第四章 实数课件 2024-2025学年鲁教版（五四制）数学七年级上册

鲁教版 七年级上 第四章　实数 1　无理数 练点1　无理数 1. 下列各正方形的边长不是有理数的是(　C　) A. 面积为25的正方形 B. 面积为16的正方形 C. 面积为8的正方形 D. 面积为1.44的正方形 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础题 返回 2. 数π，0，－ ，1.5中，为无理数的是(　A　) A. π B. 0 C. － D. 1.5 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础题 返回 练点2　无理数的估算 3. 一个正方体形状的水晶砖的体积为100 cm3，则它的棱长 在(　B　) A. 3 cm与4 cm之间 B. 4 cm与5 cm之间 C. 5 cm与6 cm之间 D. 7 cm与8 cm之间 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础题 返回 4. [新视角 身份的数学]一个高为2米、宽为1米的大门，对角 线的长大约是 米(精确到0.1). 2.2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础题 返回 【点拨】 大门的高、宽、对角线构成直角三角形.在该直角三角形 中，直角边长分别为1米、2米，设斜边长为 a 米，则 a2＝ 12＋22＝5. 因为22＜ a2＜32，所以2＜ a ＜3. 又因为2.22＜ a2＜2.32，所以2.2＜ a ＜2.3. 又因为2.232＜ a2＜2.242，所以2.23＜ a ＜2.24， 所以 a ≈2.2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础题 返回 5. [2023·潍坊潍城区期中]如图，校园里有一块面积为33 m2的 正方形草坪，请你估计这块草坪的边长(精确到0.1 m). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础题 返回 【解】设正方形草坪的边长为 x m，则 x2＝33. 因为52＝25，62＝36，所以5＜ x ＜6. 因为5.72＝32.49，5.82＝33.64， 所以5.7＜ x ＜5.8. 因为5.742＝32.947 6，5.752＝33.062 5， 所以5.74＜ x ＜5.75. 答：估计这块草坪的边长为5.7 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础题 返回 练点3　网格图中的无理数 6. [母题 教材P87习题T3] 在如图所示的正方形网格中，每个 小正方形的边长均为1，则在△ ABC 中，边长为无理数的 边数为(　C　) C A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础题 返回 纠易错　因对有理数与无理数的定义理解不透彻导致错误 7. [2023·泰安泰山区期末]下列8个数：－8，2.7，－2， ，0. ，0，3 ，0.808 008 000 8…(每相邻两个8之间逐次增加 一个0)，其中无理数的个数为(　C　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础题 返回 8. [2023·济宁曲阜市期中]把2个面积为5的正方形纸片沿着对 角线剪开，拼成如图所示的一个大正方形纸片，那么大正 方形纸片的边长在(　C　) A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 C 【点拨】 由题意知大正方形纸片的面积为5＋5＝10. 因为32＜10＜42，所以大正方形纸片的边长在3和4之间. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合应用题 返回 9. 下列各数中，是介于3和π之间的无理数的是(　A　) A. B. 3.15 C. 3.1 D. π－0.15 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合应用题 返回 10. [2024·烟台招远市期末]把下列各数填入相应的集合里： 0.236， ， － ， 0， ， －22， 2 023，－0.303 003 000 3…(每相邻两个3之间0的个数逐次加1). 正数集合：{0.236， ， ，2 023，…}； 负数集合：{－ ，－22，－0.303 003 000 3…(每相邻两个 3之间0的个数逐次加1)，…}； 0.236， ， ，2 023， － ，－22，－0.303 003 000 3…(每相邻两个 3之间0的个数逐次加1)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合应用题 返回 有理数集合：{0.236， ，0， ，－22，2 023，…}； 无理数集合：{－ ，－0.303 003 000 3…(每相邻两个3之 间0的个数逐次加1)，…}. 0.236， ，0， ，－22，2 023， － ，－0.303 003 000 3…(每相邻两个3之 间0的个数逐次加1)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合应用题 返回 11. 若一个正方形的面积增加9 cm2，则与边长为4 cm的正方 形的面积相等，求原正方形的面积，并判断其边长是有 理数还是无理数. 【解】原正方形的面积是42－9＝7(cm2)，因为没有有理 数的平方为7，所以原正方形的边长是无理数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合应用题 返回 12. [新考向 数学文化] 如图①是第七届国际数学教育大会(简 称ICME－7)的会徽，会徽的主体图案是由如图②的一连 串直角三角形演化而成的，其中 OA1＝ A1 A2＝ A2 A3＝… ＝ A7 A8＝1.如果把图②中的直角三角形继续作下去，那 么 OA1， OA2， OA3，…， OA25这些线段中有多少条线段 的长度为无理数？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合应用题 返回 【解】由题意可得 OA1＝1， ( OA2)2＝12＋12＝2，( OA3)2＝2＋12＝3， ( OA4)2＝3＋12＝4，( OA5)2＝4＋12＝5，…， 所以线段长度为有理数的是 OA1＝1， OA4＝2， OA9＝ 3， OA16＝4， OA25＝5，所以这些线段中长度为无理数 的有25－5＝20(条). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合应用题 返回 13. 已知面积为15π的圆的半径为 x ，请回答下列问题： (1) x 是有理数吗？请说明理由. 【解】 x 不是有理数. 理由如下：因为找不到一个有理数的平方为15， 所以 x 不是有理数，而是无理数. (2) x 的整数部分是多少？ 【解】因为9＜15＜16，所以3＜ x ＜4， 所以 x 的整数部分是3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合应用题 返回 (3)把 x 的值精确到0.1约是多少？ 【解】设圆的面积为 S ，则 S ＝π x2＝15π，所以 x2＝ 15. 当3＜ x ＜4时，9＜ x2＜16； 当3.8＜ x ＜3.9时，14.44＜ x2＜15.21； 当3.87＜ x ＜3.88时，14.976 9＜ x2＜15.054 4. 所以把 x 的值精确到0.1约是3.9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合应用题 返回 14. 如图，在棱长为4 cm的正方体箱子中，想放入一根细长 的玻璃棒，则这根玻璃棒的最大长度可能是多少？你能 估算出来吗？(结果精确到0.1 cm) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 创新拓展题 返回 【解】最大长度为正方体的体对角线长. 由题意知 BC2＝ BD2＋ CD2＝42＋42＝32， 所以 AC2＝ AB2＋ BC2＝42＋32＝48. 因为6.932≈48.025，6.922≈47.886， 所以6.92 cm＜ AC ＜6.93 cm. 所以 AC ≈6.9 cm. 故这根玻璃棒的最大长度约为6.9 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 创新拓展题 返回 15. [新视角 结论开放题] 如图，在正方形网格中，每个小正 方形的边长均为1.已知点 C ，请你按要求设计△ ABC ， 使∠ ACB ＝90°， AC ＝ BC . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 创新拓展题 返回 (1) AB 的长为无理数， AC ， BC 的长均为有理数； 【解】(答案不唯一)如图①. (2) AB 的长为有理数， AC ， BC 的长均为无理数； 【解】(答案不唯一)如图②. (3)三边的长均为无理数. 【解】(答案不唯一) 如图③. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 创新拓展题 返回 $$鲁教版 七年级上 第四章　实数 2　平方根 第1课时　算术平方根 练点1　算术平方根的定义 1. [2023·金昌]9的算术平方根是(　C　) A. ±3 B. ±9 C. 3 D. －3 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 基础题 返回 ④算术平方根不可能是负数. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 2. 下列说法，其中不正确的有(　D　) ①任何数都有算术平方根； ②一个数的算术平方根一定是正数； ③ a2的算术平方根是 a ； D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 基础题 返回 3. [2023·宿迁]计算： ＝ ⁠. 4. 求下面各数的算术平方根： (1)0.64； (2)1 ； 【解】(1)因为0.82＝0.64，所以 ＝0.8. (2)因为 ＝ ＝1 ，所以 ＝ . 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 基础题 返回 (3) ； (4)｜－5｜. 【解】(3)因为 ＝ ，所以 ＝ . (4)因为( )2＝｜－5｜，所以 ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 基础题 返回 练点2　算术平方根的运用 5. [新视角 动手操作题] 如图甲，每个小正方形的边长均为 1，将阴影部分①，②，③重新拼接成如图乙所示的正方 形，那么重新拼接成的正方形的边长为(　C　) A. B. 2 C. D. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 基础题 返回 6. 已知一个正方体的表面积为24 dm2，则这个正方体的棱长 为(　C　) A. dm B. dm C. 2 dm D. 4 dm 【点拨】 设正方体的棱长为 x ( x ＞0) dm， 根据题意，得6 x2＝24，解得 x ＝± ＝±2.因为 x ＞0， 所以 x ＜2，所以这个正方体的棱长为2 dm. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 基础题 返回 7. [2023·滨州]一块面积为5 m2的正方形桌布，其边长为 ⁠ ⁠. 【点拨】 设正方形桌布的边长为 a m( a ＞0)， 则 a2＝5，那么 a ＝ ， 即正方形桌布的边长为 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 基础题 返回 纠易错　在求带根号的数的算术平方根时，忽略根号而出错 8. [新考法 过程辨析法] 求 的算术平方根. 解：因为 ＝ ， 所以 的算术平方根是 . 上面的解答正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 基础题 返回 【解】不正确.正确的解答过程如下： 因为 ＝ ， 的算术平方根为 ， 所以 的算术平方根为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 基础题 返回 9. [2023·泰安期末]两个连续自然数，前一个数的算术平方根 是 x ，则后一个数的算术平方根是(　D　) A. x ＋1 B. x2＋1 C. D. 【点拨】 因为前一个自然数的算术平方根是 x ，所以前一个自然数 是 x2，则后一个自然数是 x2＋1，所以后一个自然数的算 术平方根是 . D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 综合应用题 返回 10. [新考法·程序计算法2023·济南市中区月考] 如图是一个无 理数生成器的工作流程图，则下面说法正确的是(　D　) A. 输入值 x 为16时，输出值 y 为4 B. 输入任意整数，都能输出一个无理数 C. 输出值 y 为 时，输入值 x 为9 D. 存在正整数 x ，输入 x 后该生成 器一直运行，但始终不能输出 y 值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 综合应用题 返回 A. 输入值 x 为16时， ＝4， ＝2，所以输出 y ＝ ，故A说法错误；B. 当 x ＝0时，始终不能输出 y 值.因 为0的算术平方根是0，一定是有理数，故B说法错误；C. x 的值不唯一. x ＝3或 x ＝9或 x ＝81等均满足输出 y 为 ，故C说法错误；D. 当 x ＝1时，始终不能输出 y 值.因 为1的算术平方根是1，一定是有理数，故D说法正确. 【点拨】 【答案】D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 综合应用题 返回 11. [2024·济南期末]已知数 x ， y 满足｜ x －3｜＋ ＝ 0，则代数式( y － x )2 024的值为(　A　) A. 1 B. －1 C. 2 024 D. －2 024 【点拨】 由题意，得 x －3＝0， y －2＝0， 解得 x ＝3， y ＝2.所以原式＝(2－3)2 024＝1. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 综合应用题 返回 12. [新视角 规律探究题] 将实数按如图方式进行有规律排 列，则第19行的第37个数是(　A　) A. 19 B. －19 C. D. － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 综合应用题 返回 观察发现，第 n 行有(2 n －1)个数，且每行最后一个数的 绝对值等于行数，奇数行的最后一个为正，偶数行的最 后一个为负， 所以第19行有2×19－1＝37(个)数， 所以第19行的第37个数是19. 【点拨】 【答案】A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 综合应用题 返回 13. [2024·枣庄台儿庄区期中]若 为整数， x 为正整 数，则 x 的值是 ⁠. 【点拨】 因为 为整数， x 为正整数，所以 ＝0或1或 2.当 ＝0时， x ＝8， 当 ＝1时， x ＝7，当 ＝2时， x ＝4. 综上， x 的值是4或7或8. 4或7或8　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 综合应用题 返回 14. [2023·泰安期末]如图，正方体每个侧面的面积为2，用经 过 A ， B ， C 三个顶点的平面去截该正方体，则所得截 面的周长是 ⁠. 6　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 综合应用题 返回 因为正方体每个侧面的面积为2， 所以正方体的棱长为 ，所以每个侧面正方形的对角线 长为( )2＋( )2＝2， 所以所得的截面的周长是2×3＝6. 【点拨】 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 综合应用题 返回 15. [2024·德州期末]有一块面积为79 cm2的正方形纸片，小明 想用这块纸片沿着边的方向裁出一块面积为54 cm2的长 方形纸片，使它的长、宽之比为3∶2，他的这一想法能 不能实现？答： (填“能”或“不能”). 【点拨】 设长方形的长、宽分别为3 x cm，2 x cm，由题意可得3 x ·2 x ＝54， 解得 x ＝3或 x ＝－3(舍去)，所以长方形的长为9 cm. 因为9＞ ，所以不能. 不能　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 综合应用题 返回 16. [母题 教材P106习题T4] 如图，正方形网格中的每个小正 方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点.画一个三 角形，使这个三角形的顶点都在格点上，且该三角形的 面积为3，有一边长为 . 【解】答案不唯一，如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 综合应用题 返回 17. 已知2 a ＋1的算术平方根是3，5 a ＋2 b －2的算术平方根 是4，求7 a －8 b 的算术平方根. 【解】因为2 a ＋1的算术平方根是3，5 a ＋2 b －2的算术 平方根是4， 所以2 a ＋1＝9，5 a ＋2 b －2＝16， 解得 a ＝4， b ＝－1，所以7 a －8 b ＝7×4－8×(－1)＝ 36. 因为36的算术平方根为 ＝6， 所以7 a －8 b 的算术平方根是6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 综合应用题 返回 18. [新视角 归纳猜想题] 在草稿纸上计算：① ； ② ；③ ；④ .观 察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的 值： ＝ ⁠. 406　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 创新拓展题 返回 【点拨】 因为① ＝1，② ＝3＝1＋2，③ ＝6＝1＋2＋3， ④ ＝10＝1＋2＋3＋4， 所以 ＝1＋2＋3＋4＋…＋28＝ 406. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 创新拓展题 返回 19. “欲穷千里目，更上一层楼”说的是站得高看得远.如 图，若观测点的高度为 h ，观测者视线能达到的最远距 离为 d ，则 d ＝ ，其中 R 是地球的半径(通常取 R ＝ 6 400 km).小丽站在海边一块岩石上，眼睛离海平面的高 度 h 为20 m，她观测到远处一艘船刚露 出海平面，求此时船与小丽眼睛间的距 离. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 创新拓展题 返回 【解】由 R ＝6 400 km， h ＝20 m＝0.02 km，得 d ＝ ＝ ＝ ＝16(km). 答：此时船与小丽眼睛间的距离为16 km. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 创新拓展题 返回 $$鲁教版 七年级上 第四章　实数 2　平方根 第2课时　平方根 练点1　平方根与开平方运算 1.144的平方根是±12的数学表达式是(　C　) A. ＝12 B. ＝±12 C. ± ＝±12 D. ± ＝12 2. [2023·济南章丘区月考]如果 a2＝16，那么 a 等于(　D　) A. 4 B. －4 C. 16 D. ±4 C D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 基础题 返回 3. 求下列各数的平方根： (1)225； (2) ； 【解】(1)因为(±15)2＝225，所以225的平方根是±15. (2)因为 ＝ ， ＝ ， 所以 的平方根是± . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 基础题 返回 (3) ； (4)0.003 6. 【解】(3)因为 ＝ ， 所以 的平方根是±1 . (4)因为(±0.06)2＝0.003 6，所以0.003 6的平方根是 ±0.06. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 基础题 返回 练点2　平方根的性质 4. 以下各数中，没有平方根的是(　D　) A. 64 B. (－2)2 C. 0 D. －22 【点拨】 －22＝－4，负数没有平方根. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 基础题 返回 其中正确的有(　B　) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【点拨】 0的平方根是0，所以①不正确；正数的正的平方根是它的 算术平方根，所以②不正确；因为任何数的平方都是非负 数，所以负数没有平方根，所以③正确. B 5. 给出下列说法： ①一个数的平方根一定有两个； ②一个正数的平方根一定是它的算术平方根； ③负数没有平方根. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 基础题 返回 6. 平方根是它本身的数是 ⁠. 0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 基础题 返回 练点3　( )2与 的性质 7. [母题 教材P94习题T4] 数6不能写成的形式是(　C　) A. B. C. － D. ( )2 【点拨】 － ＝－6. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 基础题 返回 纠易错　因混淆平方根与算术平方根的概念而出错 8. 下列说法不正确的是(　D　) A. 21的平方根是± B. 是21的一个平方根 C. 是21的算术平方根 D. 21的平方根是 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 基础题 返回 9. [2023·滨州期末]下列判断： ①0.25的平方根是0.5； ②只有正数才有平方根； ③－7是－49的平方根； ④ 的平方根是± . 正确的有(　A　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 综合应用题 返回 ①0.25的平方根是±0.5，错误； ②并非只有正数才有平方根，0也有平方根，错误； ③－7不是－49的平方根，负数没有平方根，错误； ④ 的平方根是± ，正确. 故正确的有1个. 【点拨】 【答案】A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 综合应用题 返回 10. [2023·青岛城阳区期中]若 x ＋4是4的一个平方根，则 x 的 值为(　B　) A. －2 B. －2或－6 C. －6 D. ±2 【点拨】 因为 x ＋4是4的一个平方根， 所以 x ＋4＝2或 x ＋4＝－2， 所以 x ＝－2或－6. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 综合应用题 返回 11. [2023·济南济阳区月考]一个正数的两个平方根分别是2 a －5和－ a ＋1，则这个正数为(　D　) A. 4 B. 16 C. 3 D. 9 【点拨】 因为一个正数的两个平方根分别是2 a －5和－ a ＋1， 所以(2 a －5)＋(－ a ＋1)＝0，解得 a ＝4， 所以2 a －5＝3，所以这个正数为32＝9. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 综合应用题 返回 12. [2023·聊城期末](－4)2的平方根是 ⁠. 【点拨】 因为(－4)2＝16，16的平方根是±4， 所以(－4)2的平方根是±4. ±4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 综合应用题 返回 13. [新考法 表格信息法] 根据下表回答问题： x 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 x2 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 x 16.6 16.7 16.8 16.9 17 x2 275.56 278.89 282.24 285.61 289 268.96的平方根是 ；若 a ， b 是表中两个相邻的 数， a ＜ ＜ b ，则 a ＋ b ＝ ⁠. ±16.4　 33.1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 综合应用题 返回 【点拨】 由题意得，268.96的平方根是±16.4. 因为272.25＜273＜275.56，所以 ＜ ＜ ，即16.5＜ ＜16.6. 所以 a ＝16.5， b ＝16.6.所以 a ＋ b ＝33.1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 综合应用题 返回 14. 若单项式－ xym＋1与 x3－ ny3是同类项，则 m ＋ n 的平方 根是 ⁠. 【点拨】 因为单项式－ x 与 x3－ ny3是同类项，所以 m ＋1＝ 3，3－ n ＝1.所以 m ＝2， n ＝2. 所以 m ＋ n ＝2＋2＝4.所以 m ＋ n 的平方根是±2. ±2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 综合应用题 返回 15. [新视角 新定义题] 规定： a ⓧ b ＝－( a － b )( a ＋ b )，例 如：2ⓧ1＝－(2－1) ×(2＋1)＝－3.若 m4＝2 025，则 m ⓧ10＝ ⁠. 【点拨】 因为 a ⓧ b ＝－( a － b )( a ＋ b )， 所以 m ⓧ10＝－( m －10)( m ＋10)＝－ m2＋100. 因为 m4＝2 025，所以 m2＝45， 所以 m ⓧ10＝－45＋100＝55. 55　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 综合应用题 返回 16. [2024·济南市中区月考]已知数 a ， b ， c 满足 b ＝ ＋4， c 的平方根等于它本身.求 a ＋ 的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 综合应用题 返回 【解】由题意可得－( a －3)2≥0，所以( a －3)2≥0， 所以 a ＝3. 把 a ＝3代入 b ＝ ＋4，得 b ＝4. 因为 c 的平方根等于它本身，所以 c ＝0. 所以 a ＋ ＝3＋ ＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 综合应用题 返回 17. [母题 教材P94习题T6] 已知2 a ＋1的平方根是±3，5 a ＋ 2 b －2的算术平方根是4，求3 a －4 b 的平方根. 【解】因为2 a ＋1的平方根是±3， 所以2 a ＋1＝9，解得 a ＝4. 因为5 a ＋2 b －2的算术平方根是4， 所以5 a ＋2 b －2＝16，即5×4＋2 b －2＝16，所以 b ＝－1. 所以3 a －4 b ＝3×4－4×(－1)＝16， 所以3 a －4 b 的平方根是±4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 综合应用题 返回 18. [新考法·阅读类比法母题·教材P94习题T7] 阅读下面 的材料： 当 a ＞0时，如 a ＝6，则｜ a ｜＝｜6｜＝6，故此时 a 的 绝对值是它本身；当 a ＝0时，｜ a ｜＝｜0｜＝0，故此 时 a 的绝对值是0；当 a ＜0时，如 a ＝－6，则｜ a ｜＝｜ －6｜＝－(－6)，故此时 a 的绝对值是它的相反数. 综上可知，｜ a ｜＝ 这种分析方法就是分类讨论思想. 解答下列问题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 创新拓展题 返回 (1)请仿照材料中的方法，分析 的情况； 【解】当 a ＞0时，如 a ＝5，则 ＝ ＝5， 故此时 ＝ a ；当 a ＝0时， ＝ ＝0； 当 a ＜0时，如 a ＝－5， 则 ＝ ＝－(－5)， 故此时 ＝－ a . 综上可知， ＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 创新拓展题 返回 (2)直接写出 与｜ a ｜的大小关系. 【解】 ＝｜ a ｜. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 创新拓展题 返回 $$鲁教版 七年级上 第四章　实数 3　立方根 练点1　立方根与开立方运算 1. [2024·烟台栖霞市期末]27的立方根是(　C　) A. －3 B. －9 C. 3 D. 9 2. 一个正方体形状的木块体积是64 cm3，则此木块的棱长 是 ⁠cm. 3. [母题 教材P96例1] 求下列各数的立方根： － ；6；－ ；0.001. C 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 基础题 返回 【解】－ ＝－ ，因为 ＝－ ，所以－ 的立 方根为 ，即 ＝ ； 因为( )3＝6，所以6的立方根为 ； － ＝－ ，因为 ＝－ ，所以－ 的立方根为－ ，即 ＝ ＝－ ；因为0.13＝0.001，所以0.001 的立方根为0.1，即 ＝0.1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 基础题 返回 练点2　立方根的性质 4. [2023·济南市中区月考]如果一个数的立方根是这个数本 身，那么这个数是(　D　) A. 1 B. ±1 C. 0，1 D. ±1或0 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 基础题 返回 5. 下列说法错误的是(　D　) A. 任何一个有理数都有立方根，而且只有一个立方根 B. 开立方与立方互为逆运算 C. － 不一定是负数 D. 一定是负数 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 基础题 返回 练点3　( )3与 的性质 6. ( a － b )3的立方根是(　B　) A. b － a B. a － b C. ±( a － b ) D. ( a － b )3 【点拨】 根据公式 ＝ a ， 得 ＝ a － b . B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 基础题 返回 7. 若 x2＝(－5)2，( )3＝－5，则 x ＋ y 的值为(　C　) A. 0 B. －10 C. 0或－10 D. 0或－10或10 【点拨】 因为 x2＝(－5)2＝25， 所以 x ＝± ＝±5.因为 ( )3＝－5， 所以 y ＝－5.所以 x ＋ y ＝5＋(－5)＝0或 x ＋ y ＝－5＋(－ 5)＝－10. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 基础题 返回 8. 求下列各式的值： (1)( )3； (2) ； 【解】(1)( )3＝－10. (2) ＝ ＝－0.6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 基础题 返回 (3) ； (4)－ . 【解】(3) ＝ ＝－ ＝－ ＝ － . (4)－ ＝－ ＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 基础题 返回 纠易错　混淆平方根与立方根 9. [2023·济宁期中] 的立方根是(　C　) A. 3 B. ±3 C. D. ± 【点拨】 因为 ＝3，3的立方根是 ，所以 的立方根是 . C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 基础题 返回 10. [2023·德州期中]若 a2＝4， b3＝－27且 ab ＜0，则 a － b 的 值为(　C　) A. －2 B. ±5 C. 5 D. －5 【点拨】 因为 a2＝4，所以 a ＝±2. 因为 b3＝－27，所以 b ＝－3. 因为 ab ＜0，所以 a ＝2， b ＝－3，则 a － b ＝5. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 综合应用题 返回 11. [新考法·程序计算法2023·临沂期中] 有一个数值转换器， 流程如图.当输入的 x 值为64时，输出的 y 值是(　B　) A. 2 B. C. ±2 D. 【点拨】 因为64的算术平方根是8，8是有理数，取8的立方根为 2，2是有理数，再取2的算术平方根为 ，是无理数， 所以输出的 y 值是 . B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 综合应用题 返回 12. [易错题] 若 x 满足 ＝ ，则 x 的值为(　C　) A. 1 B. 0 C. 0或1 D. 0或±1 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 综合应用题 返回 13. [2023·菏泽月考]已知 ＝2 x ＋1，则 x 的值为 (　D　) A. 0 B. －1 C. － D. 0或－1或－ 【点拨】 因为 ＝2 x ＋1， 所以2 x ＋1＝0或±1，所以 x ＝0或－1或－ . D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 综合应用题 返回 14. [2024·枣庄薛城区月考]若 x ＜0，则 － 等于 (　D　) A. x B. 2 x C. 0 D. －2 x 【点拨】 因为 x ＜0， 所以 － ＝－ x － x ＝－2 x . D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 综合应用题 返回 15. 若 x ＝( )3，则 ＝ ⁠. 【点拨】 因为 x ＝( )3＝－5， 所以 ＝ ＝ ＝2. 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 综合应用题 返回 16. [2024·济宁期中]若一个数3 a ＋2的立方根是5，则 a －5的 平方根为 ⁠. 【点拨】 因为3 a ＋2的立方根是5， 所以3 a ＋2＝125，解得 a ＝41， 所以 a －5＝41－5＝36.因为36的平方根是±6. 所以 a －5的平方根为±6. ±6　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 综合应用题 返回 【解】因为 x －2的平方根是±2， 所以 x －2＝4，所以 x ＝6. 因为2 x ＋ y ＋7的立方根是3， 所以2 x ＋ y ＋7＝27， 把 x 的值代入，解得 y ＝8， 所以 x2＋ y2＝100，100的算术平方根为10. 17. [2024·烟台期末]已知 x －2的平方根是±2，2 x ＋ y ＋7的 立方根是3，求 x2＋ y2的算术平方根. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 综合应用题 返回 18. [2023·青岛市南区期末]一个正方体的棱长减小1 cm，得 到的新正方体的体积是64 cm3，求原正方体的表面积. 【解】设原正方体的棱长为 a cm， 由题意，得( a －1)3＝64， 所以 a －1＝4，解得 a ＝5， 即原正方体的棱长为5 cm， 所以原正方体的表面积为5×5×6＝150(cm2)， 答：原正方体的表面积为150 cm2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 综合应用题 返回 19. [学科素养 运算能力]已知 ＝4，且( y －2 z ＋1)2＋ ＝0，求 的值. 【解】由 ＝4，得 x ＝43＝64. 由题意，得 y －2 z ＋1＝0， z －3＝0， 解得 z ＝3， y ＝5. 所以 ＝ ＝ ＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 创新拓展题 返回 20. [学科素养 运算能力]阅读下面的文字，解答问题： 我们知道 a ＋ b ＝0时， a3＋ b3＝0也成立，若将 a 看成 a3 的立方根， b 看成 b3的立方根，我们试着得出这样的结 论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为 相反数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 创新拓展题 返回 (1)试说明上面的结论； 【解】因为 a ＋ b ＝0，所以 b ＝－ a .所以 b3＝(－ a )3 ＝－ a3，所以 a3＋ b3＝ a3＋(－ a3)＝0，即若两个数的 立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 创新拓展题 返回 (2)若 与 互为相反数，求1－ 的值； 【解】因为 与 互为相反数， 所以1－2 x 与3 x －5也互为相反数， 所以1－2 x ＋3 x －5＝0，解得 x ＝4. 所以1－ ＝1－ ＝1－2＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 创新拓展题 返回 【解】因为 ＋ ＝0， 所以 与 互为相反数. 所以1－2 x 与3 y －5也互为相反数. 所以1－2 x ＋3 y －5＝0. 即2 x ＋4＝3 y . 因为 y ≠0，所以 ＝ ＝3. (3)若 ＋ ＝0，且 y ≠0，求 的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 创新拓展题 返回 $$鲁教版 七年级上 第四章　实数 4　估算 练点1　方根的估算 1. [2023·徐州] 的值介于(　D　) A. 25与30之间 B. 30与35之间 C. 35与40之间 D. 40与45之间 【点拨】 因为1 600＜2 023＜2 025， 所以 ＜ ＜ ， 即40＜ ＜45. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 基础题 返回 2. [新视角 结论开放题] 写出一个比－ 大且比 小的整 数： ⁠. 【点拨】 因为1＜2＜4， 所以1＜ ＜2，所以－2＜－ ＜－1， 所以比－ 大且比 小的整数有－1，0，1. －1(或0或1)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 基础题 返回 练点2　比较无理数的大小 3. [2023·扬州]已知 a ＝ ， b ＝2， c ＝ ，则 a ， b ， c 的 大小关系是(　C　) A. b ＞ a ＞　 c B. a ＞ c ＞ b C. a ＞ b ＞ c D. b ＞ c ＞ a 【点拨】 因为3＜4＜5， 所以 ＜ ＜ ，即 ＜2＜ ，所以 a ＞ b ＞ c . C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 基础题 返回 4. [母题·教材P100习题T6 2023·济南槐荫区月考] 比较大小： .(填“＞”“＜”或“＝”) 【点拨】 因为2＜ ＜3，所以3＜ ＋1＜4， 所以 ＞ . ＞　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 基础题 返回 5. 比较下列各数的大小. (1) －3与－ ； 【解】因为 ＜ ＝2.5，所以 －3＜2.5－3 ＝－0.5.因为 ＜ ＝1.5， 所以－ ＞－ ＝－0.5，所以 －3＜－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 基础题 返回 【解】因为( )6＝[( )3]2＝(－26)2＝676， (－ )6＝[( )2]3＝113＝1 331，676＜1 331，所以( )6＜ (－ )6，所以｜ ｜＜｜－ ｜，又因为 ＜0，－ ＜0，所以 ＞－ . (2) 与－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 基础题 返回 6. [2023·济宁兖州区期末]下列整数，在 与 之间的是 (　D　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【点拨】 由于5＜ ＜6，而6＜ ＜7，所以在 与 之 间的整数是6. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 综合应用题 返回 7. [新视角·规律探究题2023·枣庄滕州市开学] 对于整数 n ， 定义[ ]为不大于 的最大整数，例如：[ ]＝1， [ ]＝2，[ ]＝2.对72进行如下操作：72 [ ] ＝8 [ ]＝2 [ ]＝1，即对72进行3次操作 后变为1，若对整数 m 进行3次操作后变为2，则 m 的最大 值为(　C　) A. 80 B. 6 400 C. 6 560 D. 6 561 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 综合应用题 返回 【点拨】 因为[ ]＝80，[ ]＝8， [ ]＝2，所以对6 560进行3次操作后变为2. 因为[ ]＝81，[ ]＝9，[ ]＝3， 所以进行3次操作后变为2的所有整数中，最大的是6 560， 所以 m 的最大值为6 560. 【答案】C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 综合应用题 返回 8. [母题 教材P100习题T2]已知 a ＝ ， b ＝ ， c ＝ ，则 a ， b ， c 的大小关系是(　C　) A. a ＞ b ＞ c B. c ＞ b ＞ a C. b ＞ a ＞ c D. a ＞ c ＞ b 【点拨】 因为 a ＝ ， b ＝ ＝ ， c ＝ ， 2 ＞ ＞1，所以 b ＞ a ＞ c . C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 综合应用题 返回 9. 我们知道 是一个无限不循环小数，因此 的小数 部分我们不可能全部写出来.聪明的小丽认为 的整 数部分为1， 与其整数部分的差就是 的小数部 分，所以用 －1来表示 的小数部分，请根据小丽 的方法完成下列问题： (1) 的整数部分为 ，小数部分为 　 －5　； 5　 －5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 综合应用题 返回 (2)已知 的整数部分为 a ，8－ 的整数部分为 b ，则 a ＋ b 的立方根为 ⁠. 【点拨】 因为9＜10＜16， 所以3＜ ＜4.所以 a ＝3. 因为4＜5＜9，所以2＜ ＜3. 所以－3＜－ ＜－2. 所以5＜8－ ＜6.所以 b ＝5.所以 a ＋ b ＝3＋5＝8. 所以 a ＋ b 的立方根为2. 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 综合应用题 返回 10. [学科素养·抽象能力2023·青岛市北区月卡] 在一次活动课 中，虹烨同学用一根绳子围成一个长、宽之比为3∶1， 面积为75 cm2的长方形. (1)求长方形的长和宽. 【解】根据题意，设长方形的长为3 x cm，宽为 x cm，则3 x · x ＝75，即 x2＝25. 因为 x ＞0，所以 x ＝5.所以3 x ＝15. 答：长方形的长为15 cm，宽为5 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 创新拓展题 返回 (2)她用另一根绳子围成一个正方形，且正方形的面积等 于原来围成的长方形面积，她说：“围成的正方形的 边长与原来长方形的宽之差大于3 cm.”请你判断她的 说法是否正确，并说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 创新拓展题 返回 【解】她的说法正确.理由：设正方形的边长为 y cm， 根据题意，得 y2＝75. 因为 y ＞0，所以 y ＝ . 因为原来长方形的宽为5 cm，所以正方形的边长与长 方形的宽之差为( －5) cm. 因为 ＜ ＜ ，即8＜ ＜9， 所以3＜ －5＜4，所以她的说法正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 创新拓展题 返回 $$鲁教版 七年级上 第四章　实数 5　用计算器开方 练点1　用计算器开方 1. 利用科学计算器求 的值，正确的按键顺序为 (　D　) A. B. C. D. D 1 2 3 4 5 6 7 基础题 返回 2. 用计算器计算，若按键顺序为 ，则相应的算式是(　C　) A. ×5－0×5÷2＝ B. ( ×5－0×5)÷2＝ C. －0.5÷2＝ D. ( －0.5)÷2＝ C 1 2 3 4 5 6 7 基础题 返回 3. 用科学计算器计算，按键顺序为 ，则显示的结果为(　D　) A. 8 B. 4 C. 0.5 D. 0.25 D 1 2 3 4 5 6 7 基础题 返回 练点2　用计算器比较方根的大小 4. 用计算器比较大小： .(填“＞”“＜”或 “＝”) 【点拨】 因为 ≈2.449， ≈2.466， 而2.449＜2.466，所以 ＜ . ＜　 1 2 3 4 5 6 7 基础题 返回 5. 利用计算器，比较下列各组数的大小： (1) 与 ； (2) 与 . 【解】(1) ≈4.24， ≈3.27. 因为4.24＞3.27，所以 ＞ . (2) ≈0.615， ≈0.725. 因为0.615＜0.725，所以 ＜ . 1 2 3 4 5 6 7 基础题 返回 6. [新趋势跨学科]在做浮力实验时，小华用一根细线将一正 方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，溢出水 的体积为40 cm3，小华又将铁块从烧杯中提起，量得烧杯 中的水位下降了0.6 cm.请问烧杯内部的底面半径和铁块的 棱长各是多少？(用计算器计算，结果精确到0.01 cm) 1 2 3 4 5 6 7 综合应用题 返回 【解】设铁块的棱长为 a cm. 根据题意，得 a3＝40，解得 a ≈3.42. 设烧杯内部的底面半径为 r cm. 根据题意，得π r2×0.6＝40，解得 r ≈4.61. 答：烧杯内部的底面半径约为4.61 cm，铁块的棱长约为 3.42 cm. 1 2 3 4 5 6 7 综合应用题 返回 7. [新视角 规律探究题] 用计算器求值并回答问题： (1) ＝ ， ＝ ， ＝ ⁠. (2) ＝ ， ＝ ， ＝ ⁠. (3)根据上述结果你发现了什么规律？ 13　 1.3　 0.13　 13　 1.3　 0.13　 1 2 3 4 5 6 7 创新拓展题 返回 【解】规律：求一个正数的算术平方根时，如果被开 方数的小数点向左(或右)移动两位，那么它的算术平方 根的小数点就向左(或右)移动一位；求一个数的立方根 时，如果被开方数的小数点向左(或右)移动三位，那么 它的立方根的小数点就向左(或右)移动一位. 1 2 3 4 5 6 7 创新拓展题 返回 (4)根据你发现的规律填空：若 ≈3.873， ≈12.25， ≈3.936， ≈8.481，则 ≈ ， ≈ ⁠. 1.225　 0.393 6　 1 2 3 4 5 6 7 创新拓展题 返回 $$鲁教版 七年级上 第四章　实数 6　实数 微专题4> 实数与数轴 例 用直尺和圆规在如图所示的数轴上作出表示 的点. 【解】如图所示： 微专题4 方法点拨：任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之， 数轴上的任意一个点都表示一个实数.数轴上的任一点表示的 数，不是有理数，就是无理数.在数轴上找表示无理数的点， 一般是借助勾股定理，找到所求的无理数是直角边长为哪两 个有理数的直角三角形的斜边长. 微专题4 变式一　变在数轴上表示无理数为比较实数的大小 1. 如图，若四个实数在数轴上的对应点分别为 M ， N ， P ， Q ，则下列实数中，绝对值最大的是(　A　) A. 点 P 表示的数 B. 点 Q 表示的数 C. 点 M 表示的数 D. 点 N 表示的数 A 1 2 3 4 微专题4 变式二　变尺规为利用正方形，在数轴上作表示无理数的点 2. 如图所示，以数轴上的单位长度为边长作一个正方形，以 表示数1的点为圆心、正方形的对角线长为半径画弧，交 数轴于点 A ，则点 A 表示的数是(　B　) A. － B. 1－ C. －1＋ D. －1－ 1 2 3 4 微专题4 【点拨】 因为正方形的边长为1， 所以其对角线长为 ＝ ， 所以点 A 表示的数是1－ . 【答案】B 1 2 3 4 微专题4 变式三　变为利用圆，在数轴上作表示无理数的点 3. 如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点 A 与数轴上 表示－1的点重合.将圆沿数轴滚动1周，点 A 到达点 B 的位 置，则点 B 表示的数是(　D　) A. π－1 B. －π－1 C. －π＋1 D. π－1或－π－1 1 2 3 4 微专题4 【点拨】 因为圆的直径为1个单位长度，所以该圆的周长为π，所以 将圆沿数轴向左滚动1周时，点 B 表示的数是－π－1；将 圆沿数轴向右滚动1周时，点 B 表示的数是π－1. 【答案】D 1 2 3 4 微专题4 变式四　变为关于正方体，在数轴上作表示无理数的点 4. 如图①，这是一个由27个同样大小的立方体组成的三阶魔 方，体积为27. (1)求出这个魔方的棱长. 【解】 ＝3. 答：这个魔方的棱长为3. 1 2 3 4 微专题4 (2)图中阴影部分是一个正方形 ABCD ，求出阴影部分的面 积及其边长. 【解】因为魔方的棱长为3.所以小立方体的棱长为1， 所以阴影部分的面积为3×3－ ×2×1×4＝5， 所以其边长为 . 答：阴影部分的面积是5，边长是 . 1 2 3 4 微专题4 (3)如图②，把图①中的正方形 ABCD 放到数轴上，使得点 A 与－1重合，那么点 D 在数轴上表示的数为 ⁠ ⁠. －1－ 　 【点拨】 由(2)知 AD ＝ ， 所以点 D 在数轴上表示的数为－1－ . 1 2 3 4 微专题4 $$鲁教版 七年级上 第四章　实数 6　实数 第1课时　实数及其性质 练点1　实数及其分类 1. [2023·荆州]在实数－1， ， ，3.14中，无理数是(　B　) A. －1 B. C. D. 3.14 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础题 返回 2. [母题·教材P106习题T12023·青岛城阳区 期中] 把下列各数 填入相应的集合内：0， ，－ ， ，－ ， ， ，3.101 1，0.373 773 777 3…(相邻两个3之间7的个数 逐次加1). (1)整数集合：{0， ， ，…}； (2)分数集合：{ ，－ ，3.101 1，…}； 0， ， ， ，－ ，3.101 1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础题 返回 (3)无理数集合：{－ ， ，0.373 773 777 3…(相邻两个3 之间7的个数逐次加1)，…}. 【点拨】 － ＝－ 是分数， ＝－2是整数， ＝7是 整数. － ， ，0.373 773 777 3…(相邻两个3 之间7的个数逐次加1)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础题 返回 练点2　实数的性质 3. 对于一个实数 a ，如果它的倒数不存在，那么 a 等于(　D　) A. －1 B. 1 C. 2 D. 0 4. [2023·聊城一模]实数－ 的相反数是(　A　) A. B. C. 2 D. －2 D A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础题 返回 5. [2023·青岛期末]－ 的绝对值是(　A　) A. B. － C. 5 D. －5 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础题 返回 练点3　实数与数轴上点的对应关系 6. [新考法 逐项判断题] 实数 a ， b 在数轴上的对应点的位置 如图所示，下列结论中正确的是(　C　) A. a ＜－2 B. b ＜1 C. － a ＞ b D. a ＞ b C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础题 返回 7. 如图，实数 ＋1在数轴上的对应点可能是(　D　) A. 点 A B. 点 B C. 点 C D. 点 D 【点拨】 因为1＜ ＜2，所以1＋1＜ ＋1＜2＋1，即2＜ ＋1 ＜3. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础题 返回 8. [2023·济南历城区期中]如图，点 A 所表示的数为 x ，则 x ＝(　D　) A. －1 B. －1 C. 1－ D. － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础题 返回 所以 OA ＝ OC ＝ ，所以点 A 所表示的数 x ＝－ . 【点拨】 如图，因为 OB ＝1， BC ＝1， 所以 OC ＝ ＝ ＝ ， 【答案】D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础题 返回 纠易错　因对无理数的定义理解不透彻而出错 9. [2024·济宁邹城市期中]在实数3.141 59， ， ，4. ，π， 中，有理数的个数是 ⁠. 【点拨】 有理数有3.141 59， ，4. ， ，共4个. 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础题 返回 10. [2024·济宁期中]如图，在数轴上， AB ＝ AC ， A ， B 两 点对应的实数分别是1， ，则点 C 对应的实数是(　C　) A. －1 B. 1－ C. 2－ D. －2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合应用题 返回 由题意，得 AB ＝ －1. 因为 AB ＝ AC ， 所以点 C 对应的实数是1－( －1)＝2－ . 【点拨】 【答案】C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合应用题 返回 11. －2的相反数是 　2－ 　，｜ －3｜＝ ⁠ ⁠. 2－ 　 3－ 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合应用题 返回 【点拨】 分为两种情况：①当点在表示－ 的点的左边时，表示 的数为－ －3；②当点在表示－ 的点的右边时，表 示的数为－ ＋3.综上，与表示－ 的点相距3个单位 长度的点表示的数是－ －3或－ ＋3. 12. 在数轴上，与表示－ 的点相距3个单位长度的点表示 的数是 ⁠. － －3或－ ＋3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合应用题 返回 13. 如图， O 为数轴的原点， A ， B 两点分别对应－3，3， 作腰长为4的等腰三角形 ABC ，连接 OC ，以 O 为圆心， CO 长为半径画弧交线段 OB 于点 M ，则点 M 对应的实数 为 ⁠. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合应用题 返回 【点拨】 因为△ ABC 为等腰三角形， OA ＝ OB ＝3，所以 OC ⊥ AB . 在Rt△ OBC 中，易知 BC ＝4， 所以 OC ＝ ＝ ＝ . 因为以 O 为圆心， CO 长为半径画弧交线段 OB 于点 M ， 所以 OM ＝ OC ＝ ，所以点 M 对应的数为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合应用题 返回 14. 请将如图所示的数轴上标有字母的各点与下列实数对应 起来，再把下列各数用“＞”号连接起来. ，－0.5，－ ， ，π，3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合应用题 返回 【解】点 A 表示的数是－0.5，点 B 表示的数是 ，点 C 表示的数是 ，点 D 表示的数是3，点 E 表示的数是π， 点 F 表示的数是－ . 把各数用“＞”号连接起来为π＞3＞ ＞ ＞－0.5＞ － . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合应用题 返回 15. [新视角 动手操作题] 利用如图4×4的方格(每个小正方形 的边长都为1)，作出面积为8的正方形，然后在数轴上表 示 和－ . 【解】如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合应用题 返回 16. [新视角 新定义题] 已知数轴上两点 A ， B ，其中 A 表示 的数为－2， B 表示的数为2， AB 表示 A ， B 两点之间的 距离.若在数轴上存在一点 C ，使得 AC ＋ BC ＝ n ，则称 点 C 为点 A ， B 的“ n 节点”.如图所示，若点 C 表示的 数为0，有 AC ＋ BC ＝2＋2＝4，则称点 C 为点 A ， B 的 “4节点”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 创新拓展题 返回 (1)若点 C 为点 A ， B 的“ n 节点”，且点 C 在数轴上表 示的数为－3，则 n ＝ ⁠； 6　 (2)若点 D 为点 A ， B 的“4 节点”，请求点 D 在数轴 上表示的数. 【解】设点 D 表示的数为 x ，则｜ x ＋2｜＋｜ x －2｜＝4 ，解得 x ＝±2 . 故点 D 表示的数为±2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 创新拓展题 返回 $$鲁教版 七年级上 第四章　实数 6　实数 第2课时　实数的运算及大小比较 练点1　实数的运算 1. 下列整数中，与12－ 最接近的是(　A　) A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【点拨】 12－ ≈12－4.123＝7.877，故选A. 2. 计算：(1)[2023·枣庄]( －1)0＋ ＝ ⁠. (2)[2023·威海]( －1)0＋ － ＝ ⁠. A 3　 8　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 基础题 返回 3. [新视角·新定义题2023·济南天桥区期中] 对于任意不相等 的两个数 a ， b ，定义一种运算如下： a ※ b ＝ ，如 3※2＝ ，那么6※3＝ ⁠. 【点拨】 6※3＝ ＝ ＝1. 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 基础题 返回 练点2　比较实数的大小 4. [2023·潍坊]在实数1，－1，0， 中，最大的数是(　D　) A. 1 B. －1 C. 0 D. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 基础题 返回 5. [2023·济南历城区二模]在实数0，－2，－ ，－3中，最 小的数是(　D　) A. 0 B. －2 C. － D. －3 【点拨】 因为｜－2｜＝2，｜－ ｜＝ ，｜－3｜＝3， 3＞ ＞2，所以－3＜－ ＜－2， 所以在实数0，－2，－ ，－3中， －3＜－ ＜－2＜0，所以最小的数是－3. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 基础题 返回 6. [母题 教材P107习题T2] 比较大小. (1) 与6； 【解】因为35＜36， 所以 ＜ ，即 ＜6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 基础题 返回 【解】(2)(2－ )－( －1)＝2－ － ＋1＝3－2 . 因为2＜2.25，所以 ＜ ，即 ＜1.5， 所以2 ＜3，所以3－2 ＞0， 即(2－ )－( －1)＞0， 所以2－ ＞ －1. (2)2－ 与 －1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 基础题 返回 7. [2023·舟山]下面四个数中，比1小的正无理数是(　A　) A. B. － C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 B. － 是负数，则B不符合题意； C. 是分数，不是无理数，则C不符合题意； D. 因为π＞3，所以 ＞1，则D不符合题意. 【点拨】 A. 因为9＞6，所以3＞ ， 即1＞ ， 是正无理数，则A符合题意； 【答案】A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 8. [2023·东营月考]在－ ，－ ，－ ，－ 这四个数 中，最小的数是(　C　) A. － B. － C. － D. － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 － ≈－1.73，－ ≈－1.57. 因为｜－1.73｜＞｜－1.67｜＞｜－1.57｜＞｜－1.41｜， 所以｜－ ｜＞ ＞ ＞｜－ ｜， 所以－ ＜－ ＜－ ＜－ ，所以－ 最小. 【点拨】 － ≈－1.67，－ ≈－1.41， 【答案】C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 9. [情境题 游戏活动型]淇淇和嘉嘉想玩个数学游戏，他们的 对话内容如图所示，下列选项错误的是(　D　) A. 4＋4－ ＝6 B. 4＋40＋40＝6 C. 4＋ ＝6 D. 4－1÷ ＋4＝6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 【点拨】 A. 4＋4－ ＝4＋4－2＝6； B. 4＋40＋40＝4＋1＋1＝6； C. 4＋ ＝4＋2＝6； D. 4－1÷ ＋4＝ × ＋4＝4 ，原式计算错误. 【答案】D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 10. [新视角·新定义题2023·济南济阳区月考] 现规定一种运 算： a ※ b ＝ ab ＋ a － b ，其中 a ， b 为实数，则 ※ 等于(　B　) A. －6 B. －2 C. 2 D. 6 【点拨】 ※ ＝4※(－2)＝4×(－2)＋4－(－2)＝－8＋4＋ 2＝－2. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 11. 计算： ＋2 0240－｜1－ ｜＝ ⁠. 【点拨】 ＋2 0240－｜1－ ｜＝ ＋1－( －1)＝ ＋1 － ＋1＝2. 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 12. 计算： (1) ＋ ＋｜1－ ｜； 【解】原式＝4－3＋ －1＝ . (2)－12＋ ＋｜ －3｜＋ ； 【解】原式＝－1－2＋3－ ＋ ＝0. (3) ＋ ＋｜2－ ｜＋｜3－ ｜； 【解】原式＝9－3＋ －2＋3－ ＝7. (4) －(π－2)0＋｜ －2｜＋ . 【解】原式＝3－1＋2－ ＋ ＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 13. [荣德原创题]求 的整数部分和小数部分的解题过程如 下：因为 ＜ ＜ ，即2＜ ＜3，所以 的整数 部分为2，小数部分为 －2. 请你阅读上述解题过程后解决下面的问题： (1)规定用符号[ m ]表示实数 m 的整数部分，例如 ＝ 0，[ ]＝2，按此规定，[ ＋1]的值为 ⁠； 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 (2)若 的整数部分为 a ，小数部分为 b ，且｜ c ｜＝ ，求 c ( a － b )－4( c －2)的值. 【解】(2)因为 ＜ ＜ ，即2＜ ＜3， 所以 a ＝2， b ＝ －2. 所以 a － b ＝2－( －2)＝4－ . 因为｜ c ｜＝ ，所以 c ＝± . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 当 c ＝ 时， c ( a － b )－4( c －2)＝ ×(4－ )－ 4×( －2)＝4 －7－4 ＋8＝1； 当 c ＝－ 时， c ( a － b )－4( c －2)＝－ ×(4－ )－4×(－ －2)＝－4 ＋7＋4 ＋8＝15. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 14. [新考法 阅读类比法]数学课上，老师出了一道题：比较 与 的大小. 小华的方法是： 因为 ＞4，所以 －2 2， 所以 .(填“＞”或“＜”)； 小英的方法是： ＞　 ＞　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 创新拓展题 返回 － ＝ ， 因为19＞42＝16，所以 －4 0， 所以 0， 所以 .(填“＞”或“＜”). (1)请将小华和小英的方法补充完整； ＞　 ＞　 ＞　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 创新拓展题 返回 (2)请从小华和小英的方法中选择一种，比较 与 的 大小. 【解】(2)选择小华的方法： 因为 ＜3，所以 －1＜2. 所以 ＜ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 创新拓展题 返回 选择小英的方法： － ＝ ， 因为6＜9，所以 ＜3. 所以 －3＜0.所以 ＜0. 所以 ＜ . (选择一种即可) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 创新拓展题 返回 $$