23.1锐角的三角函数（5知识点+8题型+强化练习）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（沪科版）

23.1 锐角的三角函数 课程标准 学习目标 1.利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数, 知道30°、45°、 60°角的三角函数值。 2.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函教值求它的对应锐角。 1.理解正弦、余弦、正切、余切这四个锐角三角函数的概念,能准确地用直角三角形两边的比表示这些函数。 2.掌握特殊角的三角函数值,会计算含有特殊角的三角函数的运算式,能根据特殊角的三角函数值得出对应锐角的度数。 3.能推导并熟记30°、45°、60°角的三角比值，并能根据这些值说出对应的锐角度数；能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角比的运算式。 知识点01 正切与坡度 ·正切定义：在中，，锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作，即； 符号语言:在中,，. 【即学即练1】（22-23九年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，，，，则(    ) A． B． C． D． 【即学即练2】已知为的一个锐角，且，则的值为 ． ·坡度：坡面的铅直高度ｈ和水平长度ｌ的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即i（坡度通常写成ｈ∶ｌ的形式）． ·坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角（或称倾斜角），记作 α，于是有i＝ｔａｎα． 显然，坡度 （ｉ＝ｔａｎα）越大，坡角α越大，坡面就越陡． 【即学即练3】坡比是1：，坡角为α，则∠α＝ ． 知识点02 正弦、余弦、余切 ·正弦定义：在中，，锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，即； 符号语言:在中,，. 【即学即练4】（23-24九年级上·吉林四平·期末）如图，在中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【即学即练5】如图,在中，， ， 垂足为D， 若 ，则的值为（    ） A． B． C． D． ·余弦定义：在中，，锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作，即； 符号语言:在中,，. 【即学即练6】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）在中中，，，，那么的值是（    ） A． B． C． D． ·余切定义：在中，，锐角的邻边与对边的比叫做的余切，记作，即； 符号语言:在中,，. 【即学即练7】如图，在中，，，垂足为D，，．求的余切值． ·锐角三角函数概念：对于锐角A的每一个确定的值，sin A有唯一确定的值与它对应，所以sin A是锐角A的函数。同样地cos A ,tan A，cot A也是锐角A的函数，即锐角A的正弦、余弦、正切、余切都是∠A的锐角三角函数. 注意： ①在直角三角形中,锐角的正弦、余弦、正切、余切反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值,它没有单位 ②锐角的三角函数值只与锐角的大小有关，与所在的直角三角形的边的长短无关。 【即学即练8】在中，，若的三边都缩小5倍，则的值（ ） A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定 【即学即练9】（2024·天津红桥·一模）如图，在中，，为边上一点，过点作，垂足为，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点03 30°、45°、60°角的三角函数值 注意：三角函数与勾股定理联系紧密，要熟悉几组常用勾股数：①3,4,5；②5,12,13；③6,8,10；④7,24,25；⑤8,15,17；⑥9,40,41. 【即学即练10】的值等于（   ） A． B． C．1 D． 【即学即练11】（2024·安徽六安·模拟预测）计算：． 【即学即练12】计算：． 【即学即练13】如图，在中，，是的平分线，与相交于点D，且，求的长． 知识点04 锐角三角函数值的相互关系 ·同角的三角函数值关系：， 【即学即练14】（22-23九年级上·安徽宣城·期末）已知为锐角， ，求的值． ·互余的两个角的三角函数值关系：任意一个锐角的正（余）弦值，等于它的余角的余（正）弦值． 注意：①直角三角形中要分清锐角的对边和邻边. ②在中，，可知,所以互余，即,. 【即学即练15】（23-24九年级上·安徽滁州·阶段练习）在中，，则的值为 ． 【即学即练16】（23-24九年级上·安徽六安·期末）下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【即学即练17】（22-23九年级上·安徽六安·期末）在中，，，则（    ） A． B． C． D． 知识点05 一般锐角的三角函数值 ·作直角三角形，利用直角三角形边与角的关系，求出对应的两条线段的比值，表示出锐角三角函数值 ·科学计算器求锐角三角函数值 【即学即练18】如图，点A为边上的任意一点，作于点C，于点D，下列用线段比表示出的值，正确的是（    ） A． B． C． D． 【即学即练19】如图，为方便行人推车过天桥，某市政府在高的天桥两端分别修建了长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角，下列按键顺序正确的是（    ）． A． B． C． D． ·符号表示： ①在表示正弦、余弦、正切、余切时，单字母表示的角通常省略角的符号，而三个字母表示的角不能省略角的符号。如的正弦、余弦、正切、余切分别记为,,，；的正弦、余弦、正切、余切分别记为,，， ②,,,是完整的符号，不能写成 ，，， ·锐角三角函数值的取值范围： 在中，，、、的对边分别是，，。 由正弦、余弦、正切、余切的定义可知 ，，，. ·求一个锐角的三角函数值的方法： 锐角的三角函数是在直角三角形中定义的，当给出的三角形不是直角三角形时，需通过作高等方法构造出直角三角形。 例：如图，在△ABC中，AB=AC=3，BC=4，求sinB的值. 在Rt△ABD中,AB=3，BD=2，根据勾股定理，得, ∴. 【题型一：根据三角函数值求边长】 例1．（23-24九年级上·福建泉州·期末）在中，，那么下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 例2．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在等腰中，，，是上一点，若，则的长为（    ） A．2 B． C． D． 变式2-1.如图，在中，∠B＝90°，，若AB＝10，求BC的长． 变式2-2.如图，在中，，，，求的长． 变式2-3.如图，是的高线，垂足为点是的中线．，． (1)求的长； (2)求的值． 例3.如图，已知和射线上一点（点与点不重合），且点到、的距离为、． (1)若，，，试比较、的大小； (2)若，，，都是锐角，且．试判断、的大小，并给出证明． 【题型二：根据特殊角的三角函数值求角度】 例4．已知中，，都是锐角，且，则 度． 变式4-1．（23-24九年级上·安徽六安·期末）若为锐角，，则 ． 变式4-2．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则锐角等于（    ） A． B． C．30° D．60° 【题型三：根据特殊角的三角函数值判断三角形的形状】 例5．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）在中，，都是锐角，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 变式5．在中，，都是锐角，且，则是 三角形． 【题型四：已知角度比较三角函数值的大小】 例6．（22-23九年级上·福建泉州·期中）三角函数，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 变式6-1．比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 变式6-2．比较大小： （填“”、“”或“”）． 【题型五：根据特殊角的三角函数值求角的范围】 例7．（23-24九年级上·安徽六安·期末）若，则锐角满足（　　） A． B． C． D． 变式7-1．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）若锐角满足，则锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式7-2．已知，则锐角的取值范围是（ 　） A． B． C． D． 【题型六：利用同角或互余两角的三角函数关系求值】 例8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别∠A，∠B，∠C的对边．    (1)求的值； (2)填空：当为锐角时，______； (3)利用上述规律，求下列式子的值：． 变式8．（2023·湖南娄底·一模）同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，，，．例：．若已知锐角满足条件，则 ． 【题型七：利用正切值求高】 例9．（2024·广西梧州·一模）如图，要测量一座小山丘的高度，某同学在一平面内取A、B两点，且测得与山顶C点的仰角的角度为、，A、B两点的距离是a，过C点作交AB的延长线于点D，则的高度 ．（用含有、、a的式子表示） 变式9．（2022·上海青浦·二模）小明要测量公园里一棵古树的高，被一条小溪挡住去路，采用计算方法，在点测得古树顶的仰角为，向前走了100米到点，测得古树顶的仰角为，则古树的高度为 米． 【题型八：三角函数综合】 例10．（2024·山东菏泽·一模）已知的三个内角，，的对边分别为，，． 观察：若， 则有，． ． 模仿：已知，． (1)求的值； (2)若，求． 例11.（23-24九年级上·上海宝山·期中）如图，中，，，D是边的中点，连结．    (1)已知，求的长； (2)求的值． 例12.如图，在中，，点为斜边上一点，且，将沿直线翻折，点的对应点为，则 ．    变式12-1．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在正方形中，点为边的中点，连接、、，且交于，交于，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式12-2．如图，在四边形中，，．记，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 一、选择题 1．在中，， 各边都扩大5倍， 则锐角A的三角函数值（     ） A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定 2．（22-23九年级上·上海·期中）已知为锐角，且，那么的正切值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·安徽六安·期末）下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）在中，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2024九年级·全国·竞赛）在中，，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）观察下列各式：①；②（是锐角）；③，其中成立的有(   ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．（22-23九年级上·安徽安庆·期中）已知 为锐角，则的值（    ） A． ​ B． ​ C． ​ D． ​ 8．（22-23九年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，点A在x轴上，点B，C在y轴上，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．在中，，则 ； ； 10．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）若锐角满足，则 ． 11．已知，，则 ． 12．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）在正方形网格中位置如图所示，则的值为 ． 13．（22-23九年级上·安徽滁州·阶段练习）在中，三边之比为，则 ． 14．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，点在边上，满足，若，则图中等于的角有 个． 三、解答题 15．（1）（2024·安徽滁州·三模）计算：； （2）（2024·安徽合肥·三模）计算：． 16. (1)； (2) ． 17．（2023·浙江台州·二模）某校在漩门湾进行船只模型比赛，小船需从A点行驶至C点，已知，，若小船沿比赛路线从A点出发行驶30m后到达终点C，求BC的长．（结果保留整数，参考数据：，，）    18．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如图，在中，于． (1)求证：； (2)如果，求的长． 19．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，在中，，． (1)求的值； (2)延长至点，使得，求的长． 20．（2023·河北保定·二模）嘉嘉在某次作业中得到如下结果： ， ， ， ， ． 据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角，，若，均有． (1)当，时，验证是否成立？ (2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示给予证明，其中所对的边为，所对的边为，斜边为；若不成立，请举出一个反例； (3)利用上面的证明方法，直接写出与，之间的关系． 21．（22-23九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，一栋楼房上悬挂了一盏激光灯．已知为，测角仪支架和的高为，小欢在E处测得激光灯底部点D的仰角为，小乐在F处测得激光灯顶部点C的仰角为，．请根据相关测量信息，求出激光灯底部点D到地面的距离的长．（图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内．参考数据：，，） 22.如图，在中，，再添加一个条件就能够证明是直角三角形．    (1)给出下列四个条件：①；②；③；④，其中可以选择的条件有____________（填序号）； (2)在你所填的序号中，选择其中一个加以证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 23.1 锐角的三角函数 课程标准 学习目标 1.利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数, 知道30°、45°、 60°角的三角函数值。 2.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函教值求它的对应锐角。 1.理解正弦、余弦、正切、余切这四个锐角三角函数的概念,能准确地用直角三角形两边的比表示这些函数。 2.掌握特殊角的三角函数值,会计算含有特殊角的三角函数的运算式,能根据特殊角的三角函数值得出对应锐角的度数。 3.能推导并熟记30°、45°、60°角的三角比值，并能根据这些值说出对应的锐角度数；能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角比的运算式。 知识点01 正切与坡度 ·正切定义：在中，，锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作，即； 符号语言:在中,，. 【即学即练1】（22-23九年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，，，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正切的概念辨析 【分析】根据正切的定义即可求解．在直角三角形中，锐角的正切值等于这个锐角的对边比邻边． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了正切的定义，掌握正切的定义是解题的关键． 【即学即练2】已知为的一个锐角，且，则的值为 ． 【答案】或 【知识点】求角的正切值 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，讨论：当时，先利用勾股定理计算出，然后利用正切的定义求解；当时，直接利用正切的定义求解． 【详解】当时，， 所以； 当时，, 综上所述，的值为或． 故答案为：或． ·坡度：坡面的铅直高度ｈ和水平长度ｌ的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即i（坡度通常写成ｈ∶ｌ的形式）． ·坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角（或称倾斜角），记作 α，于是有i＝ｔａｎα． 显然，坡度 （ｉ＝ｔａｎα）越大，坡角α越大，坡面就越陡． 【即学即练3】坡比是1：，坡角为α，则∠α＝ ． 【答案】30° 【知识点】正切的概念辨析 【分析】根据坡比=坡角的正切值，进而可求出的值． 【详解】解：因为， 所以∠α＝30°， 故答案为：30°． 【点睛】此题考查了坡比、坡角的关系，解题的关键是掌握坡角的正切值等于坡比． 知识点02 正弦、余弦、余切 ·正弦定义：在中，，锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，即； 符号语言:在中,，. 【即学即练4】（23-24九年级上·吉林四平·期末）如图，在中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正弦的概念辨析 【分析】本题主要考查了三角函数的正弦值，根据正弦值的定义即可得出答案，熟练掌握正弦值的定义是解决本题的关键． 【详解】解：在中，，， 故选：C． 【即学即练5】如图,在中，， ， 垂足为D， 若 ，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的正弦值 【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是得到．由勾股定理求出，由等角的余角相等得出，再根据锐角三角函数的定义求解即可 【详解】解：在中，， 由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：D． ·余弦定义：在中，，锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作，即； 符号语言:在中,，. 【即学即练6】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）在中中，，，，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的余弦值 【分析】本题考查了勾股定理，余弦，根据勾股定理算出，再根据余弦函数定义即可得；求出和掌握余弦函数定义是解题的关键． 【详解】解：如图所示， 在中，，，， 根据勾股定理得，， ∴， 故选：B． ·余切定义：在中，，锐角的邻边与对边的比叫做的余切，记作，即； 符号语言:在中,，. 【即学即练7】如图，在中，，，垂足为D，，．求的余切值． 【详解】解：∵在Rt中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3， ∴ ， ∵是边上的高， ∴即， ∴， 在中，由勾股定理得 ； ∴， ∴． 【点睛】本题考查勾股定理、三角形的面积，求余切值，熟练掌握勾股定理，利用等面积法求线段长是解答的关键． ·锐角三角函数概念：对于锐角A的每一个确定的值，sin A有唯一确定的值与它对应，所以sin A是锐角A的函数。同样地cos A ,tan A，cot A也是锐角A的函数，即锐角A的正弦、余弦、正切、余切都是∠A的锐角三角函数. 注意： ①在直角三角形中,锐角的正弦、余弦、正切、余切反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值,它没有单位 ②锐角的三角函数值只与锐角的大小有关，与所在的直角三角形的边的长短无关。 【即学即练8】在中，，若的三边都缩小5倍，则的值（ ） A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定 【答案】C 【知识点】正弦的概念辨析 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义：在中，．锐角A的对边a与斜边c的比叫做的正弦，记作．直接利用锐角的正弦的定义求解． 【详解】解：∵， ∴的对边与斜边的比， ∵的三边都缩小5倍， ∴的对边与斜边的比不变， ∴的值不变． 故选：C． 【即学即练9】（2024·天津红桥·一模）如图，在中，，为边上一点，过点作，垂足为，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正切的概念辨析、余弦的概念辨析、正弦的概念辨析 【分析】本题考查解直角三角形，关键是掌握锐角三角函数定义．由锐角的三角函数定义，即可判断． 【详解】解：， ， 、，故不符合题意； 、结论正确，故符合题意； 、，故不符合题意； 、，故不符合题意． 故选：B． 知识点03 30°、45°、60°角的三角函数值 注意：三角函数与勾股定理联系紧密，要熟悉几组常用勾股数：①3,4,5；②5,12,13；③6,8,10；④7,24,25；⑤8,15,17；⑥9,40,41. 【即学即练10】的值等于（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【知识点】特殊三角形的三角函数 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值即可求解是解决问题的关键． 【详解】解：． 故选：B． 【即学即练11】（2024·安徽六安·模拟预测）计算：． 【答案】2 【知识点】特殊三角形的三角函数、零指数幂、实数的混合运算、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查实数的混合运算，代入特殊角的三角函数值，计算零指数幂，立方根，绝对值，再计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 【即学即练12】计算：． 【答案】 【知识点】特殊三角形的三角函数、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】 本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答． 【详解】 解： ． 【即学即练13】如图，在中，，是的平分线，与相交于点D，且，求的长． 【答案】的长为4． 【知识点】已知余弦求边长、含30度角的直角三角形 【分析】在中，利用三角形的内角和定理求出∠BAC的度数，再利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出AC的长，根据AD为∠BAC的平分线，利用角平分线定义求出∠DAC为30度，利用锐角三角函数定义即可求出AD的长． 【详解】∵，， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ， ∴的长为4． 【点睛】此题考查了含30°角的直角三角形的性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握性质是解本题的关键． 知识点04 锐角三角函数值的相互关系 ·同角的三角函数值关系：， 【即学即练14】（22-23九年级上·安徽宣城·期末）已知为锐角， ，求的值． 【答案】 【知识点】利用同角三角函数关系求值 【分析】根据，，可得，，代入所求式子可得答案． 【详解】解：为锐角，，得 ， ． ． 【点睛】本题考查了同角三角函数关系，利用，是解题关键． ·互余的两个角的三角函数值关系：任意一个锐角的正（余）弦值，等于它的余角的余（正）弦值． 注意：①直角三角形中要分清锐角的对边和邻边. ②在中，，可知,所以互余，即,. 【即学即练15】（23-24九年级上·安徽滁州·阶段练习）在中，，则的值为 ． 【答案】0.618/ 【知识点】互余两角三角函数的关系 【分析】本题考查互余两角的三角函数的关系，掌握任意锐角的正弦值等于余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于余角的正弦值是解题关键．由题意可得出，从而根据互余两角的三角函数的关系即可得出． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， 故答案为：0.618． 【即学即练16】（23-24九年级上·安徽六安·期末）下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】互余两角三角函数的关系 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟知互余两角三角函数的关系是解答此题的关键．分别根据锐角三角函数的定义及互余两角三角函数的关系进行解答即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，选项正确，符合互余两角的三角函数关系，符合题意． 故选：D． 【即学即练17】（22-23九年级上·安徽六安·期末）在中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求角的余弦值、互余两角三角函数的关系 【分析】在中，，，设，则，根据余弦的定义即可得到答案． 【详解】解：在中，，， 设，则， ∴． 故选：A．    【点睛】此题考查了锐角三角函数的定义等知识，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 知识点05 一般锐角的三角函数值 ·作直角三角形，利用直角三角形边与角的关系，求出对应的两条线段的比值，表示出锐角三角函数值 ·科学计算器求锐角三角函数值 【即学即练18】如图，点A为边上的任意一点，作于点C，于点D，下列用线段比表示出的值，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由同角的余角相等可得，在三个直角三角形中由正弦函数的定义即可确定答案． 【详解】，， ， ， ； 故正确的是B选项； 故选：B． 【点睛】本题考查了正弦函数的定义，同角的余角相等，掌握正弦函数的定义是关键． 【即学即练19】如图，为方便行人推车过天桥，某市政府在高的天桥两端分别修建了长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角，下列按键顺序正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】给出三角函数值，用计算器求锐角度数 【分析】在直角三角形中，先根据AC与BC的关系找出所用的正弦三角函数，再利用科学计算器选项A按键顺序求角即可． 【详解】在Rt△ABC中，AC=40m，BC=10m， ∴sin， ∴用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键的顺序为A ． 故选择：A． 【点睛】用科学计算器求角度问题，掌握三角函数解直角三角形的方法，根据AC、BC确定使用的三角函数是解题关键． ·符号表示： ①在表示正弦、余弦、正切、余切时，单字母表示的角通常省略角的符号，而三个字母表示的角不能省略角的符号。如的正弦、余弦、正切、余切分别记为,,，；的正弦、余弦、正切、余切分别记为,，， ②,,,是完整的符号，不能写成 ，，， ·锐角三角函数值的取值范围： 在中，，、、的对边分别是，，。 由正弦、余弦、正切、余切的定义可知 ，，，. ·求一个锐角的三角函数值的方法： 锐角的三角函数是在直角三角形中定义的，当给出的三角形不是直角三角形时，需通过作高等方法构造出直角三角形。 例：如图，在△ABC中，AB=AC=3，BC=4，求sinB的值. 在Rt△ABD中,AB=3，BD=2，根据勾股定理，得, ∴. 【题型一：根据三角函数值求边长】 例1．（23-24九年级上·福建泉州·期末）在中，，那么下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知正弦值求边长、已知余弦求边长、已知正切值求边长 【分析】此题考查锐角三角函数的定义（锐角为自变量，以比值为函数值的函数），根据直角三角形中三角函数的求法得出答案． 【详解】解：如图：   、，则，故此选项结论错误，符合题意； 、，则，故此选项结论正确，不符合题意； 、，则，故此选项结论正确，不符合题意； 、，则，故此选项结论正确，不符合题意． 故选：A． 例2．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在等腰中，，，是上一点，若，则的长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知正切值求边长、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．过点D作于E，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理得到，即可证明，得到，再解得到，则，由此求出的长即可求出的长，再求出的长即可． 【详解】解：如图，过点D作于E， ∵在等腰中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 变式2-1.如图，在中，∠B＝90°，，若AB＝10，求BC的长． 【答案】 【知识点】已知余弦求边长、用勾股定理解三角形 【分析】首先根据求出AC，再根据勾股定理求出答案即可． 【详解】∵∠B＝90°， ∴． ∵AB＝10， ∴AC＝14， ∴． ∴BC的长为． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，根据余弦值求出AC是解题的关键． 变式2-2.如图，在中，，，，求的长． 【答案】． 【知识点】用勾股定理解三角形、已知正弦值求边长 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，过点A作，交的延长线于点H，则，先根据正弦的定义求出，进而利用勾股定理求出，则，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，过点A作，交的延长线于点H，则． ∵，， ∴． 在中，由勾股定理得． 又∵， ∴， ∴． 变式2-3.如图，是的高线，垂足为点是的中线．，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知正切值求边长、求角的余弦值、斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理、正切的定义、余弦的定义、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由高线的定义可得，再由正切的定义可得，进行计算即可得出答案； （2）由（1）可知：，由勾股定理可得，由直角三角形的性质可得，从而得到，最后由余弦的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：是的高线， ， 在中，， ， 解得：； （2）解：由（1）可知：， 在中，， 又是斜边上的中线， ， ， ． 例3.如图，已知和射线上一点（点与点不重合），且点到、的距离为、． (1)若，，，试比较、的大小； (2)若，，，都是锐角，且．试判断、的大小，并给出证明． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【知识点】已知正弦值求边长、已知角度比较三角函数值的大小 【分析】（1）根据三角函数的定义，分别表示出，进而根据角度比较函数值的大小即可求解； （2）同（1）的方法，即可求解． 【详解】（1）解：在中，， ， 在中，， ， 又， ； （2）解：由（1）得，， ， ， ． 【点睛】本题考查了正弦的定义，掌握三角函数的定义是解题的关键． 【题型二：根据特殊角的三角函数值求角度】 例4．已知中，，都是锐角，且，则 度． 【答案】 【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，先根据非负数的性质确定，，再根据特殊角的三角函数解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 变式4-1．（23-24九年级上·安徽六安·期末）若为锐角，，则 ． 【答案】30 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，牢记常见特殊角的三角函数值是解题的关键． 根据“”即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：30． 变式4-2．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则锐角等于（    ） A． B． C．30° D．60° 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，已知锐角三角函数求锐角；由题意，可求得的值，根据值即可求得锐角． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 即， ∴； 故选：C． 【题型三：根据特殊角的三角函数值判断三角形的形状】 例5．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）在中，，都是锐角，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】D 【知识点】由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【分析】本题考查特殊角三角函数，三角形内角和，三角形分类．熟练掌握特殊角三角函数是解题的关键． 由特殊角三角函数值计算出和的角度来即可确定． 【详解】解：， ，， 即，， ， 即为直角三角形， 故选：D． 变式5．在中，，都是锐角，且，则是 三角形． 【答案】等腰直角 【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数、绝对值非负性 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、非负数的性质及三角形的内角和定理，根据题意得，，结合特殊角的三角函数值得，，是解决问题得关键． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， 由特殊角的三角函数值以及、都是锐角， 得：，， ∵三角形内角和为， ∴， ∵，，， ∴是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角． 【题型四：已知角度比较三角函数值的大小】 例6．（22-23九年级上·福建泉州·期中）三角函数，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】互余两角三角函数的关系、已知角度比较三角函数值的大小、根据三角函数值判断锐角的取值范围 【分析】首先根据锐角三角函数的概念，知：和都小于1，大于1，故最大；只需比较和，又，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行比较解答即可． 【详解】根据锐角三角函数的概念，知． 又∵，正弦值随着角的增大而增大， ∴， ∴， 故选C ． 【点睛】本题考查锐角三角函数．掌握锐角三角函数的性质是解题关键． 变式6-1．比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知角度比较三角函数值的大小、互余两角三角函数的关系 【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，熟记锐角三角函数的增减性是解题的关键， 根据三角函数的增减性，以及互余的两个角之间的关系即可作出判断． 【详解】， ， ，， ，， ， 故选：D． 变式6-2．比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【知识点】已知角度比较三角函数值的大小 【分析】根据即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了锐角三角函数值的增减性：当角度在间变化时， ①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； ②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； ③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． 也考查了不等式的传递性． 【题型五：根据特殊角的三角函数值求角的范围】 例7．（23-24九年级上·安徽六安·期末）若，则锐角满足（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据三角函数值判断锐角的取值范围 【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，关键是熟练掌握当角度在间变化，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． 根据余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大），判定即可． 【详解】解：，， ， ， 故选：B． 变式7-1．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）若锐角满足，则锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据三角函数值判断锐角的取值范围 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，以及余弦的性质，根据余弦值随着锐角度数的增大而减小，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故选C． 变式7-2．已知，则锐角的取值范围是（ 　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据三角函数值判断锐角的取值范围、三角函数综合、互余两角三角函数的关系 【分析】根据特殊角的三角函数值，，，再由余弦函数值在锐角范围内，随角度增大而减小即可得到答案 【详解】解：，， 由可得， 在锐角范围内，余弦函数值随着角度的增大而减小， ， 故选：D． 【点睛】本题考查利用特殊角的三角函数值及余弦函数的性质比较角度大小，熟练掌握特殊角的三角函数值性质是解决问题的关键． 【题型六：利用同角或互余两角的三角函数关系求值】 例8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别∠A，∠B，∠C的对边．    (1)求的值； (2)填空：当为锐角时，______； (3)利用上述规律，求下列式子的值：． 【答案】(1)1 (2)1 (3) 【知识点】利用同角三角函数关系求值 【分析】（1）由三角函数的定义及勾股定理即可证明； （2）由（1）得出的结论解答即可； （3）由（1）得出的结论进行化简并求值即可； 【详解】（1）证明：∵在Rt△ABC中，∠C=90°， ∴a2+b2=c2． 又∵， ∴； （2）当为锐角时，， 故答案为 1； （3） = =（44个1相加） = 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义及同角三角函数的关系，熟记定义是解题的关键． 变式8．（2023·湖南娄底·一模）同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，，，．例：．若已知锐角满足条件，则 ． 【答案】 【知识点】互余两角三角函数的关系、用勾股定理解三角形 【分析】先根据求出，把变为，然后根据计算即可． 【详解】解：如图，在中，    ∵， ∴． ∵， ∴． ∵为锐角， ∴． ∵ ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角函数的运算，正确理解所给计算公式是解答本题的关键． 【题型七：利用正切值求高】 例9．（2024·广西梧州·一模）如图，要测量一座小山丘的高度，某同学在一平面内取A、B两点，且测得与山顶C点的仰角的角度为、，A、B两点的距离是a，过C点作交AB的延长线于点D，则的高度 ．（用含有、、a的式子表示） 【答案】 【知识点】已知正切值求边长、正切的概念辨析 【分析】本题主要考查了正切的定义，根据正切得定义得出，再由，然后代入化简即可得出h即可． 【详解】解：根据题意有：， ∵， ∴， 移项得：， 整理得：， 故答案为：． 变式9．（2022·上海青浦·二模）小明要测量公园里一棵古树的高，被一条小溪挡住去路，采用计算方法，在点测得古树顶的仰角为，向前走了100米到点，测得古树顶的仰角为，则古树的高度为 米． 【答案】 【知识点】正切的概念辨析、几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】由正切的定义分别确定的表达式，进而联立成方程组，求解方程组即可得到答案． 【详解】解：如图，CD为树高，点C为树顶，则，BD=AD-100 ∴依题意，有 由①得 将③代入②，解得 故答案为：． 【点睛】本题考查正切的定义，二元一次方程组得应用，能依题意根据正切的定义列出方程组是解题的关键． 【题型八：三角函数综合】 例10．（2024·山东菏泽·一模）已知的三个内角，，的对边分别为，，． 观察：若， 则有，． ． 模仿：已知，． (1)求的值； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角函数综合 【分析】本题考查三角函数边角关系，及三角形面积． （1）根据题意，观察式子由边角关系即可求解； （2）先求出c的值，由边角关系求出，根据即可求解． 【详解】（1）解：由观察可知，， ， ； （2）解：， 由观察得， ， ， 又由观察得， ， ． 例11.（23-24九年级上·上海宝山·期中）如图，中，，，D是边的中点，连结．    (1)已知，求的长； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】三角函数综合、已知余弦求边长 【分析】本题考查了解直角三角形，掌握三角函数的定义是解题的关键． （1）根据题意设，则，利用勾股定理列式计算求得，据此求解即可； （2）作于，求得，利用余弦函数求得，再利用勾股定理和余切函数的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴设，则， ∵，即， 解得， ∴； （2）解：作于，    由（1）得， ∵D是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 例12.如图，在中，，点为斜边上一点，且，将沿直线翻折，点的对应点为，则 ．    【答案】 【知识点】三角函数综合、折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了圆内接四边形的知识，正弦函数，折叠的性质以及勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．先证明、、、四点共圆，推出，过点作于点，利用平行线分线段成比例定理得到，由勾股定理得到，再由正弦函数即可求解． 【详解】解：，， ， 由折叠性质得， ， 、、、四点共圆， ， 过点作于点，   ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 设，则， 在中，， ， 故答案为： 变式12-1．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在正方形中，点为边的中点，连接、、，且交于，交于，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，锐角三角函数，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识．由相似三角形的判定和性质可求，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，，， 点为边的中点， ， ， ∴， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， 故选：A． 变式12-2．如图，在四边形中，，．记，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角函数综合、用勾股定理解三角形、三线合一、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了三角函数，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点作于，作的角平分线交于，过点作于，由题意可得，，，由得到，再证明，得到，，进而得到，由可得，求得，，再勾股定理可得，，，得到，由求出，再利用勾股定理即可求出的长，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作于，作的角平分线交于，过点作于，则， ∵，，， ∴，，， ∵平分， ∴， 设，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，， 当时，， ∴不合，舍去， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 一、选择题 1．在中，， 各边都扩大5倍， 则锐角A的三角函数值（     ） A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定 【答案】A 【知识点】三角函数综合 【分析】本题考查锐角三角函数，根据锐角的度数确定，锐角的三角函数值为定值，即可得出结果． 【详解】解：由题意，可知，各边都扩大5倍，锐角A的度数不变， ∴锐角A的三角函数值不变； 故选A． 2．（22-23九年级上·上海·期中）已知为锐角，且，那么的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用同角三角函数关系求值 【分析】首先根据求出，然后根据求解即可． 【详解】∵，为锐角， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】此题考查了求角的正切值，解题的关键是熟练掌握三角函数公式． 3．（23-24九年级上·安徽六安·期末）下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】互余两角三角函数的关系 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟知互余两角三角函数的关系是解答此题的关键．分别根据锐角三角函数的定义及互余两角三角函数的关系进行解答即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，选项正确，符合互余两角的三角函数关系，符合题意． 故选：D． 4．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）在中，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求角的余弦值、已知正切值求边长 【分析】本题考查求角的余弦值，根据，设，，勾股定理得到，再利用，求解即可． 【详解】解：∵， 设，， 则：， ∴； 故选A． 5．（2024九年级·全国·竞赛）在中，，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求角的正弦值、求角的余弦值、求角的正切值、求证同角三角函数关系式 【分析】本题考查锐角三角函数的概念，勾股定理，在中，，的a，的b，的c，则，，．熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据锐角三角函数的概念，确定锐角三角函数值的取值范围用三角函数间的关系． 【详解】解：如图，在中，， A、∵，，又∵不能比较a、b大小，∴不能判定与的大小，∴错误；故此选项不符合题意； B、∵，又∵，，但不能比较a、b大小，∴，故此选项不符合题意； C、∵，，∴，又∵ ∴，故此选项不符合题意； D、∵，，∴，又由勾股定理，得，∴，∴，故此选项符合题意． 故选：D． 6．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）观察下列各式：①；②（是锐角）；③，其中成立的有(   ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【知识点】特殊三角形的三角函数、三角函数综合 【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性、特殊角的三角函数值，根据锐角三角函数的增减性、特殊角的三角函数值逐项判断即可得出答案，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 【详解】解：由正弦值随着角度的增大而增大可知，故①正确，符合题意； 是锐角， ，故②正确，符合题意； ，故③错误，不符合题意； 综上所述，成立的有①②，共2个， 故选：C． 7．（22-23九年级上·安徽安庆·期中）已知 为锐角，则的值（    ） A． ​ B． ​ C． ​ D． ​ 【答案】A 【知识点】三角函数综合、三角形三边关系的应用 【分析】根据锐角三角函数的概念，可以用直角三角形的边进行表示，再进一步根据三角形的三边关系进行分析． 【详解】解：设在直角三角形中，，， 故，， 则， 故选A． 【点睛】此题综合考查了锐角三角函数的概念，以及三角形的三边关系． 8．（22-23九年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，点A在x轴上，点B，C在y轴上，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角函数综合、相似三角形的判定与性质综合 【分析】由得到，所以，即两角互余，即可得到 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了两角互余时角的三角函数关系及相似三角形的判定和性质，熟练掌握三角函数关系是解题的关键 二、填空题 9．在中，，则 ； ； 【答案】 【知识点】求角的正弦值、求角的余弦值、求角的正切值 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，根据勾股定理，可得与的关系．根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 【详解】∵ ∴， ，，， 故答案为：，，． 10．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）若锐角满足，则 ． 【答案】 【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数、特殊三角形的三角函数 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．直接利用特殊角的三角函数值进而得出答案． 【详解】解：， 锐角． ． 故答案为：． 11．已知，，则 ． 【答案】/ 【知识点】互余两角三角函数的关系 【分析】应用互余两角三角函数的关系进行计算即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得，， ， ， ， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了互余两角三角函数的关系，熟练掌握互余两角三角函数的关系进行求解是解决本题的关键． 12．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）在正方形网格中位置如图所示，则的值为 ． 【答案】/ 【知识点】求角的余弦值 【分析】本题考查了求余弦；根据网格可得，勾股定理得出，进而根据余弦的定义，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 13．（22-23九年级上·安徽滁州·阶段练习）在中，三边之比为，则 ． 【答案】 【知识点】三角函数综合、判断三边能否构成直角三角形 【分析】根据判定三角形是直角三角形，根据三角函数的定义计算即可． 【详解】∵， 设， 且， ∴是直角三角形，且， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，三角函数的混合运算，正确运用勾股定理的逆定理，合理运算是解题的关键． 14．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，点在边上，满足，若，则图中等于的角有 个． 【答案】2 【知识点】互余两角三角函数的关系、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，先证明，可得，，再证明即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：2 三、解答题 15．（1）（2024·安徽滁州·三模）计算：； （2）（2024·安徽合肥·三模）计算：． 【答案】（1）；（2）3. 【知识点】实数的混合运算、零指数幂、二次根式的加减运算、特殊三角形的三角函数 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据零指数幂，算术平方根，特殊角的三角函数值，化简绝对值进行计算，即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解：原式 16. (1)； (2) ． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）先将特殊角三角函数值代入，然后先算乘法，再算加法； （2）先将特殊角三角函数值代入，然后先算乘方，再算乘除，最后算加减． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 【点睛】本题考查特殊角三角函数值，二次根式的混合运算，掌握特殊角三角函数值以及二次根式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键． 17．（2023·浙江台州·二模）某校在漩门湾进行船只模型比赛，小船需从A点行驶至C点，已知，，若小船沿比赛路线从A点出发行驶30m后到达终点C，求BC的长．（结果保留整数，参考数据：，，）    【答案】25m 【知识点】已知正切值求边长 【分析】根据题意可得每个角的度数，运用锐角三角函数的定义，进行求解即可． 【详解】解：由题意可知，，，， 在中，， 即． 答：BC的长约为25m． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 18．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如图，在中，于． (1)求证：； (2)如果，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】已知正切值求边长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、正切的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质，证明是解此题的关键． （1）证明，可得，即可得证； （2）由相似三角形的性质可得，再由可得，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 又， ∴， ， ； （2）解：， ， 又， ， 又， ． 19．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，在中，，． (1)求的值； (2)延长至点，使得，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知正切值求边长、求角的正弦值、三线合一 【分析】 本题考查三角函数求值，等腰三角形性质． （1）根据题意过点作，利用等腰三角形性质即可求得本题答案； （2）根据题意利用即可求出本题答案． 【详解】（1）解：作，垂足为， ， ∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 20．（2023·河北保定·二模）嘉嘉在某次作业中得到如下结果： ， ， ， ， ． 据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角，，若，均有． (1)当，时，验证是否成立？ (2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示给予证明，其中所对的边为，所对的边为，斜边为；若不成立，请举出一个反例； (3)利用上面的证明方法，直接写出与，之间的关系． 【答案】(1)成立，见解析 (2)成立，见解析 (3) 【知识点】互余两角三角函数的关系、求证同角三角函数关系式 【分析】（1）直接根据特殊角的三角函数值代入计算验证即可； （2）根据正弦函数的定义列出，，结合勾股定理整理化简即可证得结论； （3）根据正切函数的定义列出表达式，然后结合中，，，再变形代入整理即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴，结论成立； （2）解：成立．理由如下： 在中，，且， ∴，故结论成立； （3）解：，理由如下： 在中，，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查余角之间的三角函数关系，以及同角三角函数关系的推理证明，理解三角函数的基本定义，灵活变形构造是解题关键． 21．（22-23九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，一栋楼房上悬挂了一盏激光灯．已知为，测角仪支架和的高为，小欢在E处测得激光灯底部点D的仰角为，小乐在F处测得激光灯顶部点C的仰角为，．请根据相关测量信息，求出激光灯底部点D到地面的距离的长．（图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内．参考数据：，，） 【答案】 【知识点】三角函数综合 【分析】如图：延长交于N，易得是等腰直角三角形，设，则，，在中，利用三角函数可求出，从而求得的长． 【详解】解：如图，延长EF交CH于点N， 则，． ∵， ∴． 设， ∵， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴，解得， ∴， ∴． 答：点D到地面的距离的长约为． 【点睛】本题考查了利用三角函数的应用，正确做辅助线构造直角三角形是解题的关键． 22.如图，在中，，再添加一个条件就能够证明是直角三角形．    (1)给出下列四个条件：①；②；③；④，其中可以选择的条件有____________（填序号）； (2)在你所填的序号中，选择其中一个加以证明． 【答案】(1)②④ (2)见解析 【知识点】互余两角三角函数的关系、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查锐角三角函数，以及相似三角形的判定和性质． （1）根据锐角三角函数的定义，结合相似三角形的判定和性质，逐一进行判断即可； （2）选择②，根据，得到，进而得到即可；选择④，等积式化为比例式，证明，得到，进而得到即可． 掌握锐角三角函数的定义，以及相似三角形的判定是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，如图可知，均为锐角， ∴， ∴是等腰三角形，无法得到是直角三角形；故①错误； ②当时， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故②正确； 若是直角三角形，则：， ∵， ∴， ∴， ∴，与不符；故③错误； 当， 则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故④正确； 综上：可以选择的是②④； 故答案为：②④； （2）选择②，证明如下： 当时， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； 选择④，证明如下： 当， 则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$