有 【分析】根据轴对称的性质对各小题分析判断即可得解． 【解答】解：∵四边形ABCD关于直线l是对称的， ∴AC⊥BD，故②正确， 只有AD＝CD时，AB∥CD，AO＝CO，故①③错误； 仅由图形无法证明AB⊥BC，故④错误； 所以，正确的结论是②． 故选：D． 【点评】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握性质并准确识图是解题的关键． 17.（2023秋•青龙县期末）如图，∠AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N．若△PMN的周长是6cm，则P1P2的长为（　　） A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm 【考点】轴对称的性质．版权所有 【分析】根据轴对称的性质可知P1M＝PM，PN＝P2N；因为△PMN的周长已知，则可把其中的两边PM，PN代换为P1M，P2N，则根据P1P2是相关线段的和即可求出其长． 【解答】解：∵点P关于OA的对称点是P1， ∴P1M＝PM． ∵点P关于OB的对称点是P2， ∴PN＝P2N． ∵△PMN的周长＝6cm，P1M＝PM，PN＝P2N， ∴P1P2＝P1M+MN+P2N＝PM+PN+MN＝6cm， 故选：A． 【点评】本题考查轴对称知识，掌握轴对称的性质是解题关键． 18.（2024•丛台区校级二模）如图，直线l，m相交于点O．P为这两直线外一点，且OP＝0.6．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【考点】轴对称的性质．版权所有 【分析】连接OP1，PP1，OP2，PP2，P1P2根据轴对称的性质和三角形三边关系可得结论． 【解答】解：连接OP1，PP1，OP2，PP2，P1P2，如图， ∵P1是P关于直线l的对称点， ∴直线l是PP1的垂直平分线， ∴OP1＝OP＝0.6， ∵P2是P关于直线m的对称点， ∴直线m是PP2的垂直平分线， ∴OP2＝OP＝0.6， 当P1，O，P2不在同一条直线上时，P1P2＜OP1+OP2， 即0＜P1P2＜1.2， 故选：B． 【点评】此题主要考查了轴对称的性质，熟知如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称是解题的关键． 19.（2024•玉林模拟）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是△ABC的（　　） A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线 C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线 【考点】轴对称的性质；三角形的角平分线、中线和高．版权所有 【分析】根据三位同学的折纸示意图，结合三角形角平分线、中线和高线的定义即可解决问题． 【解答】解：由题知， 由图①的折叠方式可知， ∠BAD＝∠CAD， 所以AD是△ABC的角平分线． 由图②的折叠方式可知， ∠ADB＝∠ADB′， 又因为∠ADB+∠ADB′＝180°， 所以∠ADB＝∠ADB′＝90°， 即AD⊥BC， 所以AD是△ABC的高线． 由图③的折叠方式可知， CD＝BD， 所以AD是△ABC的中线． 故选：C． 【点评】本题考查轴对称的性质及三角形的角平分线、中线和高线，熟知三角形角平分线、中线和高线的定义即可解决问题． 20.（2024•阜阳三模）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝α，边CD上的点B′与点B关于对角线AC对称，则∠ACB的度数为（　　） A． B． C．180°﹣2α D．45°+2α 【考点】轴对称的性质．版权所有 【分析】连接AB′，BB′，过A作AE⊥CD于E，依据∠BAC＝∠B′AC，∠DAE＝∠B′AE，即可得出，再根据直角三角形两锐角互余，即可求解． 【解答】解：如图，连接AB′，BB′，过A作AE⊥CD于E，如图所示： ∵边CD上的点B′与点B关于对角线AC对称， ∴AC垂直平分BB′， ∴AB＝AB′， ∵AB＝AD， ∴AD＝AB'， 又∵AE⊥CD， ∴， 又∵∠AEC＝90°， ∴， 故选：A． 【点评】本题主要考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，熟知以上知识是解题的关键． 21.（2023秋•兴隆县期末）如图，C，E是直线l两侧的点，以点C为圆心，CE的长为半径画弧交直线l于A，B两点，再分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于点D，连接CA，CB，CD，则下列结论不一定正确的是（　　） A．CA＝CB B．CD⊥直线l C．点C，D关于直线l对称 D．点A，B关于直线CD对称 【考点】轴对称的性质．版权所有 【分析】利用基本作图可对A进行判断；利用CD垂直平分AB可对B、D进行判断；利用AC与AD不一定相等可对C进行判断． 【解答】解：由作法得CD垂直平分AB，所以B选项正确； 因为CD垂直平分AB， 所以CA＝CB，所以A、D选项正确； 因为AD不一定等于AC，所以C选项错误． 故选：C． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图：掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． 22.（2024春•晋江市期末）如图，点P在四边形ABCD的内部，且点P与点M关于AD对称，PM交AD于点G，点P与点N关于BC对称，PN交BC于点H，MN分别交AD，BC于点E，F． （1）连接PE，PF，若MN＝12cm，求△PEF的周长； （2）若∠C+∠D＝134°，求∠HPG的度数． 【考点】轴对称的性质．版权所有 【分析】（1）根据轴对称的性质，将△PEF的周长转变为MN的长． （2）由∠C+∠D的度数得出∠A+∠B的度数之和，再根据PG⊥AD，PH⊥BC即可解决问题． 【解答】解：（1）∵点P与点M关于AD对称，点P与点N关于BC对称， ∴EM＝EP，FP＝FN， ∴C△PEF＝PE+PF+EF＝ME+EF+FN＝MN＝12（cm）． （2）∵∠C+∠D＝134°， ∴∠A+∠B＝360°﹣134°＝226°． 又∵PG⊥AD，PH⊥BC， ∴∠PGA＝∠PHB＝90°， ∴∠HPG＝540°﹣90°﹣90°﹣226°＝134°． 【点评】本题主要考查了轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解题的关键． 23.（2024春•秦都区校级月考）如图，点P是∠AOB外的一点，点E与点P关于OA对称，点F与点P关于OB对称，直线FE分别交OA、OB于C、D两点，连接PC、PD、PE、PF． （1）若∠OCP＝∠F＝20°，求∠CPD的度数； （2）若求CP＝DP，CF＝13，DE＝3，求CP的长． 【考点】轴对称的性质；三角形内角和定理．版权所有 【分析】（1）由点E与点P关于OA对称，点F与点P关于OB对称，∠OCP＝∠F＝20°，可得∠OCE＝∠OCP＝20°，∠DPF＝∠F＝20°，则∠PCF＝40°，∠CPF＝180°﹣∠F﹣∠PCF＝120°，根据∠CPD＝∠CPF﹣∠DPF，求解作答即可； （2）由点E与点P关于OA对称，点F与点P关于OB对称，C P＝D P，可得CE＝CP＝DP，DP＝DF，即CE＝DF，由CF＝CE+DE+DF＝2CE+3＝13，可求CE＝5，进而可得CP的长． 【解答】解：（1）∵点E与点P关于OA对称，点F与点P关于OB对称，∠OCP＝∠F＝20°， ∴∠OCE＝∠OCP＝20°，∠DPF＝∠F＝20°， ∴∠PCF＝40°，∠CPF＝180°﹣∠F﹣∠PCF＝120°， ∴∠CPD＝∠CPF﹣∠DPF＝100°， ∴∠CPD＝100°； （2）∵点E与点P关于OA对称，点F与点P关于OB对称，C P＝D P， ∴CE＝CP＝DP，DP＝DF， ∴CE＝DF， ∴CF＝CE+DE+DF＝2CE+3＝13， 解得CE＝5， ∴CP＝5． 【点评】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握轴对称的性质，三角形内角和定理是解题的关键． 【考点五：作图-轴对称变换】 24.（2024春•莲湖区期末）如图，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上，直线l在网格线上． （1）在网格中作△ABC关于直线l的对称图形△A'B'C'． （2）网格中每一个小正方形的边长均为1，在（1）的基础上，计算△AC'A'的面积． 【考点】作图﹣轴对称变换；三角形的面积．版权所有 【分析】（1）利用轴对称变化的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可； （2）利用三角形的面积公式求解． 【解答】解：（1）△A'B'C'即为所的三角形． （2）连接 AA'；AC'； S△AA′C′＝×6×4＝12． 【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． 25. （2024春•宜阳县期末）如图，（1）请在下面方格纸中画出△ABC关于直线l1的对称图形△A1B1C1，再画出△A1B1C1关于直线l2的对称图形△A2B2C2． （2）观察你所画的图形，发现△A2B2C2与△ABC之间有什么关系？（△A2B2C2可以看作是由△ABC经过一次什么变换得到的） （3）通过做这个题你会发现，一个图形关于什么位置关系的两条直线做两次轴对称，就相当于做一次什么变换？ 【考点】作图﹣轴对称变换；平移的性质；轴对称图形．版权所有 【分析】（1）根据轴对称的性质分别作图即可． （2）结合平移的性质可得，△A2B2C2可以看作是由△ABC经过一次平移得到的． （3）结合题意可直接得出答案． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1和△A2B2C2即为所求． （2）由图可得，△A2B2C2可以看作是由△ABC经过一次平移得到的． （3）由题意得，一个图形以两条相互平行的直线做两次轴对称，就相当于做一次平移变换． 【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称图形、平移的性质，熟练掌握轴对称的性质、平移的性质是解答本题的关键． 【考点六 ：剪纸】 26.（2024春•高新区期末）如图1，有一张长、宽分别为9和4的长方形纸片，将它对折两次后得到如图2所示的图形，然后沿图2中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形可以是图3中的（　　） A．①② B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 【考点】剪纸问题．版权所有 【分析】 【解答】解：如图，剪纸后可以的图3中的四个图形． 故选：D． 【点评】本题考查作图﹣剪纸问题，解题的关键是学会动手操作解决剪纸问题． 27.（2024•绵竹市模拟）如图，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则得到的图形是（　　） A． B． C． D． 【考点】剪纸问题．版权所有 【分析】根据图形的折叠，剪去的等腰直角三角形正好是大正方形的4个角的小正方形，可得答案． 【解答】解：从折叠的图形中剪去8个等腰直角三角形，正方形剪去4个小正方形， 故选：C． 【点评】本题考查了剪纸问题，理解剪去的等腰直角三角形正好是大正方形的4个角的小正方形是解题关键． 28.（2024•南宁模拟）如图1，先将一张长方形纸片对折，然后沿图2的虚线折叠得到图3，再按图3所示沿BC剪下△ABC．若展开后是图4所示的正五角星（每个锐角都是36°），则图3中∠ABC的度数是（　　） A．108° B．114° C．126° D．144° 【考点】剪纸问题；平行线的性质；多边形内角与外角．版权所有 【分析】根据剪纸的特点和多边形内角和定理解题． 【解答】解：将A，B，C标在展开图中，连接AB，AC，如图， ∵∠A＝＝36°， ∵正五角星的5个角都是36°， ∴∠ACB＝×36°＝18°， ∵三角形内角和为180°， ∴∠ABC＝180°﹣18°﹣36°＝126°． 故选：C． 【点评】本题以剪纸为背景，考查多边形内角与外角，需要一定的空间现象能力，解题的关键是能灵活运用相关知识． 29.（2022秋•文登区期末）如图，将一张正方形纸片沿对角线折叠一次，得到一个三角形．在得到的三角形的三个内角各剪去一个圆，然后将纸片展开，得到的图案是（　　） A． B． C． D． 【考点】剪纸问题；多边形内角与外角．版权所有 【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解结合实际操作解题． 【解答】解：在对折后的三角形的三个内角各剪去一个圆，展开后会得到6个圆，所以只有选项A符合题意． 故选：A． 【点评】此题考查了剪纸问题，关键是考查学生的动手实践能力和想象能为． 【点评】本题考查了通过折叠变换正方形的有关知识，掌握变换正方形的逻辑思维能力是关键． 【考点七：翻折】 30.（2024春•长安区期末）如图，AD是△ABC的角平分线，∠C＝20°，AB+BD＝AC，将△ABD沿AD所在直线翻折，点B恰好落在AC边上点E处．则∠B的度数为（　　） A．70° B．60° C．50° D．40° 【考点】翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质．版权所有 【分析】由翻折得AE＝AB，ED＝BE，∠B＝∠AED，所以AB+BD＝AE+ED＝AC＝AE+EC，则ED＝EC，所以∠EDC＝∠C＝20°，求得∠B＝∠AED＝∠EDC+∠C＝40°，于是得到问题的答案． 【解答】解：由翻折得△AED≌△ABD， ∴AE＝AB，ED＝BE，∠B＝∠AED， ∴AB+BD＝AE+ED， ∵AB+BD＝AC， ∴AE+ED＝AC＝AE+EC， ∴ED＝EC， ∴∠EDC＝∠C＝20°， ∴∠B＝∠AED＝∠EDC+∠C＝20°+20°＝40°， 故选：D． 【点评】此题重点考查轴对称的性质、全等三角形的性质、“等边对等角”、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明∠EDC＝∠C＝20°是解题的关键． 31.（2024春•厦门期末）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与B点重合，点C落在C′点处，折痕为EF．若∠ABE＝20°，那么∠EFB的度数为（　　） A．45° B．50° C．55° D．60° 【考点】翻折变换（折叠问题）；平行线的性质．版权所有 【分析】先根据长方形的性质可得∠A＝90°，AD∥BC，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠AEB＝70°，再利用平角定义可得∠DEB＝110°，最后根据折叠的性质可得：∠DEF＝∠DEB＝55°，再利用平行线的性质可得∠DEF＝∠EFB＝55°，即可解答． 【解答】解：∵四边形ABCD是长方形， ∴∠A＝90°，AD∥BC， ∵∠ABE＝20°， ∴∠AEB＝90°﹣∠ABE＝70°， ∴∠DEB＝180°﹣∠AEB＝110°， 由折叠得：∠DEF＝∠DEB＝55°， ∵AD∥BC， ∴∠DEF＝∠EFB＝55°， 故选：C． 【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 32.（2024春•福州期末）如图，在△ABC中，点D在边BC上，将△ABD沿AD翻折得到△AED，若△ABF的周长为12，△DEF的周长为4，则AF的长为（　　） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【考点】翻折变换（折叠问题）．版权所有 【分析】设BD＝a，DF＝b，EF＝c，AF＝x，由翻折的性质得：DE＝BD＝a，AB＝AE＝x+c，然后根据△EDF的周长为4得a+b+c＝4，再根据△ABF的周长为12得x+c+a+b+x＝12，据此可求出AF的长． 【解答】解：设BD＝a，DF＝b，EF＝c，AF＝x， 由翻折的性质得：DE＝BD＝a，AB＝AE＝AF+EF＝x+c， ∵△EDF的周长为4， ∴DE+DF+EF＝4，即：a+b+c＝4， ∵△ABF的周长为12， ∴AB+BF+AF＝12，即：x+c+a+b+x＝12， ∴2x+a+b+c＝12， ∴2x+4＝12，解得：x＝4， ∴AF＝4． 故选：C． 【点评】此题主要考查了图形的折叠变换及性质，平行线的判定，解答此题的关键是熟练掌握图形的旋转变换和性质． 33.（2024春•杨浦区期末）如图，在△ABC中，D是边BC的中点，将△ABD沿AD翻折，点B落在点E处，AE交CD于点F，△ADF的面积恰好是△ABC面积的．小丽在研究这个图形时得到以下两个结论：①∠B＝∠CAE；②AC＝CD．那么下列说法中，正确的是（　　） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①、②皆正确 D．①、②皆错误 【考点】翻折变换（折叠问题）．版权所有 【分析】根据折叠的性质、三角形的面积公式、中线的性质求解． 【解答】解：∵D是边CB的中点， ∴BD＝CD， ∴S△ABD＝S△ACD＝S△ADE＝S△ABC， ∵S△ADF＝S△ABC， ∴S△ACF＝S△EDF＝S△ABC， ∴DF＝CF，AF＝EF， ∴四边形ACED为平行四边形， ∴AC∥DE，AC＝DE， ∴∠E＝∠EAC， ∵∠E＝∠B， ∴∠EAC＝∠B，故①是正确的； 由折叠的性质得：BD＝DE， ∴AC＝CD，故②谁正确的， 故选：C． 【点评】本题考查了翻折变换，掌握折叠的性质、三角形的面积公式、中线的性质是解题的关键． 34.（2024•潮南区三模）如图，把一长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点D'落在∠BAC内部．若∠CAE＝2∠BAD′，且∠CAD′＝20°，则∠DAE的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【考点】翻折变换（折叠问题）；角的计算．版权所有 【分析】设∠BAD′＝x°，则∠CAE＝2x°，得到∠EAD′＝∠CAE+∠CAD′＝2x°+20°，由折叠的性质得到：∠DAE＝∠EAD′＝2x°+20°，由矩形的性质，得到∠BAD＝90°，得到2x+20+2x+20+x＝90，求出x＝10，即可求出∠DAE＝2x°+20°＝40°． 【解答】解：设∠BAD′＝x°，则∠CAE＝2x°， ∴∠EAD′＝∠CAE+∠CAD′＝2x°+20°， 由折叠的性质得到：∠DAE＝∠EAD′＝2x°+20°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°， ∴∠DAE+∠EAD+∠BAD′＝90°， ∴2x+20+2x+20+x＝90， ∴x＝10， ∴∠DAE＝2x°+20°＝40°． 故选：B． 【点评】本题考角的计算，折叠的性质，关键是由折叠的性质得到关于x的方程． 35.（2024春•禅城区校级期中）折纸是一种以纸张折成各种不同形状的艺术活动，折纸与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学成为现代几何学的一个分支．按如图所示方法折纸，则下列说法不正确的是（　　） A．∠1与∠3互余 B．∠2＝90° C．AE平分∠BEF D．∠1与∠AEC互补 【考点】轴对称的性质；角平分线的定义；余角和补角．版权所有 【分析】利用折叠的性质及余角和补角的定义进行分析即可判断． 【解答】解：根据折叠的性质可知，∠1＝∠AEB，∠3＝∠FEC， ∵∠1+∠AEB+∠3+∠FEC＝180°， ∴2（∠1+∠3）＝180°， 即∠1+∠3＝90°，故A不符合题意； ∴∠2＝90°，故B不符合题意，C符合题意； ∵∠1+∠AEC＝180°， ∴∠1与∠AEC互补， 故D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了图形的翻折变换，余角，补角的定义，掌握图形的翻折变换的特征是解决问题的关键． 36.（2022春•荥阳市期末）在学习“生活中的轴对称”之后，小颖对图形的变换进行操作实践．P为长方形纸片ABCD的边AB上一点，点E，M分别为AD，CD上的动点，如图，先把纸片ABCD沿PE对折，A与F重合：再把纸片沿PM对折，B与H重合．当点E，M运动时，若∠FPH＝32°，则∠APE+∠BPM＝　74°　． 【考点】生活中的轴对称现象；平行线的性质．版权所有 【分析】根据折叠的性质得到∠APE＝∠FPE，∠BPM＝∠HPM，由平角的定义求出∠APE+∠FPE+∠BPM+∠HPM＝148°，则∠APE+∠BPM＝74°． 【解答】解：由折叠的性质可得∠APE＝∠FPE，∠BPM＝∠HPM， ∵∠APE+∠FPE+∠BPM+∠HPM+∠FPH＝180°， ∴∠APE+∠FPE+∠BPM+∠HPM＝148°， ∴∠APE+∠BPM＝74°， 故答案为：74°． 【点评】本题主要考查了折叠的性质，熟知折叠前后对应角相等是解题的关键． 37.（2023秋•黄山期末）如图，在△ABC中，∠C＝40°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（　　） A．40° B．80° C．90° D．140° 【考点】翻折变换（折叠问题）．版权所有 【分析】由折叠的性质得到∠D＝∠C，再利用外角性质即可求出所求角的度数． 【解答】解：由折叠的性质得：∠D＝∠C＝40°， 根据外角性质得：∠1＝∠3+∠C，∠3＝∠2+∠D， 则∠1＝∠2+∠C+∠D＝∠2+2∠C＝∠2+80°， 则∠1﹣∠2＝80°． 故选：B． 【点评】此题考查了翻折变换（折叠问题），以及外角性质，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键． 38.（2024•威海一模）如图，在△ABC中，∠BAD＝30°，将△ABD沿AD折叠至△ADB'，∠ACB＝2α，连接B'C，B'C平分∠ACB，则∠AB'D的度数是（　　） A． B．60°+α C． D．90°﹣α 【考点】翻折变换（折叠问题）；三角形内角和定理．版权所有 【分析】连接BB′，过点B′作B′E⊥BC于E，B′F⊥AC于F，连接BB′，过点B′作B′E⊥BC于E，B′F⊥AC于F，可得△ABB′是等边三角形，得出AB′＝BB′，∠B′BA＝∠B′AB＝60°，运用HL可证得Rt△BB′E≌Rt△AB′F（HL），得出∠B′BE＝∠B′AF，再运用三角形内角和定理即可求得答案． 【解答】解：如图，连接BB′，过点B′作B′E⊥BC于E，B′F⊥AC于F， 则∠CEB′＝∠CFB′＝∠BEB′＝∠AFB′＝90°， 由折叠可知，∠BAD＝∠B'AD＝30°，AB＝AB′， ∴∠BAB′＝∠BAD+∠B'AD＝60°， ∴△ABB′是等边三角形， ∴AB′＝BB′，∠B′BA＝∠B′AB＝60°， ∵B′C平分∠ACB，∠ACB＝2α， ∴∠ACB′＝∠BCB′＝∠ACB＝α， 又∵B′E⊥BC，B′F⊥AC， ∴B′E＝B′F， 在Rt△BB′E和Rt△AB′F中， ， ∴Rt△BB′E≌Rt△AB′F（HL）， ∴∠B′BE＝∠B′AF， ∴∠B′BA+∠B′BE＝∠B′AB+∠B′AF， 即∠ABC＝∠BAC， ∵∠ACB＝2α，∠ABC+∠BAC+∠ACB＝180°， ∴∠ABC＝∠BAC＝＝90°﹣α， ∴∠AB'D＝90°﹣α， 故选：D． 【点评】本题考查折叠变换的性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 39.（2023秋•樊城区期末）在△ABC中，已知∠A＝80°，∠C＝30°，现把△CDE沿DE进行不同的折叠得△C′DE，对折叠后产生的夹角进行探究： （1）如图（1）把△CDE沿DE折叠在四边形ADEB内，则求∠1+∠2的和； （2）如图（2）把△CDE沿DE折叠覆盖∠A，则求∠1+∠2的和； （3）如图（3）把△CDE沿DE斜向上折叠，探求∠1、∠2、∠C的关系． 【考点】翻折变换（折叠问题）；三角形内角和定理．版权所有 【分析】（1）根据折叠前后的图象全等可知，∠1＝180°﹣2∠CDE，∠2＝180°﹣2∠CED，再根据三角形内角和定理比可求出答案； （2）连接DG，将∠ADG+∠AGD作为一个整体，根据三角形内角和定理来求； （3）将∠2看作180°﹣2∠CED，∠1看作2∠CDE﹣180°，再根据三角形内角和定理来求． 【解答】解：（1）∠1+∠2＝180°﹣2∠CDE+180°﹣2∠CED ＝360°﹣2（∠CDE+∠CED） ＝360°﹣2（180°﹣∠C） ＝2∠C ＝60°； （2）连接DG， ∠1+∠2＝180°﹣∠C′﹣（∠ADG+∠AGD） ＝180°﹣30°﹣（180°﹣80°） ＝50°； （3）∠2﹣∠1＝180°﹣2∠CED﹣（2∠CDE﹣180°） ＝360°﹣2（∠CDE+∠CED） ＝360°﹣2（180°﹣∠C） ＝2∠C 所以：∠2﹣∠1＝2∠C． 【点评】此题是一道折叠问题，解答此题时要充分利用折叠部分折叠前后形成的图形为全等形的性质，并且解答该题时要充分利用三角形的性质． 【考点八：设计轴对称图案】 40.（2024春•武汉期末）如图，在4×4的正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形，可供选择的白色小正方形有 　5　个． 【考点】利用轴对称设计图案．版权所有 【分析】直接利用轴对称图形的定义进而得出符合题意的答案． 【解答】解：如图所示：标有数字的5个位置都是轴对称图形． 故答案为：5． 【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确把握轴对称图形的定义是解题关键． 41.（2024•石家庄校级模拟）如图所示的“钻石”型网格（由边长都为1个单位长度的等边三角形组成），其中已经涂黑了3个小三角形（阴影部分表示），请你再只涂黑一个小三角形，使它与阴影部分合起来所构成的图形是一个轴对称图形，一共有（　　）种涂法． A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】利用轴对称设计图案．版权所有 【分析】根据轴对称图形的定义，画出图形即可． 【解答】解：如图，满足条件的三角形有三个． 故选：C． 【点评】本题考查利用轴对称图形设计图案，解题的关键是连接轴对称图形的定义，属于中考常考题型． 42.（（2024•吉安县校级模拟）如图是由全等的小等边三角形组成的网格，其中有3个小三角形被涂成了黑色（用阴影表示）．若平移其中1个阴影三角形到空白网格中，使阴影部分构成的图形为轴对称图形，则平移的方法共有（　　） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【考点】利用轴对称设计图案；平移的性质；全等三角形的性质．版权所有 【分析】根据轴对称图形的定义，画出图形即可． 【解答】解：如图所示，共有4种平移方法． 故选：C． 【点评】本题考查利用轴对称图形设计图案，解题的关键是连接轴对称图形的定义． 43.（2015春•福田区期末）图形设计：请将网格中的某些小方格涂黑，使它与已涂黑的小方格组成轴对称图形，并且有两条对称轴．（要求用两种不同的方法） 【考点】利用轴对称设计图案．版权所有 【分析】利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案． 【解答】解：如图所示： 【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 44.（2024•岳池县三模）如图是由5个全等的正方形组成的，请你移动其中一个正方形，使它变成轴对称图形，要求：所作图形顶点必须在网格图格点上．（在网格图中画出4种形状不同的图形，涂上阴影．） 【考点】利用轴对称设计图案．版权所有 【分析】根据轴对称图形的定义，画出图形即可． 【解答】解：如图所示： 【点评】本题考查作图﹣利用轴对称设计图案，解题的关键是理解轴对称图形的定义，属于中考常考题型． 45.（2023秋•襄城区期末）如图，在3×3的正方形网格中，有一个以格点为顶点的三角形． （1）请你在图①，图②，图③中，分别画出一个与该三角形成轴对称且以格点为顶点的三角形，并将所画三角形涂上阴影．（注：所画的三幅图不能重复）． （2）格纸中所有与该三角形成轴对称且以格点为顶点的三角形共有 　6　个． 【考点】利用轴对称设计图案．版权所有 【分析】（1）利用网格结合轴对称图形的性质画出符合题意的图形即可； （2）利用（1）中所画图形，进而得出答案． 【解答】解：（1）如图所示： （2）格纸中所有与该三角形成轴对称且以格点为顶点的三角形共有6个． 故答案为：6． 【点评】本题考查了利用轴对称设计图案，解答此题要明确轴对称的性质，并据此构造出轴对称图形，然后将对称部分涂黑，即为所求． 46.（2023秋•舒兰市期末）如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且以格点为顶点的三角形，请在下面所给的格纸中一一画出所有符合条件的三角形．（所给的六个格纸未必全用） 【考点】利用轴对称设计图案．版权所有 【分析】根据轴对称图形的定义与判断可知． 【解答】解：与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形有5个， 分别为△CDA，△FBC，△AEG，△HGE，△BAH． 【点评】本题考查轴了对称图形的定义与判断，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴． 47．（2024•广安二模）如图，网格中每个小正方形的边长为1 请你认真观察图1中的三个网格中的黑色部分构成的图案，解答下列问题： （1）这三个图案都具有以下共同特征：都是 　中心　对称图形，都不是 　轴　对称图形； （2）在图2中选一个白色的小正方形并涂黑，使图2中黑色部分是轴对称图形； （3）请在图3中设计出一个面积为4的图案，且具备（1）中的特征（不与图1中所给图案相同）． 【考点】利用轴对称设计图案．版权所有 【分析】（1）利用网格特征以及中心对称图形的性质解决问题即可； （2）根据要求作出图形即可； （3）根据要求作出图形即可． 【解答】解：（1）这三个图案都具有以下共同特征：都是中心对称图形，都不是轴对称图形； 故答案为：中心，轴； （2）如图所示； （3）如图所示． 如图所示，答案不唯一．（或面积是4的平行四边形、正方形等） 【点评】本题考查利用轴对称设计图案，解题的关键是理解中心对称图形的定义，属于中考常考题型． 2.4.1 线段的轴对称性 课程目标 1. 掌握线段垂直平分线的性质与判定； 2. 会用线段的垂直平分线的性质与判定进行计算与证明。 3. 会用尺规作图作线段的垂直平分线。 重难点 会用线段的垂直平分线的性质与判定进行计算与证明。 基础巩固 1．线段是轴对称图形，它的对称轴是（　　） A．线段本身 B．线段的垂直平分线 C．线段垂直平分线和这条线段所在直线 D．线段所在直线 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．这条直线叫做对称轴． 【解答】解：根据轴对称图形的概念可知线段的对称轴是线段垂直平分线和这条线段所在直线． 故选：C． 【点评】掌握轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2．在元旦联欢会上，3名小朋友分别站在三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放在三角形的（　　） A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 【分析】根据游戏的公平性，可得3个小朋友到板凳的距离相等，即板凳的位置到三角形3个顶点的距离相等，于是可得到是三条边的中垂线的交点． 【解答】解：由题意可得， 3个小朋友到板凳的距离相等游戏才是公平的， 于是板凳的位置到三角形3个顶点的距离相等， 因此板凳的位置是三角形三边的垂直平分线的交点， 故选：D． 【点评】本题考查游戏的公平性，线段的垂直平分线的性质，掌握三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等的性质是解决问题的关键． 3．如图，分别以△ABC的顶点A，B为圆心，以大于AB的长为半径，画弧，过两弧交点的直线交AC于点D，连接DB，若BC＝6，AC＝10，则△DBC的周长等于（　　） A．12 B．14 C．16 D．24 【分析】根据基本作图得到点D在AB的垂直平分线上，则DA＝DB，然后利用等线段代换得到△DBC的周长＝BC+AC． 【解答】解：由作图得DA＝DB， 所以△DBC的周长＝BC+DC+BD＝BC+DC+AD＝BC+AC＝6+10＝16． 故选：C． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． 4．如图，在△ABC中，AC＝4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（　　）cm A．3 B．4 C．7 D．11 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到NA＝NB，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：∵MN是线段AB的垂直平分线， ∴NA＝NB， ∵△BCN的周长是7cm， ∴BC+CN+BN＝7（cm）， ∴BC+CN+NA＝7（cm），即BC+AC＝7（cm）， ∵AC＝4cm， ∴BC＝3（cm）， 故选：A． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 5．如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠1＝41°，则∠AOC＝　82°　． 【分析】利用线段垂直平分线的性质得到OA＝OB，OB＝OC，∠OMB＝∠ONB＝90°，则∠OBA＝∠A，∠OBC＝∠C，利用等角的补角相等得到∠ABC＝∠1＝41°，然后根据三角形外角性质可计算出∠AOC的度数． 【解答】解：如图， ∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O， ∴OA＝OB，OB＝OC，∠OMB＝∠ONB＝90°， ∴∠OBA＝∠A，∠OBC＝∠C， ∵∠1+∠MON＝180°，∠ABC+∠MON＝180°， ∴∠ABC＝∠1＝41°， ∵∠AOP＝2∠OBA，∠COP＝2∠OBC， ∴∠AOC＝2（∠OBA+∠OBC）＝2∠ABC＝2×41°＝82°． 故答案为82°． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．也考查了等腰三角形的性质． 6．已知：如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E．若∠BAC＝104°，则∠DAE的度数为（　　） A．22° B．24° C．26° D．28° 【分析】根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，根据等腰三角形的性质得到∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，结合图形计算即可． 【解答】解：∵∠BAC＝104°， ∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝76°， ∵AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E， ∴DA＝DB，EA＝EC， ∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C， ∴∠DAB+∠EAC＝∠B+∠C＝76°， ∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠DAB+∠EAC）＝104°﹣76°＝28°， 故选：D． 【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 7．如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，若∠BAC＝74°，则∠NAE的度数为（　　） A．30° B．32° C．36° D．37° 【分析】根据三角形内角和定理可求∠B+∠C，根据垂直平分线性质，EA＝EB，NA＝NC，则∠EAB＝∠B，∠NAC＝∠C，从而可得∠BAC＝∠BAE+∠NAC﹣∠EAN＝∠B+∠C﹣∠EAN，即可得到∠EAN＝∠B+∠C﹣∠BAC，即可得解． 【解答】解：∵∠BAC＝74°， ∴∠B+∠C＝180°﹣74°＝106°， ∵AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N， ∴EA＝EB，NA＝NC， ∴∠EAB＝∠B，∠NAC＝∠C， ∴∠BAC＝∠BAE+∠NAC﹣∠NAE＝∠B+∠C﹣∠NAE， ∴∠NAE＝∠B+∠C﹣∠BAC＝106°﹣74°＝32°． 故选：B． 【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，角的和差关系，能得到求∠EAN的关系式是关键． 8．△ABC中，BC＝10，AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，且DE＝4，则AD+AE的值为（　　） A．6 B．14 C．6或14 D．8或12 【分析】分两种情况，当BD与CE无重合，当BD与CE有重合． 【解答】解：∵AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D，E， ∴AD＝BD，AE＝EC， 分两种情况： 当BD与CE无重合时， ∵BC＝10，DE＝4， ∴AD+AE＝BD+CE＝BC﹣DE＝10﹣4＝6， 当BD与CE有重合时， ∵BC＝10，DE＝4， ∴AD+AE＝BD+CE＝BC+DE＝10+4＝14， 综上所述：AD+AE的值为：6或14， 故选：C． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． 9．如图，△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，AC的垂直平分线交AC于点F，交BC于点G．若以BE，EG，GC为边的三角形的面积为8，则△ABC的面积可能是（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 【分析】连接AE、AG，根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，GA＝GC，根据三角形的三边关系得到AE+AG＞EG，根据三角形的面积公式判断即可． 【解答】解：连接AE、AG， ∵DE是AB的垂直平分线，FG是AC的垂直平分线， ∴EA＝EB，GA＝GC， ∵以BE，EG，GC为边的三角形的面积为8， ∴△AEG的面积为8， ∵AE+AG＞EG， ∴BE+CG＞EG， ∴S△AEB+S△ACG＞S△AEG， ∴S△ABC＞2S△AEG＝16， 故选：D． 【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形的面积计算，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 10．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E． （1）若BC＝10，求△ADE的周长； （2）设直线DM、EN交于点O． ①试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由； ②若∠BAC＝100°，求∠BOC的度数． 【分析】（1）根据垂直平分线性质得AD＝BD，AE＝EC．所以△ADE周长＝BC； （2）①如图，连接AO，BO，CO，根据线段垂直平分线的性质即可得到结论； ②根据四边形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E， ∴AD＝BD，AE＝CE， C△ADE＝AD+DE+AE＝BD+DE+CE＝BC＝10； （2）①如图，点O在BC的垂直平分线上， 理由：连接AO，BO，CO， ∵DM，EN分别是AB，AC的垂直平分线， ∴AO＝BO，OA＝OC， ∴OB＝OC， ∴点O在BC的垂直平分线上； ②∵OM⊥AB，ON⊥AC， ∴∠AMO＝∠ANO＝90°， ∵∠BAC＝100°， ∴∠MON＝360°﹣90°﹣90°﹣100°＝80°， ∴∠BOC＝2∠MON＝160°． 【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理、等腰三角形性质等知识点，渗透了整体求值的数学思想方法，难度中等． 11．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F，BE＝CF． 求证：（1）△DEB≌△DFC； （2）AD垂直平分EF． 【分析】（1）由HL证得Rt△DEB≌Rt△DFC； （2）由（1）中的全等得出DE＝DF，∠B＝∠C，则AB＝AC，推出AE＝AF，得出点A、D在EF的垂直平分线上，即可得出结论． 【解答】证明：（1）∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠DEB＝∠DFC＝90°， 在Rt△DEB和Rt△DFC中， ， ∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）； （2）由（1）知：Rt△DEB≌Rt△DFC， ∴DE＝DF，∠B＝∠C， ∴AB＝AC， ∵BE＝CF， ∴AB﹣BE＝AC﹣CF， ∴AE＝AF， ∴点A、D在EF的垂直平分线上， ∴AD垂直平分EF． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、线段垂直平分线的判定等知识；熟练掌握直角全等三角形的判定与性质是解题的关键． 12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E在AB上，且AF垂直平分CD，BG垂直平分CE （1）求∠ECD的度数； （2）若∠ACB为α，则∠ECD的度数能否用含α的式子来表示？并证明你的结论． 【分析】（1）设∠ADC＝x，∠BEC＝y．由AF垂直平分CD，根据线段垂直平分线的性质得出AC＝AD，由等边对等角得到∠ADC＝∠ACD＝x，同理∠BEC＝∠BCE＝y．在△ACD中，由三角形内角和定理得出2x+∠CAD＝180°①，同理，2y+∠CBE＝180°②，①+②，得2x+2y+∠CAD+∠CBE＝360°③，而∠CAD+∠CBE＝90°④，④代入③得出x+y＝135°，再利用三角形内角和定理得出∠ECD＝180°﹣（x+y）＝45°； （2）同（1）求解即可． 【解答】解：（1）设∠ADC＝x，∠BEC＝y． ∵AF垂直平分CD， ∴AC＝AD， ∴∠ADC＝∠ACD＝x， 同理∠BEC＝∠BCE＝y． 在△ACD中，∵∠ADC+∠ACD+∠CAD＝180°， ∴2x+∠CAD＝180°①， 同理，2y+∠CBE＝180°②， ①+②，得2x+2y+∠CAD+∠CBE＝360°③， ∵∠CAD+∠CBE+∠ACB＝180°，∠ACB＝90°， ∴∠CAD+∠CBE＝90°④， ④代入③，得2x+2y+90°＝360°， ∴x+y＝135°， ∴∠ECD＝180°﹣（x+y）＝45°； （2）由（1）可得2x+2y+∠CAD+∠CBE＝360°， ∵∠CAD+∠CBE＝180°﹣∠ACB＝180°﹣α， ∴2x+2y+180°﹣α＝360°， ∴x+y＝90°+α， ∴∠ECD＝180°﹣（x+y）＝180°﹣（90°+α）＝90°﹣α． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，也考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，难度适中． 拓展提优 13．已知C，D两点在线段AB的垂直平分线上，且∠ACB＝50°，∠ADB＝86°，则∠CAD的度数是　18°或112°　． 【分析】分点C与点D在线段AB两侧、点C与点D在线段AB同侧两种情况，根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质解答． 【解答】解：∵C、D两点在线段AB的中垂线上， ∴CA＝CB，DA＝DB， ∵CD⊥AB， ∴∠ACD＝∠ACB＝×50°＝25°，∠ADC＝∠ADB＝×86°＝43°， 当点C与点D在线段AB两侧时，∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝180°﹣25°﹣43°＝112°， 当点C与点D′在线段AB同侧时，∠CAD′＝∠AD′C﹣∠ACD′＝43°﹣25°＝18°， 故答案为：18°或112°． 【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 14．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点）．在这张5×5的方格纸中，找出格点C，使AC＝BC，则满足条件的格点C有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【分析】根据线段垂直平分线的性质，C在AB的垂直平分线上，确定点C的个数． 【解答】解：满足AC＝BC，在AB的垂直平分线上，有5个， 故选：A． 【点评】本题考查了网格的特点和线段的垂直平分线，注意不要漏点． 15．如图，已知△ABE与△CDE都是等腰直角三角形，∠AEB＝∠DEC＝90°，连接AD，AC，BC，BD，若AD＝AC＝AB，则下列结论：①AE垂直平分CD，②AC平分∠BAD，③△ABD是等边三角形，④∠BCD的度数为150°，其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】由AE＝BE，ED＝EC，得出AE垂直平分CD，①正确；证明△ACE≌△BDE（SAS），得出∠ACE＝∠BDE，AC＝BD，由三角形内角和定理得∠CMB＝∠DEC＝90°，得出AC⊥BD，由等腰三角形的性质得出AC平分∠BAD，②正确；证出AD＝AB＝BD，得出△ABD是等边三角形，③正确；由等边三角形的性质和等腰三角形的性质得出∠ACD＝∠ADC＝∠ACB＝∠ABC＝75°，得出∠BCD＝2×75°＝150°，④正确；即可得出结论． 【解答】解：∵△ABE与△CDE都是等腰直角三角形，∠AEB＝∠DEC＝90°， ∴AE＝BE，ED＝EC， ∴点E在CD的垂直平分线上， ∵AD＝AC， ∴点A在CD的垂直平分线上， ∴AE垂直平分CD，①正确； ∵∠AEB+∠BEC＝∠DEC+∠BEC， ∴∠AEC＝∠BED， 在△ACE和△BDE中，， ∴△ACE≌△BDE（SAS）， ∴∠ACE＝∠BDE，AC＝BD， ∵∠DNE＝∠CNM，如图所示： ∴由三角形内角和定理得：∠CMB＝∠DEC＝90°， ∴AC⊥BD， ∵AD＝AB， ∴AC平分∠BAD，②正确； ∵AC＝BD，AD＝AC＝AB， ∴AD＝AB＝BD， ∴△ABD是等边三角形，③正确； ∴∠BAD＝∠ABD＝60°，∠DAC＝∠BAC＝30°， ∵AD＝AC＝AB， ∴∠ACD＝∠ADC＝∠ACB＝∠ABC＝（180°﹣30°）＝75°， ∴∠BCD＝2×75°＝150°，④正确； 正确的个数有4个， 故选：D． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 16．如图，直线l，m相交于点O，P为这两直线外一点，且OP＝3，若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（　　） A．0 B．5 C．7 D．8 【分析】由对称得OP1＝OP＝3，OP＝OP2＝3，再根据三角形任意两边之和大于第三边，即可得出结果． 【解答】解：连接OP1，OP2，P1P2， ∵点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2， ∴OP1＝OP＝3，OP＝OP2＝3， OP1+OP2＞P1P2， 0＜P1P2＜6， 当m⊥l时， 由轴对称的性质得，∠P1OP2＝180°， ∴P1，O，P2三点共线， ∴OP1+OP2＝P1P2＝6， 故选：B． 【点评】本题考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，解本题的关键熟练掌握对称性和三角形边长的关系． 17．如图，在△ABC中，点D是AB边的中点，过点D作边AB的垂线l，E是l上任意一点，且AB＝4，AC＝5，BC＝8，则△AEC的周长最小值为 　13　． 【分析】连接BE，依据l是AB的垂直平分线，可得AE＝BE，进而得到AE+CE＝BE+CE，依据BE+CE≥BC，可知当B，E，C在同一直线上时，BE+CE的最小值等于BC的长，而AC长不变，故△AEC的周长最小值等于AC+BC的值． 【解答】解：如图，连接BE， ∵点D是AB边的中点，l⊥AB， ∴l是AB的垂直平分线， ∴AE＝BE， ∴AE+CE＝BE+CE， ∵BE+CE≥BC， ∴当B，E，C在同一直线上时，BE+CE的最小值等于BC的长，而AC长不变， ∴△AEC的周长最小值等于AC+BC＝5+8＝13， 故答案为：13． 【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点． 18．如图，△ABC的周长为30，BC＝12，AC＝5，作BC边的垂直平分线PF分别交AB，BC于点F，E．连接PB、PC，若点M是直线PF上的一个动点，则△MAC周长的最小值为 　18　． 【分析】△MAC的周长等于AC+AM+CN的长，AC＝5，故只需AM+CN最小，由对称性可得BM＝CM，从而得出AM+BM＝AM+BM≥AB，故当点M在F处时，AM+BM最小，最小值是AB的长，进一步得出结果． 【解答】解：∵△ABC的周长为30，BC＝12，AC＝5， ∴AB＝30﹣12﹣5＝13， ∵PF是BC的垂直平分线， ∴CM＝BM，CF＝BF， ∴AM+BM＝AM+BM≥AB， ∴当点M在F处时，AM+BM最小，最小值是AB的长， ∵AC＝5， ∴△MAC的周长最小值为：5+13＝18， 故答案为：18． 【点评】本题考查了轴对称的性质，三角形三边关系等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”等模型． 19．如图，在△ABC中，点O是边AB和AC的垂直平分线OD、OE的交点，若∠BOC＝130°，则∠GOF的度数为（　　） A．115° B．130° C．140° D．150° 【分析】连接OA，先利用线段垂直平分线的性质可得OA＝OB，OA＝OC，从而可得∠1＝∠OBA，∠2＝∠OCA，然后利用三角形内角和定理可得∠OBC+∠OCB＝50°，从而可得∠1+∠OBA+∠2+∠OCA＝130°，进而可得∠1+∠2＝65°，再由四边形内角和定理得出∠DOE的度数，根据对顶角相等即可得出结论． 【解答】解：连接OA，如图： ∵OE是AC的垂直平分线，OD是AB的垂直平分线， ∴OA＝OB，OA＝OC，∠ADO＝∠AEO＝90°， ∴∠1＝∠OBA，∠2＝∠OCA， ∵∠BOC＝130°， ∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC＝50°， ∴∠1+∠OBA+∠2+∠OCA＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝130°， ∴2∠1+2∠2＝130°， ∴∠1+∠2＝65°， ∴∠BAC＝65°， ∴∠DOE＝360°﹣∠ADO﹣∠AEO﹣∠BAC＝360°﹣90°﹣90°﹣65°＝115°， ∴∠GOF＝∠DIE＝115°． 故选：A． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 20．如图，在△ABC中，I是三角形角平分线的交点，O是三边垂直平分线的交点，连接AI，BI，AO，BO，若∠AOB＝140°，则∠AIB的大小为（　　） A．160° B．140° C．130° D．125° 【分析】连接CO，根据三角形内角和定理求出∠OAB+∠OBA，根据线段垂直平分线的性质得到OA＝OC，OB＝OC，进而得到∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，求出∠CAB+∠CBA，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案． 【解答】解：连接CO， ∵∠AOB＝140°， ∴∠OAB+∠OBA＝180°﹣140°＝40°， ∴∠OCA+∠OAC+∠OCB+∠OBC＝180°﹣40°＝140°， ∵O是三边垂直平分线的交点， ∴OA＝OC，OB＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC， ∴∠OCA+∠OCB＝70°， ∴∠CAB+∠CBA＝180°﹣70°＝110°， ∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC， ∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA， ∴∠IAB+∠IBA＝（∠CAB+∠CBA）＝55°， ∴∠AIB＝180°﹣55°＝125°， 故选：D． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 21．如图，已知直线及其两侧两点A、B． （1）在图1中直线l上求作一点P，使PA＝PB；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在图2中直线l画一点Q，使l平分∠AQB．（不写画法，保留画图痕迹） 【分析】（1）作线段AB的垂直平分线交直线l于点P，点P即为所求； （2）作点B关于l的对称点B′，连接AB′并延长B′A交直线l于点Q，点Q即为所求． 【解答】解：（1）如图所示，点P即为所求； （2）如图所示，点Q即为所求． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图、线段的垂直平分线、轴对称最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 22．某个城市在一块空地上新建了三个居民小区，它们分别为A、B、C，且三个小区不在同一直线上，要想规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相等．请问同学们这所中学建在哪个位置？用直尺和圆规作出中学的位置． 【分析】连接AB、BC、AC，作AB和BC的垂直平分线，两垂直平分线相交于点P，根据线段垂直平分线定理即可得到点P到点A、B、C的距离相等，所以点P为所求． 【解答】解：如图，这所中学建在P点位置（点P为△ABC的外心）． 连接AB、BC、AC，作AB和BC的垂直平分线，两垂直平分线相交于点P，则点P到点A、B、C的距离相等． 【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图：应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图． 23．（1）在△ABC中，AB＝AC，OB＝OC，且点A到BC的距离为8，点O到BC的距离为3，则AO的长为 　5或11　． （2）在△ABC中，BC＝10，AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，且DE＝4，则AD+AE＝　6或14　． 【分析】（1）先利用AB＝AC，OB＝OC可判断点A、O都在BC的垂直平分线上，然后分类讨论：当点O在△ABC的内部时，易得AO＝5；当点O在△ABC的外部时，易得AO＝11． （2）分两种情况，当BD与CE无重合，当BD与CE有重合． 【解答】解：（1）∵OB＝OC， ∴点O在BC的垂直平分线上， 而AB＝AC， ∴点A在BC的垂直平分线上， ∴AO垂直平分BC， 当点O在△ABC的内部时，AO＝8﹣3＝5； 当点O在△ABC的外部时，AO＝8+3＝11． 故答案为：5或11． （2）∵AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D，E， ∴AD＝BD，AE＝EC， 分两种情况： 当BD与CE无重合时， ∵BC＝10，DE＝4， ∴AD+AE＝BD+CE＝BC﹣DE＝10﹣4＝6， 当BD与CE有重合时， ∵BC＝10，DE＝4， ∴AD+AE＝BD+CE＝BC+DE＝10+4＝14， 综上所述：AD+AE的值为：6或14， 故答案为：6或14． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等，等腰三角形的两个底角相等，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合． 24．已知如图，点A、点B在直线l异侧，以点A为圆心，AB长为半径作弧交直线l于C、D两点．分别以C、D为圆心，AB长为半径作弧，两弧在l下方交于点E，连接AE． （1）根据题意，利用直尺和圆规补全图形； （2）证明：l垂直平分AE． 【分析】（1）根据条件作图即可； （2）解法一：先根据SSS证明△ACD≌△ECD，可得∠ACD＝∠ECD，再由等腰三角形三线合一的性质可得结论． 解法二：直接由线段垂直平分线的判定定理可得结论． 【解答】解：（1）如图所示： （2）证明：解法一：如图：连接AC，CE，ED，AD， ∵AC＝AD＝AB，CE＝ED＝AB， ∴AC＝CE，AD＝DE， 在△ACD和△ECD中 ∵， ∴△ACD≌△ECD（SSS）， ∴∠ACD＝∠ECD， ∵AC＝CE， ∴l垂直平分AE． 解法二：如图：连接AC，CE，ED，AD， ∵AC＝AD＝AB，CE＝ED＝AB， ∴AC＝CE，AD＝DE， ∴l垂直平分AE． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图和线段垂直平分线的判定，属于基础题． 25．如图，在△ABC中，l是AB的垂直平分线，与边AC交于点E，点D在l上，且DB＝DC，连接AD． （1）求证：∠CAD＝∠ACD； （2）延长AD，与BC交于点F，若AC＝AB， ①求证：F是BC的中点； ②连接EF，若BD⊥CD，则EF与BC的数量关系是 　EF＝BC　． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质即可解决问题； （2）①证明△ACD≌△ABD（SAS），得∠CAD＝∠BAD，根据等腰三角形三线合一性质即可解决问题； ②证明△ABE是等腰直角三角形，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵l是AB的垂直平分线， ∴DA＝DB， ∵DB＝DC， ∴DA＝DC， ∴∠CAD＝∠ACD； （2）①证明：延长AD，与BC交于点F， ∵AC＝AB， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵DB＝DC， ∴∠DBC＝∠DCB， ∴∠ACD＝∠ABD， 在△ACD和△ABD中， ， ∴△ACD≌△ABD（SAS）， ∴∠CAD＝∠BAD， ∵AC＝AB， ∴F是BC的中点； ②解：EF＝BC，理由如下： 如图，连接EF， ∵BD＝CD，BD⊥CD， ∴△BDC是等腰直角三角形， ∵BD＝CD，BF＝CF， ∴DF⊥BC， ∴△DFC是等腰直角三角形， ∴∠CDF＝∠DCB＝45°， ∴∠CAD+∠ACD＝∠CDF＝45°， ∵∠CAD＝∠ACD＝∠BAD＝∠DBA， ∴∠CAD+∠BAD＝45°， ∴∠EAB＝45°， ∵EA＝EB， ∴∠EAB＝∠EBA＝45°， ∴∠AEB＝90°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴∠CEB＝90°， ∵F是BC的中点， ∴EF＝BC． 故答案为：EF＝BC． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握垂直平分线的性质． 26．【情境】2023年3月11日，2023斯诺克6红球世锦赛决赛，丁俊晖以8﹣6击败本土作战的塔猜亚•乌诺，继2016年后第二次夺得冠军．在台球比赛中，球台边也叫“库”，球撞击一次球台边叫做“一库”，球撞击两次球台边叫做“两库”，以此类推… 【建模】在台球桌上也有我们熟悉的数学模型：如图①，在长方形球台MNPQ内有白球B、红球H两点，从点B出发，集中球台边PN，反弹击中点H（“一库”）．请画出白球B的路径，并用箭头标出方向． 【应用】若让白球B弹“两库”击中红球H会有 　8　种情况，请选择一种情况在图②中画出白球B的路径，并用箭头标出方向． 【拓展】若让白球B弹“三库”击中红球H会有 　4　种情况，请在图③中画出白球B的路径，并用箭头标出方向． 【分析】【建模】按要求作图即可； 【应用】根据要求画出6种路径即可； 【拓展】根据要求画出4种路径即可． 【解答】【建模】解：作点H关于PN的对称点H′，连接BH′交PN于D，连接DH， 则B→D→H为白球B的路径，如图①所示． 【应用】解：如图②﹣⑨共8种情况， 故答案为：8． 【拓展】如图所示，共有4种， 故答案为：8． 【点评】本题考查了轴对称的运用，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，镜面对称，轴对称﹣最短路线问题等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行画图和推理是解此题的关键． 角的轴对称性 课程目标 1. 掌握角平分线的性质与判定； 2. 会用角平分线的性质与判定进行计算与证明。 3. 会用尺规作图作一个角的角平分线。 重难点 会用角平分线的性质与判定进行计算与证明。 基础巩固 1．到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的（　　） A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．以上均不对 【分析】由角平分线的性质，即可判断． 【解答】解：到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的三条角平分线的交点． 故选：B． 【点评】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质定理． 2．下列语句：①角的对称轴是角的平分线；②两个成轴对称的图形的对应点一定在对称轴的两侧；③一个轴对称图形不一定只有一条对称轴；④两个能全等的图形一定能关于某条直线对称，其中正确的个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据轴对称的定义以及性质对各小题分析判断即可得解． 【解答】解：①应为角的对称轴是角的平分线所在的直线，故本小题错误； ②应为两个成轴对称的图形的对应点一定在对称轴的两侧或在对称轴上； ③一个轴对称图形不一定只有一条对称轴，正确； ④应为两个能全等的图形不一定能关于某条直线对称，故本小题错误； 综上所述，正确的只有③，共1个． 故选：A． 【点评】本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 3．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图，一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的平分线．”他这样做的依据是（　　） A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 B．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．以上均不正确 【分析】如图，过点P作PE⊥OB于点E，PF⊥OA于点F．利用角平分线的判定定理解决问题即可． 【解答】解：如图，过点P作PE⊥OB于点E，PF⊥OA于点F． ∵直尺的宽度相等， ∴PE＝PF， ∵PE⊥OB，PF⊥OA， ∴OP平分∠AOB． 故选：B． 【点评】本题考查角平分线的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 4．如图，已知点O为△ABC的两条角平分线的交点，过点O作OD⊥BC，垂足为D，且OD＝4．若△ABC的面积是34，则△ABC的周长为　17　． 【分析】根据角平分线的性质得到点O到△ABC各边的距离为4，利用三角形面积公式得到×AB×4+×AC×4+×BC×4＝34，然后计算出AB+AC+BC即可． 【解答】解：∵点O为△ABC的两条角平分线的交点， ∴点O到△ABC各边的距离相等， 而OD⊥BC，OD＝4， ∴点O到△ABC各边的距离为4， ∵S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC， ∴×AB×4+×AC×4+×BC×4＝34， ∴AB+AC+BC＝17， 即△ABC的周长为17， 故答案为：17． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 5．如图，△AOB的外角∠CAB，∠DBA的平分线AP，BP相交于点P，PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，下列结论：（1）PE＝PF；（2）点P在∠COD的平分线上；（3）∠APB＝90°﹣∠O，其中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】（1）作PH⊥AB于H，证明△PEC≌△PHA，得到PE＝PH，同理可证PF＝PH即可得到结论； （2）根据角平分线的判定定理解答即可； （3）根据全等三角形的性质证得∠EPA＝∠HPA，∠FPB＝∠HPB，再根据四边形内角和即可证得∠APB和∠O关系． 【解答】解：（1）证明：作PH⊥AB于H， ∵AP是∠CAB的平分线， ∴∠PAE＝∠PAH， 在△PEA和△PHA中， ， ∴△PEA≌△PHA（AAS）， ∴PE＝PH， ∵BP平分∠ABD，且PH⊥BA，PF⊥BD， ∴PF＝PH， ∴PE＝PF， ∴（1）正确； （2）与（1）可知：PE＝PF， 又∵PE⊥OC于E，PF⊥OD于F， ∴点P在∠COD的平分线上， ∴（2）正确； （3）∵∠O+∠OEP+∠EPF+∠OFP＝360°， 又∵∠OEP+∠OFP＝90°+90°＝180°， ∴∠O+∠EPF＝180°， 即∠O+∠EPA+∠HPA+∠HPB+∠FPB＝180°， 由（1）知：△PEA≌△PHA， ∴∠EPA＝∠HPA， 同理：∠FPB＝∠HPB， ∴∠O+2（∠HPA+∠HPB）＝180°， 即∠O+2∠APB＝180°， ∴∠APB＝90°﹣， ∴（3）错误； 故选：C． 【点评】本题考查的是角平分线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，多边形内角和，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 6．如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝2，则BF的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】过D作DG⊥AC于G，根据角平分线的性质得到DG＝DE＝2，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论． 【解答】解：过D作DG⊥AC于G， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB， ∴DG＝DE＝2， ∵AB＝6，AC＝4， ∴S△ABC＝AC•BF＝S△ABD+S△ACD＝AB•DE+AC•DG， ∴×4•BF＝×6×2+×4×2， ∴BF＝5， 故选：C． 【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键． 7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝4，DE＝1.6，则BD的长为 　2.4　． 【分析】由角平分线的性质可知CD＝DE＝1.6，得出BD＝BC﹣CD＝4﹣1.6＝2.4． 【解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°， ∴CD＝DE， ∵DE＝1.6， ∴CD＝1.6， ∴BD＝BC﹣CD＝4﹣1.6＝2.4． 故答案为：2.4 【点评】本题主要考查了角平分线的性质，熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 8．如图，已知AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作过点P作PE⊥AB于点E．若PE＝2，则两平行线AD与BC间的距离为　4　． 【分析】要求两平行线AD与BC间的距离，即就是求AD与BC之间的垂线长度；过点P作MN⊥AD，交AD于M点，交BC于N点，AD与BC之间的垂线长度即为线段MN的长度；根据角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，再结合已知条件可求出PM、PN，即可求出MN的长度． 【解答】解：过点P作MN⊥AD，交AD于M点，交BD于N点． ∵AD∥BC，MN⊥AD， ∴MN⊥BC， ∴PN⊥BC． ∵PN⊥BC，PE⊥AB，MN⊥AD，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P， ∴PM＝PE＝2，PE＝PN＝2， ∴MN＝2+2＝4． ∴两平行线AD与BC间的距离为4． 故答案为：4． 【点评】此题主要考查了角平分线的性质以及平行线的性质，根据题意作出辅助线是解决问题的关键． 9．如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S△ABC＝36cm2，AB＝18cm，BC＝12cm，则DE的长为（　　） A．2cm B．cm C．cm D．3cm 【分析】过点D作DF⊥BC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DF，然后根据△ABC的面积列出方程求解即可得到DE． 【解答】解：如图，过点D作DF⊥BC于F， ∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB， ∴DE＝DF， ∵S△ABC＝36cm2，AB＝18cm，BC＝12cm， ∴S△ABC＝S△ABD+S△BCD＝AB•DE+BC•DF＝DE•（AB+BC）＝36cm2， 解得：DE＝（cm）． 故选：C． 【点评】此题考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，正确作出辅助线是解题的关键． 10．作图题：在∠ABC内找一点P，使它到∠ABC的两边的距离相等，并且到点A、C的距离也相等．（写出作法，保留作图痕迹） 【分析】先作出∠ABC的角平分线，再连接AC，作出AC的垂直平分线，两条平分线的交点即为所求点． 【解答】解：①以B为圆心，以任意长为半径画弧，分别交BC、AB于D、E两点； ②分别以D、E为圆心，以大于DE为半径画圆，两圆相交于F点； ③连接BF，则射线BF即为∠ABC的角平分线； ⑤连接AC，分别以A、C为圆心，以大于AC为半径画圆，两圆相交于H，G两点； ⑥连接GH交BF延长线于点P，则P点即为所求． 【点评】本题考查的是角平分线及线段垂直平分线的作法，需同学们熟练掌握． 11．如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE． （1）求∠CAD的度数； （2）求证：DE平分∠ADC； （3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，则△ABE的面积＝　　（直接写出结果，不需要过程） 【分析】（1）根据题意先求出∠DAF的度数，利用直角三角形中两锐角互余可求出∠EAF的度数，然后根据∠CAD＝∠DAF﹣∠EAF即可求出∠CAD的度数； （2）根据题意作出辅助线，利用角平分线的性质，可以推出EF＝EN＝EM，再利用角平分线的判定推出DE平分∠ADC； （3）根据图形可得出：S△ADE+S△CDE＝S△ACD，利用高相等可以求出EF长，即可求出△ABE的面积． 【解答】（1）解：∵∠BAD＝100°， ∴∠DAF＝180°﹣∠BAD＝80°， ∵EF⊥AB， ∴∠AFE＝90°， ∴∠EAE+∠AEF＝90°， ∴∠EAF＝90°﹣∠AEF＝90°﹣50°＝40°， ∴∠CAD＝∠DAF﹣∠EAF＝80°﹣40°＝40°； （2）证明：如图所示，过点E作EN⊥AD于点N，EM⊥CD于点M， ∵∠ABC的平分线交AC于点E，EM⊥CD，EF⊥AB， ∴EM＝EF， 由（1）可得，∠CAD＝∠CAF＝40°， ∴CA平分∠DAF， 又∵EN⊥AD，EF⊥AF， ∴EF＝EN， ∴EM＝EN， ∵EN⊥AD，EM⊥CD， ∴DE平分∠ADC； （3）解：由（2）可知，EF＝EN＝EM， ∵S△ADE+S△CDE＝S△ACD， ∴•AD•EN+•CD•EM＝15，即2EF+4EF＝15， ∴EF＝， ∴S△ABE＝•AB•EF＝． 【点评】本题主要考查了角平分线的性质和判定，解题关键：熟练掌握角平分线的性质和判定． 12．如图，A、B两点分别在射线OM，ON上，点C在∠MON的内部，且AC＝BC，CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分别为D，E，且AD＝BE． （1）求证：OC平分∠MON； （2）若AD＝3，BO＝4，求AO的长． 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理推出Rt△ADC≌Rt△BEC，根据全等三角形的性质得出CD＝CE，再得出答案即可； （2）根据全等三角形的性质得出AD＝BE＝3，根据全等三角形的判定定理推出Rt△ODC≌Rt△OEC，根据全等三角形的性质得出OD＝OB，再求出答案即可． 【解答】（1）证明：∵CD⊥OM，CE⊥ON， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°， 在Rt△ADC和Rt△BEC中， ， ∴Rt△ADC≌Rt△BEC（HL）， ∴CD＝CE， ∵CD⊥OM，CE⊥ON， ∴OC平分∠MON； （2）解：∵Rt△ADC≌Rt△BEC，AD＝3， ∴BE＝AD＝3， ∵BO＝4， ∴OE＝OB+BE＝4+3＝7， ∵CD⊥OM，CE⊥ON， ∴∠CDO＝∠CEO＝90°， 在Rt△DOC和Rt△EOC中， ， ∴Rt△DOC≌Rt△EOC（HL）， ∴OD＝OE＝7， ∵AD＝3， ∴OA＝OD+AD＝7+3＝10． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质等知识点，能熟记到角两边距离相等的点在角的平分线上是解此题的关键． 13．（1）如图（1），尺规作△ABC的两内角∠A、∠B的角平分线，设交点为O，点O在∠C的角平分线上吗？试说明你的猜想．你有什么发现？ （2）如图（2），尺规作△ABC的两内角∠A、∠B的外角平分线，设交点为O，点O在∠C的角平分线上吗？试说明你的猜想．你有什么发现？ （3）你能用你的发现解决下面的实际问题：如图（3）直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路，现要建一个加油站，要使它到三条公路的距离相等，画出符合要求的点的位置，共有几个？ 【分析】（1）（2）根据角平分线的作法作出图形，再根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；到角两边距离相等的点在角的平分线上证出点O在∠C的角平分线上； （3）分别作出三角形内角的平分线，再做出三角形外角的平分线，角平分线的交点即为所求． 【解答】解：（1）如图（1）所示： ， 点O在∠C的角平分线上， 过O作OD⊥BC，OF⊥AC，OE⊥AB， ∵O在∠BAC的平分线上， ∴FO＝EO， ∵O在∠ABC的平分线上， ∴EO＝DO， ∴FO＝DO， ∴O也在∠C的平分线上； （2）如图（2）所示： ， 证法同（1）； （3）如图（3）所示： ， 符合要求的点的位置共有4处． 【点评】此题主要考查了作角平分线的交点，关键是掌握角平分线的性质． 拓展提优 14．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA、PB⊥OB，垂足分别为A、B，下列结论成立的是（　　） ①PA＝PB；②PO平分∠APB；③OA＝OB；④AB垂直平分OP A．①③ B．①②③ C．②③ D．①②③④ 【分析】根据角平分线的性质可得到PA＝PB，然后依据HL可证明Rt△AOP≌Rt△BOP，则OA＝OB，PO平分∠APB，AP＝BP，则结论可一一判断． 【解答】解：∵OP平分∠AOB，PA⊥OA于A，PB⊥OB于B， ∴PA＝PB． 故①正确， 在Rt△PAO和Rt△PBO中， ， ∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL）． ∴OA＝OB，∠OPA＝∠OPB，AP＝BP，故②③正确． ∵OA＝OB，AP＝BP， ∴OP是AB的垂直平分线， 故④错误． 故选：B． 【点评】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质和判定定理是解题的关键． 15．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△EFD的面积分别为50和4.5，则△AED的面积为 　41　． 【分析】作DM⊥AC，垂足为M，先证明△ADF≌△ADM，△DFE≌△DMG，由此推出S△ADM＝S△ADF＝S△ADG﹣S△EFD＝45.5，从而得出S△AED＝S△ADF﹣S△EFD＝41． 【解答】解：作DM⊥AC，垂足为M，如图， ∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DM⊥AC， ∴DF＝DM， ∵AD＝AD，DF＝DM， ∴Rt△ADF≌Rt△ADM（HL）， ∵DE＝DG，DF＝DM， ∴Rt△DFE≌Rt△DMG（HL）， ∴S△ADM＝S△ADF＝S△ADG﹣S△EFD＝50﹣4.5＝45.5， ∴S△AED＝S△ADF﹣S△EFD＝45.5﹣4.5＝41． 故答案为：41． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．证明△ADF≌△ADM，△DFE≌△DMG是解此题的关键． 16．如图，在△ABC中，E为AC的中点，AD平分∠BAC，BA：CA＝2：3，AD与BE相交于点O，若△OAE的面积比△BOD的面积大a，则△ABC的面积是 　10a　．（用含a的式子表示） 【分析】作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N，由角平分线的性质可知DM＝DN，设△ABC的面积为S，再由△OAE的面积比△BOD的面积大a即可得出结论． 【解答】解：作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N． ∵AD平分∠BAC，DM⊥AC于M，DN⊥AB于N， ∴DM＝DN， ∴S△ABD：S△ADC＝BD：DC＝•AB•DN：•AC•DM＝AB：AC＝2：3， 设△ABC的面积为S．则S△ADC＝S，S△BEC＝S， ∵△OAE的面积比△BOD的面积大a， ∴△ADC的面积比△BEC的面积大a， ∴S﹣S＝a， ∴S＝10a， 故答案为：10a． 【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 17．如图，已知AP，CP分别是△ABC的外角∠DAC，∠ECA的平分线，PM⊥BD，PN⊥BE，垂足分别为M，N，那么PM 　＝　PN（填“＞”“＜”或“＝”）． 【分析】过点P作PF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PM＝PF，PN＝PF，等量代换即可得证； 【解答】解：如图，过点P作PF⊥AC于F， ∵AP是∠DAC的平分线，PM⊥BD， ∴PM＝PF， ∵CP是∠ECA的平分线，PN⊥BE， ∴PN＝PF， ∴PM＝PN， 故答案为：＝． 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，熟记性质与定理是解题的关键，难点在于作辅助线． 18．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为10，BD平分∠ABC，若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为（　　） A．4 B．5 C．4.5 D．6 【分析】过C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为CM+MN的最小值． 【解答】解：过C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，如图： ∵BD平分∠ABC，M′E⊥AB于点E，M′N′⊥BC于N′， ∴M′N′＝M′E， ∴CE＝CM′+M′E＝CM′+M′N′是CM+MN最小值，此时M与M′重合，N与N′重合， ∵三角形ABC的面积为10，AB＝4， ∴×4•CE＝10， ∴CE＝5． 即CM+MN的最小值为5． 故选：B． 【点评】本题考查三角形中的最短路径，解题的关键是理解CE的长度即为CM+MN最小值． 19．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边作△ACD，满足AD＝AC，点E为BC上一点，连接AE，DE，DE交AC于点M．解决下列问题， （1）如图1，若AC⊥DE，AB＝AM，且∠ACB＝26°，则∠ADE＝　26°　； （2）如图2，延长CB至G，使BE＝BG．若，BE＝3，CE＝5，则线段DE的长为 　11　． 【分析】（1）证Rt△ADM≌Rt△ACB即可求解； （2）证△ABE≌△ABG得AG＝AE，∠BAE＝∠GAB；再证△GAC≌△EAD即可求解． 【解答】解：（1）∵∠ABC＝∠AMD＝90°，AD＝AC，AB＝AM， ∴Rt△ADM≌Rt△ACB（HL）， ∴∠ADE＝∠ACB＝26°． （2）∵∠ABE＝∠ABG＝90°，BE＝BG，AB＝AB， ∴△ABE≌△ABG（SAS）， ∴AG＝AE，∠BAE＝∠GAB， ∴． 又∵， ∴∠GAE＝∠CAD， ∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC， 即∠GAC＝∠EAD． 在△GAC和△EAD中， ∴△GAC≌△EAD（SAS）， ∴CG＝DE． ∵CG＝CE+GE＝CE+2BE， ∴DE＝CE+2BE． 又∵BE＝3，CE＝5， ∴DE＝5+2×3＝11． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理的内容是解题关键． 20．如图，在长方形ABCD中，AB＝8，GC＝，AE平分∠BAG交BC于点E，E是BC的中点，则AG的长为 　　． 【分析】过E作EH⊥AG于H，连接EG，根据矩形的性质，全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：过E作EH⊥AG于H，连接EG， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°， ∵AE平分∠BAG交BC于点E， ∴BE＝EH， 在Rt△ABE与Rt△AHE中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△AHE（HL）， ∴AH＝AB＝8， ∵E是BC的中点， ∴BE＝CE， ∴EH＝CE， 在Rt△EHG与Rt△ECG中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△AHE（HL）， ∴GH＝CG＝， ∴AG＝AH+GH＝8+＝， 故答案为：． 【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 21．如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝80°，BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，BD，CE交于点O，分别过点O作OM⊥AB于点M，作ON⊥AC于点N．下列结论： ①∠BOC＝120°； ②OE＝OD； ③AM＝AN； ④EM＝DN． 其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】先利用角平分线的定义得到∠OBC＝20°，∠OCB＝40°，则利用三角形内角和得到∠OBC＝120°，于是可对①进行判断；过O点作OH⊥BC于H点，连接OA，如图，根据角平分线的性质得到OH＝OM，OH＝ON，则OM＝ON，由于∠MEC＝80°，∠ODN＝80°，则可判断Rt△OEM与Rt△ODN全等，于是可对②④进行判断；然后证明Rt△AOM≌Rt△AON得到AM＝AN，从而可对③进行判断． 【解答】解：∵BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴∠OBC＝∠ABC＝×40°＝20°，∠OCB＝∠ACB＝×80°＝40°， ∴∠OBC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝120°，所以①正确； 过O点作OH⊥BC于H点，连接OA，如图， ∵BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，OM⊥AB，ON⊥AC，OH⊥BC， ∴OH＝OM，OH＝ON， ∴OM＝ON， ∵∠MEC＝∠EBC+∠ECB＝40°+40°＝80°， ∠ODN＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°﹣20°﹣80°＝80°， ∴Rt△OEM≌Rt△ODN（AAS）， ∴OE＝OD，ME＝DN，所以②④正确； 在Rt△AOM和Rt△AON中， ， ∴Rt△AOM≌Rt△AON（HL）， ∴AM＝AN，所以③正确． 故选：A． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了全等三角形的判定与性质． 22．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，BF是中线，AE与BF相交于O，（∠C＞∠ABC）以下结论正确的有（　　） ①∠BAD+∠ABD＝∠CAD+∠C； ②S△ABF＝S△CBF； ③∠EAD＝（∠C﹣∠ABC）； ④S△ABE：S△ACE＝AB：AC． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据直角三角形性质可判断①；根据三角形中线的性质即可判断②；根据角平分线的定义以及角的计算即可判断③；根据角平分线的性质和三角形面积公式即可判断④． 【解答】解：∵AD是高， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∴∠BAD+∠ABD＝∠CAD+∠C＝90°， 故①符合题意； ∵BF是中线， ∴S△ABF＝S△CBF， 故②符合题意； ∵AE是角平分线， ∴∠BAE＝∠BAC＝， ∵∠BAD＝90°﹣∠ABD，∠C＞∠ABC， ∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE ＝90°﹣∠ABD﹣ ＝（∠C﹣∠ABC）， 故③符合题意； 过点E作GE⊥AB于点G，过点E作EH⊥AC于点H，如图所示： ∵AE平分∠ABC， ∴GE＝HE， ∵S△ABE：＝，S△ACE＝， ∴S△ABE：S△ACE＝AB：AC， 故④符合题意， 综上所述，正确的有①②③④， 故选：D． 【点评】本题考查了角平分线的性质，直角三角形的性质，三角形中线的性质，三角形的面积等，熟练掌握这些知识是解题的关键． 23．如图，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于E，EF⊥AB，交AB于F，EG⊥AC，交AC的延长线于G，试问：BF与CG的大小如何？证明你的结论． 【分析】连EB、EC，根据角平分线性质得EF＝EG；根据垂直平分线的性质得EB＝EC；再根据“HL”定理证明Rt△EFB≌Rt△EGC，从而得BF＝CG． 【解答】解：相等． 证明如下：连EB、EC， ∵AE是∠BAC的平分线， 且EF⊥AB于F，EG⊥AC于G， ∴EF＝EG． ∵ED⊥BC于D，D是BC的中点， ∴EB＝EC． ∴Rt△EFB≌Rt△EGC， ∴BF＝CG． 【点评】本题考查了角平分线性质和垂直平分线的性质，利用了三角形全等的判定和性质解题．正确作出辅助线是解答本题的关键． 24．如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB＝100°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝50°． （1）求∠ACE的度数； （2）求证：AE平分∠CAF； （3）若AC+CD＝14，AB＝10，且S△ACD＝21，求△ABE的面积． 【分析】（1）根据邻补角的定义和垂直的定义可得∠ACD＝80°、∠CHE＝90°，进而得到∠ECH＝40°，然后根据∠ACE＝∠ACD﹣∠ECH即可解答； （2）如图：过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得EM＝EH、CE平分∠ACD、EN＝EH，最后根据角平分线的判定定理即可解答； （3）根据S△ACD＝S△ACE+S△CED结合已知条件可得EM＝3，最后运用三角形的面积公式即可解答． 【解答】解：（1）∵∠ACB＝100°， ∴∠ACD＝180°﹣100°＝80°， ∵EH⊥BD， ∴∠CHE＝90°， ∵∠CEH＝50°， ∴∠ECH＝90°﹣50°＝40°， ∴∠ACE＝∠ACD﹣∠ECH＝80°﹣40°＝40°． （2）证明：如图：过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N， ∵BE平分∠ABC， ∴EM＝EH， ∵∠ACE＝∠ECH＝40°， ∴CE平分∠ACD， ∴EN＝EH， ∴EM＝EN， ∴AE平分∠CAF． （3）解：∵AC+CD＝14，S△ACD＝21，EM＝EN＝EH， ∴， 即，解得EM＝3， ∵AB＝10， ∴． 【点评】本题主要考查了邻补角的性质、角平分线的性质与判定定理、三角形的面积等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键． 25．图1是一个平分角的仪器，其中OD＝OE，FD＝FE． （1）如图2，将仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P．AP是∠BAC的平分线吗？请判断并说明理由． （2）如图3，在（1）的条件下，过点P作PQ⊥AB于点Q，若PQ＝6，AC＝9，△ABC的面积是60，求AB的长． 【分析】（1）是；理由：由（2）SSS判定△ADF≌△AEF，然后由该全等三角形的对应角相等证得结论； （2）如图，过点P作PG⊥AC于点G．由三角形的面积公式作答即可． 【解答】解：（1）AP是∠BAC的平分线，理由如下： 在△ADF和△AEF中， ， ∴△ADF≌△AEF（SSS）． ∴∠DAF＝∠EAF， ∴AP平分∠BAC． （2）如图，过点P作PG⊥AC于点G． ∵AP平分∠BAC，PQ⊥AB， ∴PG＝PQ＝6． ∵S△ABC＝S△ABP+S△APC＝AB•PQ+AC•PG， ∴AB×6+×9×6＝60． ∴AB＝11． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式以及角平分线的定义．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 26．在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD． （1）如图1，当点D是BC边的中点时，S△ABD：S△ACD＝　1：1　； （2）如图2，当AD平分∠BAC时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m、n的式子表示）； （3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E．使得AD＝DE，连接BE，若AC＝3，AB＝5，S△BDE＝10，求S△ABC的值． 【分析】（1）过A作AE⊥BC于E，根据三角形面积公式求出即可； （2）过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线性质求出DE＝DF，根据三角形面积公式求出即可； （3）根据已知和（1）（2）的结论求出△ABD和△ACD的面积，即可求出答案． 【解答】解：（1） 过A作AE⊥BC于E， ∵点D是BC边上的中点， ∴BD＝DC， ∴SABD：S△ACD＝（BD•AE）：（CD•AE）＝1：1， 故答案为：1：1； （2） 过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∵AD为∠BAC的角平分线， ∴DE＝DF， ∵AB＝m，AC＝n， ∴SABD：S△ACD＝（AB•DE）：（AC•DF）＝m：n； （3） ∵AD＝DE， ∴由（1）知：S△ABD：S△EBD＝1：1， ∵S△BDE＝10， ∴S△ABD＝10， ∵AC＝3，AB＝5，AD平分∠CAB， ∴由（2）知：S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝5：3， ∴S△ACD＝6， ∴S△ABC＝10+6＝16， 故答案为：16． 【点评】本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式，能根据（1）（2）得出规律是解此题的关键． 27．已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC＝180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E． （1）如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC＝DC； （2）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系； （3）如图3，在（2）的条件下，若∠MAN＝60°，连接BD，作∠ABD的平分线BO交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG＝2，DF＝4，求线段DB的长． 【分析】（1）过点C作CF⊥AD，根据角平分线的性质得到CE＝CF，证明△BCE≌△DCF，根据全等三角形的性质证明结论； （2）过点C作CF⊥AD，根据角平分线的性质得到CE＝CF，AE＝AF，证明△BCE≌△DCF，得到DF＝BE，结合图形解答即可； （3）在BD上截取BH＝BG，连接OH，证明△OBH≌△OBG，根据全等三角形的性质得到∠OHB＝∠OGB，根据角平分线的判定定理得到∠ODH＝∠ODF，证明△ODH≌△ODF，得到DH＝DF，计算即可． 【解答】（1）证明：如图1，过点C作CF⊥AD，垂足为F， ∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD， ∴CE＝CF， ∵∠CBE+∠ADC＝180°，∠CDF+∠ADC＝180°， ∴∠CBE＝∠CDF， 在△BCE和△DCF中， ， ∴△BCE≌△DCF（AAS） ∴BC＝DC； （2）解：AD﹣AB＝2BE， 理由如下：如图2，过点C作CF⊥AD，垂足为F， ∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD， ∴CE＝CF， 在Rt△ACF和Rt△ACE中， ， ∴Rt△ACF≌Rt△ACE（HL）， ∴AE＝AF， ∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°， ∴∠CDF＝∠CBE， 在△BCE和△DCF中， ， ∴△BCE≌△DCF（AAS）， ∴DF＝BE， ∴AD＝AF+DF＝AE+DF＝AB+BE+DF＝AB+2BE， ∴AD﹣AB＝2BE； （3）解：如图3，在BD上截取BH＝BG，连接OH， ∵BH＝BG，∠OBH＝∠OBG，OB＝OB 在△OBH和△OBG中， ， ∴△OBH≌△OBG（SAS） ∴∠OHB＝∠OGB， ∵AO是∠MAN的平分线，BO是∠ABD的平分线， ∴点O到AD，AB，BD的距离相等， ∴∠ODH＝∠ODF， ∵∠OHB＝∠ODH+∠DOH，∠OGB＝∠ODF+∠DAB， ∴∠DOH＝∠DAB＝60°， ∴∠GOH＝120°， ∴∠BOG＝∠BOH＝60°， ∴∠DOF＝∠BOG＝60°， ∴∠DOH＝∠DOF， 在△ODH和△ODF中， ， ∴△ODH≌△ODF（ASA）， ∴DH＝DF， ∴DB＝DH+BH＝DF+BG＝2+4＝6． 【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 28．在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，连接DE、CD，EF⊥CD于F，DE＝CE． （1）如图1，求证：DF＝CF； （2）如图2，若∠AED＝∠ABC，EG⊥BC于G，连接BE交CD于H，求证：∠ABE＝∠CBE； （3）如图3，在（2）的条件下，若BC＝6CG，DH＝4，求HF的长． 【分析】（1）证明Rt△EFD≌Rt△EFC（HL），可得结论． （2）证明△EMD≌△EGC（AAS），推出EM＝EG，再利用角平分线的性质定理解决问题即可． （3）如图3中，过点B作BN⊥CD于N，过点E作EM⊥AB于M，过点H作HQ⊥BC于Q，HP⊥AB于P．利用面积法证明DH：CH＝2：3，求出CH，CF，可得结论． 【解答】（1）证明：如图1中，∵EF⊥CD， ∴∠EFD＝∠EFC＝90°， 在Rt△EFD和Rt△EFC中， ， ∴Rt△EFD≌Rt△EFC（HL）， ∴DF＝CF． （2）证明：如图2中，过点E作EM⊥AB于M． ∵EG⊥BC， ∴∠EMD＝∠EGC＝90°， ∵∠AED+∠DEC＝180°，∠AED＝∠ABC， ∴∠ABC+∠DEC＝180°， ∵∠ABC+∠BCE+∠DEC+∠BDE＝360°， ∴∠BCE+∠BDE＝180°， ∵∠ADE+∠BDE＝180°， ∴∠ADE＝∠BCE， 在△EMD和△EGC中， ， ∴△EMD≌△EGC（AAS）， ∴EM＝EG， ∵EM⊥AB，EG⊥BC， ∴BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE． （3）解：如图3中，过点B作BN⊥CD于N，过点E作EM⊥AB于M，过点H作HQ⊥BC于Q，HP⊥AB于P． ∵△EMD≌△EGC， ∴DM＝GC，EM＝EG， 在Rt△BEM和Rt△BEG中， ， ∴Rt△BEM≌△BEG（HL）， ∴BM＝BG， ∵BC＝6CG， ∴BD＝BM﹣DM＝BG﹣CG＝BC﹣2CG＝4CG， ∵BH平分∠ABC，HP⊥AB，HQ⊥BC， ∴HP＝HQ， ∴S△DBH：S△CBH＝•BD•HP：•BC•HQ＝4：6＝2：3， ∵S△DBH：S△CBH＝•DH•BN：•CH•BN， ∴DH：CH＝2：3， ∵DH＝4， ∴CH＝6， ∴CD＝DH+CH＝4+6＝10， ∴CF＝CD＝5， ∴HF＝CH﹣CF＝6﹣5＝1． 【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理和性质定理，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 2.5.1等腰三角形的轴对称性 课程目标 1. 掌握等腰三角形的性质与判定； 2. 会运用等腰三角形的性质与判定进行几何综合分析。 3. 会用尺规作图找出等腰三角形。 重难点 运用等腰三角形的性质与判定进行几何综合分析。 基础巩固 1．（1）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数为 　130°或90°　． （2）一个等腰三角形一腰上的高线与另一腰所成锐角为46°，则这个等腰三角形的底角度数为 　22°或68°　． 【考点】等腰三角形的性质．版权所有 【分析】（1）根据题意可以求得∠B和∠C的度数，然后根据分类讨论的数学思想：当∠BAD＝90°时；当∠ADB＝90°时；即可求得∠ADC的度数． （2）根据已知条件可分为等腰三角形的顶角为锐角和钝角两种情况进行解答： 【解答】解：（1）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°， ∴∠B＝∠C＝40°， ∵点D在BC边上，△ABD为直角三角形， ∴如图1，当∠BAD＝90°时，则∠ADB＝50°， ∴∠ADC＝130°， 如图2，当∠ADB＝90°时，则 ∠ADC＝90°． 综上所述，∠ADC的度数是130°或90°． 故答案为：130°或90°； （2）如图3，等腰三角形为锐角三角形， ∵BD⊥AC，∠ABD＝46°， ∴∠A＝44°， ∴∠B＝（180°﹣44°）÷2＝68°． 如图4，等腰三角形为钝角三角形， ∵BD⊥AC，∠DBA＝46°， ∴∠BAD＝44°， ∴∠BAC＝136°， ∴∠C＝（180°﹣136°）÷2＝22°． 综上，这个等腰三角形的一个底角的度数是22°或68°． 故答案为：22°或68°． 【点评】本题主要考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正确的画出图形，认真的进行计算是解题的关键． 2．（2023秋•宁南县月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，则∠1与∠2的关系是（　　） A．2∠1+∠2＝180° B．∠1＝90°﹣∠2 C．∠1＝180°﹣2∠2 D．∠1＝2∠2 【考点】等腰三角形的性质；三角形的外角性质．版权所有 【分析】根据“等边对等角”可得到两组相等的角，再根据三角形外角的性质可表示出∠AED和∠ADC， 【解答】解：∵AB＝AC，AD＝AE， ∴∠B＝∠C，∠AED＝∠ADE， ∵∠AED＝∠C+∠2，∠ADC＝∠ADE+∠2＝∠1+∠B， ∴∠C+2∠2＝∠1+∠B， ∴∠1＝2∠2． 故选：D． 【点评】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形外角的性质的综合运用，根据三角形外角的性质可表示出∠AED和∠ADC是解决问题的关键． 3．（2024•金牛区校级开学）如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB，AC于点E，F，若AB＝5，AC＝4，则△AEF的周长是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．版权所有 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证△EBO和△CFO等腰三角形，从而可得EB＝EO，FO＝FC，然后利用等量代换可得△AEF的周长＝AB+AC，即可解答． 【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB， ∵EF∥BC， ∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB， ∴∠ABO＝∠EOB，∠ACO＝∠FOC， ∴EB＝EO，FO＝FC， ∵AB＝5，AC＝4， ∴△AEF的周长＝AE+EF+AF ＝AE+EO+OF+AF ＝AE+EB+CF+AF ＝AB+AC ＝5+4 ＝9， 故选：B． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键． 4．（2023秋•昌黎县期末）如图，在△ABC中，BC＝15厘米，BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长为 　15cm　． 【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．版权所有 【分析】根据平行线的性质可证明△DPB和△EPC为等腰等角线，从而将△PDE的周长转化为BC的长． 【解答】解：∵BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴∠APB＝∠PBD，∠ACP＝∠PCE， ∵PD∥AB，PE∥AC， ∴∠ABP＝∠BPD，∠ACP＝∠CPE， ∴∠PBD＝∠BPD，∠PCE＝∠CPE， ∴BD＝PD，CE＝PE， ∴△PDE的周长＝PD+DE+PE＝BD+DE+EC＝BC＝15cm． 故答案为：15cm． 【点评】本题考查平行线的性质和等腰三角形的判定与性质，解题关键是根据图形熟练运用平行线的性质进行角的转化． 5．（2024春•和平区期末）如图，△ABC中，∠B＝∠C，AD是∠BAC的角平分线，下列结论中不正确的是（　　） A．AB＝AC B．AD⊥BC C．BD＝CD D．AD＝BC 【考点】等腰三角形的判定与性质；角平分线的性质．版权所有 【分析】先利用等角对等边可得AB＝AC，然后利用等腰三角形的三线合一性质，即可解答． 【解答】解：∵∠B＝∠C，AD是∠BAC的角平分线， ∴AB＝AC， ∵AD⊥BC， ∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD， 故A、B、C正确，不符合题意； ∵AD与BC不一定相等， ∴D不正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 6．（2023秋•隆回县期末）如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则图中等腰三角形共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．版权所有 【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠ABC＝∠C＝72°，再利用线段垂直平分线的性质可得EA＝EB，从而可得∠A＝∠ABE＝36°，然后利用角的和差关系可得∠EBC＝36°，从而利用三角形内角和定理可得∠C＝∠BEC＝72°，进而可得BC＝BE，即可解答． 【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠C＝＝72°， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴EA＝EB， ∴∠A＝∠ABE＝36°， ∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝36°， ∴∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠C＝72°， ∴∠C＝∠BEC＝72°， ∴BC＝BE， ∴图中的等腰三角形有：△ABC，△ABE，△BEC，共有3个， 故选：C． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 7．（2024春•西平县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，过点A的直线DE∥BC，∠ABC与∠ACB的平分线分别交DE于E，D，则DE的长为（　　） A．14 B．16 C．18 D．20 【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．版权所有 【分析】由平行线的性质、角平分线的性质推知∠E＝∠ABE，则AB＝AE．同理可得，AD＝AC，所以线段DE的长度转化为线段AB、AC的和即可得到答案． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴∠E＝∠EBC． ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠EBC， ∴∠E＝∠ABE， ∴AB＝AE． 同理可得：AD＝AC， ∴DE＝AD+AE＝AB+AC＝14． 故选：A． 【点评】本题综合考查了行线的性质以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 8．（2024•济南二模）如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（　　） A．3cm2 B．4cm2 C．4.5cm2 D．5cm2 【考点】等腰三角形的判定与性质；三角形的面积；全等三角形的判定．版权所有 【分析】根据已知条件证得△ABP≌△EBP，根据全等三角形的性质得到AP＝PE，得出S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，推出S△PBC＝S△ABC，代入求出即可． 【解答】解：延长AP交BC于E， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠EBP， ∵AP⊥BP， ∴∠APB＝∠EPB＝90°， 在△ABP和△EBP中，， ∴△ABP≌△EBP（ASA）， ∴AP＝PE， ∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP， ∴S△PBC＝S△ABC＝×9cm2＝4.5cm2， 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等． 9．（2023秋•金寨县期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE，AB＝5，BE＝3，则AC＝（　　） A．10 B．11 C．13 D．15 【考点】等腰三角形的判定与性质；三角形的外角性质．版权所有 【分析】延长BE交AC于M，利用三角形内角和定理，得出∠3＝∠4，AB＝AM＝5，BM＝2BE＝6，再利用∠4是△BCM的外角，利用等腰三角形判定得到CM＝BM，利用等量代换即可求证． 【解答】解：延长BE交AC于M， ∵BE⊥AE， ∴∠AEB＝∠AEM＝90° ∴∠3＝90°﹣∠1，∠4＝90°﹣∠2， ∵∠1＝∠2， ∴∠3＝∠4， ∴AB＝AM＝5， ∵BE⊥AE， ∴BM＝2BE＝6， ∵∠4是△BCM的外角， ∴∠4＝∠5+∠C， ∵∠ABC＝3∠C， ∴∠ABC＝∠3+∠5＝∠4+∠5， ∴3∠C＝∠4+∠5＝2∠5+∠C， ∴∠5＝∠C， ∴CM＝BM＝6， ∴AC＝AM+CM＝AB+2BE＝11． 故选：B． 【点评】此题考查等腰三角形的判定与性质，利用三角形内角和定理，三角形外角的性质，准确添加辅助线构建等腰三角形是解题关键． 10．（2023秋•荆门期末）如图，△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点G，DM∥BC交∠ABC的外角平分线于点M，交AB、AC于点F、E，下列结论： ①S△ABG：S△BCG＝AB：BC； ②FD＝EC； ③EC＝EF+DG； ④． 其中正确的结论有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【考点】等腰三角形的判定与性质；角平分线的性质．版权所有 【分析】由角平分线的性质得出GH＝GN，再根据三角形面积公式即可证得S△ABG：S△BCG＝AB：BC；由等腰三角形的判定，易得△BDF与△BMF是等腰三角形，△AEF是等腰三角形，继而可得FM＝DF＝BF＝EC；由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半，即可证得CE＝MD． 【解答】解：①如图，过点G作GQ⊥BC于Q，GN⊥AB于N， ∵BD平分∠ABC， ∴GQ＝GN， ∵S△ABG＝AB•GN，S△BCG＝BC•GQ， ∴S△ABG：S△BCG＝AB：BC， ∴①正确，符合题意； ②∵DM∥BC， ∴∠MBH＝∠M，∠D＝∠CBD， ∵BM平分∠ABH，BD平分∠ABC， ∴∠M＝∠MBF，∠D＝∠ABD， ∴BF＝FM＝FD， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∵DM∥BC， ∴∠AFE＝∠AEF， ∴AF＝AE， ∴BF＝CE， ∴FD＝EC， ∴②正确，符合题意； ③∵∠C与∠BGC的大小不确定， ∴DE不一定等于DG， ∵EC＝DF＝EF+DE， ∴EC不一定等于EF+DG， ∴③错误，不符合题意； ④∵BD平分∠ABC，BM是∠ABC的外角平分线， ∴∠MBF＝∠MBH＝∠ABH，∠ABD＝∠CBD＝∠ABC， ∴∠MBD＝∠MBF+∠ABD＝（∠ABH+∠ABC）＝×180°＝90°， ∵FM＝DF， ∴BF＝MD， ∴CE＝MD， ∴④正确，符合题意． 故选：B． 【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟记等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 11．（2024春•埇桥区校级期中）小华准备用一条长为29米的绳子围成一个等腰三角形． （1）如果腰长是底边长的2倍，那么底边长是多少？ （2）若该等腰三角形其中两条边分别为x和x+1，请直接写出底边的长． 【考点】等腰三角形的判定与性质；三角形三边关系．版权所有 【分析】（1）设底边长为xm，则腰长为2xm，根据周长公式列一元一次方程，解方程即可求解； （2）分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质列出方程，即可求解． 【解答】解：（1）设底边长为xm，则腰长为2xm， 依题意，得2x+2x+x＝29， 解得x＝． 答：底边长为米； （2）∵两条边分别为x和x+1， ∴第三边＝29﹣x﹣（x+1）＝28﹣x， 当x＝x+1时，解得x＝5， ∴底边＝28﹣x＝19（米），（不能构成三角形舍去）， 当x＝28﹣x时，解得x＝10， ∴底边＝x+1＝9（米）， 当x+1＝28﹣x时，解得x＝， ∴底边为米， 综上所述：底边的长为9米或米． 【点评】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形的三边关系，在解答此类题目时要注意分类讨论，不要漏解． 12．（2023秋•邵阳期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，点F为AB的中点，边AC的垂直平分线交AC，CF，CB于点D，O，E，连接OB． （1）求证：△OBC为等腰三角形； （2）若∠ACF＝23°，求∠BOE的度数． 【考点】等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．版权所有 【分析】（1）连接OA，如图，利用等腰三角形的性质得到CF⊥AB，则CF垂直平分AB，根据线段垂直平分线的性质得到OA＝OB，OA＝OC，所以OB＝OC，从而得到结论； （2）利用等腰三角形的性质得到CF平分∠ACB，则∠BCF＝∠ACF＝23°，再利用OB＝OC得到∠OBC＝∠OCB＝23°，接着根据互余计算出∠DEC＝44°，然后根据三角形外角性质计算∠BOE的度数． 【解答】（1）证明：连接OA，如图， ∵AC＝BC，点F为AB的中点， ∴CF⊥AB， ∴CF垂直平分AB， ∴OA＝OB， ∵DE垂直平分AC， ∴OA＝OC， ∴OB＝OC， ∴△OBC为等腰三角形； （2）解：∵CA＝CB，CF⊥AB， ∴CF平分∠ACB， ∴∠BCF＝∠ACF＝23°， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB＝23°， ∵∠EDC＝90° ∴∠DEC＝90°﹣∠DCE＝90°﹣23°﹣23°＝44°， ∵∠OEC＝∠OBE+∠BOE， ∴∠BOE＝44°﹣23°＝21°． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质：等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．也考查了线段垂直平分线的性质． 13．（2024春•秦都区校级月考）如图，直线BN平行于△ABC的边AC，延长AC到点M，∠BCM和∠CBN的角平分线交于点D，过点D作DE∥BN交BC于点E，连接AE．若AB＝AC，求证：AE⊥BC． 【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．版权所有 【分析】利用平行线的性质与角平分线的定义证明EB＝ED，EC＝ED，可得EB＝EC，再利用等腰三角形的性质可得结论． 【解答】证明：∵DE∥BN， ∴∠NBD＝∠BDE． ∵BD平分∠CBN， ∴∠NBD＝∠DBE， ∴∠BDE＝∠DBE， ∴EB＝ED． ∵AM∥BN， ∴DE∥AM， ∴∠EDC＝∠DCM， ∵CD平分∠BCM， ∴∠DCM＝∠ECD， ∴∠EDC＝∠ECD， ∴EC＝ED， ∴EB＝EC． ∵AB＝AC， ∴AE⊥BC． 【点评】本题考查的是平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，熟练的证明等腰三角形是解本题的关键． 拓展提优 14．（2021春•江都区校级期末）等腰三角形的面积为24平方厘米，腰长8厘米．在底边上有一个动点P，则P到两腰的距离之和为（　　） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 【考点】等腰三角形的性质．版权所有 【分析】连接AP，由三角形的面积公式证得S△ABP+S△ACP＝S△ABC，根据AB＝AC即可求出PE+PF． 【解答】解：已知：△ABC中，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，AB＝AC＝8厘米，△ABC的面积为24平方厘米，P是底边BC上一个动点． 求：PE+PF的值． 解：连接AP， ∵PE⊥AB，PF⊥AC， ∴S△ABP＝AB•PE，S△ACP＝AC•PF， ∵S△ABP+S△ACP＝S△ABC,S△ABC＝24， ∴AB•PE+AC•PF＝24， ∴AB(PE+PF)＝24， ∴PE+PF＝＝6cm， 故选：B． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的面积公式，由三角形的面积公式证得S△ABP+S△ACP＝S△ABC是解决问题的关键． 15．（2022秋•涵江区校级期中）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，点D为AB中点，且OD⊥AB，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC＝（　　） A．108° B．126° C．144° D．无法确定 【考点】翻折变换（折叠问题）；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．版权所有 【分析】连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA＝OB，根据等边对等角可得∠ABO＝∠BAO，再求出∠OBC，然后判断出点O是△ABC的外心，根据三角形外心的性质可得OB＝OC，再根据等边对等角求出∠OCB＝∠OBC，根据翻折的性质可得OE＝CE，然后根据等边对等角求出∠COE，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【解答】解：如图，连接OB、OC， ∵∠BAC＝54°，AO为∠BAC的平分线， ∴ 又∵AB＝AC， ∴， ∵DO是AB的垂直平分线， ∴OA＝OB， ∴∠ABO＝∠BAO＝27°， ∴∠OBC＝∠ABC﹣∠ABO＝63°﹣27°＝36°， ∵AO为∠BAC的平分线，AB＝AC， ∴△AOB≌△AOC， ∴OB＝OC， ∴点O在BC的垂直平分线上， 又∵DO是AB的垂直平分线， ∴点O是△ABC的外心， ∴∠OCB＝∠OBC＝36°， ∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合， ∴OE＝CE， ∴∠COE＝∠OCB＝36°， 在△OCE中，∠OEC＝180°﹣∠COE﹣∠OCB＝180°﹣36°﹣36°＝108°． 故答案为：A． 【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键． 16．（2023秋•河北区校级期末）如图，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，点C也是图中小方格的顶点，并且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】等腰三角形的判定与性质．版权所有 【分析】分AB为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数． 【解答】解：当AB为腰时，点C的个数有2个； 当AB为底时，点C的个数有1个， 故选：C． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题． 17．（2023春•阜新期中）如图所示，在长方形ABCD的对称轴l上找点P，使得△PAB、△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】矩形的性质；轴对称的性质；等腰三角形的判定．版权所有 【分析】利用分类讨论的思想，此题共可找到5个符合条件的点：一是作AB或DC的垂直平分线交l于P；二是在长方形内部在l上作点P，使PA＝AB，PD＝DC，同理，在l上作点P，使PC＝DC，AB＝PB；三是如图，在长方形外l上作点P，使AB＝BP，DC＝PC，同理，在长方形外l上作点P，使AP＝AB，PD＝DC． 【解答】解：如图，作AB或DC的垂直平分线交l于P， 如图，在l上作点P，使PA＝AB，同理，在l上作点P，使PC＝DC， 如图，在长方形外l上作点P，使AB＝BP，同理，在长方形外l上作点P，使PD＝DC， 综上所述，符合条件的点P有5个． 故选：D． 【点评】此题主要考查了等腰三角形判定与性质，矩形的性质，其关键是根据题意，结合图形，需要利用分类讨论的思想分析解答． 18．（2023秋•高港区校级月考）如图，已知线段AB和直线AC，点A在直线n上，且∠BAC≠60°，以AB为一边作等腰△ABC，且使点C在直线m上，这样的等腰三角形的个数共有 　四　个． 【考点】等腰三角形的判定与性质．版权所有 【分析】符合条件等腰三角形有三种①AB为底边，AC＝BC，②AB＝AC，③AB＝BC． 【解答】解：①作AB的垂直平分线，交直线m于C，符合要求的点有一个． ②以A为圆心，AB为半径画弧，交直线m于两点，所以符合要求的点有两个． ③以B为圆心，AB为半径画弧，交直线m于点C，符合要求的点有一个． 所以符合要求的点有四个． 故答案为：四． 【点评】本题考查了等腰三角形的定义，线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，关键是要分类讨论，不要漏解． 19．（2023秋•南京期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝20°．若某个三角形与△ABC能拼成一个等腰三角形（无重叠），则拼成的等腰三角形有（　　） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【考点】等腰三角形的判定．版权所有 【分析】（1）取一个△EFD和△ABC全等，其中EF＝AC，FD＝BC，AB＝ED，∠C＝∠F＝90°，①将EF与AC拼接在一起即可；②将DF于BC拼接在一起即可； （2）取一个△EFD，使AC＝EF，∠F＝90°，∠D＝55°，∠FED＝35°，将EF于AC拼接在一起即可； （3）取一个△EFD，使EF＝BC，∠F＝90°，∠D＝80°，∠FED＝10°，将EF与BC拼接在一起即可； （4）取一个△EFD，使EF＝AC，∠F＝90°，∠D＝40°，∠FED＝50°，将EF与AC拼接在一起即可； （5）取一个△EFD，使EF＝AB，∠EFD＝110°，∠D＝45°，∠FED＝25°，将EF与AB拼接在一起即可； （6）取一个△EFD，是EF＝BC，∠D＝20°，∠FED＝110°，∠EFD＝50°，将EF与AB拼接在一起即可；综上所述即可得出答案． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝20°，则∠ABC＝70°， （1）取一个△EFD和△ABC全等，其中EF＝AC，FD＝BC，AB＝ED，∠C＝∠F＝90°， 此时有两种拼图方法： ①将EF与AC拼接在一起，如图1所示： ∵AB＝ED，∠C＝∠F＝90°， ∴点B，C（F），D在一条直线上， ∴△ABD为等腰三角形，且∠B＝∠D＝70°，∠BAD＝40°； ②将DF于BC拼接在一起，如图2所示： ∵AB＝BD，∠C＝∠F＝90°， ∴点A，C（F），D在一条直线上， ∴△ABD为等腰三角形； （2）取一个△EFD，使AC＝EF，∠F＝90°，∠D＝55°，∠FED＝35°， 将EF于AC拼接在一起，如图3所示： ∵∠C＝∠F＝90°， ∴点B，C（F），D在一条直线上， 此时∠BAD＝∠BAC+∠FED＝20°+35°＝55°， ∴∠BAD＝∠D＝55°， ∴△ABD为等腰三角形； （3）取一个△EFD，使EF＝BC，∠F＝90°，∠D＝80°，∠FED＝10°， 将EF与BC拼接在一起，如图4所示： ∵∠C＝∠F＝90°， ∴点A，C（F），D在一条直线上， 此时∠ABD＝∠ABC+∠FED＝70°+10°＝80°， ∴∠ABD＝∠D， ∴△ABD为等腰三角形； （4）取一个△EFD，使EF＝AC，∠F＝90°，∠D＝40°，∠FED＝50°， 将EF与AC拼接在一起，如图5所示： ∵∠C＝∠F＝90°， ∴点B，C（F），D在一条直线上， 此时∠BAD＝∠BAC+∠FED＝20°+50°＝70°， ∴∠BAD＝∠ABC， ∴△ABD为等腰三角形； （5）取一个△EFD，使EF＝AB，∠EFD＝110°，∠D＝45°，∠FED＝25°， 将EF与AB拼接在一起，如图6所示： ∵∠EFD＝110°，∠ABC＝70°， ∴∠EFD+∠ABC＝180°， ∴点C，B（F），D在一条直线上， 此时∠CAD＝∠BAC+∠FED＝20°+25°＝45°， ∴∠CAD＝∠D， ∴△ABD为等腰三角形； （6）取一个△EFD，是EF＝BC，∠D＝20°，∠FED＝110°，∠EFD＝50°， 将将EF与AB拼接在一起，如图7所示： ∵∠FED＝110°，∠ABC＝70°， ∴∠FED+∠ABC＝180°， ∴点A，B（E），D在一条直线上， 此时∠D＝∠A＝20°， ∴△ABD为等腰三角形； 综上所述：拼成的等腰三角形有7种． 故选：D． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，在拼接的过程中根据平角定义进行构图是解决问题的关键，此题种类繁多，漏解是易错点． 20．（2023秋•大荔县期末）如图，在下列三角形中，若AB＝AC，则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（　　） A． B． C． D． 【考点】等腰三角形的判定与性质．版权所有 【分析】A、D是黄金三角形，C、过A点作BC的垂线即可；只有B选项不能被一条直线分成两个小等腰三角形． 【解答】解：A、中作∠B的角平分线即可； C、过A点作BC的垂线即可； D、以B为圆心，AB为半径作弧交BC于一点即可； 只有B选项不能被一条直线分成两个小等腰三角形． 故选：B． 【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题的4个选项中只有D选项有点难度，所以此题属于中档题． 21．（2023秋•金华期中）如图，M，A，N是直线l上的三点，AM＝3，AN＝5，P是直线l外一点，且∠PAN＝60°，AP＝1，若动点Q从点M出发，向点N移动，移动到点N停止，在△APQ形状变化过程中，依次出现的特殊三角形是（　　） A．直角三角形—等边三角形—直角三角形—等腰三角形 B．直角三角形—等腰三角形—直角三角形—等边三角形 C．等腰三角形—直角三角形—等腰三角形—直角三角形 D．等腰三角形—直角三角形—等边三角形—直角三角形 【考点】等腰三角形的判定与性质．版权所有 【分析】动点Q从M点出发沿直线l向N点移动的过程中，由等边三角形，等腰三角形，直角三角形的判定，即可解决问题． 【解答】解：动点Q从M点出发沿直线l向N点移动， 当AQ＝AP＝1时，△APQ是等腰三角形； 当Q运动到A的右侧AQ＝AP＝时，△APQ是直角三角形； 当AQ＝AP＝1时，因为∠PAN＝60，此时△APQ是等边三角形； 当AQ＝2PA＝2时，△APQ是直角三角形． ∴依次出现的特殊三角形是等腰三角形——直角三角形——等边三角形——直角三角形． 故选：D． 【点评】本题考查等边三角形，等腰三角形，直角三角形的判定，掌握以上知识点是解题的关键． 22．（2023秋•宣恩县期中）如图，∠AOB＝60°，C是BO延长线上一点，OC＝12cm，动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝　4或12　s时，△POQ是等腰三角形． 【考点】等腰三角形的判定．版权所有 【分析】根据等腰三角形的判定，分两种情况：（1）当点P在线段OC上时；（2）当点P在CO的延长线上时．分别列式计算即可求． 【解答】解：分两种情况：（1）当点P在线段OC上时， 设t时后△POQ是等腰三角形， 有OP＝OC﹣CP＝OQ， 即12﹣2t＝t， 解得，t＝4s； （2）当点P在CO的延长线上时，此时经过CO时的时间已用6s， 当△POQ是等腰三角形时，∵∠POQ＝60°， ∴△POQ是等边三角形， ∴OP＝OQ， 即2（t﹣6）＝t，① 解得，t＝12s 故答案为4s或12s． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定；解题时把几何问题转化为方程求解，是常用的方法，注意要分类讨论，当点P在点O的左侧还是在右侧是解答本题的关键． 23．（2024春•东营区校级期末）如图，△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，下面四个结论：①∠AFE＝∠AEF；②AD垂直平分EF；③EF一定平行BC；④＝；其中正确的是（　　） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的判定；三角形的面积；线段垂直平分线的性质．版权所有 【分析】设AD与EF相交于点G，先利用角平分线的性质可得DF＝DE，从而可得∠DFE＝∠DEF，再根据等式的性质可得∠AFE＝∠AEF，从而可得AF＝AE，进而可得AD是EF的垂直平分线，然后根据∠ADC≠∠AGF，可得EF不一定平行BC，再根据三角形的面积公式可得＝，即可解答． 【解答】解：设AD与EF相交于点G， ∵AD平分∠EAF，DE⊥AC，DF⊥AB， ∴DF＝DE， ∴∠DFE＝∠DEF， ∵∠DFA＝∠DEA＝90°， ∴∠DFA＝∠DEA＝90°， ∴∠DFA﹣∠DFE＝∠DEA﹣∠DEF， ∴∠AFE＝∠AEF， ∴AF＝AE， ∴AD是EF的垂直平分线， ∴∠AGF＝90°， ∵∠ADC≠∠AGF， ∴EF不一定平行BC， ∵△BFD的面积＝BF•DF，△CED的面积＝CE•DE，DF＝DE， ∴＝， ∴上面四个结论，其中正确的是①②④， 故选：A． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，线段垂直平分线的性质，平行线的判定，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，以及线段垂直平分线的性质是解题的关键． 24．（2024春•滕州市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点M在CA的延长线上，MN⊥BC于点N，交AB于点O，若AO＝3，BO＝4，则MC的长度为（　　） A．12 B．9 C．10 D．11 【考点】等腰三角形的判定与性质．版权所有 【分析】根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，再根据垂直定义可得∠MNC＝∠MNB＝90°，从而可得∠B+∠BON＝90°，∠C+∠M＝90°，然后利用等角的余角相等可得∠M＝∠BON，再根据对顶角相等可得∠BON＝∠MOA，从而可得∠M＝∠MOA，进而可得AM＝AO＝3，最后利用线段的和差关系，进行计算即可解答． 【解答】解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵MN⊥BC， ∴∠MNC＝∠MNB＝90°， ∴∠B+∠BON＝90°，∠C+∠M＝90°， ∴∠M＝∠BON， ∵∠BON＝∠MOA， ∴∠M＝∠MOA， ∴AM＝AO＝3， ∵BO＝4， ∴AB＝AC＝AO+BO＝7， ∴MC＝AM+AC＝10， 故选：C． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 25．（2022秋•启东市期中）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为AC边上一点，过点A作AH⊥BD交BD延长线于点H，若满足BD＝2AH，那么∠ADB的度数为（　　） A．100 B．105° C．112.5° D．135° 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．版权所有 【分析】延长AH、BC交于点E，证△ACE≌△BCD（ASA），得AE＝BD，再证AH＝EH，则AB＝EB，然后由等腰三角形的性质得∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝22.5°，即可解决问题． 【解答】解：如图，延长AH、BC交于点E， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∠ACE＝180°﹣∠ACB＝90°， ∵AH⊥BD， ∴∠AHD＝90°， ∴∠CAE+∠ADH＝90°， ∵∠CBD+∠CDB＝90°，∠ADH＝∠CDB， ∴∠CAE＝∠CBD， 在△ACE和△BCD中， ， ∴△ACE≌△BCD（ASA）， ∴AE＝BD， ∵BD＝2AH， ∴AE＝2AH， ∴AH＝EH， ∵AH⊥BD， ∴AB＝EB， ∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝22.5°， ∴∠ADB＝∠ACB+∠CBD＝90°+22.5°＝112.5°， 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 26．（2023•海曙区校级三模）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过点D作DE∥AC，交AB于E，若AB＝5，则线段DE的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 【考点】等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．版权所有 【分析】求出∠CAD＝∠BAD＝∠EDA，推出AE＝DE，求出∠ABD＝∠EDB，推出BE＝DE，求出AE＝BE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可． 【解答】解：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵DE∥AC， ∴∠CAD＝∠ADE， ∴∠BAD＝∠ADE， ∴AE＝DE， ∵AD⊥DB， ∴∠ADB＝90°， ∴∠EAD+∠ABD＝90°，∠ADE+∠BDE＝∠ADB＝90°， ∴∠ABD＝∠BDE， ∴DE＝BE， ∵AB＝5， ∴DE＝BE＝AE＝AB＝2.5， 故选：B． 【点评】本题考查了三角形中位线定理、平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，关键是求出DE＝BE＝AE． 27．（2023秋•金山区校级月考）在△ABC中，∠BAC＝126°，AD⊥BC于D，且AB+BD＝DC，那么∠C的度数是 　18°　． 【考点】等腰三角形的判定与性质．版权所有 【分析】通过构造△ADE≌△ADB，然后由∠B＝2∠C，即可求出答案． 【解答】解：如图，在DC上截取DE＝BD，连接AE，则AB＝DC﹣DE． ∵在△ADE和△ADB中，BD＝DE，∠ADB＝ADE＝90°，AD＝AD， ∴△ADE≌△ADB． ∴AB＝AE＝DC﹣DE＝EC，∠B＝∠AED． ∴∠EAC＝∠C， ∵∠AED＝∠EAC+∠C＝2∠C， ∴∠B＝2∠C， ∵∠BAC＝126°，∠BAC+∠B+∠C＝180°． ∴∠C＝（180°﹣126°）÷3＝18°． 故答案为：18°． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，涉及到三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理等．构造△ADE≌△ADB是解答本题的关键． 28．（2023秋•安康期末）如图，在△ABC中，AH⊥BC，BF平分∠ABC，BE⊥BF，EF∥BC，下列结论中：①AH⊥EF，②∠ABF＝∠EFB，③∠E＝∠ABE，④AF＝BE．正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．版权所有 【分析】据平行线的性质、角平分线的定义、余角的性质等来判断即可． 【解答】解：∵AH⊥BC，EF∥BC， ∴①AH⊥EF正确； ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠CBF， ∵EF∥BC， ∴∠EFB＝∠CBF， ∴②∠ABF＝∠EFB正确； ∵BE⊥BF， ∴∠E和∠EFB互余，∠ABE和∠ABF互余，而∠EFB＝∠ABF， ∴③∠E＝∠ABE正确． ∵BE⊥BF，而AC与BF不一定垂直， ∴BE不一定平行AC， ∴△ABF与△BFE不一定全等， 故AF与BE不一定相等，故④错误； 故选：A． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义以及余角的性质等的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等． 29．（2022秋•启东市期中）如图，在锐角△ABC中，∠A＝30°，BC＝3，S△ABC＝8，点P是边BC上的一动点，点P关于直线AB，AC的对称点分别是M，N，连接MN，则MN的最小值为 　　． 【考点】轴对称的性质．版权所有 【分析】由轴对称的性质得出MN＝AP，即可求解． 【解答】解：连接PM，PN，AM，AP，AN，ρ ∵点P关于直线AB，AC的对称点分别是M，N， ∴AB垂直平分PM，AC垂直平分PN， ∴AM＝AP，AN＝AP， ∴∠MAB＝∠PAB，∠NAC＝∠PAC， ∵∠PAB+∠PAC＝30°， ∴∠MAB+∠NAC＝30°， ∴∠MAN＝60°， ∴△AMN是等边三角形， ∴MN＝AM＝AP， 当AP⊥CB时，AP最小，此时NM最小， ∵S△ABC＝8， ∴BC•AP＝8， ∴AP＝， ∴MN的最小值是， 故答案为：． 【点评】本题考查求线段最小值的问题，关键是应用轴对称的性质得出MN＝AP． 30．（2023秋•昌黎县期末）乐乐在学习中遇到了这样的问题： 如图所示的三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝6，将△ABC沿某一条直线剪开，使其变成两个三角形，且要求其中的一个三角形是等腰三角形，你有几种方法呢？ 经过思考，乐乐发现要想沿一条直线把三角形分割成两个三角形，这条直线需要经过三角形的某个定点，请你帮助乐乐写出当这条直线经过点A时，剪出的等腰三角形的面积是 　8或　． 【考点】等腰三角形的判定与性质．版权所有 【分析】要分两种情况进行讨论：①PC＝AC＝4时，△ACP是等腰直角三角形，根据三角形面积公式可求剪出的等腰三角形的面积；②AP＝BP时，△ABP是等腰三角形，根据勾股定理可求CP，再根据三角形面积公式可求剪出的等腰三角形的面积． 【解答】解：①如图1：PC＝AC＝4时，△ACP是等腰直角三角形， 则S△ACP＝×4×4＝8； ②如图2：AP＝BP时，△ABP是等腰三角形， 在△ACP中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝6， 则AC2+CP2＝AP2，即42+CP2＝（6﹣CP）2， 解得CP＝， 则S△ABP＝S△ABC﹣S△ACP＝×4×6﹣×4×＝． 综上所述，剪出的等腰三角形的面积是8或． 故答案为：8或． 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，以及等腰三角形的性质，关键是掌握三角形的面积计算． 31．（2020秋•富阳区期中）如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P13P14＝P14A，则∠A的度数是（　　） A．14 B．13 C．12 D．11 【考点】等腰三角形的性质；规律型：图形的变化类．版权所有 【分析】设∠A＝x，根据等边对等角的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AP7P8，∠AP8P7，再根据三角形的内角和定理列式进行计算即可得解． 【解答】解：设∠A＝x， ∵AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P13P14＝P14A， ∴∠A＝∠AP2P1＝∠AP13P14＝x， ∴∠P2P1P3＝∠P13P14P12＝2x， ∴∠P3P2P4＝∠P12P13P11＝3x， …， ∠P7P6P8＝∠P8P9P7＝7x， ∴∠AP7P8＝7x，∠AP8P7＝7x， 在△AP7P8中，∠A+∠AP7P8+∠AP8P7＝180°， 即x+7x+7x＝180°， 解得x＝12°， 即∠A＝12°． 故选：C． 【点评】本题考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，规律探寻题，难度较大． 32．（2023•泰州）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，射线CP从射线CA开始绕点C逆时针旋转α角（0°＜α＜75°），与射线AB相交于点D，将△ACD沿射线CP翻折至△A′CD处，射线CA′与射线AB相交于点E．若△A′DE是等腰三角形，则∠α的度数为 　22.5°或67.5°或45°　． 【考点】旋转的性质；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）．版权所有 【分析】根据折叠的性质可得：∠ACD＝∠A′CD＝α＝∠ACA′，∠A＝∠DA′C＝30°，然后分三种情况：当A′D＝A′E时；当DA′＝DE时；当ED＝EA′时；分别进行计算即可解答． 【解答】解：由折叠得：∠ACD＝∠A′CD＝α＝∠ACA′，∠A＝∠DA′C＝30°， 分三种情况： 当A′D＝A′E时，如图： ∴∠A′DE＝∠A′ED＝（180°﹣∠A′）＝75°， ∵∠A′ED是△ACE的一个外角， ∴∠ACE＝∠A′ED﹣∠A＝45°， ∴∠ACD＝∠A′CD＝α＝∠ACE＝22.5°； 当A′D＝A′E时，当△ADC和△A′DC位于射线AB的同侧时，如图： ∴∠A′DE＝∠A′ED＝∠CA′D＝15°， ∴∠ACA′＝180°﹣∠A﹣∠A′EA＝135°， ∴∠ACD＝∠A′CD＝α＝∠ACA′＝67.5°； 当DA′＝DE时， ∴∠A′＝∠DEA′＝30°， ∵∠DEA′是△ACE的一个外角， ∴∠DEA′＞30°， ∴此种情况不成立； 当ED＝EA′时，如图： ∴∠EDA′＝∠A′＝30°， ∴∠DEA′＝180°﹣∠EDA′﹣∠A′＝120°， ∵∠A′ED是△ACE的一个外角， ∴∠ACE＝∠A′ED﹣∠A＝90°， ∴∠ACD＝∠A′CD＝α＝∠ACE＝45°； 综上所述：若△A′DE是等腰三角形，则∠α的度数为22.5°或67.5°或45°， 故答案为：22.5°或67.5°或45°． 【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，翻折变换（折叠问题），分三种情况讨论是解题的关键． 33．（2020秋•秦淮区校级期中）在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，交AC于D，AE⊥BD，垂足为E．求证：AC＝2BE． 【考点】等腰三角形的判定与性质．版权所有 【分析】首先过点A作AF∥BC，交BD的延长线于点F，由在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，易证得△ADF，△ABF，△DBC是等腰三角形，又由三线合一，可证得BF＝2BE，即可证得AC＝2BE． 【解答】证明：过点A作AF∥BC，交BD的延长线于点F， ∴∠F＝∠DBC，∠FAD＝∠C， ∵∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC＝∠C， ∴∠F＝∠FAD＝∠ABD，BD＝CD， ∴AD＝DF，AB＝AF， ∵AE⊥BD， ∴BE＝EF＝BF， ∵AC＝AD+CD＝DF+BD＝BF， ∴AC＝2BE． 【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定．此题难度较大，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用． 34．（2023秋•沂水县期末）已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A． （1）如图1，试说明CD＝CB的理由； （2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F． ①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由； ②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数． 【考点】等腰三角形的判定与性质．版权所有 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，再利用三角形的外角性质可得∠BDC＝∠A+∠ACD，从而可得∠BDC＝∠ACB，然后根据等量代换可得∠ABC＝∠BDC．再根据等角对等边可得CD＝CB，即可解答； （2）①根据垂直定义可得∠BEC＝90°，从而可得∠CBE+∠ACB＝90°，然后设∠CBE＝α，则∠ACB＝90°﹣α，利用（1）的结论可得∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α，最后利用三角形内角和定理可得∠BCD＝2α，即可解答； ②根据三角形的外角性质可得∠BFD＝3α，然后分三种情况：当BD＝BF时；当DB＝DF时；当FB＝FD时；分别进行计算即可解答． 【解答】解：（1）∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠BDC是△ADC的一个外角， ∴∠BDC＝∠A+∠ACD， ∵∠ACB＝∠BCD+∠ACD，∠BCD＝∠A， ∴∠BDC＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠BDC． ∴CD＝CB； （2）①∵BE⊥AC， ∴∠BEC＝90°， ∴∠CBE+∠ACB＝90°， 设∠CBE＝α，则∠ACB＝90°﹣α， ∴∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α， ∴∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABC＝180°﹣（90°﹣α）﹣（90°﹣α）＝2α， ∴∠BCD＝2∠CBE； ②∵∠BFD是△CBF的一个外角， ∴∠BFD＝∠CBE+∠BCD＝α+2α＝3α， 分三种情况： 当BD＝BF时， ∴∠BDC＝∠BFD＝3α， ∵∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α， ∴90°﹣α＝3α， ∴α＝22.5°， ∴∠A＝∠BCD＝2α＝45°； 当DB＝DF时， ∴∠DBE＝∠BFD＝3α， ∵∠DBE＝∠ABC﹣∠CBE＝90°﹣α﹣α＝90°﹣2α， ∴90°﹣2α＝3α， ∴α＝18°， ∴∠A＝∠BCD＝2α＝36°； 当FB＝FD时， ∴∠DBE＝∠BDF， ∵∠BDF＝∠ABC＞∠DBF， ∴不存在FB＝FD， 综上所述：如果△BDF是等腰三角形，∠A的度数为45°或36°． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，分三种情况讨论是解题的关键． 35．（2023秋•秦安县校级期末）如图1，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作BC平行线交AB、AC于D、E． （1）请写出图1中线段BD，CE，DE之间的数量关系？并说明理由． （2）如图2，△ABC若∠ABC的平分线与△ABC的外角平分线交于O，过点O作BC平行线交AB于D，交AC于E．那么BD，CE，DE之间存在什么数量关系？并证明这种关系． 【考点】等腰三角形的判定与性质．版权所有 【分析】（1）先由角平分线定义得∠DBO＝∠OBC，∠ECO＝∠BCO，再由平行线的性质得∠DOB＝∠OBC，∠EOC＝∠BCO，则∠DOB＝∠DBO，∠EOC＝∠ECO，证出BD＝DO，OE＝CE，进而得出结论； （2）同（1）证出BD＝DO，OE＝CE，进而得出结论． 【解答】解：（1）DE＝BD+CE，理由如下： ∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴∠DBO＝∠OBC，∠ECO＝∠BCO， ∵过O点作BC平行线交AB、AC于D、E． ∴DE∥BC， ∴∠DOB＝∠OBC，∠EOC＝∠BCO， ∴∠DOB＝∠DBO，∠EOC＝∠ECO， ∴BD＝DO，OE＝CE， ∴DO+OE＝BD+CE， 即DE＝BD+CE； （2）DE＝BD﹣CE，理由如下： ∵∠ABC和∠ACF的平分线相交于点O， ∴∠DBO＝∠OBC，∠ECO＝∠FCO， ∵过O点作BC平行线交AB、AC于D、E． ∴DO∥BF， ∴∠DOB＝∠OBC，∠EOC＝∠FCO， ∴∠DOB＝∠DBO，∠EOC＝∠ECO， ∴BD＝DO，OE＝CE， ∵DE＝DO﹣OE， ∴DE＝BD﹣CE． 【点评】本题考查等腰三角形的判定与性质，掌握等腰三角形的判定与性质、角平分线定义、平行线的性质等知识是解题的关键． 36．（2023秋•关岭县期末）综合与实践，问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知△ABC中AB＝AC，∠B＝30°．将△ABC从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到△ADE（点D，E分别是点B，C的对应点），旋转角为α（0°＜α＜100°，设线段AD与BC相交于点M，线段DE分别交BC，AC于点O，N． 特例分析：（1）如图2，当旋转到AD⊥BC时，求旋转角α的度数为 　60　； 探究规律：（2）如图3，在△ABC绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段AM始终等于线段AN，请你证明这一结论． 拓展延伸：（3）①直接写出当△DOM是等腰三角形时旋转角α的度数． ②在图3中，作直线BD，CE交于点P，直接写出当△PDE是直角三角形时旋转角α的度数． 【考点】等腰三角形的性质；规律型：图形的变化类．版权所有 【分析】（1）根据等腰三角形“三线合一”可得结果； （2）可证明△BAM≌△EAN，从而得出结论； （3）①分成DM＝MO，DM＝OD及OM＝OD，根据∠D＝40°，每种情形可求得另外两个角，进一步求得结果； ②根据旋转的性质进行计算即可． 【解答】（1）解：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠C＝∠B＝30°，∠BAD＝∠BAC， ∴∠BAD＝＝60， ∴α＝60°， 故答案为：60°； （2）证明：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠MAN＝∠DAE﹣∠MAN， 即：∠BAM＝∠EAN， 在△BAM和△EAN中， ， ∴△BAM≌△EAN（ASA）， ∴AM＝AN； （3）解：①如图1， 当DM＝OM时，∠MOD＝∠D＝30°， ∵∠B＝∠D，∠AMB＝∠DMO， ∴∠BAD＝∠MOD＝30°， ∴α＝30°， 如图2， 当DM＝DO时，∠MDO＝∠DOM＝＝75°， ∴α＝∠DOM＝75°， 如图3， 当OM＝OD时，∠OMD＝∠D＝30°， ∴α＝∠DOM＝120°， 此时AD和AC重合，这种情形不存在． 综上所述：α＝30°或75°． ②如图： 当∠EDP＝90°时， ∵∠ABC＝ADE＝30°， ∴∠ADB＝90°﹣30°＝60°， ∴∠BAD＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∵0°＜α＜100°， ∴旋转角α为60°． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是画出图形，正确分类． 37．（2022秋•如皋市期中）定义：一个内角等于另一个内角两倍的三角形，叫做“倍角三角形”． （1）下列三角形一定是“倍角三角形”的有 　②③　（只填写序号）． ①顶角是30°的等腰三角形； ②等腰直角三角形； ③有一个角是30°的直角三角形． （2）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC≥90°，将△ABC沿边AB所在的直线翻折180°得到△ABD，延长DA到点E，连接BE． ①若BC＝BE，求证：△ABE是“倍角三角形”； ②点P在线段AE上，连接BP．若∠C＝30°，BP分△ABE所得的两三角形中，一个是等腰三角形，一个是“倍角三角形”，请直接写出∠E的度数． 【考点】几何变换综合题．版权所有 【分析】（1）利用“倍角三角形”的定义依次判断可求解； （2）①由折叠的性质和等腰三角形的性质可求∠BAE＝2∠ADB，由等腰三角形的性质可得∠BDE＝∠E，可得结论； ②分两种情况讨论，由三角形内角和定理和“倍角三角形”的定义可求解． 【解答】（1）解：若顶角是30°的等腰三角形， ∴两个底角分别为75°，75°， ∴顶角是30°的等腰三角形不是“倍角三角形”， 若等腰直角三角形， ∴三个角分别为45°，45°，90°， ∵90°＝2×45°， ∴等腰直角三角形是“倍角三角形”， 若有一个是30°的直角三角形， ∴另两个角分别为60°，90°， ∵60°＝2×30°， ∴有一个30°的直角三角形是“倍角三角形”， 故答案为：②③； （2）①证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵将△ABC沿边AB所在的直线翻折180°得到△ABD， ∴∠ABC＝∠ABD，∠ACB＝∠ADB，BC＝BD， ∴∠BAE＝2∠ADB， ∵BE＝BC， ∴BD＝BE， ∴∠E＝∠ADB， ∴∠BAE＝2∠E， ∴△ABE是“倍角三角形”； ②解：由①可得∠BAE＝2∠BDA＝2∠C＝60°， 如图， 若△ABP是等腰三角形，则△BPE是“倍角三角形”， ∴△ABP是等边三角形， ∴∠APB＝60°， ∴∠BPE＝120°， ∵△BPE是“倍角三角形”， ∴∠BEP＝2∠EBP或∠PBE＝2∠BEP， ∴∠BEP＝20°或40°； 若△BPE是等腰三角形，则△ABP是“倍角三角形”， ∴∠ABP＝∠BAP＝30°或∠APB＝∠BAE＝30°或∠ABP＝2∠APB或∠APB＝2∠ABP， ∴∠APB＝90°或30°或40°或80°， ∴∠BPE＝90°或150°或140°或100°， ∵△BPE是等腰三角形， ∴∠BEP＝45°或15°或20°或40°， 综上所述：∠BPE的度数为45°或15°或20°或40°． 【点评】本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，理解“倍角三角形”的定义并运用是解题的关键． 2.5.2等边三角形的轴对称性 课程目标 1. 掌握等边三角形的性质与判定； 2. 会运用等边三角形的性质与判定进行几何综合分析。 重难点 会运用等边三角形的性质与判定进行几何综合分析。 基础巩固 1．（2023秋•岳阳楼区期末）下列说法错误的是（　　） A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 B．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等 C．等腰三角形的角平分线，中线，高相互重合 D．三个角都相等的三角形是等边三角形． 【考点】等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．版权所有 【分析】根据等腰三角形的性质和等边三角形的性质和判定逐个进行分析判断，即可得到答案． 【解答】解：A．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，故本选项不合题意； B．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等，故本选项不合题意； C．等腰三角形顶角的角平分线，底边的中线，高相互重合，说法错误，故本选项符合题意； D．三个角都相等的三角形是等边三角形，故本选项不合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质定理是解题的关键． 2．（2023秋•永州期末）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画出射线OB，则∠AOB＝（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【考点】等边三角形的判定与性质．版权所有 【分析】首先连接AB，由题意易证得△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质，可求得∠AOB的度数． 【解答】解：连接AB， 根据题意得：OB＝OA＝AB， ∴△AOB是等边三角形， ∴∠AOB＝60°． 故选：C． 【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是能根据题意得到OB＝OA＝AB． 3．（2024•松原模拟）如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，与BC交于点E，分别以点E和点C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线AP交BC于点D．若∠B＝45°，∠C＝2∠CAD，则∠BAE的度数为（　　） A．15° B．25° C．30° D．35° 【考点】等边三角形的判定与性质；三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质．版权所有 【分析】由题意可知，AP是EC的垂直平分线，证明△ADE≌△ADC（SAS），进而证明△AEC是等边三角形，求出∠C＝∠EAC＝∠AED＝60°，利用三角形内角和定理即可求解． 【解答】解：由题意可知，AP是EC的垂直平分线， ∴AD⊥BC，DE＝CD， ∴△ADE≌△ADC（SAS）， ∴∠EAD＝∠CAD，∠C＝∠AED， ∴∠EAC＝2∠CAD， ∵∠C＝2∠CAD， ∴∠C＝∠EAC＝∠AED， ∴△AEC是等边三角形， ∴∠C＝∠EAC＝∠AED＝60°， 在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°， ∴∠BAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°， ∴∠BAE＝75°﹣60°＝15°． 故选：A． 【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质与判定是解题的关键． 4．（2024春•海阳市期末）一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（　　） A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里 【考点】等边三角形的判定与性质；方向角．版权所有 【分析】由已知可得△ABC是等边三角形，从而不难求得AC的距离． 【解答】解：由题意得∠ABC＝60°，AB＝BC， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝40海里． 故选：B． 【点评】本题主要考查了解直角三角形中的方向角问题，能够证明△ABC是等边三角形是解题的关键． 5．（2024•枣庄一模）在同一平面内，将一副直角三角板ABC和EDF如图放置（∠C＝60°，∠F＝45°），其中直角顶点D是BC的中点，点A在DE上，则∠CGF＝　15　°． 【考点】等边三角形的判定与性质．版权所有 【分析】根据直角三角形的性质得到AD＝CD，求得∠DAC＝∠C＝60°根据三角形的内角和和对顶角的性质即可得到结论． 【解答】解：∵∠BAC＝90°，D为BC的中点， ∴AD＝CD， ∴∠DAC＝∠C＝60°， ∴∠EAG＝120°， ∴∠AGE＝180°﹣120°﹣45°＝15°， ∴∠CGF＝∠QGE＝15°， 故答案为：15． 【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 6．（2023秋•潜山市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点B，C，D，E在同一直线上，点F在AC上，且CF＝CD，DF＝DE，若∠E＝15°，则∠A＝　60°　． 【考点】等边三角形的判定与性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质．版权所有 【分析】由等腰三角形的性质，三角形外角的性质推出∠ACB＝60°，而AB＝AC，判定△ABC是等边三角形，即可得到∠A＝60°． 【解答】解：∵DF＝DE， ∴∠DFE＝∠E＝15°， ∴∠CDF＝∠E+∠DFE＝30°， ∵CF＝CD， ∴∠CFD＝∠CDF＝30°， ∴∠ACB＝∠CDF+∠CFD＝60°， ∵AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠A＝60°． 故答案为：60°． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，关键是由三角形外角的性质得到∠ACB＝60°，判定△ABC是等边三角形． 7．（2023秋•和林格尔县校级月考）如图，把一张长方形纸条ABCD沿A折叠，使D落在D′处，若∠ABD＝30°，AD′∥DB，则∠DAF＝（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【考点】等边三角形的判定与性质；平行线的性质．版权所有 【分析】先由两直线平行，内错角相等得到∠D′AB＝∠ABD＝30°，再由折叠的性质可得∠D′AF＝∠DAF，求出∠DAD′＝120°，即可得到． 【解答】解：∵AD′∥DB， ∴∠D′AB＝∠ABD＝30°， 由折叠的性质可得∠D′AF＝∠DAF， ∵∠DAB＝90°， ∴∠DAD′＝120°， ∴， 故选：D． 【点评】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，掌握平行线的性质是关键． 8．（2022秋•交口县期末）如图，已知△ABC是等边三角形，D是BC边上的一个动点（异于点B、C），过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，连接FD，FE．当点D在BC边上移动时，有下列三个结论：①△DEF一定为等腰三角形；②△CFG一定为等边三角形；③△FDC可能为等腰三角形．其中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【考点】等边三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定．版权所有 【分析】DE的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，得FE＝FD，即可求解，故①正确；由题意，∠C＝60°，易得∠C＝∠CFG＝60°，得△CFG一定为等边三角形，故②正确；∠FDC＞∠FGC＝60°，∠C＝60°，∠CFD＜∠CFG＝60°，得△FDC不可能为等腰三角形，故③错误； 【解答】解：∵DE的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G， ∴FE＝FD， ∴△DEF一定为等腰三角形，故①正确； ∵DE⊥AB，DE⊥FG， ∴AB∥FG， ∴∠FGC＝∠B＝60°， 又∵△ABC是等边三角形， ∴∠C＝60°， ∴△CFG中，∠C＝∠CFG＝∠CGF， ∴△CFG一定为等边三角形； 故②正确； ∵∠FDC＞∠FGC＝60°，∠C＝60°， ∠CFD＜∠CFG＝60°， ∴△FDC不可能为等腰三角形． 故③错误； 故选：C． 【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，等边三角形是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用． 9．（2023秋•武威期末）如图，在△ADB中，∠ADB＝60°，DC平分∠ADB，交AB于点C，且DC⊥AB，过C作CE∥DA交DB于点E，连接AE． （1）求证：△ADB是等边三角形． （2）求证：AE⊥DB． 【考点】等边三角形的判定与性质；平行线的性质．版权所有 【分析】（1）直接根据等边三角形的判定定理可得结论； （2）由平行线的性质可得∠BEC＝∠ADB＝60，根据等边三角形的判定与性质可得CE＝BE＝CB，再由直角三角形的性质可得AE是边BD的中线，最后再由等边三角形的性质可得答案． 【解答】证明：（1）∵DC平分∠ADB， ∴∠ADC＝∠BDC， ∵∠ADB＝60°， ∴∠ADC＝∠BCD＝30°， ∵DC⊥AB， ∴∠DCB＝∠DCA＝90°， ∴∠B＝∠A＝90°﹣30°＝60°， ∴∠ADB＝∠B＝∠DAB＝60°， ∴△ADB是等边三角形； （2）∵CE∥DA， ∴∠BEC＝∠ADB＝60， ∴∠CEB＝∠CBE＝∠ECB＝60°， ∴△CEB是等边三角形， ∴CE＝BE＝CB， ∵∠BDC＝30°，∠DCB＝90°， ∴BC＝BD， ∴CE＝BD， ∴E是BD的中点， ∴AE是边BD的中线， ∵△ADB是等边三角形， ∴AE⊥BD． 【点评】此题考查的是等边三角形的判定与性质、平行线的性质、直角三角形的性质等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键． 10．（2022春•沭阳县期末）如图，线段OA与射线OB垂直，点P是射线OB上一动点（与O点不重合），∠OAP的平分线与∠APO的平分线交于点E，与△APO的外角∠OPD的平分线交于点F． （1）求∠AEP的大小； （2）当点P在射线OB上运动时，△EPF的形状是否变化？若变化，请写出它的变化规律；若不变，请写出它的形状，并说明理由． 【考点】三角形内角和定理．版权所有 【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠EAP+∠EPA＝45°，再进行求解即可； （2）根据）∠OAP的平分线与∠APO的平分线交于点E，与△APO的外角∠OPD的平分线交于点F，可得∠EPF＝90°，再结合（1）中结论可知∠PEF＝45°，再根据三角形内角和定理进行判断即可． 【解答】解：（1）∵线段OA与射线OB垂直， ∴∠AOB＝90°， ∴∠OAP+∠OPA＝90°， ∵∠OAP的平分线与∠APO的平分线交于点E， ∴2∠EAP+2∠EPA＝90°， ∴∠EAP+∠EPA＝45°， ∵∠EAP+∠EPA+∠AEP＝180°， ∴∠AEP＝135°； （2）∵∠AEP＝135°， ∴∠PEF＝45°， ∵∠OAP的平分线与∠APO的平分线交于点E，与△APO的外角∠OPD的平分线交于点F， ∴2∠EPO+2∠OPF＝180°， ∴∠EPO+∠OPF＝90°， ∴∠EPF＝90°， ∵∠PEF+∠EPF+∠PFE＝180°， ∴∠PFE＝∠PEF＝45°， ∴PE＝PF， ∴△EPF为等腰直角三角形， ∴△EPF的形状不变，为等腰直角三角形． 【点评】本题主要考查三角形内角和定理，熟练掌握等腰直角三角形的判定、角平分线的定义等知识是解答此题的关键． 拓展提优 11．（2023春•渠县校级期中）如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P，Q两点都停止运动，设运动的时间为t s，当t＝　2s　时，△BPQ为等边三角形． 【考点】等边三角形的判定与性质．版权所有 【分析】根据等边三角形的性质得AB＝6cm，∠B＝60°，依题意得AP＝t cm，BQ＝2t cm，则PB＝AB﹣AP＝（6﹣t）cm，再根据∠B＝60°，得当PB＝BQ时，△BPQ为等边三角形，即6﹣t＝2t，由此解出t即可． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形，且边长为6cm， ∴AB＝6cm，∠B＝60°， 依题意得：AP＝t cm，BQ＝2t cm， ∴PB＝AB﹣AP＝（6﹣t）cm， ∵∠B＝60°， ∴当PB＝BQ时，△BPQ为等边三角形， 即6﹣t＝2t， 解得：t＝2， ∴当t＝2s时，△BPQ为等边三角形． 故答案为：2s． 【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解决问题的关键． 12．（2023秋•川汇区期末）如图，点P在∠MON内，点P关于OM，ON的对称点分别为E，F，若EF＝OP，则∠MON的度数是（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 【考点】等边三角形的判定与性质；轴对称的性质．版权所有 【分析】连接OE，OF，证明△OEF是等边三角形，可得结论． 【解答】解：如图，连接OE，OF． ∵点P关于OM，ON的对称点分别为E，F， ∴OP＝OE＝OF，∩POM＝∠EOM，∠PON＝∠NOF， ∴∠EOF＝2∠MON，， ∵OP＝EF， ∴OE＝OD＝EF， ∴△OEF是等边三角形， ∴∠EOF＝60°， ∴∠MON＝30°， 故选：B． 【点评】本题考查轴对称的性质，等边三角形的判定等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． 13．（2023秋•石狮市期末）如图，已知△ABC与△CDE都是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，AD与BE相交于点G，BE与AC相交于点F，AD与CE相交于点H，连接FH．给出下列结论：①△ACD≌△BCE；②∠AGB＝60°；③BF＝AH；④△CFH是等边三角形．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．版权所有 【分析】利用等边三角形的性质得出条件，可证明：△BCE≌△ACD，可判断①正确； 利用△BCE≌△ACD得出∠CBF＝∠CAH，利用8字形可得∠AGB＝∠ACB＝60°，可判断②正确； 证明△BCF≌△ACH，得BF＝AH，可判断③正确； 由CF＝CH和∠ACH＝60°，根据“有一个角是60°的三角形是等边三角形可得△CFH是等边三角形，可判断④正确． 【解答】解：∵△ABC和△DCE是等边三角形， ∴∠BCA＝∠DCE＝60°，AC＝BC，CE＝CD， ∴∠BCE＝∠ACD， 在△BCE和△ACD中， ， ∴△BCE≌△ACD（SAS），故①正确； ∵△BCE≌△ACD， ∴∠CBF＝∠CAH． ∵∠BFC＝∠AFG， ∴∠AGB＝∠ACB＝60°，故②正确； 在△BCF和△ACH中， ， ∴△BCF≌△ACH（ASA）， ∴CF＝CH，BF＝AH；故③正确； ∵CF＝CH，∠ACH＝60°， ∴△CFH是等边三角形；故④正确． 故选：D． 【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质及等边三角形的性质；普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS．同时还要结合等边三角形的性质，创造条件证明三角形全等是正确解答本题的关键． 14．（2022秋•卧龙区校级期末）已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AB＝AO+AP．其中正确的是（　　） A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①②③④ 【考点】等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．版权所有 【分析】①利用等边对等角，即可证得：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，则∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD，据此即可求解； ②因为点O是线段AD上一点，所以BO不一定是∠ABD的角平分线，可作判断； ③证明∠POC＝60°且OP＝OC，即可证得△OPC是等边三角形； ④首先证明△OPA≌△CPE，则AO＝CE，AB＝AC＝AE+CE＝AO+AP． 【解答】解：①如图1，连接OB， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝×120°＝60°， ∴OB＝OC，∠ABC＝90°﹣∠BAD＝30° ∵OP＝OC， ∴OB＝OC＝OP， ∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO， ∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD＝30°； 故①正确； ②由①知：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO， ∵点O是线段AD上一点， ∴∠ABO与∠DBO不一定相等，则∠APO与∠DCO不一定相等， 故②不正确； ③∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°， ∴∠APC+∠DCP＝150°， ∵∠APO+∠DCO＝30°， ∴∠OPC+∠OCP＝120°， ∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝60°， ∵OP＝OC， ∴△OPC是等边三角形； 故③正确； ④如图2，在AC上截取AE＝PA，连接PE， ∵∠PAE＝180°﹣∠BAC＝60°， ∴△APE是等边三角形， ∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA， ∴∠APO+∠OPE＝60°， ∵∠OPE+∠CPE＝∠CPO＝60°， ∴∠APO＝∠CPE， ∵OP＝CP， 在△OPA和△CPE中， ， ∴△OPA≌△CPE（SAS）， ∴AO＝CE， ∴AB＝AC＝AE+CE＝AO+AP； 故④正确； 本题正确的结论有：①③④ 故选：A． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键． 15．（2023春•宁波期末）如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在BC延长线上，且EB＝EF，若BD＝4，BF＝8，则线段DE的长为 　2　． 【考点】等边三角形的判定与性质；平行线的性质．版权所有 【分析】过E点作EH⊥BF，设DE＝x，根据△ABC是等边三角形，DE∥BC，得到△ADE是等边三角形，已知BD＝4，得到EC＝BD＝4，AB＝BC＝AC＝4+x，∠ACB＝60°，在Rt△CHE中，求得CH＝2，表示出BH＝2+x，根据△EBF是等腰三角形，BF＝8，得到BH＝FH＝4，即可求得线段DE的长． 【解答】解：过E点作EH⊥BF， 设DE＝x， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠ABC＝60°，∠AED＝∠ACB＝60°， ∴△ADE是等边三角形， ∵BD＝4， ∴EC＝BD＝4，AB＝BC＝AC＝4+x，∠ACB＝60°， 在Rt△CHE中， ∵∠ACB＝60°，EC＝BD＝4， ∴∠HEC＝180°﹣∠ACB﹣∠EHC＝180°﹣60°﹣90°＝30°， ∴， ∴BH＝BC﹣CH＝4+x﹣2＝2+x， ∵EB＝EF， ∴△EBF是等腰三角形， ∵EH⊥BF，BF＝8， ∴BH＝FH＝4， ∴2+x＝4， ∴x＝2， ∴DE＝2． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质与判定，含有30°角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 16．（2023秋•黔东南州期末）已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC． （1）【特殊情况，探索结论】 如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE 　＝　DB（填“＞”、“＜”或“＝”）． （2）【特例启发，解答题目】 如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE 　＝　DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）． （3）【拓展结论，设计新题】 在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）． 【考点】等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．版权所有 【分析】（1）由E为等边三角形AB边的中点，利用三线合一得到CE垂直于AB，且CE为角平分线，由ED＝EC，利用等边对等角及等腰三角形的性质得到一对角相等，利用等角对等边即可得证； （2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，由三角形ABC为等边三角形，得到三角形AEF为等边三角形，进而得到AE＝EF＝AF，BE＝FC，再由ED＝EC，以及等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形BDE与三角形EFC全等，利用全等三角形对应边相等得到DB＝EF，等量代换即可得证； （3）点E在AB延长线上时，如图所示，同理可得△DBE≌△EFC，由BC+DB求出CD的长即可． 【解答】解：（1）当E为AB的中点时，AE＝DB； （2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F， 证明：∵△ABC为等边三角形， ∴△AEF为等边三角形， ∴AE＝EF，BE＝CF， ∵ED＝EC， ∴∠D＝∠ECD， ∵∠DEB＝60°﹣∠D，∠ECF＝60°﹣∠ECD， ∴∠DEB＝∠ECF， 在△DBE和△EFC中， ， ∴△DBE≌△EFC（SAS）， ∴DB＝EF， 则AE＝DB； （3）点E在AB延长线上时，作EF∥AC，则△EFB为等边三角形， 如图所示，同理可得△DBE≌△CFE， ∵AB＝1，AE＝2， ∴BE＝1， ∵DB＝FC＝FB+BC＝2， 则CD＝BC+DB＝3． 故答案为：（1）＝；（2）＝ 【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键． 17．（2023秋•田家庵区期中）如图所示，△ABC和△ACD都是边长为4厘米等边三角形，两个动点P，Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度沿A→C→B的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿A→B→C→D的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q运动的时间为t秒． （1）点P、Q从出发到相遇所用时间是 　4　秒； （2）当t取何值时，△APQ也是等边三角形？请说明理由； （3）当0＜t＜2时，判断PQ与AC的位置关系． 【考点】等边三角形的判定与性质．版权所有 【分析】（1）根据相遇问题，由路程÷速度＝时间建立等式求出t的值即可； （2）根据若△APQ是等边三角形，此时点P在BC上，点Q在CD上，且△ADQ≌△ACP，进而得出CP＝DQ，求出即可； （3）根据P，Q运动速度得出，△APN是等边三角形，得∠APQ＝90°求出即可． 【解答】解：（1）设点P、Q从出发到相遇所用时间是t，根据题意得： t+2t＝AC+AB+BC＝12， 解得：t＝4； 故答案为：4； （2）如图1：若△APQ是等边三角形， 此时点P在BC上，点Q在CD上，且△ADQ≌△ACP， 则CP＝DQ，即t﹣4＝4﹣（2t﹣8）， 解得：t＝； （3）PQ与AC互相垂直，理由如下： 如图2所示：根据题意得：AQ＝2AP， 取AQ的中点N， ∵∠PAQ＝60°， ∴△APN是等边三角形， ∴PN＝AN＝NQ， ∴△APQ是直角三角形， ∴∠APQ＝90°， 即当0＜t＜2时，PQ与AC互相垂直． 【点评】此题主要考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，根据已知图形得出对应线段关系是解题关键． 18．（2022秋•鄱阳县期末）动点问题是数学学习中常见的问题，解决此类问题的关键是动中求静，运用分类讨论及数形结合的思想灵活解决问题．如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，点P在线段BA上从点B出发向点A运动（点P不与点A重合），点P运动的速度为2cm/s；点Q在线段CB上从点C出发向点B运动（点Q不与点B重合），点Q运动的速度为3cm/s，设点P，Q同时运动，运动时间为t s． （1）在点P，Q运动过程中，经过几秒时△PBQ为等边三角形？ （2）在点P，Q运动过程中，若某时刻△PBQ为直角三角形，请计算运动时间t． 【考点】等边三角形的判定与性质．版权所有 【分析】（1）由等边三角形的判定，当PB＝BQ时，△PBQ是等边三角形，由此即可解决问题； （2）分两种情况，由直角三角形的性质即可求解． 【解答】解：（1）∵点P运动的速度为2cm/s，点Q运动的速度为3cm/s， ∴BP＝2t（cm），BQ＝（6﹣3t）（cm）， 当PB＝BQ时，△PBQ是等边三角形， ∴2t＝6﹣3t， ∴t＝1.2， ∴在点P，Q运动过程中，经过1.2秒时△PBQ为等边三角形． （2）①当∠BPQ＝90°时， ∵∠B＝60°， ∴∠BQP＝30°， ∴PB＝BQ， ∴2t＝（6﹣3t）， ∴t＝， ②当∠BQP＝90°时，∠BPQ＝30°， ∴BQ＝PB， ∴6﹣3t＝×2t， ∴t＝1.5， ∴在点P，Q运动过程中，若△PBQ为直角三角形，t＝s或t＝1.5s． 【点评】本题考查等边三角形的性质和判定，关键是分情况讨论． 19．（2023秋•九龙坡区校级期中）如图1，△ABC为等边三角形，点D为BC的中点，连接AD，AE平分∠DAC，交BC于点E，点F在△ABC外，连接 FE，BF，AF，满足BF∥AC，∠AFB＝∠AEC． （1）求∠FAE的度数； （2）如图2，点G是AC上一点，连接EG，GF，GF与AE交于点K．若AK＝EK，求证：CG＝2CE． 【考点】等边三角形的判定与性质；平行线的性质；全等三角形的判定与性质．版权所有 【分析】（1）先证△ABF和△ACE全等，得∠BAF＝∠CAE，AF＝AE，再根据∠FAE＝∠BAF+∠BAE＝∠CAE+∠BAE可得出答案； （2）由（1）可知：△AFE为等边三角形，从而得∠AFB＝60°，AF＝EF，根据AK＝EK，得∠AFG＝∠EFG＝30°，FK⊥AE，由此可证△AFG和△EFG全等，得∠AGF＝∠EGF，然后根据点D为BC的中点，及AE平分∠DAC可得出∠CAE＝15°，进而可求出∠AGF＝∠EGF＝75°，由此得∠CGE＝30°，∠CEG＝90°，最后再利用直角三角形的性质可得出结论． 【解答】（1）解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠C＝∠BAC＝60°，AB＝AC， ∵BF∥AC， ∴∠ABF＝∠BAC＝60°， ∴∠ABF＝∠C＝60°， 在△ABF和△ACE中， ， ∴△ABF≌△ACE（AAS）， ∴∠BAF＝∠CAE，AF＝AE， ∴∠FAE＝∠BAF+∠BAE＝∠CAE+∠BAE＝∠CAE＝60°； （2）证明：由（1）可知：AF＝AE，∠FAE＝60°， ∴△AFE为等边三角形， ∴∠AFB＝60°，AF＝EF， ∵AK＝EK， ∴∠AFG＝∠EFG＝30°，FK⊥AE， 在△AFG和△EFG中， ， ∴△AFG≌△EFG（SAS）， ∴∠AGF＝∠EGF， ∵△ABC为等边三角形，点D为BC的中点， ∴∠DAC＝∠BAC＝30°， ∵AE平分∠DAC， ∴∠CAE＝∠DAC＝15°， ∵FK⊥AE， ∴∠AGF＝90°﹣∠CAE＝90°﹣15°＝75°， ∴∠AGF＝∠EGF＝75°， ∴∠CGE＝180°﹣（∠AGF+∠EGF）＝30°， 又∠C＝60°， ∴∠CEG＝180°﹣∠C﹣∠CGE＝90°， 在Rt△CEG中，∠CGE＝30°， ∴CG＝2CE． 【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，理解在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键． 20．（2011秋•金州区校级期末）（1）如图1，已知∠EOF＝120°，OM平分∠EOF，A是OM上一点，∠BAC＝60°，且与OF、OE分别相交于点B、C，求证：AB＝AC； （2）如图2，在如上的（1）中，当∠BAC绕点A逆时针旋转使得点B落在OF的反向延长线上时，（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由； （3）如图3，已知∠AOC＝∠BOC＝∠BAC＝60°，求证：①△ABC是等边三角形； ②OC＝OA+OB． 【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定．版权所有 【分析】（1）过A作AG⊥OF于G，AH⊥OE于H，求出∠CAH＝∠BAG，根据ASA证△BAG≌△CAH，推出AB＝AC即可； （2）证法与（1）类似，过A作AG⊥OF于G，AH⊥OE于H，求出∠CAH＝∠BAG，根据ASA证△BAG≌△CAH，推出AB＝AC即可； （3）①还原图形与图2类似由（2）知AC＝AB，∠CAB＝60°，根据等边三角形的判定推出即可； ②在OC上截取BO＝ON，连接NB，得出等边三角形BON，求出∠ABO＝∠CBN，证△AOB≌△CNB，推出NC＝OA即可． 【解答】（1）证明：过A作AG⊥OF于G，AH⊥OE于H， 则∠AHO＝∠AGO＝90°， ∵∠EOF＝120°， ∴∠HAG＝60°＝∠BAC， ∴∠HAG﹣∠BAH＝∠BAC﹣∠BAH， ∴∠BAG＝∠CAH， ∵OM平分∠EOF，AG⊥OF，AH⊥OE， ∴AG＝AH， 在△BAG和△CAH中， ∵， ∴△BAG≌△CAH（ASA）， ∴AB＝AC； （2）结论还成立， 证明：过A作AG⊥OF于G，AH⊥OE于H， 与（1）证法类似根据ASA证△BAG≌△CAH（ASA）， 则AB＝AC； （3）证明：①如图，∠FOA＝180°﹣120°＝60°， ∠FOC＝60°+60°＝120°， 即OM平分∠COF， 由（2）知：AC＝AB， ∵∠CAB＝60°， ∴△ABC是等边三角形； ②在OC上截取BO＝ON，连接BN， ∵∠COB＝60°， ∴△BON是等边三角形， ∴ON＝OB，∠OBN＝60°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°＝∠NBO， ∴都减去∠ABN得：∠ABO＝∠CBN， 在△AOB和△CNB中 ∵， ∴△AOB≌△CNB（SAS）， ∴NC＝OA， ∴OC＝ON+CN＝OB+OA， 即OC＝OA+OB． 【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，题目比较典型，证明过程类似，是一道探究性的题目． 2.5.3斜边上的中线的性质+含30°角的直角三角形 斜边上的中线的性质 1．（2024春•北京期末）如图，一根木棍斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（　　） A．变小 B．不变 C．变大 D．无法判断 【考点】直角三角形斜边上的中线．版权所有 【分析】根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得出OP＝AB＝a，即可得出答案． 【解答】解：在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化， 理由是：连接OP， ∵∠AOB＝90°，P为AB中点，AB＝2a， ∴OP＝AB＝a， 即在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，永远是a； 故选：B． 【点评】此题考查了解直角三角形，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 2．（2024•肥西县一模）如图，△ABC中∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，线段DE的两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝4，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为（　　） A．2 B．3 C．3.5 D．4 【考点】直角三角形斜边上的中线．版权所有 【分析】根据三角形斜边中线的性质求得CN＝AB＝5，CM＝＝2，由当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，即可求得MN的最小值为3． 【解答】解：如图，连接CM、CN， △ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6， ∵DE＝4，点M、N分别是DE、AB的中点， ∴CN＝AB＝5，CM＝DE＝2， 当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值， ∴MN的最小值为：5﹣2＝3． 故选：B． 【点评】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，明确C、M、N在同一直线上时，MN取最小值是解题的关键． 3．（2024春•东昌府区期末）在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E为对角线AC的中点，∠BCA＝43°，∠ACD＝25°，连接BD，BE，DE，则∠BDE＝（　　） A．25° B．22° C．30° D．32° 【考点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质．版权所有 【分析】证明EA＝EB＝EC＝ED，可得∠ECB＝∠EBC，∠ECD＝∠EDC，可得∠BED＝2（∠BCA+∠ACD）＝136°，再利用等腰三角形的性质可得答案． 【解答】解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点E为对角线AC的中点， ∴EA＝EB＝EC＝ED， ∴∠ECB＝∠EBC，∠ECD＝∠EDC， 在△ABE中，∠AEB＝∠ECB+∠EBC＝2∠BCA， 同理可得：∠AED＝∠ECD+∠EDC＝2∠ACD， ∴∠BED＝∠AEB+∠AED＝2（∠BCA+∠ACD）＝2×（43°+25°）＝136°， ∵EB＝ED， ∴． 故选：B． 【点评】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的判定与性质，理解掌握这些知识点是解本题的关键． 4．（2024•商南县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，点E在BC上，且CE＝AC，∠BAE＝15°，则∠CDE的大小为（　　） A．70° B．75° C．80° D．85° 【考点】直角三角形斜边上的中线．版权所有 【分析】根据等腰直角三角形的性质得到∠CAE＝∠AEC＝45°，求得∠CAB＝60°，得到∠B＝30°，根据直角三角形的性质得到CD＝BD＝AD＝AB，得到△ACD是等边三角形，∠DCB＝∠B＝30°，于是得到结论． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，CE＝AC， ∴∠CAE＝∠AEC＝45°， ∵∠BAE＝15°， ∴∠CAB＝60°， ∴∠B＝30°， ∵∠ACB＝90°，D为AB的中点， ∴CD＝BD＝AD＝AB， ∴△ACD是等边三角形，∠DCB＝∠B＝30°， ∴AC＝DC＝CE， ∴∠CDE＝∠CED＝×（180°﹣30°）＝75°． 故选：B． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 5．（2023秋•钱塘区期末）如图，已知AD⊥BD，AC⊥BC，E为AB中点，∠ACD+∠BAC＝70°，则∠DEC的度数为（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 【考点】直角三角形斜边上的中线；垂线．版权所有 【分析】根据AD⊥BD，AC⊥BC，E为AB中点可得出CE＝AE＝BE＝DE，故可得出∠ACE＝∠CAE，∠DE＝∠EDC，据此可得出结论． 【解答】解：∵AD⊥BD，AC⊥BC， ∴△ABD，△ABC均为直角三角形， ∵E为AB中点， ∴CE＝AB， ∴CE＝AE＝BE＝DE， ∴∠ACE＝∠BAC，∠DCE＝∠EDC， ∵∠ACD+∠BAC＝70°， ∴∠DCE＝∠EDC＝70°， ∴∠DEC＝180°﹣∠DCE﹣∠EDC＝180°﹣70°﹣70°＝40°． 故选：C． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质，熟知在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 6．（2021秋•玄武区期中）如图，四边形ABCD中，∠ABD＝∠ACD＝90°，P是边AD的中点．若BC＝3，AD＝8，则△BPC的周长为 　11　． 【考点】直角三角形斜边上的中线．版权所有 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到PB＝PC＝AD，根据三角形的周长公式即可得到结论． 【解答】解：∵∠ABD＝∠ACD＝90°，P是边AD的中点， ∴PB＝PC＝AD， ∵AD＝8， ∴PB＝PC＝8＝4， ∴△BPC的周长＝PB+PC+BC＝4+4+3＝11， 故答案为：11． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形周长的计算，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 7．如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为 　4　． 【考点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；平行线的性质．版权所有 【分析】过点E作EF⊥AO于点F，根据角平分线的性质得出EF＝EC＝2，根据平行线的性质和角平分线的定义推出∠DEO＝∠DOE＝15°，则∠FDE＝30°，DE＝OD，最后根据含30°角直角三角形的特征，即可求解． 【解答】解：过点E作EF⊥AO于点F， ∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，EF⊥AO，EC＝2， ∴EF＝EC＝2， ∵OE平分∠AOB，∠AOE＝15°， ∴∠COE＝∠AOE＝15°， ∵DE∥OB， ∴∠DEO＝∠COE＝15°， ∴∠DEO＝∠DOE＝15°， ∴∠FDE＝30°，DE＝OD， ∵∠FDE＝30°，EF⊥AO， ∴DE＝OD＝2AE＝4， 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了角平分线的性质，三角形的外角定理，平行线的性质，等角对等边，含30°角直角三角形的特征，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等；三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角之和；两直线平行，内错角相等；含30°角直角三角形，30°角所对的边是斜边的一半． 8．如图，在△ABC中，∠A＝34°．分别以点A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧分别相交于点M、N，直线MN与AC相交于点E．过点C作CD⊥AB，垂足为点D，CD与BE相交于点F．若BD＝CE，则∠BFC的度数为（　　） A．102° B．107° C．108° D．124° 【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．版权所有 【分析】连接DE，如图，利用基本作图得到AE＝CE，则DE为斜边AC的中线，所以DE＝AE＝CE，则∠ADE＝∠A＝34°，接着证明BD＝DE，所以∠DBE＝∠DEB＝17°，然后利用三角形外角性质计算∠BFC的度数． 【解答】解：连接DE，如图， 由作法得MN垂直平分AC， ∴AE＝CE， ∵CD⊥AB， ∴∠CDB＝∠CDE＝90°， ∵DE为斜边AC的中线， ∴DE＝AE＝CE， ∴∠ADE＝∠A＝34°， ∵BD＝CE， ∴BD＝DE， ∴∠DBE＝∠DEB＝∠ADE＝17°， ∴∠BFC＝∠DBF+∠BDF＝17°+90°＝107°． 故选：B． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． 9．（2022•黔西南州）在如图所示的Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，D是斜边AB的中点，把纸片沿着CD折叠，点B到点E的位置，连接AE．若AE∥DC，∠B＝α，则∠EAC等于（　　） A．α B．90°﹣α C．α D．90°﹣2α 【考点】翻折变换（折叠问题）；直角三角形斜边上的中线．版权所有 【分析】由直角三角形斜边上的中线性质和折叠的性质得出CD＝BD＝AD＝ED，∠B＝∠DCB＝∠DCE＝∠CED＝α，求出∠EAD＝∠AED＝180°﹣2α，∠CAD＝90°﹣α，即可得出答案． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，D是斜边AB的中点， ∴CD＝BD＝AD， 由折叠的性质得：BD＝ED，∠B＝∠CED， ∴CD＝BD＝AD＝ED， ∴∠B＝∠DCB＝∠DCE＝∠CED＝α， ∴∠EDC＝180°﹣∠DCE﹣∠CED＝180°﹣α﹣α＝180°﹣2α， ∵AE∥DC， ∴∠AED＝∠EDC＝180°﹣2α， ∵ED＝AD， ∴∠EAD＝∠AED＝180°﹣2α， ∵∠B＝α，∠ACB＝90°， ∴∠CAD＝90°﹣α， ∴∠EAC＝∠EAD﹣∠CAD＝180°﹣2α﹣（90°﹣α）＝90°﹣α， 故选：B． 【点评】本题考查了折叠的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握折叠的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 10．（2012秋•三门县校级期末）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，则△ADC≌△BOC，连接OD． （1）求证：△COD是等边三角形； （2）当α＝120°时，试判断AD与OC的位置关系，并说明理由； （3）探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？ 【考点】等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定．版权所有 【分析】（1）根据旋转得出CO＝CD，∠DCO＝60°，根据等边三角形的判定推出即可． （2）求出∠ADO＝∠COD＝60°，根据平行线的判定推出即可． （3）用∠α表示∠ADO、∠AOD、∠DAO，分为三种情况：①∠ADO＝∠AOD，②∠ADO＝∠OAD，③∠OAD＝∠AOD，代入求出即可． 【解答】证明：（1）∵△ADC≌△BOC， ∴CO＝CD， ∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC， ∴∠DCO＝60°， ∴△COD是等边三角形． （2）解：AD∥OC， 理由是：∵△DOC是等边三角形， ∴∠CDO＝∠DOC＝60°， ∵∠α＝120°，△COB≌△CDA， ∴∠ADC＝∠COB＝120°， ∴∠ADO＝120°﹣60°＝60°， ∴∠ADO＝∠DOC＝60°， ∴AD∥OC． （3）解：∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠α﹣∠COD＝360°﹣110°﹣∠α﹣60°＝190°﹣∠α， ∠ADO＝∠ADC﹣∠CDO＝∠α﹣60°， ∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（∠α﹣60°）﹣（190°﹣∠α）＝50°， 若∠ADO＝∠AOD，即∠α﹣60°＝190°﹣∠α， 解得：∠α＝125°； 若∠ADO＝∠OAD，则∠α﹣60°＝50°， 解得：∠α＝110°； 若∠OAD＝∠AOD，即50°＝190°﹣∠α， 解得：∠α＝140°； 即当a为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形． 【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，旋转的性质，平行线的判定，等腰三角形的性质和判定的应用，用了分类讨论思想． 11．（1）如图1，P是∠AOB内部任意一点，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别是M、N，D是OP的中点，连接DM、DN．求证：∠MDN＝2∠MON． （2）如图2，在△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是边BC的中点．连接DM、ME，试判断∠DME与∠A之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，将图2的锐角△ABC变为钝角△ABC，其余条件不变，直接写出∠DME与∠BAC之间的数量关系． 【考点】三角形综合题．版权所有 【分析】（1）根据直角三角形的性质得到DM＝DO，根据等腰三角形的性质得到∠DMO＝∠DOM，同理得到∠NDP＝2∠NOP，结合图形计算，证明结论； （2）根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质计算即可得到结论； （3）仿照（2）的计算过程解答即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵PM⊥OA， ∴∠OMP＝90°， 在Rt△OMP中，D是OP的中点， ∴DM＝OP＝DO， ∴∠DMO＝∠DOM， ∴∠MDP＝2∠MOP， 同理可知，∠NDP＝2∠NOP， ∴∠MDN＝∠MDP+∠NDP＝2∠MON； （2）解：∠DME＝180°﹣2∠A． 理由如下：∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点， ∴DM＝BC，ME＝BC， ∴DM＝ME， 在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∵DM＝ME＝BM＝MC， ∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB） ＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB） ＝360°﹣2（180°﹣∠A） ＝2∠A， ∴∠DME＝180°﹣2∠A； （3）∠DME＝2∠BAC﹣180°． 理由如下：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC， ∵DM＝ME＝BM＝MC， ∴∠BME+∠CMD＝2∠ACB+2∠ABC ＝2（180°﹣∠BAC） ＝360°﹣2∠BAC， ∴∠DME＝180°﹣（360°﹣2∠BAC） ＝2∠BAC﹣180°． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质、三角形内角和定理，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 含30°角的直角三角形 12．（2024春•潮阳区校级月考）如图，在△ABC中，已知BA＝BC，∠B＝120°，AB的垂直平分线DE交AC于点D．若AC＝6cm，则AD＝（　　）cm． A．2 B．3 C．4 D．2.8 【考点】含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．版权所有 【分析】连接BD，根据线段垂直平分线的性质知△ABD是等腰三角形；然后证明△CDB是直角三角形，利用30度角所对的直角边是斜边的一半即可求得BD与CD间的数量关系，最后通过等量代换即可求得AC＝3AD，从而求得线段AD的长度． 【解答】解：连接BD， ∵AB的垂直平分线DE交AC于点D， ∴AD＝BD， ∴∠A＝∠ABD， ∵BA＝BC，∠B＝120°， ∴∠A＝∠C＝×（180°﹣120°）＝30°， ∴∠ABD＝30°， ∴∠CBD＝90°， ∴CD＝2BD， ∴CD＝2AD， ∴AC＝AD+CD＝AD+2AD＝3AD， ∵AC＝6cm， ∴AD＝2cm． 故选：A． 【点评】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形．利用含30度角的直角三角形的性质得出CD＝2BD是解题的关键． 13．（2023秋•渝中区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D是AB上一点，且BD＝CD＝6，∠DBC＝15°，则△BCD的面积为（　　） A．9 B．12 C．18 D．6 【考点】含30度角的直角三角形；三角形的面积；三角形的外角性质；等腰三角形的性质．版权所有 【分析】根据等边对等角结合三角形的外角，求出∠ADC＝30°，进而求出AC的长，利用三角形的面积公式求出△BCD的面积即可． 【解答】解：∵BD＝CD＝6，∠DBC＝15°， ∴∠DCB＝∠B＝15°， ∴∠ADC＝∠B+∠BCD＝30°， ∵∠A＝90°， ∴， ∴△BCD的面积为； 故选A． 【点评】本题考查等边对等角，三角形的外角，含30度角的直角三角形，三角形的面积，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 14．（2024春•泰山区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝24，点D在BA的延长线上，CA＝CD，BD＝15，则AD的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【考点】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质．版权所有 【分析】过点C作CE⊥AD，垂足为E，根据垂直定义可得∠BEC＝90°，再利用直角三角形的两个锐角互余可得∠BCE＝30°，然后利用含30度角的直角三角形的性质可得BE＝12，从而可得DE＝3，最后利用等腰三角形的三线合一性质即可解答． 【解答】解：过点C作CE⊥AD，垂足为E， ∴∠BEC＝90°， ∵∠ABC＝60°， ∴∠BCE＝90°﹣∠ABC＝30°， ∵BC＝24， ∴， ∵BD＝15， ∴DE＝BD﹣BE＝15﹣12＝3， ∵CA＝CD， ∴AD＝2DE＝6， 故选：A． 【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，直角三角形两锐角互余，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 15．（2024•镇远县校级二模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝11，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为（　　） A．4.5 B．5 C．5.5 D．6 【考点】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质．版权所有 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得到AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，从而可得到∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，再根据角平分线的性质即可得到∠DAE＝∠EAB＝30°，从而可推出AD＝DF，根据直角三角形30度角的性质即可求得AD的长，即得到了DF的长． 【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点， ∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD， ∵∠BAC＝120°， ∴∠BAD＝60°，∠ADB＝90°， ∵AE是∠BAD的角平分线， ∴∠DAE＝∠EAB＝30°． ∵DF∥AB， ∴∠F＝∠BAE＝30°． ∴∠DAF＝∠F＝30°， ∴AD＝DF． ∵AB＝11，∠B＝30°， ∴AD＝5.5， ∴DF＝5.5 故选：C． 【点评】本题考查了含30°角的直角三角形，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识点，能求出AD＝DF是解此题的关键． 16．（2024春•南昌期末）若一个三角形中一个角的度数是另一个角的度数的3倍，则称这样的三角形为“和谐三角形”．例如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“和谐三角形”，如图，直角三角形ABC中，∠CAB＝90°，∠ABC＝60°，D是边CB上一动点．当△ADC是“和谐三角形”时，∠DAB的度数是 　30°或80°或52.5°或0°　． 【考点】含30度角的直角三角形；三角形内角和定理．版权所有 【分析】分四种情况进行讨论：①当∠ADC＝3∠C时；②当∠C＝3∠CAD时；③当∠ADC＝3∠CAD时；④当∠CAD＝3∠C时．根据“和谐三角形”的定义求解即可． 【解答】解：∵∠CAB＝90°，∠ABC＝60°， ∴∠C＝90°﹣∠ABC＝30°． 当△ADC是“和谐三角形”时，分四种情况： ①当∠ADC＝3∠C时，∠ADC＝90°， ∴∠CAD＝90°﹣∠C＝60°， ∴∠DAB＝∠CAB﹣∠CAD＝30°； ②当∠C＝3∠CAD时，∠CAD＝10°， ∴∠DAB＝∠CAB﹣∠CAD＝80°； ③当∠ADC＝3∠CAD时， ∵∠ADC+∠CAD＝180°﹣∠C＝150°， ∴∠CAD＝×150°＝37.5°， ∴∠DAB＝∠CAB﹣∠CAD＝52.5°． ④当∠CAD＝3∠C时，∠CAD＝90°， ∴∠DAB＝∠CAB﹣∠CAD＝0°． 综上所述，∠DAB的度数是30°或80°或52.5°或0°． 故答案为：30°或80°或52.5°或0°． 【点评】本题考查了新定义，三角形内角和定理，理解“和谐三角形”的定义并且能够应用是解题的关键． 17．（2024•岳阳楼区校级开学）如图，∠ABC＝60°，AB＝8，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，设点P的运动时间为t秒（t＞0），当△ABP为锐角三角形时，t的取值范围是 　4＜t＜16　． 【考点】含30度角的直角三角形．版权所有 【分析】分两种情况：当∠APB＝90°时，当∠BAP＝90°时，然后分别进行计算即可解答． 【解答】解：分两种情况， 当∠APB＝90°，如图， 在Rt△ABP中，∠ABC＝60°， ∴∠BAP＝90﹣∠ABC＝30°， ∵AB＝8， ∴， 当∠BAP＝90°，如图， 在Rt△ABP中，∠ABC＝60°， ∴∠BAP＝90﹣∠ABC＝30°， ∵AB＝8， ∴BP＝2AB＝16， ∴当4＜BP＜16时，△ABP为锐角三角形， ∴4＜t＜16， 故答案为：4＜t＜16 【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，正确分两种情况进行计算是解题关键． 18．（2023秋•武威期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是（　　） A．6 B．8 C．10 D．13 【考点】含30度角的直角三角形；垂线段最短．版权所有 【分析】利用垂线段最短分析AP最小不能小于6，利用含30度角的直角三角形的性质得出AB＝12，可知AP最大不能大于12，据此即可判定． 【解答】解：根据垂线段最短，可知AP的长不可小于6； ∵△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，∠B＝30°， ∴AB＝2AC＝12， ∴AP的长不能大于12， ∴6≤AP≤12． 故选：D． 【点评】本题主要考查了垂线段最短的性质和含30度角的直角三角形的性质，解答此题的关键是利用含30度角的直角三角形的性质得出AB＝12． 19．（2024春•沈阳月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，适当长为半径作弧，在边AB，AC上截取AD，AE；然后分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在∠CAB内交于点F；作射线AF交BC于点G．若BG＝2，P为边AB上一动点，则GP的最小值为（　　） A． B．1 C．2 D．无法确定 【考点】含30度角的直角三角形；垂线段最短．版权所有 【分析】由尺规作图步骤可得AG平分∠BAC，从而得到∠BAG＝∠CAG＝∠BAC＝30°，由含30°角的直角三角形的性质可得，由垂线段最短和角平分线的性质可得：当GP⊥AB时，GP最小，GP的最小值为1． 【解答】解：由尺规作图步骤可得：AG平分∠BAC， ∵∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠BAC＝90°﹣30°＝60°， ∴， ∵∠B＝∠BAG＝30°， ∴AG＝BG＝2， ∵∠C＝90°， ∴， 由垂线段最短可得，当GP⊥AB时，GP最小， ∵AG平分∠BAC， ∴当GP⊥AB时，GP＝GC＝1， 故选：B． 【点评】本题主要考查了角平分线的性质、垂线段最短、含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握角平分线的性质、垂线段最短、含30°角的直角三角形的性质，是解题的关键． 20．（2023秋•包河区期末）如图，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，DE⊥AB于点E，EF⊥BC于点F．若CD＝3AE，CF＝6，则AC的长为 　10　． 【考点】含30度角的直角三角形；等边三角形的性质．版权所有 【分析】AC与DE相交于G，如图，利用等边三角形的性质得到AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，再证明CG＝CD，设AE＝x，则CD＝3x，CG＝3x，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AG＝2AE＝2x，所以AB＝BC＝AC＝5x，则BE＝4x，BF＝5x﹣6，然后在Rt△BEF中利用BE＝2BF得到4x＝2（5x﹣6），解方程求出x后计算5x即可． 【解答】解：AC与DE相交于G，如图， ∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°， ∵DE⊥AE， ∴∠AGE＝30°， ∴∠CGD＝30°， ∵∠ACB＝∠CGD+∠D， ∴∠D＝30°， ∴CG＝CD， 设AE＝x，则CD＝3x，CG＝3x， 在Rt△AEG中，AG＝2AE＝2x， ∴AB＝BC＝AC＝5x， ∴BE＝4x，BF＝5x﹣6， 在Rt△BEF中，BE＝2BF， 即4x＝2（5x﹣6），解得x＝2， ∴AC＝5x＝10． 故答案为10． 【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．也考查了等边三角形的性质． 21．（2022秋•路桥区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于点D，AB的垂直平分线分别交AB，AD于点E，F，若AF＝2，则AC的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【考点】含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质．版权所有 【分析】连接BF，由线段垂直平分线的性质可得BF＝AF＝2，由含30°角的直角三角形的性质得出，从而得出AD＝3，即可得出答案． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠BAD＝30°， ∴∠CAD＝60°， ∵EF垂直平分AB，连接BF， ∴BF＝AF＝2， ∴∠FBA＝∠FAB＝30°， ∴∠FBD＝30°． ∵AD⊥BC， ∴在Rt△BDF中，， ∴AD＝AF+DF＝2+1＝3， ∴AC＝6， 故选：B． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$苏科版八年级上册 第2章 轴对称图形 目录 2.1-2.3轴对称与轴对称图形.............................................................................................2 2.4.1线段的轴对称性.......................................................................................................18 2.4.2角的轴对称性性.......................................................................................................26 2.5.1等腰三角形的轴对称性............................................................................................37 2.5.2等边三角形的轴对称性...........................................................................................50 2.5.3斜边上的中线的性质+含30°角的直角三角形.........................................................59 2.1-2.3 轴对称图形的性质 2.1-2.3考点汇总 【考点一：生活中的轴对称现象】 【考点二：轴对称图形】 【考点三：镜面对称】 【考点四：轴对称的性质】 【考点五：作图-轴对称变换】 【考点六：剪纸】 【考点七：翻折】 【考点八：设计轴对称图案】 基础巩固 【考点一：生活中的轴对称现象】 1.（2024•南昌模拟）如图，一张台球桌的桌面长为2.84m，宽为1.42m，一个台球在桌面的一个角落，将该球按如图所示的45°角击出，球持续直线运动（球碰到桌面边界会以相同角度反弹），最终落入台球桌角落的一个球袋．则该球（入球袋前，在桌面边缘反弹的次数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2.（2023秋•寻乌县期末）如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，……；第2024次碰到矩形的边时的点为图中的（　　） A．点P B．点Q C．点M D．点N 3.（2023秋•玉山县期末）如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 4.（2024春•拱墅区期末）一个台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面上的点O滚向桌边AB，碰到AB上的点P后反弹而滚向桌边CD，碰到CD上的点Q后反弹而滚向点R．如果AB∥CD，OP，PQ，QR都是直线，且∠OPQ的平分线PM垂直于AB，∠PQR的平分线QN垂直于CD． （1）判断并直接写出PM和QN的位置关系． （2）猜想QR是否平行于OP？说明理由． （3）若∠RQD＝α，求∠OPQ的度数（用含α的代数式表示）． 5.（2024春•河南月考）如图，台球运动中母球P击中桌边的点A，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点B，再次反弹经过点C，其中∠PAD＝∠BAE，∠ABE＝∠CBF． （1）若∠PAD＝32°，求∠PAB的度数； （2）已知∠BAE+∠ABE＝90°，求证：BC∥PA． 【考点二：轴对称图形】 6.（2024春•长安区期末）第33届奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，如图是巴黎奥运会项目图标，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 7.（2024•赤峰）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 8.（2024春•巫山县期末）下列图形不一定是轴对称图形的是（　　） A．等边三角形 B．菱形 C．矩形 D．平行四边形 9.（2024春•碑林区校级期末）下列图形中，是轴对称图形的有（　　）个． ①一条线段；②一个角；③等腰直角三角形；④等边三角形；⑤平行四边形；⑥正方形；⑦圆． A．4 B．5 C．6 D．7 【考点三：镜面对称】 10.（2024•金平区二模）从平面镜里看到背后墙上电子钟的示数如图所示，这时的正确时间是（　　） A．21：05 B．21：15 C．20：15 D．20：12 11.（2023秋•华亭市校级期末）小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，此时的时间应是 　　． 12.（2022秋•惠民县期末）如图，是小亮在镜中看到身后墙上的时钟，此时时钟的实际时刻是（　　） A．3：55 B．8：05 C．3：05 D．8：55 13.（2023秋•思明区校级期中）一平面镜以与水平面成45°角固定在水平面上，如图所示，一个小球以1m/s的速度沿桌面向点O匀速滚去，则小球在平面镜中的像是（　　） A．以1m/s的速度，做竖直向下运动 B．以1m/s的速度，做竖直向上运动 C．以2m/s的速度运动，且运动路线与地面成45°角 D．以2m/s的速度，做竖直向下运动 14.（2023春•镇平县期末）小明同学照镜子，如图所示镜子里哪个是他的像？（　　） A． B． C． D． 【考点四：轴对称的性质】 15.（2024•河北）如图，AD与BC交于点O，△ABO和△CDO关于直线PQ对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（　　） A．AD⊥BC B．AC⊥PQ C．△ABO≌△CDO D．AC∥BD 16.（2024春•郸城县期末）如图，四边形ABCD关于直线l是对称的，有下面的结论： ①AB∥CD；②AC⊥BD；③AO＝CO；④AB⊥BC，其中正确的结论有（　　） A．①② B．②③ C．①④ D．② 17.（2023秋•青龙县期末）如图，∠AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N．若△PMN的周长是6cm，则P1P2的长为（　　） A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm 18.（2024•丛台区校级二模）如图，直线l，m相交于点O．P为这两直线外一点，且OP＝0.6．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 19.（2024•玉林模拟）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是△ABC的（　　） A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线 C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线 20.（2024•阜阳三模）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝α，边CD上的点B′与点B关于对角线AC对称，则∠ACB的度数为（　　） A． B． C．180°﹣2α D．45°+2α 21.（2023秋•兴隆县期末）如图，C，E是直线l两侧的点，以点C为圆心，CE的长为半径画弧交直线l于A，B两点，再分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于点D，连接CA，CB，CD，则下列结论不一定正确的是（　　） A．CA＝CB B．CD⊥直线l C．点C，D关于直线l对称 D．点A，B关于直线CD对称 22.（2024春•晋江市期末）如图，点P在四边形ABCD的内部，且点P与点M关于AD对称，PM交AD于点G，点P与点N关于BC对称，PN交BC于点H，MN分别交AD，BC于点E，F． （1）连接PE，PF，若MN＝12cm，求△PEF的周长； （2）若∠C+∠D＝134°，求∠HPG的度数． 23.（2024春•秦都区校级月考）如图，点P是∠AOB外的一点，点E与点P关于OA对称，点F与点P关于OB对称，直线FE分别交OA、OB于C、D两点，连接PC、PD、PE、PF． （1）若∠OCP＝∠F＝20°，求∠CPD的度数； （2）若求CP＝DP，CF＝13，DE＝3，求CP的长． 【考点五：作图-轴对称变换】 24.（2024春•莲湖区期末）如图，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上，直线l在网格线上． （1）在网格中作△ABC关于直线l的对称图形△A'B'C'． （2）网格中每一个小正方形的边长均为1，在（1）的基础上，计算△AC'A'的面积． 25. （2024春•宜阳县期末）如图，（1）请在下面方格纸中画出△ABC关于直线l1的对称图形△A1B1C1，再画出△A1B1C1关于直线l2的对称图形△A2B2C2． （2）观察你所画的图形，发现△A2B2C2与△ABC之间有什么关系？（△A2B2C2可以看作是由△ABC经过一次什么变换得到的） （3）通过做这个题你会发现，一个图形关于什么位置关系的两条直线做两次轴对称，就相当于做一次什么变换？ 【考点六 ：剪纸】 26.（2024春•高新区期末）如图1，有一张长、宽分别为9和4的长方形纸片，将它对折两次后得到如图2所示的图形，然后沿图2中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形可以是图3中的（　　） A．①② B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 27.（2024•绵竹市模拟）如图，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则得到的图形是（　　） A． B． C． D． 28.（2024•南宁模拟）如图1，先将一张长方形纸片对折，然后沿图2的虚线折叠得到图3，再按图3所示沿BC剪下△ABC．若展开后是图4所示的正五角星（每个锐角都是36°），则图3中∠ABC的度数是（　　） A．108° B．114° C．126° D．144° 29.（2022秋•文登区期末）如图，将一张正方形纸片沿对角线折叠一次，得到一个三角形．在得到的三角形的三个内角各剪去一个圆，然后将纸片展开，得到的图案是（　　） A． B． C． D． 【考点七：翻折】 30.（2024春•长安区期末）如图，AD是△ABC的角平分线，∠C＝20°，AB+BD＝AC，将△ABD沿AD所在直线翻折，点B恰好落在AC边上点E处．则∠B的度数为（　　） A．70° B．60° C．50° D．40° 31.（2024春•厦门期末）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与B点重合，点C落在C′点处，折痕为EF．若∠ABE＝20°，那么∠EFB的度数为（　　） A．45° B．50° C．55° D．60° 32.（2024春•福州期末）如图，在△ABC中，点D在边BC上，将△ABD沿AD翻折得到△AED，若△ABF的周长为12，△DEF的周长为4，则AF的长为（　　） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 33.（2024春•杨浦区期末）如图，在△ABC中，D是边BC的中点，将△ABD沿AD翻折，点B落在点E处，AE交CD于点F，△ADF的面积恰好是△ABC面积的．小丽在研究这个图形时得到以下两个结论：①∠B＝∠CAE；②AC＝CD．那么下列说法中，正确的是（　　） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①、②皆正确 D．①、②皆错误 34.（2024•潮南区三模）如图，把一长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点D'落在∠BAC内部．若∠CAE＝2∠BAD′，且∠CAD′＝20°，则∠DAE的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 35.（2024春•禅城区校级期中）折纸是一种以纸张折成各种不同形状的艺术活动，折纸与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学成为现代几何学的一个分支．按如图所示方法折纸，则下列说法不正确的是（　　） A．∠1与∠3互余 B．∠2＝90° C．AE平分∠BEF D．∠1与∠AEC互补 36.（2022春•荥阳市期末）在学习“生活中的轴对称”之后，小颖对图形的变换进行操作实践．P为长方形纸片ABCD的边AB上一点，点E，M分别为AD，CD上的动点，如图，先把纸片ABCD沿PE对折，A与F重合：再把纸片沿PM对折，B与H重合．当点E，M运动时，若∠FPH＝32°，则∠APE+∠BPM＝　 　． 37.（2023秋•黄山期末）如图，在△ABC中，∠C＝40°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（　　） A．40° B．80° C．90° D．140° 38.（2024•威海一模）如图，在△ABC中，∠BAD＝30°，将△ABD沿AD折叠至△ADB'，∠ACB＝2α，连接B'C，B'C平分∠ACB，则∠AB'D的度数是（　　） A． B．60°+α C． D．90°﹣α 39.（2023秋•樊城区期末）在△ABC中，已知∠A＝80°，∠C＝30°，现把△CDE沿DE进行不同的折叠得△C′DE，对折叠后产生的夹角进行探究： （1）如图（1）把△CDE沿DE折叠在四边形ADEB内，则求∠1+∠2的和； （2）如图（2）把△CDE沿DE折叠覆盖∠A，则求∠1+∠2的和； （3）如图（3）把△CDE沿DE斜向上折叠，探求∠1、∠2、∠C的关系． 【考点八：设计轴对称图案】 40.（2024春•武汉期末）如图，在4×4的正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形，可供选择的白色小正方形有 　 　个． 41.（2024•石家庄校级模拟）如图所示的“钻石”型网格（由边长都为1个单位长度的等边三角形组成），其中已经涂黑了3个小三角形（阴影部分表示），请你再只涂黑一个小三角形，使它与阴影部分合起来所构成的图形是一个轴对称图形，一共有（　　）种涂法． A．1 B．2 C．3 D．4 42.（（2024•吉安县校级模拟）如图是由全等的小等边三角形组成的网格，其中有3个小三角形被涂成了黑色（用阴影表示）．若平移其中1个阴影三角形到空白网格中，使阴影部分构成的图形为轴对称图形，则平移的方法共有（　　） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 43.（2015春•福田区期末）图形设计：请将网格中的某些小方格涂黑，使它与已涂黑的小方格组成轴对称图形，并且有两条对称轴．（要求用两种不同的方法） 44.（2024•岳池县三模）如图是由5个全等的正方形组成的，请你移动其中一个正方形，使它变成轴对称图形，要求：所作图形顶点必须在网格图格点上．（在网格图中画出4种形状不同的图形，涂上阴影．） 45.（2023秋•襄城区期末）如图，在3×3的正方形网格中，有一个以格点为顶点的三角形． （1）请你在图①，图②，图③中，分别画出一个与该三角形成轴对称且以格点为顶点的三角形，并将所画三角形涂上阴影．（注：所画的三幅图不能重复）． （2）格纸中所有与该三角形成轴对称且以格点为顶点的三角形共有 　 　个． 46.（2023秋•舒兰市期末）如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且以格点为顶点的三角形，请在下面所给的格纸中一一画出所有符合条件的三角形．（所给的六个格纸未必全用） 47．（2024•广安二模）如图，网格中每个小正方形的边长为1 请你认真观察图1中的三个网格中的黑色部分构成的图案，解答下列问题： （1）这三个图案都具有以下共同特征：都是 　 　对称图形，都不是 　 　对称图形； （2）在图2中选一个白色的小正方形并涂黑，使图2中黑色部分是轴对称图形； （3）请在图3中设计出一个面积为4的图案，且具备（1）中的特征（不与图1中所给图案相同）． 2.4.1 线段的轴对称性 课程目标 1. 掌握线段垂直平分线的性质与判定； 2. 会用线段的垂直平分线的性质与判定进行计算与证明。 3. 会用尺规作图作线段的垂直平分线。 重难点 会用线段的垂直平分线的性质与判定进行计算与证明。 基础巩固 1．线段是轴对称图形，它的对称轴是（　　） A．线段本身 B．线段的垂直平分线 C．线段垂直平分线和这条线段所在直线 D．线段所在直线 2．在元旦联欢会上，3名小朋友分别站在三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放在三角形的（　　） A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 3．如图，分别以△ABC的顶点A，B为圆心，以大于AB的长为半径，画弧，过两弧交点的直线交AC于点D，连接DB，若BC＝6，AC＝10，则△DBC的周长等于（　　） A．12 B．14 C．16 D．24 4．如图，在△ABC中，AC＝4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（　　）cm A．3 B．4 C．7 D．11 5．如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠1＝41°，则∠AOC＝　82°　． 6．已知：如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E．若∠BAC＝104°，则∠DAE的度数为（　　） A．22° B．24° C．26° D．28° 7．如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，若∠BAC＝74°，则∠NAE的度数为（　　） A．30° B．32° C．36° D．37° 8．△ABC中，BC＝10，AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，且DE＝4，则AD+AE的值为（　　） A．6 B．14 C．6或14 D．8或12 9．如图，△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，AC的垂直平分线交AC于点F，交BC于点G．若以BE，EG，GC为边的三角形的面积为8，则△ABC的面积可能是（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 10．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E． （1）若BC＝10，求△ADE的周长； （2）设直线DM、EN交于点O． ①试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由； ②若∠BAC＝100°，求∠BOC的度数． 11．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F，BE＝CF． 求证：（1）△DEB≌△DFC； （2）AD垂直平分EF． 12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E在AB上，且AF垂直平分CD，BG垂直平分CE （1）求∠ECD的度数； （2）若∠ACB为α，则∠ECD的度数能否用含α的式子来表示？并证明你的结论． 拓展提优 13．已知C，D两点在线段AB的垂直平分线上，且∠ACB＝50°，∠ADB＝86°，则∠CAD的度数是　 　． 14．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点）．在这张5×5的方格纸中，找出格点C，使AC＝BC，则满足条件的格点C有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 15．如图，已知△ABE与△CDE都是等腰直角三角形，∠AEB＝∠DEC＝90°，连接AD，AC，BC，BD，若AD＝AC＝AB，则下列结论：①AE垂直平分CD，②AC平分∠BAD，③△ABD是等边三角形，④∠BCD的度数为150°，其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 16．如图，直线l，m相交于点O，P为这两直线外一点，且OP＝3，若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（　　） A．0 B．5 C．7 D．8 17．如图，在△ABC中，点D是AB边的中点，过点D作边AB的垂线l，E是l上任意一点，且AB＝4，AC＝5，BC＝8，则△AEC的周长最小值为 　 　． 18．如图，△ABC的周长为30，BC＝12，AC＝5，作BC边的垂直平分线PF分别交AB，BC于点F，E．连接PB、PC，若点M是直线PF上的一个动点，则△MAC周长的最小值为 　 　． 19．如图，在△ABC中，点O是边AB和AC的垂直平分线OD、OE的交点，若∠BOC＝130°，则∠GOF的度数为（　　） A．115° B．130° C．140° D．150° 20．如图，在△ABC中，I是三角形角平分线的交点，O是三边垂直平分线的交点，连接AI，BI，AO，BO，若∠AOB＝140°，则∠AIB的大小为（　　） A．160° B．140° C．130° D．125° 21．如图，已知直线及其两侧两点A、B． （1）在图1中直线l上求作一点P，使PA＝PB；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在图2中直线l画一点Q，使l平分∠AQB．（不写画法，保留画图痕迹） 22．某个城市在一块空地上新建了三个居民小区，它们分别为A、B、C，且三个小区不在同一直线上，要想规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相等．请问同学们这所中学建在哪个位置？用直尺和圆规作出中学的位置． 23．（1）在△ABC中，AB＝AC，OB＝OC，且点A到BC的距离为8，点O到BC的距离为3，则AO的长为 　 　． （2）在△ABC中，BC＝10，AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，且DE＝4，则AD+AE＝　 　． 24．已知如图，点A、点B在直线l异侧，以点A为圆心，AB长为半径作弧交直线l于C、D两点．分别以C、D为圆心，AB长为半径作弧，两弧在l下方交于点E，连接AE． （1）根据题意，利用直尺和圆规补全图形； （2）证明：l垂直平分AE． 25．如图，在△ABC中，l是AB的垂直平分线，与边AC交于点E，点D在l上，且DB＝DC，连接AD． （1）求证：∠CAD＝∠ACD； （2）延长AD，与BC交于点F，若AC＝AB， ①求证：F是BC的中点； ②连接EF，若BD⊥CD，则EF与BC的数量关系是 　　． 26．【情境】2023年3月11日，2023斯诺克6红球世锦赛决赛，丁俊晖以8﹣6击败本土作战的塔猜亚•乌诺，继2016年后第二次夺得冠军．在台球比赛中，球台边也叫“库”，球撞击一次球台边叫做“一库”，球撞击两次球台边叫做“两库”，以此类推… 【建模】在台球桌上也有我们熟悉的数学模型：如图①，在长方形球台MNPQ内有白球B、红球H两点，从点B出发，集中球台边PN，反弹击中点H（“一库”）．请画出白球B的路径，并用箭头标出方向． 【应用】若让白球B弹“两库”击中红球H会有 　　种情况，请选择一种情况在图②中画出白球B的路径，并用箭头标出方向． 【拓展】若让白球B弹“三库”击中红球H会有 　　种情况，请在图③中画出白球B的路径，并用箭头标出方向． 角的轴对称性 课程目标 1. 掌握角平分线的性质与判定； 2. 会用角平分线的性质与判定进行计算与证明。 3. 会用尺规作图作一个角的角平分线。 重难点 会用角平分线的性质与判定进行计算与证明。 基础巩固 1．到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的（　　） A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．以上均不对 2．下列语句：①角的对称轴是角的平分线；②两个成轴对称的图形的对应点一定在对称轴的两侧；③一个轴对称图形不一定只有一条对称轴；④两个能全等的图形一定能关于某条直线对称，其中正确的个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图，一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的平分线．”他这样做的依据是（　　） A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 B．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．以上均不正确 4．如图，已知点O为△ABC的两条角平分线的交点，过点O作OD⊥BC，垂足为D，且OD＝4．若△ABC的面积是34，则△ABC的周长为　 　． 5．如图，△AOB的外角∠CAB，∠DBA的平分线AP，BP相交于点P，PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，下列结论：（1）PE＝PF；（2）点P在∠COD的平分线上；（3）∠APB＝90°﹣∠O，其中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝2，则BF的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝4，DE＝1.6，则BD的长为 　 　． 8．如图，已知AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作过点P作PE⊥AB于点E．若PE＝2，则两平行线AD与BC间的距离为　 　． 9．如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S△ABC＝36cm2，AB＝18cm，BC＝12cm，则DE的长为（　　） A．2cm B．cm C．cm D．3cm 10．作图题：在∠ABC内找一点P，使它到∠ABC的两边的距离相等，并且到点A、C的距离也相等．（写出作法，保留作图痕迹） 11．如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE． （1）求∠CAD的度数； （2）求证：DE平分∠ADC； （3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，则△ABE的面积＝　 　（直接写出结果，不需要过程） 12．如图，A、B两点分别在射线OM，ON上，点C在∠MON的内部，且AC＝BC，CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分别为D，E，且AD＝BE． （1）求证：OC平分∠MON； （2）若AD＝3，BO＝4，求AO的长． 13．（1）如图（1），尺规作△ABC的两内角∠A、∠B的角平分线，设交点为O，点O在∠C的角平分线上吗？试说明你的猜想．你有什么发现？ （2）如图（2），尺规作△ABC的两内角∠A、∠B的外角平分线，设交点为O，点O在∠C的角平分线上吗？试说明你的猜想．你有什么发现？ （3）你能用你的发现解决下面的实际问题：如图（3）直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路，现要建一个加油站，要使它到三条公路的距离相等，画出符合要求的点的位置，共有几个？ 拓展提优 14．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA、PB⊥OB，垂足分别为A、B，下列结论成立的是（　　） ①PA＝PB；②PO平分∠APB；③OA＝OB；④AB垂直平分OP A．①③ B．①②③ C．②③ D．①②③④ 15．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△EFD的面积分别为50和4.5，则△AED的面积为 　 　． 16．如图，在△ABC中，E为AC的中点，AD平分∠BAC，BA：CA＝2：3，AD与BE相交于点O，若△OAE的面积比△BOD的面积大a，则△ABC的面积是 　 　．（用含a的式子表示） 17．如图，已知AP，CP分别是△ABC的外角∠DAC，∠ECA的平分线，PM⊥BD，PN⊥BE，垂足分别为M，N，那么PM 　 　PN（填“＞”“＜”或“＝”）． 18．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为10，BD平分∠ABC，若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为（　　） A．4 B．5 C．4.5 D．6 19．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边作△ACD，满足AD＝AC，点E为BC上一点，连接AE，DE，DE交AC于点M．解决下列问题， （1）如图1，若AC⊥DE，AB＝AM，且∠ACB＝26°，则∠ADE＝　 　； （2）如图2，延长CB至G，使BE＝BG．若，BE＝3，CE＝5，则线段DE的长为 　　． 20．如图，在长方形ABCD中，AB＝8，GC＝，AE平分∠BAG交BC于点E，E是BC的中点，则AG的长为 　 　． 21．如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝80°，BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，BD，CE交于点O，分别过点O作OM⊥AB于点M，作ON⊥AC于点N．下列结论： ①∠BOC＝120°； ②OE＝OD； ③AM＝AN； ④EM＝DN． 其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 22．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，BF是中线，AE与BF相交于O，（∠C＞∠ABC）以下结论正确的有（　　） ①∠BAD+∠ABD＝∠CAD+∠C； ②S△ABF＝S△CBF； ③∠EAD＝（∠C﹣∠ABC）； ④S△ABE：S△ACE＝AB：AC． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 23．如图，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于E，EF⊥AB，交AB于F，EG⊥AC，交AC的延长线于G，试问：BF与CG的大小如何？证明你的结论． 24．如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB＝100°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝50°． （1）求∠ACE的度数； （2）求证：AE平分∠CAF； （3）若AC+CD＝14，AB＝10，且S△ACD＝21，求△ABE的面积． 25．图1是一个平分角的仪器，其中OD＝OE，FD＝FE． （1）如图2，将仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P．AP是∠BAC的平分线吗？请判断并说明理由． （2）如图3，在（1）的条件下，过点P作PQ⊥AB于点Q，若PQ＝6，AC＝9，△ABC的面积是60，求AB的长． 26．在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD． （1）如图1，当点D是BC边的中点时，S△ABD：S△ACD＝　 　； （2）如图2，当AD平分∠BAC时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m、n的式子表示）； （3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E．使得AD＝DE，连接BE，若AC＝3，AB＝5，S△BDE＝10，求S△ABC的值． 27．已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC＝180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E． （1）如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC＝DC； （2）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系； （3）如图3，在（2）的条件下，若∠MAN＝60°，连接BD，作∠ABD的平分线BO交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG＝2，DF＝4，求线段DB的长． 28．在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，连接DE、CD，EF⊥CD于F，DE＝CE． （1）如图1，求证：DF＝CF； （2）如图2，若∠AED＝∠ABC，EG⊥BC于G，连接BE交CD于H，求证：∠ABE＝∠CBE； （3）如图3，在（2）的条件下，若BC＝6CG，DH＝4，求HF的长． 2.5.1等腰三角形的轴对称性 课程目标 1. 掌握等腰三角形的性质与判定； 2. 会运用等腰三角形的性质与判定进行几何综合分析。 3. 会用尺规作图找出等腰三角形。 重难点 运用等腰三角形的性质与判定进行几何综合分析。 基础巩固 1．（1）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数为 　 　． （2）一个等腰三角形一腰上的高线与另一腰所成锐角为46°，则这个等腰三角形的底角度数为 　 　． 2．（2023秋•宁南县月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，则∠1与∠2的关系是（　　） A．2∠1+∠2＝180° B．∠1＝90°﹣∠2 C．∠1＝180°﹣2∠2 D．∠1＝2∠2 3．（2024•金牛区校级开学）如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB，AC于点E，F，若AB＝5，AC＝4，则△AEF的周长是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 4．（2023秋•昌黎县期末）如图，在△ABC中，BC＝15厘米，BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长为 　 　． 5．（2024春•和平区期末）如图，△ABC中，∠B＝∠C，AD是∠BAC的角平分线，下列结论中不正确的是（　　） A．AB＝AC B．AD⊥BC C．BD＝CD D．AD＝BC 6．（2023秋•隆回县期末）如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则图中等腰三角形共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（2024春•西平县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，过点A的直线DE∥BC，∠ABC与∠ACB的平分线分别交DE于E，D，则DE的长为（　　） A．14 B．16 C．18 D．20 8．（2024•济南二模）如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（　　） A．3cm2 B．4cm2 C．4.5cm2 D．5cm2 9．（2023秋•金寨县期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE，AB＝5，BE＝3，则AC＝（　　） A．10 B．11 C．13 D．15 10．（2023秋•荆门期末）如图，△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点G，DM∥BC交∠ABC的外角平分线于点M，交AB、AC于点F、E，下列结论： ①S△ABG：S△BCG＝AB：BC； ②FD＝EC； ③EC＝EF+DG； ④． 其中正确的结论有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 11．（2024春•埇桥区校级期中）小华准备用一条长为29米的绳子围成一个等腰三角形． （1）如果腰长是底边长的2倍，那么底边长是多少？ （2）若该等腰三角形其中两条边分别为x和x+1，请直接写出底边的长． 12．（2023秋•邵阳期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，点F为AB的中点，边AC的垂直平分线交AC，CF，CB于点D，O，E，连接OB． （1）求证：△OBC为等腰三角形； （2）若∠ACF＝23°，求∠BOE的度数． 13．（2024春•秦都区校级月考）如图，直线BN平行于△ABC的边AC，延长AC到点M，∠BCM和∠CBN的角平分线交于点D，过点D作DE∥BN交BC于点E，连接AE．若AB＝AC，求证：AE⊥BC． 拓展提优 14．（2021春•江都区校级期末）等腰三角形的面积为24平方厘米，腰长8厘米．在底边上有一个动点P，则P到两腰的距离之和为（　　） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 15．（2022秋•涵江区校级期中）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，点D为AB中点，且OD⊥AB，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC＝（　　） A．108° B．126° C．144° D．无法确定 16．（2023秋•河北区校级期末）如图，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，点C也是图中小方格的顶点，并且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 17．（2023春•阜新期中）如图所示，在长方形ABCD的对称轴l上找点P，使得△PAB、△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 18．（2023秋•高港区校级月考）如图，已知线段AB和直线AC，点A在直线n上，且∠BAC≠60°，以AB为一边作等腰△ABC，且使点C在直线m上，这样的等腰三角形的个数共有 　 　个． 19．（2023秋•南京期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝20°．若某个三角形与△ABC能拼成一个等腰三角形（无重叠），则拼成的等腰三角形有（　　） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 20．（2023秋•大荔县期末）如图，在下列三角形中，若AB＝AC，则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（　　） A． B． C． D． 21．（2023秋•金华期中）如图，M，A，N是直线l上的三点，AM＝3，AN＝5，P是直线l外一点，且∠PAN＝60°，AP＝1，若动点Q从点M出发，向点N移动，移动到点N停止，在△APQ形状变化过程中，依次出现的特殊三角形是（　　） A．直角三角形—等边三角形—直角三角形—等腰三角形 B．直角三角形—等腰三角形—直角三角形—等边三角形 C．等腰三角形—直角三角形—等腰三角形—直角三角形 D．等腰三角形—直角三角形—等边三角形—直角三角形 22．（2023秋•宣恩县期中）如图，∠AOB＝60°，C是BO延长线上一点，OC＝12cm，动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝　 　s时，△POQ是等腰三角形． 23．（2024春•东营区校级期末）如图，△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，下面四个结论：①∠AFE＝∠AEF；②AD垂直平分EF；③EF一定平行BC；④＝；其中正确的是（　　） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 24．（2024春•滕州市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点M在CA的延长线上，MN⊥BC于点N，交AB于点O，若AO＝3，BO＝4，则MC的长度为（　　） A．12 B．9 C．10 D．11 25．（2022秋•启东市期中）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为AC边上一点，过点A作AH⊥BD交BD延长线于点H，若满足BD＝2AH，那么∠ADB的度数为（　　） A．100 B．105° C．112.5° D．135° 26．（2023•海曙区校级三模）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过点D作DE∥AC，交AB于E，若AB＝5，则线段DE的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 27．（2023秋•金山区校级月考）在△ABC中，∠BAC＝126°，AD⊥BC于D，且AB+BD＝DC，那么∠C的度数是 　 　． 28．（2023秋•安康期末）如图，在△ABC中，AH⊥BC，BF平分∠ABC，BE⊥BF，EF∥BC，下列结论中：①AH⊥EF，②∠ABF＝∠EFB，③∠E＝∠ABE，④AF＝BE．正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 29．（2022秋•启东市期中）如图，在锐角△ABC中，∠A＝30°，BC＝3，S△ABC＝8，点P是边BC上的一动点，点P关于直线AB，AC的对称点分别是M，N，连接MN，则MN的最小值为 　 　． 30．（2023秋•昌黎县期末）乐乐在学习中遇到了这样的问题： 如图所示的三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝6，将△ABC沿某一条直线剪开，使其变成两个三角形，且要求其中的一个三角形是等腰三角形，你有几种方法呢？ 经过思考，乐乐发现要想沿一条直线把三角形分割成两个三角形，这条直线需要经过三角形的某个定点，请你帮助乐乐写出当这条直线经过点A时，剪出的等腰三角形的面积是 　 　． 31．（2020秋•富阳区期中）如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P13P14＝P14A，则∠A的度数是（　　） A．14 B．13 C．12 D．11 32．（2023•泰州）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，射线CP从射线CA开始绕点C逆时针旋转α角（0°＜α＜75°），与射线AB相交于点D，将△ACD沿射线CP翻折至△A′CD处，射线CA′与射线AB相交于点E．若△A′DE是等腰三角形，则∠α的度数为 　 　． 33．（2020秋•秦淮区校级期中）在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，交AC于D，AE⊥BD，垂足为E．求证：AC＝2BE． 34．（2023秋•沂水县期末）已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A． （1）如图1，试说明CD＝CB的理由； （2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F． ①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由； ②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数． 35．（2023秋•秦安县校级期末）如图1，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作BC平行线交AB、AC于D、E． （1）请写出图1中线段BD，CE，DE之间的数量关系？并说明理由． （2）如图2，△ABC若∠ABC的平分线与△ABC的外角平分线交于O，过点O作BC平行线交AB于D，交AC于E．那么BD，CE，DE之间存在什么数量关系？并证明这种关系． 36．（2023秋•关岭县期末）综合与实践，问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知△ABC中AB＝AC，∠B＝30°．将△ABC从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到△ADE（点D，E分别是点B，C的对应点），旋转角为α（0°＜α＜100°，设线段AD与BC相交于点M，线段DE分别交BC，AC于点O，N． 特例分析：（1）如图2，当旋转到AD⊥BC时，求旋转角α的度数为 　 　； 探究规律：（2）如图3，在△ABC绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段AM始终等于线段AN，请你证明这一结论． 拓展延伸：（3）①直接写出当△DOM是等腰三角形时旋转角α的度数． ②在图3中，作直线BD，CE交于点P，直接写出当△PDE是直角三角形时旋转角α的度数． 37．（2022秋•如皋市期中）定义：一个内角等于另一个内角两倍的三角形，叫做“倍角三角形”． （1）下列三角形一定是“倍角三角形”的有 　 　（只填写序号）． ①顶角是30°的等腰三角形； ②等腰直角三角形； ③有一个角是30°的直角三角形． （2）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC≥90°，将△ABC沿边AB所在的直线翻折180°得到△ABD，延长DA到点E，连接BE． ①若BC＝BE，求证：△ABE是“倍角三角形”； ②点P在线段AE上，连接BP．若∠C＝30°，BP分△ABE所得的两三角形中，一个是等腰三角形，一个是“倍角三角形”，请直接写出∠E的度数． 2.5.2等边三角形的轴对称性 课程目标 1. 掌握等边三角形的性质与判定； 2. 会运用等边三角形的性质与判定进行几何综合分析。 重难点 会运用等边三角形的性质与判定进行几何综合分析。 基础巩固 1．（2023秋•岳阳楼区期末）下列说法错误的是（　　） A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 B．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等 C．等腰三角形的角平分线，中线，高相互重合 D．三个角都相等的三角形是等边三角形． 2．（2023秋•永州期末）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画出射线OB，则∠AOB＝（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 3．（2024•松原模拟）如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，与BC交于点E，分别以点E和点C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线AP交BC于点D．若∠B＝45°，∠C＝2∠CAD，则∠BAE的度数为（　　） A．15° B．25° C．30° D．35° 4．（2024春•海阳市期末）一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（　　） A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里 5．（2024•枣庄一模）在同一平面内，将一副直角三角板ABC和EDF如图放置（∠C＝60°，∠F＝45°），其中直角顶点D是BC的中点，点A在DE上，则∠CGF＝　 　°． 6．（2023秋•潜山市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点B，C，D，E在同一直线上，点F在AC上，且CF＝CD，DF＝DE，若∠E＝15°，则∠A＝　 　． 7．（2023秋•和林格尔县校级月考）如图，把一张长方形纸条ABCD沿A折叠，使D落在D′处，若∠ABD＝30°，AD′∥DB，则∠DAF＝（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 8．（2022秋•交口县期末）如图，已知△ABC是等边三角形，D是BC边上的一个动点（异于点B、C），过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，连接FD，FE．当点D在BC边上移动时，有下列三个结论：①△DEF一定为等腰三角形；②△CFG一定为等边三角形；③△FDC可能为等腰三角形．其中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．（2023秋•武威期末）如图，在△ADB中，∠ADB＝60°，DC平分∠ADB，交AB于点C，且DC⊥AB，过C作CE∥DA交DB于点E，连接AE． （1）求证：△ADB是等边三角形． （2）求证：AE⊥DB． 10．（2022春•沭阳县期末）如图，线段OA与射线OB垂直，点P是射线OB上一动点（与O点不重合），∠OAP的平分线与∠APO的平分线交于点E，与△APO的外角∠OPD的平分线交于点F． （1）求∠AEP的大小； （2）当点P在射线OB上运动时，△EPF的形状是否变化？若变化，请写出它的变化规律；若不变，请写出它的形状，并说明理由． 拓展提优 11．（2023春•渠县校级期中）如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P，Q两点都停止运动，设运动的时间为t s，当t＝　 　时，△BPQ为等边三角形． 12．（2023秋•川汇区期末）如图，点P在∠MON内，点P关于OM，ON的对称点分别为E，F，若EF＝OP，则∠MON的度数是（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 13．（2023秋•石狮市期末）如图，已知△ABC与△CDE都是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，AD与BE相交于点G，BE与AC相交于点F，AD与CE相交于点H，连接FH．给出下列结论：①△ACD≌△BCE；②∠AGB＝60°；③BF＝AH；④△CFH是等边三角形．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 14．（2022秋•卧龙区校级期末）已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AB＝AO+AP．其中正确的是（　　） A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①②③④ 15．（2023春•宁波期末）如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在BC延长线上，且EB＝EF，若BD＝4，BF＝8，则线段DE的长为 　 　． 16．（2023秋•黔东南州期末）已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC． （1）【特殊情况，探索结论】 如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE 　 　DB（填“＞”、“＜”或“＝”）． （2）【特例启发，解答题目】 如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE 　 　DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）． （3）【拓展结论，设计新题】 在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）． 17．（2023秋•田家庵区期中）如图所示，△ABC和△ACD都是边长为4厘米等边三角形，两个动点P，Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度沿A→C→B的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿A→B→C→D的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q运动的时间为t秒． （1）点P、Q从出发到相遇所用时间是 　 　秒； （2）当t取何值时，△APQ也是等边三角形？请说明理由； （3）当0＜t＜2时，判断PQ与AC的位置关系． 18．（2022秋•鄱阳县期末）动点问题是数学学习中常见的问题，解决此类问题的关键是动中求静，运用分类讨论及数形结合的思想灵活解决问题．如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，点P在线段BA上从点B出发向点A运动（点P不与点A重合），点P运动的速度为2cm/s；点Q在线段CB上从点C出发向点B运动（点Q不与点B重合），点Q运动的速度为3cm/s，设点P，Q同时运动，运动时间为t s． （1）在点P，Q运动过程中，经过几秒时△PBQ为等边三角形？ （2）在点P，Q运动过程中，若某时刻△PBQ为直角三角形，请计算运动时间t． 19．（2023秋•九龙坡区校级期中）如图1，△ABC为等边三角形，点D为BC的中点，连接AD，AE平分∠DAC，交BC于点E，点F在△ABC外，连接 FE，BF，AF，满足BF∥AC，∠AFB＝∠AEC． （1）求∠FAE的度数； （2）如图2，点G是AC上一点，连接EG，GF，GF与AE交于点K．若AK＝EK，求证：CG＝2CE． 20．（2011秋•金州区校级期末）（1）如图1，已知∠EOF＝120°，OM平分∠EOF，A是OM上一点，∠BAC＝60°，且与OF、OE分别相交于点B、C，求证：AB＝AC； （2）如图2，在如上的（1）中，当∠BAC绕点A逆时针旋转使得点B落在OF的反向延长线上时，（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由； （3）如图3，已知∠AOC＝∠BOC＝∠BAC＝60°，求证：①△ABC是等边三角形； ②OC＝OA+OB． 2.5.3斜边上的中线的性质+含30°角的直角三角形 斜边上的中线的性质 1．（2024春•北京期末）如图，一根木棍斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（　　） A．变小 B．不变 C．变大 D．无法判断 2．（2024•肥西县一模）如图，△ABC中∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，线段DE的两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝4，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为（　　） A．2 B．3 C．3.5 D．4 3．（2024春•东昌府区期末）在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E为对角线AC的中点，∠BCA＝43°，∠ACD＝25°，连接BD，BE，DE，则∠BDE＝（　　） A．25° B．22° C．30° D．32° 4．（2024•商南县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，点E在BC上，且CE＝AC，∠BAE＝15°，则∠CDE的大小为（　　） A．70° B．75° C．80° D．85° 5．（2023秋•钱塘区期末）如图，已知AD⊥BD，AC⊥BC，E为AB中点，∠ACD+∠BAC＝70°，则∠DEC的度数为（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 6．（2021秋•玄武区期中）如图，四边形ABCD中，∠ABD＝∠ACD＝90°，P是边AD的中点．若BC＝3，AD＝8，则△BPC的周长为 　 　． 7．如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为 　 　． 8．如图，在△ABC中，∠A＝34°．分别以点A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧分别相交于点M、N，直线MN与AC相交于点E．过点C作CD⊥AB，垂足为点D，CD与BE相交于点F．若BD＝CE，则∠BFC的度数为（　　） A．102° B．107° C．108° D．124° 9．（2022•黔西南州）在如图所示的Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，D是斜边AB的中点，把纸片沿着CD折叠，点B到点E的位置，连接AE．若AE∥DC，∠B＝α，则∠EAC等于（　　） A．α B．90°﹣α C．α D．90°﹣2α 10．（2012秋•三门县校级期末）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，则△ADC≌△BOC，连接OD． （1）求证：△COD是等边三角形； （2）当α＝120°时，试判断AD与OC的位置关系，并说明理由； （3）探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？ 11．（1）如图1，P是∠AOB内部任意一点，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别是M、N，D是OP的中点，连接DM、DN．求证：∠MDN＝2∠MON． （2）如图2，在△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是边BC的中点．连接DM、ME，试判断∠DME与∠A之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，将图2的锐角△ABC变为钝角△ABC，其余条件不变，直接写出∠DME与∠BAC之间的数量关系． 含30°角的直角三角形 12．（2024春•潮阳区校级月考）如图，在△ABC中，已知BA＝BC，∠B＝120°，AB的垂直平分线DE交AC于点D．若AC＝6cm，则AD＝（　　）cm． A．2 B．3 C．4 D．2.8 13．（2023秋•渝中区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D是AB上一点，且BD＝CD＝6，∠DBC＝15°，则△BCD的面积为（　　） A．9 B．12 C．18 D．6 14．（2024春•泰山区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝24，点D在BA的延长线上，CA＝CD，BD＝15，则AD的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 15．（2024•镇远县校级二模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝11，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为（　　） A．4.5 B．5 C．5.5 D．6 16．（2024春•南昌期末）若一个三角形中一个角的度数是另一个角的度数的3倍，则称这样的三角形为“和谐三角形”．例如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“和谐三角形”，如图，直角三角形ABC中，∠CAB＝90°，∠ABC＝60°，D是边CB上一动点．当△ADC是“和谐三角形”时，∠DAB的度数是 　 　． 17．（2024•岳阳楼区校级开学）如图，∠ABC＝60°，AB＝8，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，设点P的运动时间为t秒（t＞0），当△ABP为锐角三角形时，t的取值范围是 　 　． 18．（2023秋•武威期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是（　　） A．6 B．8 C．10 D．13 19．（2024春•沈阳月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，适当长为半径作弧，在边AB，AC上截取AD，AE；然后分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在∠CAB内交于点F；作射线AF交BC于点G．若BG＝2，P为边AB上一动点，则GP的最小值为（　　） A． B．1 C．2 D．无法确定 20．（2023秋•包河区期末）如图，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，DE⊥AB于点E，EF⊥BC于点F．若CD＝3AE，CF＝6，则AC的长为 　 　． 21．（2022秋•路桥区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于点D，AB的垂直平分线分别交AB，AD于点E，F，若AF＝2，则AC的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 1 学科网（北京）股份有限公司 $$