任意角和弧度制、三角函数的概念训练-2025届高三数学一轮复习

新教材2025年高考数学复习 同步小题训练 (任意角和弧度制、三角函数的概念) 姓名 总分 . 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．sin 2·cos 3·tan 4的值(　　) 　　A．小于0 　　B．大于0　　　 　　C．等于0 　　 　　D．不存在 2．若α是第三象限角，则下列各式中成立的是(　　) 　　A. tan α－sin α>0 B. sin α＋cos α>0　　C. cos α－tan α>0 D.tan αsin α>0 3．已知：点P(1，t)在角θ的终边上，且sin θ＝－，则cos θ的值为(　　) 　　A. B.± C.± D. 4．在平面直角坐标系中，点在单位圆上，且点在第一象限，横坐标是，将点绕原点顺时针旋转到点，则点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 5．已知：角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，m)，B(m，4)，则cos α＝(　　) 　　A.± 　B. C.± D. 6．已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.若扇形的周长是40 cm，，这个扇形的面积最大时. 当扇形的圆心角α的弧度数是（ ） 　　A. 2 B. 4 C. D. 1 7．若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为(　　) A. 　　　　B. 　　　　 C．3 　　　 D. 8．月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓彻”，因其形酷似一弯新月而得名.如图所示，某月牙泉模型的边缘都可以看作是圆弧，两段圆弧可以看成是△ABC的外接圆和以AB为直径的圆的一部分.若∠ACB＝，AB的长约为20，则该月牙泉模型的面积约为(　　) 　　A.300－50π B.120π＋150 　　C.100π＋180 D.120π＋180 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 9．(多选)下列说法正确的有(　　) 　　A.角与角－π终边相同 　　B.终边在直线y＝－x上的角α的取值集合可表示为{α|α＝k·360°－45°，k∈Z} 　　C. 圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角等于 　　D.67°30′化成弧度是 10．已知：点P(sin x－cos x，－3)在第三象限，则x可能位于的区间是(　　) 　　A. B.　 　C. D. 11．已知：角α是第二象限角，则下列不等式一定成立的是(　　) 　　A. sin <0 B. tan >0 　　C. sin >cos D. > 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共15分． 12．若P(cos θ，sin θ )与Q，关于y轴对称，写出一个符合题意的θ值为________. 13．如图，在Rt△PBO中，∠PBO＝90°，以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP于点A.若圆弧AB等分△POB的面积，且∠AOB＝α，则＝______. 14．数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法：先画等边△ABC，再分别以A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形(如图所示).若莱洛三角形的周长为2π，则其面积是________. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$1 新教材 2025 年高考数学复习 同步小题训练 (任意角和弧度制、三角函数的概念) 姓名 总分 . 一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的． 1．sin 2·cos 3·tan 4 的值( ) A．小于 0 B．大于 0 C．等于 0 D．不存在 2．若 α是第三象限角，则下列各式中成立的是( ) A. tan α－sin α>0 B. sin α＋cos α>0 C. cos α－tan α>0 D.tan αsin α>0 3．已知：点 P(1，t)在角 θ的终边上，且 sin θ＝－ 6 3 ，则 cos θ的值为( ) A. 3 3 B.± 3 3 C.± 1 3 D. 1 3 4．在平面直角坐标系 xOy 中，点 ,A B在单位圆上，且点A 在第一象限，横坐标是 3 5 ，将点A 绕原点O 顺时针旋转 π 2 到 B 点，则点 B 的横坐标为（ ） A. 3 5 B. 3 5 C. 4 5 D. 4 5  5．已知：角 α的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有两点 A(1，m)，B(m，4)，则 cos α＝( ) A.± 5 5 B. 5 5 C.± 2 5 5 D. 2 5 5 6．已知扇形的圆心角是 α，半径为 R，弧长为 l.若扇形的周长是 40 cm，，这个扇形的面积最大时. 当扇形的 圆心角 α的弧度数是（ ） A. 2 B. 4 C. 3  D. 1 7．若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( ) A. π 6 B. π 3 C．3 D. 3 8．月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓彻”，因其形酷似一弯新 月而得名.如图所示，某月牙泉模型的边缘都可以看作是圆弧，两段圆弧可以看成是△ABC 的外接圆和以 AB 为直径的圆的一部分.若∠ACB＝ 5π 6 ，AB 的长约为 20 3，则该月牙泉模型的面积约为( ) 2 A.300 3－50π B.120π＋150 3 C.100π＋180 3 D.120π＋180 3 二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分，有选错的得 0分，部分选对的得 3分． 9．(多选)下列说法正确的有( ) A.角 π 3 与角－ 5 3 π 终边相同 B.终边在直线 y＝－x 上的角 α的取值集合可表示为{α|α＝k·360°－45°，k∈Z} C. 圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角等于 3  D.67°30′化成弧度是 3π 8 10．已知：点 P(sin x－cos x，－3)在第三象限，则 x 可能位于的区间是( ) A.      5π 4 ， 9π 4 B.       － π 4 ， 3π 4 C.       － π 2 ， π 2 D.       － 3π 4 ， π 4 11．已知：角 α是第二象限角，则下列不等式一定成立的是( ) A. sin α 2 <0 B. tan α 2 >0 C. sin α 2 >cos α 2 D.       sin α 2 >       cos α 2 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，多空题，第一空 2分，第二空 3分，共 15 分． 12．若 P(cos θ，sin θ )与 Q    cos       θ＋ π 6 ， sin θ＋ π 6 关于 y 轴对称，写出一个符合题意的 θ值为 ________. 13．如图，在 Rt△PBO 中，∠PBO＝90°，以 O 为圆心、OB 为半径作圆弧交 OP 于点 A.若圆 弧 AB 等分△POB 的面积，且∠AOB＝α，则 α tan α ＝______. 14．数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形 的画法：先画等边△ABC，再分别以 A，B，C 为圆心，线段 AB 长为半径画圆弧，便得到莱洛 三角形(如图所示).若莱洛三角形的周长为 2π，则其面积是________. 新教材2025年高考数学复习 同步小题训练 (任意角和弧度制、三角函数的概念) 姓名 总分 . 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．sin 2·cos 3·tan 4的值(　　) 　　A．小于0 　　B．大于0　　　　　C．等于0 　　　　D．不存在 答案　A 解析　因为<2<3<π<4<， 所以2 rad和3 rad的角是第二象限角，4 rad的角是第三象限角， 所以sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0， 所以sin 2·cos 3·tan 4<0. 2．(2024·成都石室中学模拟)若α是第三象限角，则下列各式中成立的是(　　) 　　A.tan α－sin α>0 B.sin α＋cos α>0 　　C.cos α－tan α>0 D.tan αsin α>0 答案　A 解析　因为α是第三象限角， 所以sin α<0，cos α<0，tan α>0， 对于A，tan α－sin α>0，故A正确； 对于B，sin α＋cos α<0，故B错误； 对于C，cos α－tan α<0，故C错误； 对于D，tan αsin α<0，故D错误. 3．(2024·南通质检)已知:点P(1，t)在角θ的终边上，且sin θ＝－，则cos θ的值为(　　) 　　A. B.± C.± D. 答案　A 解析　由点P(1，t)在角θ的终边上， 知sin θ＝－＝， 得t＝－，可得角θ为第四象限角， ∴cos θ＝＝. 4．（2023秋·江苏南通海安·高三实验中学月考）在平面直角坐标系中，点在单位圆上，且点在第一象限，横坐标是，将点绕原点顺时针旋转到点，则点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】点，在单位圆上，且点在第一象限，设射线对应的角为，横坐标是，故点的纵坐标为， 将点绕原点顺时针旋转到点，则射线对应的终边对应的角为， 则点的横坐标为. 故选：C． 5．(2024·广州调研)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，m)，B(m，4)，则cos α＝(　　) 　　A.± 　B. C.± D. 答案　B 解析　记O为坐标原点，由题意可知O(0，0)，A(1，m)，B(m，4)三点共线，则m≠0， 所以＝，解得m＝±2， 又A，B两点位于同一象限， 所以m＝2，则A(1，2)， 所以cos α＝＝＝. 6．已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.若扇形的周长是40 cm，，这个扇形的面积最大时. 当扇形的圆心角α的弧度数是（ ） 　　A. 2 B. 4 C. D. 1 答案　A 解析　由已知，得l＋2R＝40， 所以S＝lR＝(40－2R)R＝20R－R2 ＝－(R－10)2＋100. 所以当R＝10(cm)时，S取得最大值， 此时l＝20(cm)，α＝2. 7．若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为(　　) 　　A. 　　　　B. 　　　　 C．3 　　　 D. 答案　D 解析　如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形， 则线段AB所对的圆心角∠AOB＝，作OM⊥AB，垂足为M， 在Rt△AOM中，AO＝r，∠AOM＝， ∴AM＝r，AB＝r， ∴l＝r， 由弧长公式得α＝＝＝. ８．(2024·绵阳模拟)月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓彻”，因其形酷似一弯新月而得名.如图所示，某月牙泉模型的边缘都可以看作是圆弧，两段圆弧可以看成是△ABC的外接圆和以AB为直径的圆的一部分.若∠ACB＝，AB的长约为20，则该月牙泉模型的面积约为(　　) 　　A.300－50π B.120π＋150 　　C.100π＋180 D.120π＋180 答案　A 解析　如图，设△ABC外接圆圆心为O，半径为R， 则2R＝＝＝40， R＝20＝AB， 因此∠AOB＝，△ABC所在弓形的面积 S＝×πR2－R2 ＝×(20)2－×(20)2 ＝200π－300， 从而阴影部分面积 S′＝π×(10)2－S＝300－50π. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 9．下列说法正确的有(　　) 　　A.角与角－π终边相同 　　B.终边在直线y＝－x上的角α的取值集合可表示为{α|α＝k·360°－45°，k∈Z} 　　C. 圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角等于 　　D.67°30′化成弧度是 答案　ACD 解析　角与角－π相差2π，终边相同，故A正确； 终边在直线y＝－x上的角α的取值集合可表示为{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}，故B错误； 对于C，圆的一条弦长等于半径，故由此弦和两条半径构成的三角形是等边三角形， 所以弦所对的圆心角为，故C正确； 67°30′化成弧度是，故D正确. 10．已知点P(sin x－cos x，－3)在第三象限，则x可能位于的区间是(　　) 　　A. B. 　　C. D. 答案　AD 解析　由点P(sin x－cos x，－3)在第三象限， 可得sin x－cos x<0，即sin x<cos x， 所以－＋2kπ<x<＋2kπ，k∈Z. 当k＝0时，x所在的一个区间是， 当k＝1时，x所在的一个区间是. 11．(2024·南开中学质检)已知角α是第二象限角，则下列不等式一定成立的是(　　) 　　A. sin <0 B. tan >0 　　C. sin >cos D. > 答案　BD 解析　由题设，2kπ＋<α<2kπ＋π，k∈Z， 故kπ＋<<kπ＋，k∈Z， 当k＝2n，n∈Z时，2nπ＋<<2nπ＋，n∈Z，则角的终边在第一象限左上部分(不含边界)； 当k＝2n＋1，n∈Z时，2nπ＋<<2nπ＋，n∈Z，则角的终边在第三象限右下部分(不含边界)； 所以角的终边在第一象限左上部分或第三象限右下部分(不含边界)； 故sin 符号不确定，且与cos 大小关系不确定，tan >0，>.B，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共15分． 12．(2021·北京卷)若P(cos θ，sin θ)与Q，关于y轴对称，写出一个符合题意的θ值为________. 答案　 解析　由题意知，点P，Q都在单位圆上，且θ＋θ＋＝π＋2kπ，k∈Z，所以θ＝＋kπ，k∈Z. 13．如图，在Rt△PBO中，∠PBO＝90°，以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP于点A.若圆弧AB等分△POB的面积，且∠AOB＝α，则＝______. 答案　 解析　设扇形的半径为r，则扇形的面积为αr2. 在Rt△PBO中，PB＝rtan α， 所以△POB的面积为r·rtan α. 由题意得r2tan α＝2×αr2， 所以tan α＝2α，所以＝. 14．数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法：先画等边△ABC，再分别以A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形(如图所示).若莱洛三角形的周长为2π，则其面积是________. 答案　2π－2 解析　由条件可知，弧长＝＝＝，等边三角形的边长AB＝BC＝AC＝＝2，则以点A，B，C为圆心，圆弧AB，BC，AC所对的扇形面积为××2＝，中间等边△ABC的面积S＝×2×＝. 所以莱洛三角形的面积是3×－2＝2π－2. 16.若角α的终边落在直线y＝x上，角β的终边与单位圆交于点，且 sin αcos β<0，则cos αsin β＝________. 答案　± 解析　由角β的终边与单位圆交于点，得cos β＝， 又由sin αcos β<0知，sin α<0， 因为角α的终边落在直线y＝x上， 所以角α只能是第三象限角. 记P为角α的终边与单位圆的交点， 设P(x，y)(x<0，y<0)， 又由y＝x得x＝－，y＝－， 所以cos α＝x＝－. 因为点在单位圆上， 所以＋m2＝1，解得m＝±， 所以sin β＝±， 所以cos αsin β＝±. 8 学科网（北京）股份有限公司 $$