1.4.1.3用空间向量研究直线、平面的位置关系（第三课时）课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何 1.4 空间向量的应用 1.4.1 用空间向量研究直线、 平面的位置关系 (3.空间中直线、平面的垂直) 复习回顾 1.如何用空间向量表示空间中的直线与平面? (1)线 点+方向向量 (2)平面 点+法向量 复习回顾 2.上节课我们讨论了几种平行关系?用空间向量是如何解决的? (1)线线平行: (2)线面平行: (3)面面平行: l1 l2 l 新课导入 类似空间中直线、平面平行的向量表示,在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中,直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系? 直线与直线垂直,就是两直线的方向向量垂直; 直线与平面垂直,就是直线的方向向量与平面的法向量平行; 平面与平面垂直,就是两平面的法向量垂直. 新知探究 问题1 由直线与直线垂直的关系,可以得到这两条直线的方向向量有什么关系? 如图(1)所示,设直线l1, l2的方向向量分别为 则 (1) l1 l2 新知探究 问题2 由直线与平面垂直的关系,可以得到直线的方向向量与平面的法向量有什么关系?除此之外还有什么向量关系能表示这种垂直? 如图(2)所示, 设直线l的方向向量为 ,平面 的法向量为 ,则 (2) l A B C 新知探究 问题3 由平面与平面垂直的关系,可以得到这两个平面的法向量有什么关系?除此之外还有什么向量关系能表示这种垂直? 如图(3)所示, 设平面 , 的法向量分别为 则 (3) ⊂ m 典例解析——线线垂直 例1 如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是BB1, D1B1的中点,求证:EF⊥DA1. O A D C B A1 D1 C1 B1 E F 证明: 建系 点的坐标 向量的坐标 向量的 坐标运算 几何 关系 翻译 向量坐标法 基底法 典例解析——线面垂直 例2 棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分别为棱AB,BC,B1B的中点,求证:D1M⊥平面B1EF. 证明: 证明: 以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴, 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz. x y z 坐标法 典例解析——线面垂直 例2 棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分别为棱AB,BC,B1B的中点,求证:D1M⊥平面B1EF. 证明: 基底法 典例解析——线面垂直 例2 棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分别为棱AB,BC,B1B的中点,求证:D1M⊥平面B1EF. 证明: 基底法 证明: 以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴, 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz. x y z 向量坐标法 典例解析——线面垂直 例2 棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分别为棱AB,BC,B1B的中点,求证:D1M⊥平面B1EF. 证明: 典例解析——线面垂直 例2 棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分别为棱AB,BC,B1B的中点,求证:D1M⊥平面B1EF. 证明: x y z 向量坐标法 典例解析——线面垂直 例2 棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分别为棱AB,BC,B1B的中点,求证:D1M⊥平面B1EF. 证明: 以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴, 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz. x y z 向量坐标法 证明: 归纳小结 用向量法证明线面垂直的步骤 (1)利用线线垂直: ①将直线的方向向量用坐标表示; ②找出平面内两条相交直线,并用坐标表示它们的方向向量; ③判断直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量垂直. (2)利用平面的法向量: ①将直线的方向向量用坐标表示; ②求出平面的法向量; ③判断直线的方向向量与平面的法向量平行. 归纳小结 一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直转化为线面垂直,进而转化为线线垂直; 二是直接求解两个平面的法向量,由两个法向量垂直得到面面垂直. 利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径: 典例解析 例3 如图示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60 ,AB=AD=AA1=1,求证: 直线A1C⊥平面BDD1B1. A C D B C1 D1 B1 A1 分析: 证明: 基底法比坐标法更具有一般性 能力提升 分析: 方法一: 能力提升 方法一: 能力提升 方法二: 能力提升 方法二: 能力提升 典例解析 P3-2例5 证明“平面与平面垂直的判定定理”:若一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直. l 证明: 课堂小结 线线平行 线面平行 面面平行 线线垂直 线面垂直 面面垂直 巩固练习 课本P33 1. 已知 是直线l的方向向量, 是平面 的法向量. (1) 若l // ,求a, b的关系式; (2) 若l⊥ , 求a, b的值. 巩固练习 课本P33 2. 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=CC1=1,E是CD的中点,F是BC的中点,求证:平面EAD1⊥平面EFD1. A C D B C1 D1 B1 A1 F E ∴ 平面EAD1⊥平面EFD1. 证明: 详解 巩固练习 详解 巩固练习 详解 巩固练习 详解 巩固练习 因为分别为棱的中点, 所以, , 所以, 因此.同理, 又因为不共线, 所以平面 设平面的法向量为,所以, 所以,即 取,则,即, 所以平面. 因为,所以, 例4. 如图,在四棱锥中,平面,四边形是矩形, ,是的中点,点在边上移动. 求证:无论点在边上的何处,都有. 证明: 以为原点,以所在直线分别为 轴,轴,轴建立空间直角坐标系, 设,则,. 例4. 如图,在四棱锥中,平面,四边形是矩形, ,是的中点,点在边上移动. 求证:无论点在边上的何处,都有. ∵在边上,∴设, ∵,∴. ∴,. ∴无论点在边上的何处,都有 例4. 如图,在四棱锥中,平面,四边形是矩形, ,是的中点,点在边上移动. 求证:无论点在边上的何处,都有. 因为在边上,可设, 所以 所以 例4. 如图,在四棱锥中,平面,四边形是矩形, ,是的中点,点在边上移动. 求证:无论点在边上的何处,都有. = , 所以 . 所以,无论点在边上的何处,都有 例4. 如图,在四棱锥中,平面,四边形是矩形, ,是的中点,点在边上移动. 求证:无论点在边上的何处,都有. 3.如图,在正方体中,点E在BD上,且; 点F在上,且.求证:(1);(2). (1)如图建立空间直角坐标系,令正方体的棱长为, 则, 因为,,所以,, 所以,, 所以,所以 (2)由(1)可知, 所以, 所以 3.如图,在正方体中,点E在BD上,且; 点F在上,且.求证:(1);(2). 4.如图,四面体ABCD的每条棱长都等于a,M,N分别是AB,CD的中点. 求证:,. 由题意可知,三个向量两两间的夹角为, 因为M,N分别是AB,CD的中点, 所以, 则 , 所以,同理可证. 4.如图,四面体ABCD的每条棱长都等于a,M,N分别是AB,CD的中点. 求证:,. $$