专题02 不等式及基本不等式（10大基础题+3大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期中真题分类汇编（安徽专用）

专题02 不等式及基本不等式 判断不等式是否成立、比较大小 1．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知a，b为非零实数，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·安徽合肥·期中）对于实数a，b，c，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（23-24高一上·安徽池州·期中）若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·安徽滁州·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·安徽六安·期中）对于实数，，有下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，，则，.其中真命题的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 6．（23-24高二上·安徽亳州·期中）（多选）已知，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 不等式性质求代数式的范围 7．（22-23高一上·安徽六安·期中）若，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高二下·安徽宿州·期中）设，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（22-23高一上·安徽滁州·期中）（多选）已知，，则下列正确的有（    ） A． B． C． D． 10．（19-20高一下·安徽六安·期中）已知二次函数的图象过原点，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．（21-22高一上·安徽合肥·期中）已知，，则的取值范围为 ． 比较和证明不等式 12．（21-22高一下·安徽·期中）已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 13．（20-21高一上·安徽亳州·期中）若时，则与 的大小关系是（    ） A． B． C． D． 14．（19-20高一下·安徽黄山·期中）设，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 15．（21-22高一上·安徽芜湖·期中）（多选）甲、乙两名同学同时从教室步行到学校食堂就餐（路程相等），甲前一半时间步行速度是，后一半时间步行速度是；乙前一半路程步行速度是，后一半路程步行速度是，则（    ） A．如果，则两人同时到食堂 B．如果，则甲先到食堂 C．如果，则甲先到食堂 D．如果，则乙先到食堂 16．（23-24高一上·安徽·期中）已知实数a，b，c满足，且，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 17．（20-21高一上·安徽六安·期中）设，试比较与的大小． 基本不等式概念及应用 18．（22-23高一下·安徽六安·期中）若，则（    ） A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值2 D．有最大值2 19．（23-24高一上·安徽池州·期中）下列函数中最小值为4的是（    ） A． B．当时， C．当时， D． 20．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）（多选）已知，下列最小值为4的函数是（    ） A． B． C． D． 21．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）（多选）下面命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 22．（20-21高一上·安徽六安·期中）下列命题中错误的是（ ） A．当时， B．当时，的最小值为2 C．当时， D．当时， “积定”求和最小值，“和定”求积最大值 23．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D．8 24．（19-20高三上·安徽滁州·期中）已知，，且，那么的最大值等于 A． B． C． D． 25．（24-25高一上·浙江·开学考试）已知，若，则的最小值是 ， 26．（21-22高一上·安徽宣城·期中）求下列函数的最值 (1)若正数，，满足，求的最小值． (2)设，求函数的最大值． 27．（23-24高一上·安徽六安·期中）当时，的最大值为 . 28．（20-21高一上·安徽安庆·期中）（1）当时，求的最大值； （2）设，求函数的最小值. 29．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知正实数满足，记的最小值为；若且满足，记的最小值为.则的值为（    ） A．30 B．32 C．34 D．36 “1”代换求最值 30．（20-21高一上·安徽合肥·期中）已知，且，，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 31．（23-24高一上·安徽合肥·期中）已知.若，求的最小值是 . 32．（23-24高三上·安徽合肥·期中）（多选）已知，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为16 B．的最小值为9 C．的最大值为2 D．的最小值为 33．（23-24高一上·安徽淮北·期中）（多选）已知正数x，y满足，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 34．（22-23高一上·安徽合肥·期中）（多选）设正实数，满足，则（    ） A．有最小值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最大值 35．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知且，则的最小值为 . 36．（21-22高一上·安徽阜阳·期中）（1）已知，求的最小值，并求取到最小值时的值； （2）设且，求证： “二次函数型”求最值 37．（20-21高一上·安徽芜湖·阶段练习）已知，则有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值3 D．最小值3 38．（20-21高二上·安徽六安·开学考试）若函数在处取最小值，则（    ） A． B．2 C．4 D．6 39．（21-22高一上·安徽宣城·阶段练习）设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 40．（21-22高一上·安徽芜湖·阶段练习）求解下列各题： （1）求的最大值； （2）求的最小值. 有条件型的求最值 41．（20-21高二下·安徽·期中）已知，，且，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 42．（22-23高一上·安徽·期中）（多选）已知，，且，则(    ) A． B．的取值可以为10 C．当且仅当，时，取得最小值16 D．当且仅当，时，取得最小值36 43．（21-22高一上·安徽合肥·期中）（多选）若，，，则（    ） A．的最大值是 B．的最小值是8 C．的最小值为 D．的最小值是4 44．（23-24高一上·安徽·期中）（多选）已知正数，满足，则下列各选项正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为8 D． 45．（22-23高一上·安徽马鞍山·期中）（多选）若正实数，满足，则下列说法中正确的是（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为2 C．的最小值为2 D．的最小值为3 46．（23-24高一上·安徽·期中）若a，b均为正实数，，则的最小值是 . 47．（21-22高一上·安徽黄山·期中）若实数a，b满足，则的最小值是 . 基本不等式解决恒成立 48．（23-24高一上·安徽六安·期中）对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 49．（20-21高一上·安徽宿州·期中）若对任意满足的正数，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 50．（23-24高三上·安徽·期中）若，，则实数的取值范围是 . 51．（21-22高一上·安徽·期中）不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是 . 52．（20-21高二上·安徽阜阳·期中）设，若恒成立，则k的最大值为 . 53．（22-23高一上·安徽六安·期中）已知关于的不等式的解集为或，当，且时，有恒成立，求的取值范围. 基本不等式的实际应用 54．（21-22高一上·安徽宣城·期中）（多选）受亚洲飞人苏炳添勇夺东京奥运百米决赛第四并破亚洲记录的影响，甲、乙、丙三名短跑运动员同时参加了一次百米赛跑，所用时间分别为，，.甲有一半的时间以速度米/秒奔跑，另一半的时间以速度米/秒奔跑；乙全程以速度米/秒奔跑；丙有一半的路程以速度米/秒奔跑，另一半的路程以速度米/秒奔跑.其中，.则下列结论中一定成立的是（） A． B． C． D． 55．（23-24高一上·安徽宿州·期中）最早发现勾股定理的人是我国西周时期的数学家商高.《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话.商高说：“…故折矩，勾广三，股修四，径隅五.”意为：当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为5.以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”，后来人们还把它推广到一般情况，即直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，这就是著名的勾股定理.据此，如果想用一段钢管加工一个面积为2平方米的直角三角形的框架，则这段钢管长度的最小值是 米. 56．（21-22高一上·安徽·期中）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米. (1)若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长为30米，求的最小值. 57．（23-24高一上·安徽安庆·期中）长丰草莓是安徽省特色水果，也是安徽省特产之一. 某长丰草莓园建有 亩大棚，头草莓采摘的平均速度约为 亩/天，采摘要求在 天内（包括7天和10天）完成，人工成本为 千元/天，此外，头茬草莓采摘期间固定成本为 千元/天. （提示：采摘成本 人工成本 固定成本） (1)将头茬草莓采摘成本 （千元）表示为采摘的平均速度 （亩/天）的函数，并写出这个函数的定义域； (2)为了使头茬草莓采摘成本最低，采摘的平均速度约为每天多少亩？并求出最低成本. 58．（23-24高一上·安徽池州·期中）某地区为积极推进生态文明建设，决定利用该地特有条件将该地区打造成“生态水果特色地区”.经调研发现：某珍惜果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入元.已知这种水果的市场售价大约20元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为（单位：元） (1)写单株利润（元）关于施用肥料（千克）的关系式； (2)当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？ 59．（23-24高一上·安徽·期中）某快递公司为降低新冠肺炎疫情带来的经济影响，引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本.已知购买x台机器人的总成本为（单位：万元）. (1)应买多少台机器人，可使每台机器人的平均成本最低； (2)现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m人将物件放在机器人上，机器人将物件送达指定分拣处.经过实验知，每台机器人日平均分拣量为（单位：件）.求引进机器人后，日平均分拣量的最大值. 不等式的实际应用及证明 60．（22-23高一上·安徽马鞍山·期中）购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱一定.假设连续购买两天该物品，第一天物品的价格为，第二天物品的价格为，且，则以下选项正确的为（    ） A．第一种方式购买物品的单价为 B． C．第一种购买方式所用单价更低 D．第二种购买方式所用单价更低 61．（23-24高一上·安徽·期中）“关于的方程有实数解”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 62．（23-24高一上·安徽淮北·期中）某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单位为y元，现有两种购买方案： 方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为; 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为． （其中） (1)试问哪种购买方案花费更少？请说明理由； (2)若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）． 63．（23-24高一上·安徽宿州·期中）已知，，均为正实数. (1)若，试比较与的大小； (2)求证：. 64．（23-24高一上·安徽池州·期中）（1）已知，，且，证明：； （2）若a，b，c是三角形的三边，证明：. 基本不等式（消元、齐次式、统一结构等）求最值 65．（22-23高一上·安徽马鞍山·期中）设，，且，则（    ） A．有最小值为 B．有最小值为6 C．有最小值为 D．有最小值为7 66．（20-21高一上·安徽合肥·期中）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 67．（21-22高一上·安徽池州·期中）（多选）已知正数m，n满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为2 C．的最小值为2 D．的最小值为2 68．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知且满足，若不等式恒成立，记的最小值为，则的最小值为 . 69．（22-23高一上·安徽芜湖·期中）已知x，y都是正数，且满足，则的最小值为 ． 70．（20-21高三上·安徽合肥·期中）如图，边长为的正方形被剖分为9个矩形，这些矩形的面积如图所示，则的最小值是 . 71．（20-21高一上·安徽芜湖·期中）已知函数(ab>1)的值域为[0，+∞)，则的最小值为 . 72．（20-21高一上·安徽安庆·期中）已知实数，，且 (1)当时，求的最小值，并指出取最小值时的值； (2)当时，求的最小值，并指出取最小值时的值. 不等式和基本不等式新定义 73．（21-22高一上·安徽.期中）（多选）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．而今我们称为正数a，b的算术平均数，为正数a，b的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式．下列与基本不等式有关的命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则的最小值为 C．若，则 D．若实数a，b满足，则的最小值为2 74．（22-23高三上·安徽合肥·期中）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（       ） A． B． C． D． 75．（23-24高一上·安徽滁州·期中）（多选）十六世纪中叶，英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 76．（23-24高三上·安徽亳州·期中）（多选）十六世纪中叶，英国数学家哈利奥特用“”“”表示不等号，并逐渐被数学界所接受，不等号的引入对不等式发展影响深远.若某同学从一楼到五楼原路往返的速度分别为和，记两速度的算术平均值为，全程的平均速度为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 不等式及基本不等式 判断不等式是否成立、比较大小 1．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知a，b为非零实数，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对ABD举反例即可判断，对C利用作差法即可判断. 【详解】对A，当时，不等式不成立，所以A不正确； 对B，当时，满足，但，所以B不正确； 对C，因为，因为，且，可得，所以，所以C正确； 对D，举例，则，则，所以D不正确. 故选：C. 2．（23-24高一上·安徽合肥·期中）对于实数a，b，c，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】由不等式的性质对选项一一判断即可得出答案. 【详解】若，，则，故A错误； 若，则，故B错误； 因为，所以，即，故C正确； 因为，所以，所以，故D错误． 故选：C. 3．（23-24高一上·安徽池州·期中）若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质应用作差法逐个判断即可. 【详解】对于A：，，A错误； 对于B：， 所以当时，当时， 当时，B错误； 对于C：， 所以，C正确； 对于D：，所以，D错误， 故选：C 4．（23-24高一上·安徽滁州·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质计算可以判断B选项，赋值法可以判断A,C,D选项. 【详解】令A选项错误； ，根据不等式的性质可得，所以，B选项正确, C选项错误； ,D选项错误. 故选：B. 5．（23-24高一上·安徽六安·期中）对于实数，，有下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，，则，.其中真命题的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】根据不等式性质判断各命题的真假即可. 【详解】对于①：若，当时，，此时不成立，假命题； 对于②：若，可知，则有，真命题； 对于③：若，则，真命题； 对于④：由得，即，因为，所以，所以， 又，所以，真命题； 综上，真命题的个数是3. 故选：A 6．（23-24高二上·安徽亳州·期中）已知，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用不等式的性质及特值法判断即可. 【详解】由题意可知，所以，A正确， 因为，，所以，B正确； 因为，取，则，此时，故C不正确； 因为，所以，所以D正确． 故选：ABD. 不等式性质求代数式的范围 7．（22-23高一上·安徽六安·期中）若，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，求出的值，然后利用不等式的性质可求出的取值范围. 【详解】令，则， 所以，解得， 所以， 因为，， 所以，， 所以， 即， 所以， 故选：B. 8．（22-23高二下·安徽宿州·期中）设，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质求解即可. 【详解】，所以， 则， 故选：. 9．（22-23高一上·安徽滁州·期中）已知，，则下列正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据不等式的性质逐项分析即得. 【详解】由，可得，又，所以，故A正确； 由，可得，又，所以，故B错误； 由，可得，又，所以，故C正确； 因为，又，所以，故D错误. 故选：AC. 10．（19-20高一下·安徽六安·期中）已知二次函数的图象过原点，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设二次函数为：，令，解出，则，利用，和不等式的性质可得结果. 【详解】因为二次函数的图像过原点，所以设二次函数为：， 因为，， 所以，， 令，，则，， 联立，解得，， 所以， 由，得， 即. 故选：B. 【点睛】本题考查了利用不等式的性质求取值范围，解题关键是整体换元，化为关于的不等式，利用不等式的性质解题，属于中档题. 11．（21-22高一上·安徽合肥·期中）已知，，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】求得，利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】，且，，则， 所以，. 因此，的取值范围为. 故答案为：. 比较和证明不等式 12．（21-22高一下·安徽·期中）已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】作差可得x-y的表达式，根据题意，分析可得x-y的正负，即可得答案. 【详解】， 因为，所以， 又，所以，即. 故选：B 13．（20-21高一上·安徽亳州·期中）若时，则与 的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据x的范围，利用作差法即可比较两式的大小. 【详解】将两式作差可得， 因为，所以，即， 所以， 故选：A 14．（19-20高一下·安徽黄山·期中）设，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意计算，得到答案. 【详解】，则；，则， ，故，. 故选：B. 【点睛】本题考查了代数式的大小比较，意在考查学生的计算能力和推断能力. 15．（21-22高一上·安徽芜湖·期中）甲、乙两名同学同时从教室步行到学校食堂就餐（路程相等），甲前一半时间步行速度是，后一半时间步行速度是；乙前一半路程步行速度是，后一半路程步行速度是，则（    ） A．如果，则两人同时到食堂 B．如果，则甲先到食堂 C．如果，则甲先到食堂 D．如果，则乙先到食堂 【答案】ABC 【分析】求得两人步行到食堂的时间，利用作差比较法判断出正确选项. 【详解】设路程为， 甲用的时间为，则， 乙用的时间为，则， ， 所以，当且仅当时等号成立，所以ABC正确，D错误. 故选：ABC 16．（23-24高一上·安徽·期中）已知实数a，b，c满足，且，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将变形得到得到大小关系，对变形得到得到大小关系，从而得到答案. 【详解】因为，所以. 因为，所以. 故选：B. 17．（20-21高一上·安徽六安·期中）设，试比较与的大小． 【答案】 【分析】两式作差，可整理为，由可知，由此得到结果. 【详解】， ，，，， 即. 基本不等式概念及应用 18．（22-23高一下·安徽六安·期中）若，则（    ） A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值2 D．有最大值2 【答案】B 【分析】运用基本不等式求解即可. 【详解】因为，则， 所以，当且仅当即：时取等号. 所以，当且仅当时取等号. 故选：B. 19．（23-24高一上·安徽池州·期中）下列函数中最小值为4的是（    ） A． B．当时， C．当时， D． 【答案】B 【分析】举例说明，即可判断AC；根据基本不等式计算即可判断BD. 【详解】A：当时，，所以的最小值不为4，故A不符合题意； B：当时，，当且仅当即时，等号成立， 所以的最小值为4，故B符合题意； C：当时，，所以的最小值不为4，故C不符合题意； D：， 当且仅当即时等号成立，但无解，故D不符合题意. 故选：B. 20．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知，下列最小值为4的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用二次函数求最值判断A，根据基本不等式求解最值判断BCD. 【详解】对于，此二次函数在时取最小值，此时最小值为4， 符合题意； 对于，当且仅当即时，取最小值， 但是，所以等号取不到，所以的最小值不是4，不合题意； 对于C，， 当且仅当即时等号成立，所以的最小值为4，符合题意； 对于D，，令， 则原式化为，当且仅当即时等式成立，不满足， 等号取不到，所以的最小值不是4，不合题意. 故选：AC 21．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）下面命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】对A，B，利用不等式性质可判断；对C，利用基本不等式判断；对D，利用作差比较法判断. 【详解】对于A，，，则，即，故A正确； 对于B，，，又，所以，故B错误； 对于C，，，即，故C正确； 对于D，，，， ，，则，即，故D正确. 故选：ACD. 22．（20-21高一上·安徽六安·期中）下列命题中错误的是（ ） A．当时， B．当时，的最小值为2 C．当时， D．当时， 【答案】B 【解析】利用基本不等式可判断选项A；利用对勾函数的性质可判断选项B；利用基本不等式可判断选项C；利用基本不等式可判断选项D． 【详解】对于A，当时，，当且仅当时取等号，正确； 对于B，当时，，错误； 对于C，当时，，当且仅当，即时取等号，正确； 对于D，当时，，，当且仅当时取等号，正确； 故选：B “积定”求和最小值，“和定”求积最大值 23．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D．8 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】且，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，的最小值为8. 故选：D 24．（19-20高三上·安徽滁州·期中）已知，，且，那么的最大值等于 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】由基本不等式可得，解得， 当且仅当时，等号成立，因此，的最大值为. 故选：B. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于基础题. 25．（24-25高一上·浙江·开学考试）已知，若，则的最小值是 ， 【答案】2 【分析】由重要不等式求出最小值. 【详解】，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为2. 故答案为：2 26．（21-22高一上·安徽宣城·期中）求下列函数的最值 (1)若正数，，满足，求的最小值． (2)设，求函数的最大值． 【答案】(1)18 (2)2 【分析】第(1)小问()看做整体与()相乘后利用均值不等式展开即可;第(2)小问利用配凑法、整体法和均值不等式中的积相乘有最大值即可. 【详解】（1） =， =， =， ， =， ==18（当且仅当时等号成立）. 故最小值为18. （2） 且 ==2（当且仅当，即时取等号） 故最大值为2. 27．（23-24高一上·安徽六安·期中）当时，的最大值为 . 【答案】1 【分析】直接利用基本不等式即可求得最大值. 【详解】因为，所以，则， 所以，当且仅当即时，等号成立， 所以的最大值为1. 故答案为：1 28．（20-21高一上·安徽安庆·期中）（1）当时，求的最大值； （2）设，求函数的最小值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1），利用基本不等式即可求最值； （2）设，则，将所给的函数转化为关于的函数，再利用基本不等式求最值. 【详解】（1）， 当且仅当，即时等号成立， （2）由题意，设，则， 则， 当且仅当时，即时，即时取等号， 所以函数的最小值为. 【点 睛】 易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. “1”代换求最值 29．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知正实数满足，记的最小值为；若且满足，记的最小值为.则的值为（    ） A．30 B．32 C．34 D．36 【答案】C 【分析】由条件，利用基本不等式可求得，可得的值，又由“1”的代换可求得的最小值，可得的值，进而得解. 【详解】根据题意，∵ ，当且仅当时等号成立， 令，有 ， 解得 ，即，； ， ，当且仅当，即，时等号成立， ； 故选：C. 30．（20-21高一上·安徽合肥·期中）已知，且，，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先将进行化简得到，再将与相乘，再利用基本不等式即可求出. 【详解】解：， ， 又，， ， 当且仅当“”时取“”， 的最小值为. 故选：C. 31．（23-24高一上·安徽合肥·期中）已知.若，求的最小值是 . 【答案】 【分析】根据基本不等式乘“1”法即可求解. 【详解】由得， 由于，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故最小值为， 故答案为： 32．（23-24高三上·安徽合肥·期中）已知，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为16 B．的最小值为9 C．的最大值为2 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】由已知结合基本不等式判断A和B；结合不等式性质判断C；结合二次函数的性质判断D. 【详解】因为，所以，解得，即， 当且仅当即时，的最小值取到16，故A正确； 因为，所以，所以， 当且仅当即时取到最小值为9，故B正确； 由得， 所以， 因为，所以，故C错误； ， 令，所以上式可化为， 所以当时，上式取到最小值， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ABD 33．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知正数x，y满足，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据给定条件，利用基本不等式逐项判断即可． 【详解】由，得， 对于A，，当且仅当时取等号，解得，A错误； 对于B，， 当且仅当，即，B错误； 对于C，， 当且仅当，即时取等号，C正确； 对于D，由选项A知，，， 当且仅当，即时取等号，D正确． 故选：CD 34．（22-23高一上·安徽合肥·期中）设正实数，满足，则（    ） A．有最小值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最大值 【答案】AC 【分析】利用基本不等式和二次函数的性质逐项判断可得答案. 【详解】对于A,因为，是正实数，所以，当且仅当且，即时等号成立， 的最小值为，故A正确； 对于B,由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 的最大值为，故B不正确； 对于C,由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，所以，当且仅当时等号成立； 有最大值，故C正确； 对于D，因为，，所以，所以， 无最大值，故D不正确． 故选：AC. 35．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为且，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 36．（21-22高一上·安徽阜阳·期中）（1）已知，求的最小值，并求取到最小值时的值； （2）设且，求证： 【答案】（1）当时，有最小值7 ； （2）证明见解析 ． 【分析】（1）通过配凑，使得原式满足积为定值，然后由基本不等式可得； （2）巧用“1”，将不等式左边乘以，展开后使用基本不等式可证. 【详解】解：（1）因为，所以，由基本不等式，得 ，当且仅当， 即时，等号成立． 所以当时，有最小值7． （2）因为，由基本不等式，得 ， 当且仅当，即时，等号成立．又 由解得，所以当时，等号成立， 所以成立． “二次函数型”求最值 37．（20-21高一上·安徽芜湖·阶段练习）已知，则有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值3 D．最小值3 【答案】D 【解析】先将解析式化为，根据基本不等式，即可求出最值. 【详解】因为， ， 当且仅当，即时，等号成立， 即有最小值3. 故选：D. 【点睛】本题主要考查由基本不等式求函数的最值，属于基础题型. 38．（20-21高二上·安徽六安·开学考试）若函数在处取最小值，则（    ） A． B．2 C．4 D．6 【答案】C 【分析】由，而，利用基本不等式可求出最小值，结合等号取得的条件可求出的值. 【详解】由题意，，而，当且仅当，即时，等号成立， 所以. 故选：C. 【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 39．（21-22高一上·安徽宣城·阶段练习）设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算得出，利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】因为正实数、、满足，则， 则，当且仅当时取等号. 故的最大值为. 故选：C. 40．（21-22高一上·安徽芜湖·阶段练习）求解下列各题： （1）求的最大值； （2）求的最小值. 【答案】（1）；（2）8. 【分析】（1）因为，所以利用均值不等式即可求解； （2）因为，所以利用均值不等式即可求解. 【详解】解：（1）因为，又， 所以， 所以，当且仅当，即时取等号， 故y的最大值为； （2）由题意，， 因为，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立， 故y的最小值为8. 有条件型的求最值 41．（20-21高二下·安徽·期中）已知，，且，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】由题设，有，结合基本不等式即可最小值. 【详解】∵， ∴，当且仅当，即时取等号． ∴的最小值为4． 故选：C． 42．（22-23高一上·安徽·期中）已知，，且，则(    ) A． B．的取值可以为10 C．当且仅当，时，取得最小值16 D．当且仅当，时，取得最小值36 【答案】CD 【分析】将两边同时除以xy可得，由此可判断A；，结合基本不等式可判断B；，结合基本不等式可判断C；，结合基本不等式得到关于的不等式，由此即可判断D． 【详解】． 故，故A错误； ， 当且仅当，即x＝y＝10时等号成立，故B错误； ， 当且仅当，即，时，等号成立，故C正确； ，当且仅当，即，时等号成立，故D正确． 故选：CD． 43．（21-22高一上·安徽合肥·期中）若，，，则（    ） A．的最大值是 B．的最小值是8 C．的最小值为 D．的最小值是4 【答案】AB 【分析】利用基本不等式求出的最大值可判断A正确；利用“1”的代换可判断B错误； 由消元法以及一元二次函数的性质可判断C错误；根据基本不等式可判断D错误． 【详解】对于A， ，，当且仅当即，时等号成立，故A正确； 对于B，，当且仅当即时等号成立，故B正确； 对于C，，当且仅当时等号成立，故C错误； 对于D，，当且仅当时等号成立，而，所以等号不成立，故D错误； 故选：AB . 44．（23-24高一上·安徽·期中）已知正数，满足，则下列各选项正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为8 D． 【答案】ABC 【分析】结合基本不等式及相关结论检验各选项即可判断 【详解】对于，因为，即， 所以，当且仅当时取等号，正确； 对于B，由基本不等式得，， 所以，当且仅当时取等号，故B正确； 对于C，即，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，由可得，即，故D错误. 故选：ABC. 45．（22-23高一上·安徽马鞍山·期中）若正实数，满足，则下列说法中正确的是（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为2 C．的最小值为2 D．的最小值为3 【答案】ABC 【分析】根据进行计算然后可判断A；利用“1”的妙用及均值不等式计算可判断B；将变形为，然后结合的范围可判断C；利用将变形为，再根据二次函数的性质求最小值可判断D. 【详解】因为，当且仅当时取等号，则的最大值为1，故A正确； 因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为2，故B正确； 因为，当且仅当时取等号，的最小值为2，故C正确； 因为，当时取最小值为，故D错误． 故选：ABC. 46．（23-24高一上·安徽·期中）若a，b均为正实数，，则的最小值是 . 【答案】8 【分析】由，可化简为：，再结合基本不等式求解. 【详解】由题意得：， 当且仅当，即或时，取到等号， 故的最小值是. 故答案为：. 47．（21-22高一上·安徽黄山·期中）若实数a，b满足，则的最小值是 . 【答案】 【分析】由条件得，代入得，进而由基本不等式可得解. 【详解】由可得：， 所以. 当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 基本不等式解决恒成立 48．（23-24高一上·安徽六安·期中）对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，可算出，再将最小值代入，即可求解 【详解】不等式恒成立 ，，且 当且仅当，即时取等号 ，即 解得 故实数的取值范围是 故选：C 49．（20-21高一上·安徽宿州·期中）若对任意满足的正数，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知利用基本不等式求出，解不等式即可求解. 【详解】若对任意满足的正数，都有成立， 则， 当且仅当即时等号成立，所以， 所以，即，即，解得或， 所以实数的取值范围是， 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是由不等式恒成立转化为， 再由再利用基本不等式可以求出最值，变形很关键，最后解分式不等式需要先移项，注意分母不为，避免出错. 50．（23-24高三上·安徽·期中）若，，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题知可将式子构造为：，然后利用基本不等式从而求解. 【详解】因为，所以， 于是， 当且仅当，即时取等号，所以. 故答案为：. 51．（21-22高一上·安徽·期中）不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意得对一切恒成立，进而根据基本不等式求最值即可得答案. 【详解】解：∵对一切恒成立， ∴对一切恒成立， ∵，∴ ∴，当且仅当， 即时取等号. ∵不等式对一切恒成立， ∴. ∴实数的取值范围是 故答案为： 52．（20-21高二上·安徽阜阳·期中）设，若恒成立，则k的最大值为 . 【答案】 【分析】由基本不等式求得不等式左边的最小值即可得参数范围． 【详解】因为， 所以 当且仅当，即时等号成立． 所以． 故答案为：． 53．（22-23高一上·安徽六安·期中）已知关于的不等式的解集为或，当，且时，有恒成立，求的取值范围. 【答案】 【分析】根据不等式的解集先求出的值，再利用基本不等式中“1”的代换将恒成立等价转化成关于的一元二次不等式，解之即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为或， 所以和1是方程的两根，则有，解得：， 所以， 则 （当且仅当，也即时取等号） 因为恒成立，也即，解得：， 所以实数的取值范围为. 基本不等式的实际应用 54．（21-22高一上·安徽宣城·期中）受亚洲飞人苏炳添勇夺东京奥运百米决赛第四并破亚洲记录的影响，甲、乙、丙三名短跑运动员同时参加了一次百米赛跑，所用时间分别为，，.甲有一半的时间以速度米/秒奔跑，另一半的时间以速度米/秒奔跑；乙全程以速度米/秒奔跑；丙有一半的路程以速度米/秒奔跑，另一半的路程以速度米/秒奔跑.其中，.则下列结论中一定成立的是（） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】分别列出，，的表达式，根据基本不等式逐一判断即可． 【详解】由题意知：，所以，， ， 由基本不等式可得，所以， 所以故，当且仅且时等号全部成立. 故A选项正确，B选项错误 又由， 故易知，即C项正确； ，， 取，此时， 所以D选项不一定成立， 故选：AC． 55．（23-24高一上·安徽宿州·期中）最早发现勾股定理的人是我国西周时期的数学家商高.《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话.商高说：“…故折矩，勾广三，股修四，径隅五.”意为：当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为5.以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”，后来人们还把它推广到一般情况，即直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，这就是著名的勾股定理.据此，如果想用一段钢管加工一个面积为2平方米的直角三角形的框架，则这段钢管长度的最小值是 米. 【答案】 【分析】利用基本不等式、勾股定理求得正确答案. 【详解】设直角三角形框架的直角边为，为正实数， 则， 所以， 当且仅当时等号成立. 故答案为： 56．（21-22高一上·安徽·期中）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米. (1)若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长为30米，求的最小值. 【答案】(1)菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小 (2) 【分析】（1）利用基本不等式求解和的最小值；（2）利用基本不等式“1”的妙用求解最小值. 【详解】（1）由题意得，，所用篱笆总长为. 因为， 当且仅当时，即，时等号成立. 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小. （2）由题意得，， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是. 57．（23-24高一上·安徽安庆·期中）长丰草莓是安徽省特色水果，也是安徽省特产之一. 某长丰草莓园建有 亩大棚，头草莓采摘的平均速度约为 亩/天，采摘要求在 天内（包括7天和10天）完成，人工成本为 千元/天，此外，头茬草莓采摘期间固定成本为 千元/天. （提示：采摘成本 人工成本 固定成本） (1)将头茬草莓采摘成本 （千元）表示为采摘的平均速度 （亩/天）的函数，并写出这个函数的定义域； (2)为了使头茬草莓采摘成本最低，采摘的平均速度约为每天多少亩？并求出最低成本. 【答案】(1)，定义域为 (2)答案见解析 【分析】（1）由题知，求得函数的解析式为， 结合，求得函数的定义域； （2）由（1），结合基本不等式，根据等号成立的的条件，得到函数单调区间，因为，分类讨论即可求解. 【详解】（1）解：由题知，所求函数为 ， 又由，可得，即该函数的定义域为 . （2）解：由（1）得 当且仅当，即时取等号， 所以函数 在上单调递减，在 )递增， 又由， 所以，当，即 时，头在草莓采摘的平均速度约为50亩/天， 采摘成本最低，最低成本为 （千元）； 当，即，头茬草莓采摘的平均速度约为 /天， 采摘成本最低，最低成本为 （千元）， 当时，即时，头草莓采摘的平均速度约为 /天，采摘成本最低，最低成本为 （千元）. 58．（23-24高一上·安徽池州·期中）某地区为积极推进生态文明建设，决定利用该地特有条件将该地区打造成“生态水果特色地区”.经调研发现：某珍惜果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入元.已知这种水果的市场售价大约20元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为（单位：元） (1)写单株利润（元）关于施用肥料（千克）的关系式； (2)当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)当施用肥料4千克时，单株利润取得最大值640. 【分析】（1）利用条件用销售额减去成本表示利润即可； （2）根据二次函数的单调性及基本不等式计算即可. 【详解】（1）由题意可知：； （2）根据（1）可知： 当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 易知， 当时，， 当且仅当，即时取得等号， 综上，当施用肥料千克时，单株利润取得最大值640. 59．（23-24高一上·安徽·期中）某快递公司为降低新冠肺炎疫情带来的经济影响，引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本.已知购买x台机器人的总成本为（单位：万元）. (1)应买多少台机器人，可使每台机器人的平均成本最低； (2)现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m人将物件放在机器人上，机器人将物件送达指定分拣处.经过实验知，每台机器人日平均分拣量为（单位：件）.求引进机器人后，日平均分拣量的最大值. 【答案】(1)200台 (2)件 【分析】（1）根据题意，每台机器人的平均成本为，然后利用基本不等式求出最小值，即平均成本最低. （2）根据每台机器人日平均分拣量方程，求出每台机器人日平均分拣量的最大值，然后乘以机器人数即可得到答案. 【详解】（1）每台机器人的平均成本为 ，当且仅当，即时取等号. 因此应买200台机器人，可使每台机器人的平均成本最低. （2）当时，每台机器人日平均分拣量的最大值为450， 当时，. 当时，每台机器人的日平均分拣量的最大值为480. 因此引进200台机器人后，日平均分拣量的最大值为件. 不等式的实际应用及证明 60．（22-23高一上·安徽马鞍山·期中）购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱一定.假设连续购买两天该物品，第一天物品的价格为，第二天物品的价格为，且，则以下选项正确的为（    ） A．第一种方式购买物品的单价为 B． C．第一种购买方式所用单价更低 D．第二种购买方式所用单价更低 【答案】D 【分析】分别计算出两种不同策略的平均价格，比较两种平均价格的大小. 【详解】第一种策略：设每次购买这种物品的数量均为,则平均价格为，故A不正确； 第二种策略：设每次购买这种物品所花的钱为，第一次能购得该物品的数量为， 第二次能购得该物品的数量为，则平均价格为； ， 所以，故B错误，同时说明第二种购买方式所用单价更低； 故选：D 61．（23-24高一上·安徽·期中）“关于的方程有实数解”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据充分不必要条件的定义，结合分式函数的值域，可得答案. 【详解】有实数解有实数解在函数的值域中取值. 由， 则的值域是，选项中和是的真子集. 故选：CD. 62．（23-24高一上·安徽淮北·期中）某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单位为y元，现有两种购买方案： 方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为; 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为． （其中） (1)试问哪种购买方案花费更少？请说明理由； (2)若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）． 【答案】(1)采用方案二；理由见解析 (2)24 【分析】（1）列出两种方案的总费用的表达式，作差比较，即可求解； （2）根据题意，得到，利用换元法和基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：方案一的总费用为（元）； 方案二的总费用为（元）， 由， 因为，可得，所以， 即，所以，所以采用方案二，花费更少. （2）解：由（1）可知， 令，则， 所以，当时，即时，等号成立， 又因为，可得， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以差的最小值为，当且仅当时，等号成立， 所以两种方案花费的差值最小为24元. 63．（23-24高一上·安徽宿州·期中）已知，，均为正实数. (1)若，试比较与的大小； (2)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据不等式的性质判断出两者的大小关系. （2）利用基本不等式证得不等式成立. 【详解】（1）∵，，∴， ∴，∴， 又∵，∴， ∴，即； （2）证明：， ∴，，，∴，，， ∴，当且仅当“”时等号成立. 64．（23-24高一上·安徽池州·期中）（1）已知，，且，证明：； （2）若a，b，c是三角形的三边，证明：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）由题意可得，则，结合基本不等式计算即可证明； （2）利用作差法可得，同理可得，相加即可证明. 【详解】（1）证明：由，得， 所以， 当且仅当即，时等号成立， 所以； （2）证明：由题意知，，且， 所以， 即. 同理可得， 所以， 即证. 基本不等式（消元、齐次式、统一结构等）求最值 65．（22-23高一上·安徽马鞍山·期中）设，，且，则（    ） A．有最小值为 B．有最小值为6 C．有最小值为 D．有最小值为7 【答案】D 【分析】利用已知条件变形凑配出积为定值，然后由基本不等式求得最小值，注意使用“1”的代换． 【详解】因为，，且，， 所以， 当且仅当，即时等号成立． 所以有最小值为7. 故选：D． 66．（20-21高一上·安徽合肥·期中）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据，构造关于的项，将代入，得，令，则上式，再令，则，解得，从而，再利用基本不等式求得最值，写出的取值范围即可. 【详解】由于， 则 ， 令， 则 再令，则，解得， 所以， 由基本不等式得， 当且仅当时，即，时取等号； 所以， 所以， 故选：A. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关基本不等式的应用，解题方法如下： （1）利用换元法构造出符合基本不等式使用的关系式； （2）利用基本不等式求最值，注意等号成立的条件； （3）写出式子的范围. 67．（21-22高一上·安徽池州·期中）已知正数m，n满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为2 C．的最小值为2 D．的最小值为2 【答案】CD 【分析】由，变形，得到，A.转化为二次函数求解判断；B.利用基本不等式求解判断；C. 利用基本不等式求解判断；D.利用基本不等式求解判断. 【详解】因为，故， ，可知，故A错误； 依题意，，当且仅当时等号成立，故B错误； 因为， 当且仅当时等号成立，故C正确； 因为，故，当且仅当时等号成立，故D正确； 故选：CD. 68．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知且满足，若不等式恒成立，记的最小值为，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据题意，得到，结合，利用基本不等式求得，再由，令，，结合基本不等式，求得实数的值为，即可求解. 【详解】因为实数，且满足，可得， 又因为恒成立，即， 由 当且仅当时，等号成立， 由不等式，即， 即，解得，即， 又由， 令，原式， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以实数的值为，所以实数的最小值为. 故答案为：. 69．（22-23高一上·安徽芜湖·期中）已知x，y都是正数，且满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由已知条件得出，计算得出，利用基本不等式可求得的最小值，利用等号成立的条件可求得对应的、值. 【详解】，， 由于、是正数，则且，可得， ， 当且仅当时，等号成立，所以，的最小值为. 故答案为: 70．（20-21高三上·安徽合肥·期中）如图，边长为的正方形被剖分为9个矩形，这些矩形的面积如图所示，则的最小值是 . 【答案】2 【解析】根据矩形的面积公式化简的表示，然后分类讨论，结合基本不等式、比较法、放缩法进行求解即可. 【详解】由图示可得：， 当时，， 当且仅当时，取得等号； 当时，即有成立， 由， 可得，当且仅当时，取得等号， 综上可得，的最小值是2. 【点睛】关键点睛：本题的关键是根据之间的大小关系，利用放缩法进行求解. 71．（20-21高一上·安徽芜湖·期中）已知函数(ab>1)的值域为[0，+∞)，则的最小值为 . 【答案】 【解析】由二次函数的值域可得，进而利用代入，通过换元，可得，进而利用基本不等式可得最值. 【详解】由函数(ab>1)的值域为[0，+∞)，可得 ， 所以， 所以， 令，可得， 当且仅当即时等号成立， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是由二次函数的值域得到，进而利用换元法，可发现基本不等式的结构. 72．（20-21高一上·安徽安庆·期中）已知实数，，且 (1)当时，求的最小值，并指出取最小值时的值； (2)当时，求的最小值，并指出取最小值时的值. 【答案】(1)最小值为，此时 (2)最小值为4，此时. 【分析】（1）变形得到，利用基本不等式“1”的妙用，求出最小值及此时的值； （2）变形得到，利用得到关于，求出的最小值及此时的值. 【详解】（1）时，， 因为， 所以， 故， 当且仅当，即时，等号成立， （2）时，， 变形为，即， ， 其中， 故， 因为，解得：， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为4，此时. 不等式和基本不等式新定义 73．（21-22高一上·广西玉林·期末）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．而今我们称为正数a，b的算术平均数，为正数a，b的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式．下列与基本不等式有关的命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则的最小值为 C．若，则 D．若实数a，b满足，则的最小值为2 【答案】CD 【分析】取可判断A；构造借助均值不等式可判断B；构造借助均值不等式可判断C；令，则，借助均值不等式可判断D 【详解】对于A，若，则，A错误； 对于B，∵，∴，， ∴ （当且仅当，即时取等号），即的最小值为4，B错误； 对于C，∵，∴，，又， （当且仅当，即时取等号），C正确； 对于D，令，则，∴（当且仅当时取等号），即的最小值是2．D正确． 故选：CD 74．（22-23高三上·安徽合肥·期中）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用数形结合计算出，再在中，利用勾股定理得，再由，可得结论． 【详解】设，可得圆的半径为， 又由， 在中，可得， 因为，所以，当且仅当时取等号． 故选：D. 75．（23-24高一上·安徽滁州·期中）十六世纪中叶，英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】ABD 【分析】根据不等式的性质一一判断即可. 【详解】对于A：，，故A正确； 对于B：，又函数在上单调递增，，故B正确； 对于C：由可得，所以，，故C错误； 对于D：且，故D正确. 故选：ABD 76．（23-24高三上·安徽亳州·期中）十六世纪中叶，英国数学家哈利奥特用“”“”表示不等号，并逐渐被数学界所接受，不等号的引入对不等式发展影响深远.若某同学从一楼到五楼原路往返的速度分别为和，记两速度的算术平均值为，全程的平均速度为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用基本不等式以及不等式的性质求解. 【详解】设一楼到五楼的距离为， 由题知，A错误； 因为， 且，所以，所以，所以， 又因为，（因为，所以取不到等号），所以，B正确； 对C，因为，所以， 又因为， 所以，即，C正确； 对D，因为， 所以，即，D正确； 故选:BCD. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$