高考数学真题及变式题 12导数应用小题讲义-2025届高三数学一轮复习

高考真题及变式题 12导数及应用小题 考情分析： 2024年新高考Ⅰ卷考查了导数与切线和函数最值的知识点，Ⅱ卷在大题16题的第一问中也考查到了切线及恒成立问题。近几年的新高考试题，分别考查以切线为背景求参数范围、求切线方程、求最值等知识点，同时也是高考冲刺复习的重点复习内容。 高考对导数运算的考查，重点考查导数的计算和求切线方程；切线问题注意含参数和公切线，难度一般都是较易和适中。对导数应用的考查，重点在利用导数研究函数的单调性，以及借助函数图象，研究函数的极值与最值问题。导数复习中还应关注不等式证明等问题。导数常结合函数的零点、最值等问题综合考查，比如恒成立问题等，理解划归与转化思想、分类讨论思想、函数与方程思想的应用。 可以预测2025年新高考应该会继续以切线为背景展开命题，还是主要考查导数与切线及单调性问题。 必备知识： 一．导数的运算 1.基本初等函数求导公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f ′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q，α≠0) f ′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f ′(x)＝cos x f(x)＝cos x f ′(x)＝－sin x f(x)＝ax(a>0且a≠1) f ′(x)＝axln a f(x)＝ex f ′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0且a≠1) f ′(x)＝ f(x)＝ln x f ′(x)＝ 2．导数的运算法则：若f ′(x)，g′(x)存在，则有： [cf(x)]′＝cf ′(x)； [f(x)±g(x)]′＝f ′(x)±g′(x)； [f(x)g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； ＝(g(x)≠0)； 3．复合函数的定义及其导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x， 即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 二.导数的几何意义 (1)的几何意义：表示曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，切线方程为y－f(x0)＝·(x－x0). (2)切点的两大特征：①在曲线y＝f(x)上；②在切线上. (3)注意：在研究切线问题时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外． 三.利用导数研究函数的单调性与极值最值 (一)利用导数研究函数的单调性 1.利用导数判断函数的单调性：已知函数f(x)在区间(a，b)上可导， (1)如果f ′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在(a，b)内单调递增； (2)如果f ′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在(a，b)内单调递减； (2)如果f ′(x)＝0，那么函数y＝f(x)在(a，b)内是常数函数． 注意：1．在某区间内f ′(x)>0(f ′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件． 2．(1)在函数定义域内讨论导数的符号． (2)两个或多个增(减)区间之间的连接符号，不用“∪”，可用“，”或用“和”． 2.由函数的单调性求参数的取值范围 ①若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则f ′(x)≥0(x∈M)恒成立； 若可导函数f(x)在区间M上单调递减，则f ′(x)≤0(x∈M)恒成立； ②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，f ′(x)>0(或f ′(x)<0)在该区间上存在解集； (二).利用导数研究函数的极值与最值 1.求函数的极值的一般步骤 ①确定函数的定义域； ②解方程f ′(x)＝0； ③判断f ′(x)在方程f ′(x)＝0的根x0附近两侧的符号变化： 若左正右负，则x0为极大值点； 若左负右正，则x0为极小值点； 若不变号，则x0不是极值点. 2.求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的一般步骤 ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； ②比较函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 四.导数与不等式 1.常用结论(注意：选填题可直接使用，解答题必须先证明后再使用) (1)ln x≤x－1，当且仅当x＝1时取等； (2)ex ≥ x＋1，当且仅当x＝0时取等； (3)不等式链：ex > x＋1> x > 1＋lnx > ln x (x>0，且x≠1)． (4)≤ln(x＋1)≤x，x>－1，当且仅当x＝0时取等．　 2.利用导数证明不等式f(x)>g(x)的基本方法 (1)若f(x)与g(x)的最值易求出，可直接转化为证明f(x)min>g(x)max； (2)若f(x)与g(x)的最值不易求出，可构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数h(x)的单调性或最值，证明h(x)>0. 3.构造函数证明不等式 (1)构造F(x)＝xnf(x)(n∈Z，且n≠0)类型的辅助函数 已知的是：nf(x)＋xf ′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x)； 已知的是：nxf ′(nx)＋f(nx)形式，构造函数xf(nx) 已知的是：形式，构造 特殊地：①已知的是：形式，构造 ②已知的是：构造 (2)构造F(x)＝enxf(x)(n∈Z，且n≠0)类型的辅助函数 ①已知的是：f ′(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝enxf(x)； ②已知的是：f ′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝． 特殊地：①已知的是：的形式，就构造; ②已知的是：的形式，就构造， ③已知的是：的形式，就构造; ④已知的是：的形式，就构造， (3)构造F(x)＝f(x)±g(x)，F(x)＝f(x)g(x)，F(x)＝类型的辅助函数 ①已知的是：的形式，构造F(x)＝f(x)＋axn＋b； ②已知的是：±g′(x)形式，构造函数F(x)＝f(x)±g(x)； ③已知的是：f ′(x)g(x)＋f(x)g′(x)形式，构造函数F(x)＝f(x)g(x)； ④已知的是：f ′(x)g(x)－f(x)g′(x)形式，构造函数F(x)＝． 【导数及其应用常用结论】 1.恒成立问题 (1)若函数在区间D上存在最小值和最大值，则 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； (2)若函数在区间D上不存在最大(小)值，且值域为，则 不等式在区间D上恒成立． 不等式在区间D上恒成立． 2.不等式有解问题 (1)若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； (2)若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解 不等式在区间D上有解 3.存在性问题 (1)对于任意的，总存在，使得； (2)对于任意的，总存在，使得； (3)若存在，对于任意的，使得； (4)若存在，对于任意的，使得； (5)对于任意的，使得； (6)对于任意的，使得； (7)若存在，总存在，使得 (8)若存在，总存在，使得． 题型一 导数的运算及几何意义 【真题在线】 【2024新高考Ⅰ卷T13】若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 【2024甲卷理T6文T7】设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【2022新高考Ⅰ卷T15】若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ． 【2022新高考Ⅱ卷T14】曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ． 【2021新高考Ⅰ卷T7】若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 【变式题 基础】 1.若直线与曲线相切，则 ． 2.(2024福建漳州模拟预测)曲线在处的切线方程为 ． 3.(2024湖南衡阳二模)曲线在点处的切线方程为 ． 3.若曲线与有一条斜率为2的公切线，则 . 2.函数在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 3.函数在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 4.(2024河北保定三模)曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 5.(2024云南楚雄模拟预测)曲线在点处的切线与坐标轴围成的图形的面积为 . 【变式题 巩固】 1.曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2.(2024西安三模)已知函数则在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 3.(2024海口模拟预测)已知直线是曲线的一条切线，则 . 4.曲线在点处的切线与曲线在点处的切线重合，则 ． 5.(2024贵州六盘水三模)已知曲线的一条切线方程为，则实数（　　） A． B． C．1 D．2 6.(2024昆明三模)过点可以向曲线作条切线，写出满足条件的一组有序实数对 7.已知函数（是的导函数），则曲线在处的切线方程为 ． 8.若函数，曲线在处的切线与直线平行，则 ． 9.曲线与的公切线方程为 . 【变式题 提高】 1.(2024河北保定三模)已知二次函数（且）的图象与曲线交于点P，与x轴交于点A（异于点O），若曲线在点P处的切线为l，且l与AP垂直，则a的值为（    ） A． B． C． D． 2.(2024湖南长沙二模)已知 ，，直线 与曲线 相切，则 的最小值是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 3.已知曲线：和曲线：，若存在斜率为1的直线与，同时相切，则b的取值范围是 . 4.已知是曲线在处的切线，若点到的距离为1，则实数（         ） A． B． C． D． 5.设函数，则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为（    ） A． B． C． D． 6.(2024上海三模)设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为 . 7.(2024河南模拟预测)若直线与曲线相切，则的最小值为 . 8.已知曲线和（且）存在一条过公共点的切线，则的值为 ． 9.函数，若的所有切线中斜率最小的切线方程为，则 ． 10.(2024山西模拟预测)函数，直线与相切，则 . 11.(2024贵州模拟预测)过点作曲线的切线，请写出切线的方程 . 12.已知为奇函数，且当时，，其中为自然对数的底数，则曲线在点处的切线方程为 ． 13.(2024山西临汾一模)设函数，，曲线有两条斜率为的切线，则实数的取值范围是 . 题型二 导数与函数性质 【真题在线】 【2024新高考Ⅰ卷T10】(多选题)设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【2021新高考Ⅱ卷T14】写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ． ①；②当时，；③是奇函数． 【变式题 基础】 1.(2024云南大理模拟预测)函数的最大值为 . 2.（2024辽宁鞍山二模）的极大值为 ． 3.(多选题)设函数，则（    ） A．有个极大值点 B．有个极小值点 C．是的极大值点 D．是的极小值点 4.(2024辽宁一模)已知函数在处有极值8，则等于 ． 【变式题 巩固】 1.已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有两个零点 C．点是曲线的对称中心 D．过点可作曲线的两条切线 2.(2024上海三模)若函数在上存在最小值，则实数a的取值范围是 ． 3.(2024广东模拟预测)在的极值点个数为 个． 4.(2024云南一模)在上只有一个极值点，则实数的取值范围为 . 5.(2024江苏模拟预测)已知有两个极值点，则实数的取值范围为 ． 【变式题 提高】 1.写出一个同时满足下列三个条件的函数的解析式 ． ①；②；③的导数为且． 2.写出一个同时满足下列三个性质的函数： . ①的图象在轴的右侧；②若，则；③当时，（为函数的导函数）. 3.已知函数及其导函数的定义域均为，对任意的x，，恒有，则下列说法正确的个数是 ． ①；②为奇函数；③． 4.(2024福建泉州二模)在等比数列中，是函数的两个极值点，若，则t的值为（    ） A． B． C．4 D．5 5.(2024安徽合肥三模)已知函数在上可导，其导函数为，若满足：，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 6.(2024河北衡水三模)(多选题)函数，是函数的一个极值点，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数在区间上单调递减 C．过点能作两条不同直线与相切 D．函数有5个零点 7.(2024重庆三模)(多选题)若函数既有极小值又有极大值，则（ ） A． B． C． D． 8.(2024山西太原三模)(多选题)已知是函数 的极值点，若，则下列结论 正确的是（   ） A．的对称中心为 B． C． D． 9.(2024河北三模)(多选题)已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，为奇函数，则下列结论正确的是（    ） A．关于直线对称 B．关于点对称 C． D． 10.(2024贵阳三模)函数，若的最小值恰好为0，则实数的最小值是 . 题型三 导数与函数零点 【真题在线】【2024新高考Ⅱ卷T11】(多选题)设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使为的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 【2024甲卷文T16】曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ． 【2023新高考Ⅱ卷T11】(多选题)若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 【变式题 基础】 1.若直线与函数的图象有三个交点，则实数a的取值范围是 ． 2.(多选题)已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 【变式题 巩固】 1.若函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是 ． 2.已知函数，则（    ） A．时，函数在上单调递增 B．时，若有3个零点，则实数的取值范围是 C．若直线与曲线有3个不同的交点，，，且，则 D．若存在极值点，且，其中，则 【变式题 提高】 1.已知是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A．的极大值点为 B．函数的零点个数为3 C．函数的零点个数为7 D．的解集为 2.已知函数有两个极值点．则（　　） A．的图象关于点对称 B．的极值之和为 C．，使得有三个零点 D．当时，只有一个零点 3.已知，关于的方程有且仅有一个解，则的取值范围是 ． 题型四 导数与不等式 【真题在线】 【2023新高考Ⅱ卷T6】已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 【2021新高考Ⅰ卷T15】（2021·新高考Ⅰ卷高考真题第15题）函数的最小值为 . 【变式题 基础】 1.函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为 ． 2.(2024贵州毕节模拟预测)定义在上的可导函数满足，若，则的取值范围为 ． 【变式题 巩固】 1.(2024河北沧州三模)若不等式，对于恒成立，则的最大值为 . 2.(2024河北三模)已知对任意恒成立，则实数的取值范围是 ． 【变式题 提高】 1.已知函数，点在曲线上，则的取值范围是 ． 2.(2024广西南宁一模)已知函数的最小值为，则实数的取值范围为 . 第 2 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高考真题及变式题 12导数及应用小题 考情分析： 2024年新高考Ⅰ卷考查了导数与切线和函数最值的知识点，Ⅱ卷在大题16题的第一问中也考查到了切线及恒成立问题。近几年的新高考试题，分别考查以切线为背景求参数范围、求切线方程、求最值等知识点，同时也是高考冲刺复习的重点复习内容。 高考对导数运算的考查，重点考查导数的计算和求切线方程；切线问题注意含参数和公切线，难度一般都是较易和适中。对导数应用的考查，重点在利用导数研究函数的单调性，以及借助函数图象，研究函数的极值与最值问题。导数复习中还应关注不等式证明等问题。导数常结合函数的零点、最值等问题综合考查，比如恒成立问题等，理解划归与转化思想、分类讨论思想、函数与方程思想的应用。 可以预测2025年新高考应该会继续以切线为背景展开命题，还是主要考查导数与切线及单调性问题。 必备知识： 一．导数的运算 1.基本初等函数求导公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f ′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q，α≠0) f ′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f ′(x)＝cos x f(x)＝cos x f ′(x)＝－sin x f(x)＝ax(a>0且a≠1) f ′(x)＝axln a f(x)＝ex f ′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0且a≠1) f ′(x)＝ f(x)＝ln x f ′(x)＝ 2．导数的运算法则：若f ′(x)，g′(x)存在，则有： [cf(x)]′＝cf ′(x)； [f(x)±g(x)]′＝f ′(x)±g′(x)； [f(x)g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； ＝(g(x)≠0)； 3．复合函数的定义及其导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x， 即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 二.导数的几何意义 (1)的几何意义：表示曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，切线方程为y－f(x0)＝·(x－x0). (2)切点的两大特征：①在曲线y＝f(x)上；②在切线上. (3)注意：在研究切线问题时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外． 三.利用导数研究函数的单调性与极值最值 (一)利用导数研究函数的单调性 1.利用导数判断函数的单调性：已知函数f(x)在区间(a，b)上可导， (1)如果f ′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在(a，b)内单调递增； (2)如果f ′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在(a，b)内单调递减； (2)如果f ′(x)＝0，那么函数y＝f(x)在(a，b)内是常数函数． 注意：1．在某区间内f ′(x)>0(f ′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件． 2．(1)在函数定义域内讨论导数的符号． (2)两个或多个增(减)区间之间的连接符号，不用“∪”，可用“，”或用“和”． 2.由函数的单调性求参数的取值范围 ①若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则f ′(x)≥0(x∈M)恒成立； 若可导函数f(x)在区间M上单调递减，则f ′(x)≤0(x∈M)恒成立； ②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，f ′(x)>0(或f ′(x)<0)在该区间上存在解集； (二).利用导数研究函数的极值与最值 1.求函数的极值的一般步骤 ①确定函数的定义域； ②解方程f ′(x)＝0； ③判断f ′(x)在方程f ′(x)＝0的根x0附近两侧的符号变化： 若左正右负，则x0为极大值点； 若左负右正，则x0为极小值点； 若不变号，则x0不是极值点. 2.求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的一般步骤 ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； ②比较函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 四.导数与不等式 1.常用结论(注意：选填题可直接使用，解答题必须先证明后再使用) (1)ln x≤x－1，当且仅当x＝1时取等； (2)ex ≥ x＋1，当且仅当x＝0时取等； (3)不等式链：ex > x＋1> x > 1＋lnx > ln x (x>0，且x≠1)． (4)≤ln(x＋1)≤x，x>－1，当且仅当x＝0时取等．　 2.利用导数证明不等式f(x)>g(x)的基本方法 (1)若f(x)与g(x)的最值易求出，可直接转化为证明f(x)min>g(x)max； (2)若f(x)与g(x)的最值不易求出，可构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数h(x)的单调性或最值，证明h(x)>0. 3.构造函数证明不等式 (1)构造F(x)＝xnf(x)(n∈Z，且n≠0)类型的辅助函数 已知的是：nf(x)＋xf ′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x)； 已知的是：nxf ′(nx)＋f(nx)形式，构造函数xf(nx) 已知的是：形式，构造 特殊地：①已知的是：形式，构造 ②已知的是：构造 (2)构造F(x)＝enxf(x)(n∈Z，且n≠0)类型的辅助函数 ①已知的是：f ′(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝enxf(x)； ②已知的是：f ′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝． 特殊地：①已知的是：的形式，就构造; ②已知的是：的形式，就构造， ③已知的是：的形式，就构造; ④已知的是：的形式，就构造， (3)构造F(x)＝f(x)±g(x)，F(x)＝f(x)g(x)，F(x)＝类型的辅助函数 ①已知的是：的形式，构造F(x)＝f(x)＋axn＋b； ②已知的是：±g′(x)形式，构造函数F(x)＝f(x)±g(x)； ③已知的是：f ′(x)g(x)＋f(x)g′(x)形式，构造函数F(x)＝f(x)g(x)； ④已知的是：f ′(x)g(x)－f(x)g′(x)形式，构造函数F(x)＝． 【导数及其应用常用结论】 1.恒成立问题 (1)若函数在区间D上存在最小值和最大值，则 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； (2)若函数在区间D上不存在最大(小)值，且值域为，则 不等式在区间D上恒成立． 不等式在区间D上恒成立． 2.不等式有解问题 (1)若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； (2)若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解 不等式在区间D上有解 3.存在性问题 (1)对于任意的，总存在，使得； (2)对于任意的，总存在，使得； (3)若存在，对于任意的，使得； (4)若存在，对于任意的，使得； (5)对于任意的，使得； (6)对于任意的，使得； (7)若存在，总存在，使得 (8)若存在，总存在，使得． 题型一 导数的运算及几何意义 【真题在线】 【2024新高考Ⅰ卷T13】若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 【答案】【详解】由得，，故曲线在处的切线方程为； 由得，设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为，根据两切线重合,所以，解得；故答案为： 【2024甲卷理T6文T7】设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】，则， 即该切线方程为，即，令，则，令，则， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积；故选：A. 【2022新高考Ⅰ卷T15】若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ． 【答案】【详解】∵，∴，设切点为,则, 切线斜率,切线方程为：, ∵切线过原点，∴,整理得：, ∵切线有两条，∴,解得或, ∴的取值范围是,故答案为： 【2022新高考Ⅱ卷T14】曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ． 【答案】；【详解】[方法一]：因为， 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 故答案为：； [方法二]：根据函数的对称性，数形结合 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 因为是偶函数，图象为： 所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可. [方法三]：因为， 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 故答案为：；. 【2021新高考Ⅰ卷T7】若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得， 所以，曲线在点处的切线方程为，即， 由题意可知，点在直线上，可得， 令，则. 当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减， 所以，，由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则， 当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点；故选：D. 解法二：画出函数曲线的图象如图所示， 根据图象观察即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线；可知；故选：D. 【变式题 基础】 1.若直线与曲线相切，则 ． 【答案】【详解】由求导得，设切点为， 则切线的斜率为，解得，则切点坐标为， 将代入直线，得，解得，所以；故答案为： 2.(2024福建漳州模拟预测)曲线在处的切线方程为 ． 【答案】【详解】由题可得， 当时，，所以所求切线方程为．故答案为：. 3.(2024湖南衡阳二模)曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】【详解】因为，则， 所以切点为，且，则， 直线方程：，化简得，所以切线方程为；故答案为： 3.若曲线与有一条斜率为2的公切线，则 . 【答案】【详解】设公切线在曲线与上的切点分别为， 由可得，所以，解得， 所以,则，所以切线方程为， 又由，可得，所以，即，所以， 又因为切点，也即在切线上， 所以，解得，所以；故答案为: . 2.函数在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】由，得，在点处的切线斜率为， 所以切线方程为，即；故选：A. 3.函数在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】，则，而，于是有，即， 所以所求切线方程为：；故选：A 4.(2024河北保定三模)曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】由，得，则，， 所以曲线在点处的切线方程为. 令，得，令，得，故该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为；故选：C 5.(2024云南楚雄模拟预测)曲线在点处的切线与坐标轴围成的图形的面积为 . 【答案】/0.25【详解】易知的定义域为，而，故切点为， 设切线斜率为，且，故，切线方程为，化简得， 当时，，当时，，易知围成的图形是三角形，设面积为，故. 故答案为： 【变式题 巩固】 1.曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】由函数，得，则，， 所以曲线在处的切线方程为，即；故选：D 2.(2024西安三模)已知函数则在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】当时，，当时，，则， 所以，．切线方程为，即．故选：B. 3.(2024海口模拟预测)已知直线是曲线的一条切线，则 . 【答案】2【详解】， 当时，，，设切点为，则切线斜率为，故切线斜率不可能为，舍去， 当时，，，设切点为，则切线斜率为，令， 解得，则切点为，将代入中得，，解得；故答案为：2 4.曲线在点处的切线与曲线在点处的切线重合，则 ． 【答案】【详解】因为，所以， 所以，又，所以在点处的切线为， 又，则， 所以，又当时， 所以曲线在点的切线方程为， 所以，解得，即；故答案为： 5.(2024贵州六盘水三模)已知曲线的一条切线方程为，则实数（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】D【详解】设切点为；因为切线，所以，解得（舍去） 代入曲线得，所以切点为；代入切线方程可得，解得；故选：D. 6.(2024昆明三模)过点可以向曲线作条切线，写出满足条件的一组有序实数对 【答案】（答案不唯一）【详解】，， 设切点为，则切线斜率为，得切线方程为， 由切线过点，有，化简得， 设，则， ，解得或；，解得， 在和上单调递减，在上单调递增，极大值，极小值， 且或时，时，，的函数图象如图所示， 则当时，无解，；当或时， 有一个解，； 当或时，有两个解， ；当时，有三个解， . 故答案为：（答案不唯一） 7.已知函数（是的导函数），则曲线在处的切线方程为 ． 【答案】．【详解】设切点，因为 ，令，得， 由导数几何意义知：，又，所以， 故曲线在处的切线方程为：，整理得： ;故答案为：. 8.若函数，曲线在处的切线与直线平行，则 ． 【答案】【详解】由，得，所以在处的切线斜率， 又切线与直线平行，则，解得，此时， 切线斜率，，所以切线方程为， 即，与直线平行，即成立，故答案为：. 9.曲线与的公切线方程为 . 【答案】【详解】设曲线上的切点为， 曲线上的切点为. 因为，则公切线的斜率，所以. 因为公切线的方程为，即， 将代入公切线方程得，由，得. 令，则，当时，；当时，0， 故函数在上单调递增，在上单调递减，，所以， 故公切线方程为，即；故答案为：. 【变式题 提高】 1.(2024河北保定三模)已知二次函数（且）的图象与曲线交于点P，与x轴交于点A（异于点O），若曲线在点P处的切线为l，且l与AP垂直，则a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】易知，设，联立与可得，故， 由得，所以，，因为，所以，即， 又，所以;故选：B. 2.(2024湖南长沙二模)已知 ，，直线 与曲线 相切，则 的最小值是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D【详解】由于直线 与曲线 相切， 设切点为，且，所以，则切点的横坐标 ，则，即 . 又，所以，即， 当且仅当 时取等号，所以 的最小值为1；故选：D 3.已知曲线：和曲线：，若存在斜率为1的直线与，同时相切，则b的取值范围是 . 【答案】【详解】由题意得，， 设斜率为1的切线在，上的切点横坐标分别为，， 所以，则，，两点处的切线方程分别为，， 所以，即，所以b的取值范围为；故答案为：. 4.已知是曲线在处的切线，若点到的距离为1，则实数（         ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】由题知，所以，因为是曲线在处的切线， 所以当时，，且，所以， 因为点到的距离为1，所以，解得：；故选：A 5.设函数，则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】由得，所以切线斜率； 由，所以切点为：；所以切线方程为：，即：； 所以：切线与两坐标轴的交点是：；所以：；故选C. 6.(2024上海三模)设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为 . 【答案】2【详解】由已知得，解得，又， 所以得，所以，所以；故答案为：2 7.(2024河南模拟预测)若直线与曲线相切，则的最小值为 . 【答案】/【详解】因为，所以， 设切点为，则，由，得，，则， 代入，得，则，令，则， 当时，，则单调递增，当时，，则单调递减， 所以，故;故答案为：. 8.已知曲线和（且）存在一条过公共点的切线，则的值为 ． 【答案】【详解】设函数，分别求出的导函数 设函数，则． 设两曲线的公共点坐标为，由题意得即 由得，则，得，解得， 故的值为．故答案为： 9.函数，若的所有切线中斜率最小的切线方程为，则 ． 【答案】8【详解】由，得， 因为，则，当且仅当时等号成立， 由直线的斜率为，所以曲线的所有切线中斜率最小的切线的斜率， 所以，此时，由，则，所以切点为. 将代入，得，所以．故答案为：. 10.(2024山西模拟预测)函数，直线与相切，则 . 【答案】/【详解】设切点为，， 由题意可得，因为函数在上都是增函数， 所以函数在上是增函数，又，所以，所以切点为， 则，解得；故答案为：. 11.(2024贵州模拟预测)过点作曲线的切线，请写出切线的方程 . 【答案】或【详解】设切点为，而， 所以切线的斜率，故切线方程为， 因为切线过点，， 化简可得或，则切点为或， 则代入得切线方程为：或，故答案为：或. 12.已知为奇函数，且当时，，其中为自然对数的底数，则曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】【详解】由题设，当时，，故时，， 所以，而，故切线方程为，即． 故答案为： 13.(2024山西临汾一模)设函数，，曲线有两条斜率为的切线，则实数的取值范围是 . 【答案】【详解】因为， 则， 令，可得，可得， 因为，令，则，且函数在上单调递增， 令，其中，因为有两条斜率为的切线，则在上有两个零点， 所以，，解得；因此，实数的取值范围是；故答案为：. 题型二 导数与函数性质 【真题在线】 【2024新高考Ⅰ卷T10】(多选题)设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ACD【详解】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确；故选：ACD. 【2021新高考Ⅱ卷T14】写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ． ①；②当时，；③是奇函数． 【答案】（答案不唯一，均满足） 【详解】取，则，满足①， ，时有，满足②， 的定义域为，又，故是奇函数，满足③. 故答案为：（答案不唯一，均满足） 【变式题 基础】 1.(2024云南大理模拟预测)函数的最大值为 . 【答案】/【详解】函数，定义域为， 当时，，，在为减函数，此时； 当时，，， 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减，此时， 综上可知，;故答案为：. 2.（2024辽宁鞍山二模）的极大值为 ． 【答案】【详解】， 当时，，当时，， 故在、上单调递减，在上单调递增， 故有极大值；故答案为：. 3.(多选题)设函数，则（    ） A．有个极大值点 B．有个极小值点 C．是的极大值点 D．是的极小值点 【答案】ABD【详解】函数的定义域为， 且， 所以当或时，当或时， 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 所以在处取得极小值，在处取得极大值，在处取得极小值；故选：ABD 4.(2024辽宁一模)已知函数在处有极值8，则等于 ． 【答案】【详解】若函数在处有极值8，则 即解得：或， 当时，，此时不是极值点，故舍去； 当时，， 当或时，，当，故是极值点， 故符合题意，故，故;故答案为：. 【变式题 巩固】 1.已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有两个零点 C．点是曲线的对称中心 D．过点可作曲线的两条切线 【答案】AC【详解】由题意，在中，． 令，得或，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以是极值点，A正确． 由的单调性且极大值，极小值， 又，，所以函数在定义域上有3个零点，B错误． 令，因为，则是奇函数，所以是对称中心， 将的图象向上移动1个单位长度得到的图象，所以点是曲线的对称中心，C正确． 设切点为，则切线方程为，代入，得， 解得．所以过点的切线有1条，D错误．故选：AC． 2.(2024上海三模)若函数在上存在最小值，则实数a的取值范围是 ． 【答案】【详解】因为，所以，令得，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，所以当时，有极小值， 因为函数在上存在最小值， 又，所以，解得， 所以实数a的取值范围是；故答案为：. 3.(2024广东模拟预测)在的极值点个数为 个． 【答案】2【详解】由 ， 令，则或，显然当时，，则或， 满足的根为或，端点值不能做为极值点，舍去； 满足的根有两个， 根据正弦函数的性质可知时，，时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以在的极值点个数为2个；故答案为：2 4.(2024云南一模)在上只有一个极值点，则实数的取值范围为 . 【答案】【详解】因为在上只有一个极值点， 则在上有唯一解，且左右函数值异号;即， 令则， 易知在单调递减，在单调递增， 且，， 故，解得；故答案为：. 5.(2024江苏模拟预测)已知有两个极值点，则实数的取值范围为 ． 【答案】【详解】由求导，，由可得：， 因不满足此式，故可得：， 则函数有两个极值点，即函数与的图象有两个交点. 由求导，， 则当时，，当时，，当时， 则函数在和上是减函数，在上是增函数，故时，取得极小值. 且当时，， 当从0的左边趋近于0时，，当从0的右边趋近于0时，， 当时，；故可作出函数的图象如图. 由图可知：函数与的图象有两个交点等价于；故答案为：. 【变式题 提高】 1.写出一个同时满足下列三个条件的函数的解析式 ． ①；②；③的导数为且． 【答案】（答案不唯一） 【详解】由①得，所以函数图象的周期为4， 由②得的图象关于直线对称，由③得关于对称，为常数， 则同时满足三个条件的一个函数可以为．故答案为：（答案不唯一）. 2.写出一个同时满足下列三个性质的函数： . ①的图象在轴的右侧；②若，则；③当时，（为函数的导函数）. 【答案】（答案不唯一）【详解】结合①③不妨设，其定义域为， 其图象在轴的右侧，且，所以满足条件①③； 若，则， 令，则，所以， 令，可得（答案不唯一）.故答案为：（答案不唯一） 3.已知函数及其导函数的定义域均为，对任意的x，，恒有，则下列说法正确的个数是 ． ①；②为奇函数；③． 【答案】2【详解】令，可得，故或，故①错误； 当时，令，则，则，故， 函数既是奇函数又是偶函数；当时，令，则，所以， 求导得，即，则为奇函数，综上可知为奇函数，故②正确； 令，则，故．由于，令，，即， 即有，故③正确，故说法正确的个数为2．故答案为：2. 4.(2024福建泉州二模)在等比数列中，是函数的两个极值点，若，则t的值为（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】C【详解】， 所以是方程的两个实数根，则，，， 根据等比数列的性质，，且 所以，即，得；故选：C 5.(2024安徽合肥三模)已知函数在上可导，其导函数为，若满足：，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】令，则 ， 函数满足， 当时 在上单调递增，当时在上单调递减， 又由， 即函数的图象关于对称，从而， 对于A，，，，A错误； 对于B，，，，B错误； 对于C，，，，C正确； 对于D，，，，D错误；故选：C 6.(2024河北衡水三模)(多选题)函数，是函数的一个极值点，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数在区间上单调递减 C．过点能作两条不同直线与相切 D．函数有5个零点 【答案】AD【详解】对于A中，由函数，可得， 可得，解得，经检验适合题意，所以A正确； 对于B中，由，令，解得或， 当时，；当时，；当时，， 故在区间上递增，在区间上递减，在区间上递增，所以B错误； 对于C中，设过点且与函数相切的切点为， 则该切线方程为，， 整理得，解得，所以只能作一条切线，所以C错误； 对于D中，令，则的根有三个，如图所示，， 所以方程有3个不同根，方程和均有1个根， 故有5个零点，所以D正确；故选：AD． 7.(2024重庆三模)(多选题)若函数既有极小值又有极大值，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC【详解】由函数，可得， 因为既有极小值又有极大值，可得方程在上有两个不同的实数根， 则满足，可得，所以，，， 例如：时，满足上式，此时不成立．故选：ABC. 8.(2024山西太原三模)(多选题)已知是函数 的极值点，若，则下列结论 正确的是（   ） A．的对称中心为 B． C． D． 【答案】AC【详解】对于A，因为， 所以的对称中心为，故A    正确； 对于B，，令，解得， 当时，， 因为，所以，可得， 当时，， 因为，所以，可得，故B错误； 对于C，令，解得，当或时，，是单调递增函数， 当时，，是单调递减函数， 所以在时有极大值，在时有极小值， 如下图，当时，若，则 ， 可得，即，解得，所以； 当时，如图，若，则 ， 可得，即，解得，所以； 综上所述，，故C正确； 对于D，由C选项可知，若，，所以，故D错误. 故选：AC. 9.(2024河北三模)(多选题)已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，为奇函数，则下列结论正确的是（    ） A．关于直线对称 B．关于点对称 C． D． 【答案】BD【详解】对于A，因为为奇函数，所以，即， 所以的图象关于中心对称，故A错误； 对于B，由为偶函数，所以，所以， 即，即，则， 所以的图象关于中心对称，故B正确； 对于D，由，，知，又，， 所以，所以，即，所以为周期是的函数， 即，故D正确. 对于C，由题意及上述分析知是以为周期的函数，且， 不妨设，所以，周期均为且， 所以，所以C错误；故选：BD. 10.(2024贵阳三模)函数，若的最小值恰好为0，则实数的最小值是 . 【答案】【详解】令，则，所以， 令，则，令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 故当时，取得最小值，故当，即时，函数的最小值恰好为0， 令，则，令，得；令，得， 所以在上递减，在上递增，则，所以的最小值为；故答案为：. 题型三 导数与函数零点 【真题在线】【2024新高考Ⅱ卷T11】(多选题)设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使为的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 【答案】AD【详解】A选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减，则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则，根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，单调递减， 时，单调递增，此时在处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得，即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项，方法一：利用对称中心表达式：，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上，， 于是；即，解得， 即存在使得是的对称中心，D选项正确. 方法二：直接利用拐点结论：任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，，由， 于是该三次函数的对称中心为，由题意也是对称中心，故， 即存在使得是的对称中心，D选项正确；故选：AD 【点睛】任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点， 对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心 【2024甲卷文T16】曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ． 【答案】【详解】令，即，令 则，令得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增，， 因为曲线与在上有两个不同的交点， 所以等价于与有两个交点，所以；故答案为： 【2023新高考Ⅱ卷T11】(多选题)若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】BCD【详解】函数的定义域为，求导得， 因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而， 因此方程有两个不等的正根， 于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确；故选：BCD 【变式题 基础】 1.若直线与函数的图象有三个交点，则实数a的取值范围是 ． 【答案】【详解】因为函数，则， 所以当或时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增， 所以当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值， 因为直线与函数的图象有三个交点，所以实数a的取值范围是，故答案为： 2.(多选题)已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 【答案】AC【详解】由题，，令得或，令得， 所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确； 因，，，所以，函数在上有一个零点， 当时，，即函数在上无零点， 综上所述，函数有一个零点，故B错误； 令，该函数的定义域为，， 则是奇函数，是的对称中心， 将的图象向上移动一个单位得到的图象，所以点是曲线的对称中心，故C正确； 令，可得，又， 当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误；故选：AC. 【变式题 巩固】 1.若函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是 ． 【答案】【详解】由题意，，， 当时，恒大于0，则函数递增，不可能有两个零点； 当时，令，得，即当时，，即单调递增，且； 即当时，，即单调递减，且； 由于函数有两个不同的零点，即函数的图像与x轴有两个不同的交点， 所以， 解得，，所以当时，函数有两个不同的零点. 2.已知函数，则（    ） A．时，函数在上单调递增 B．时，若有3个零点，则实数的取值范围是 C．若直线与曲线有3个不同的交点，，，且，则 D．若存在极值点，且，其中，则 【答案】BD【详解】对于A：求导，当时，有2个不相等的实根，，在区间上，单调递减，故选项A错误. 对于B：当时，令，得，，若有3个零点，则极大值，极小值，实数的取值范围是，故选项B正确. 对于C：令二阶导数，得，则三次函数的对称中心是.当直线与曲线有3个不同的交点，，，且时，点一定是对称中心，所以，故选项C错误. 对于D：若存在极值点，则，，.令，得，因为，于是， 所以，化简得：， 因为，故，于是，即.故选项D正确；故选：BD. 【变式题 提高】 1.已知是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A．的极大值点为 B．函数的零点个数为3 C．函数的零点个数为7 D．的解集为 【答案】ABC【详解】由题意得， 当时，，得， 令，得，令，得；所以在单调递减，在单调递增， 所以的极小值点为1，又是定义在上的奇函数，所以的极大值点为，故A对； 当时，则，所以， 又是定义在上的奇函数，所以，所以    分别画出和的图象，得函数的零点个数为3，B对； 令，得或或，令，得，或， 如图，分别画出的图象，    由图可知：函数的零点个数为7， C 对； 令，则， ；故D错；故选：ABC 2.已知函数有两个极值点．则（　　） A．的图象关于点对称 B．的极值之和为 C．，使得有三个零点 D．当时，只有一个零点 【答案】ACD【详解】对A，设，定义域为，关于原点对称， 且，则为奇函数， 的图象可由奇函数的图象向上平移2个单位长度得到， 故的图象关于点对称，选项A正确． 对B，设的极值点分别为，令，则为方程两不等实数根， 根据韦达定理知，故，即的极值之和为4，选项B错误． 对C，依题意，方程有两异根，则，，， 令，解得或，令，解得， 则在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间单调递增． 则时，的图象与轴有3个交点， 即有3个零点，此时，即，解得，故选项C正确． 对D，当时，，， 此时只有一个零点，选项D正确．故选：ACD. 3.已知，关于的方程有且仅有一个解，则的取值范围是 ． 【答案】【详解】因为，，所以，且， 则，即， 设，则，即有且仅有一个解， 因为解的个数解的个数（且），所以下面讨论解的个数； 由，得其中， (1)当时，得，令，，则，即， 因为，所以为增函数，所以， 令，，则，令得， 当，，即单调递减，当，，即单调递增， 所以 ， (i)当，即时，方程无解，即函数与的图像没有交点； (ii)当，即时，方程有一解，即函数与的图像有一个交点； (iii)当，即时，当时，，当时，， 所以方程有两解，即函数与的图像有两个交点； (2)当时，由①②消去，得③， 由于，且，故，即， 对③式两边取自然对数，得，即，两边取自然对数，得， 令，，则，由得， 令，，则，由得， 当时，；当时，；所以当时，； (i)当，即时，恒成立，所以， 因为，，所以，即当且仅当，且时等号成立； 所以在上为减函数，又因为当时，；时，， 所以方程恰有一解，此时函数与的图像有一个交点； (ii)当时，即时，因为当时；时， 所以存在，，使得，所以， 当变化时，的变化情况如下表： 负 正 负 减 增 减 由上表可知，在内是减函数，在内是增函数，在内是减函数， 下面证明，；， 令， 则当时，， 所以在内是增函数，所以，即； ，， 令，，易证为减函数， 所以当，，即； 因为，所以，又因为当时，，当时，， 所以在区间，，各有一个解，此时函数与的图像有三个交点； 综上所述，函数与（且）图像的交点情况如下： 当时，没有交点；当时，有1个交点；当时，有2个交点；当时，有1个交点； 当时，有3个交点；所以或，即或，故答案为：． 题型四 导数与不等式 【真题在线】 【2023新高考Ⅱ卷T6】已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 【答案】C【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为．故选：C． 【2021新高考Ⅰ卷T15】（2021·新高考Ⅰ卷高考真题第15题）函数的最小值为 . 【答案】1【详解】由题设知：定义域为， ∴当时，，此时单调递减； 当时，，有，此时单调递减； 当时，，有，此时单调递增；又在各分段的界点处连续， ∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；∴；故答案为：1. 【变式题 基础】 1.函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为 ． 【答案】【详解】在定义域内单调递增， 在上恒成立，即在上恒成立． 令，，， 即实数的取值范围为．故答案为： 2.(2024贵州毕节模拟预测)定义在上的可导函数满足，若，则的取值范围为 ． 【答案】【详解】令，则，所以函数在上是减函数， 由，得，即， 所以，解得，所以的取值范围为；故答案为：. 【变式题 巩固】 1.(2024河北沧州三模)若不等式，对于恒成立，则的最大值为 . 【答案】【详解】令函数，则， 由，解得，当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值， 也是最小值为， 由不等式，可得，所以， 令，则， 当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减， 即，即，所以的最大值为.故答案为：. 2.(2024河北三模)已知对任意恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】【详解】因为，，所以，即， 设，， 令，，即在上单调递增，令，，即在上单调递减， 则，所以，解得；故答案为：. 【变式题 提高】 1.已知函数，点在曲线上，则的取值范围是 ． 【答案】【详解】，设，， 当时，，在区间单调递增， 当时，，在区间单调递减， 所以当时，取得最大值，，且时，，， 所以当时，，即，函数在区间上单调递增， 当时，，即，函数在区间上单调递减， 所以当时，取得的最大值，所以函数的值域是， 由题意可知，，所以，，设，， ，当时，，所以当时，，在区间单调递减， 当时，，在区间单调递增， 所以当时，取得最小值，当时，，当时，，且， 所以函数的值域是，所以的取值范围是;故答案为： 2.(2024广西南宁一模)已知函数的最小值为，则实数的取值范围为 . 【答案】【详解】因为，所以， 若，则时，，故在上单调递减， 时，，故在上单调递增，所以当时，有最小值，满足题意； 若，则当无限趋近于负无穷大时，无限趋向于负无穷大，没有最小值，不符合题意； 综上，，所以实数的取值范围为；故答案为： 第 2 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $$