精品解析：上海市复旦大学附属中学2024-2025学年高三上学期开学拓展考试数学试题

复附2024学年第一学期高三年级数学拓展考 2024.09 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 直线的倾斜角是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】求出直线的斜率可得倾斜角． 【详解】设直线的倾斜角为，斜率为k，由题意得， 即，又，则， 故直线的倾斜角是． 故答案为：. 2. 已知复数满足（是虚数单位），则___________. 【答案】5 【解析】 【分析】根据复数除法运算和共轭复数、模长的定义求解即可. 【详解】由可得， 所以，， 故答案为：5 3. 已知随机变量的方差，则随机变量的方差______ 【答案】 【解析】 【分析】利用方差的性质直接计算求解即可. 【详解】因为随机变量的方差，随机变量， 所以 故答案为： 4. 已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝，则cos2α＝________． 【答案】－ 【解析】 【详解】∵sinα＋cosα＝，∴(sinα＋cosα)2＝， ∴2sinαcosα＝－，即sin2α＝－. ∵α为第二象限角且sinα＋cosα＝>0， ∴2kπ＋<α<2kπ＋π(k∈Z)，∴4kπ＋π<2α<4kπ＋π(k∈Z)，∴2α为第三象限角，∴cos2α＝－＝－ 5. 在中，若，，，则的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦定理求，再根据三角形面积公式求结果. 【详解】因为, 所以（负值舍去） 因此的面积是 故答案为 【点睛】本题考查余弦定理以及三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题. 6. 已知向量、满足，且在上的数量投影为，则__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据投影数量可得，结合向量夹角公式运算求解. 【详解】因为在上的数量投影为， 则，解得， 可得， 且，所以. 故答案为：. 7. 设若是的最小值，则的取值范围是　　　　　. 【答案】 【解析】 【详解】由题意，当时，的极小值为，当时，极小值为，是的最小值，则. 【考点】函数的最值问题.. 8. 设是定义在上的函数，且满足.若是奇函数，是偶函数，则的值为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据奇偶性定义求解． 【详解】由题意（1），（2） 由（2）得，代入（1）得， 令得，． 故答案为：． 9. 如果关于的不等式的解集为一切实数，那么的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【详解】因为不等式意味着函数的图象要在函数的图象的“下方”，如图，要使的图象在的“下方”，必须且只须. 10. 已知，，若曲线上存在点满足，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】曲线上存在点满足，等价于与以A、B为焦点的双曲线右支相交，根据双曲线渐近线性质即可求解． 【详解】若，，且， 则点在以A、B为焦点的双曲线的右支上，且，， ∴，，∴双曲线方程为， 其渐近线方程为， 则曲线上存在点满足， 等价于与双曲线相交，∴． 故答案为：． 11. 已知全集，若集合，且对任意，均存在，使得：，则称集合为“对称对点集”.给出如下集合： （1）； （2）； （3）； （4）. 其中是“对称对点集”的序号为__________（写出所有正确的序号） 【答案】（1）（4） 【解析】 【分析】对于（1）（4）直接根据集合新定义说明即可；对于（2）（3）举反例说明即可. 【详解】对于（1），显然，且对任意，取，此时， 且，故（1）符合题意； 对于（2），若，，则， 所以与同号，而同号的两个数相加不可能等于0，故（2）不符合题意； 对于（3），若，，而当时，， 此时如果有，就意味着，但事实上，故（3）不符合题意； 对于（4），显然，且对任意，即，取， 此时有，即，且满足，故（4）符合题意. 故答案为：（1）（4）. 12. 关于x的方程有实根，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】方程的根转化到直线上，利用点到直线距离，结合函数的单调性解得最小值. 【详解】设方程的实根为，则，点是直线上任意一点， ．设，，， 在单调递减， 在单调递增，从而，最小值为． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查点到直线距离，关键利用函数导数判断函数的单调性，解得最小值,注意等价转化思想的合理运用. 二、选择题（本大题共4小题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 设、是非零向量，则“”是“为锐角”的（ ）条件. A. 充分必要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 既非充分又非必要 【答案】C 【解析】 【分析】先考虑必要性，再考虑充分性可得解. 【详解】当“为锐角”时，，所以“”是“为锐角”的必要条件； 当时，，所以“”是“为锐角”的不充分条件. 所以“”是“为锐角”的必要不充分条件. 故选：C. 14. 装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（ ） A. ① B. ①② C. ②③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】写出事件的全部基本事件，再根据互斥事件、对立事件的定义判断即可. 【详解】解：设事件=｛装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球｝， 则所以包含的基本事件为：{(红，红)，(红，白)，(红，黑)，(白，白)，(白，黑)，(黑，黑)}， 事件=｛两球都不是白球｝={(红，红)，(红，黑)，(黑，黑) }； 事件｛两球恰有一个白球｝=｛(红，白)，(白，黑)}， 事件｛两球至少有一个白球｝={(红，白)，(白，白)，(白，黑)}， 事件｛两球都为白球｝=｛(白，白)｝， 由互斥事件及对立事的定义可知事件、事件与均是互斥而非对立的事件. 故选：B 15. 如图，正方体中，M是的中点，则（ ） A. 直线与直线相交，直线平面 B. 直线与直线平行，直线平面 C. 直线与直线AC异面，直线平面 D. 直线与直线垂直，直线∥平面 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知，以D点为坐标原点，建立空间直角坐标系，用空间向量来研究直线和平面、直线和直线的位置关系较为简单，用向量的共线定理证明两直线是否平行或异面，根据直线的方向向量与平面的法向量垂直或平行，得出直线与平面是否平行或垂直，再对选项进行逐一分析判断即可得出结论. 【详解】解：因为是正方体，不妨设棱长为2，以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系： 则，，，，，，，， 又M为的中点，故可得，，， 设平面的法向量为， 则，即，不妨取，故可得． 设平面的法向量为 则，即，不妨取，故可得． 对A：因为，，故BM，不相交，故错误； 对B：，，不存在非零实数，使得， 故MB，不平行，故错误； 对C：，平面的法向量为， 不存在非零实数，使得，故MB与平面不垂直，故错误； 对D：，，则，故直线MB与垂直； 又，故MB与平面平行，故正确； 故选：D． 16. 已知是定义在上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，设函数，下列说法正确的是（ ） A. 若在上单调递增，则存在实数，使得在上单调递增 B. 对于任意实数，若在上单调递增，则在上单调递增 C. 对于任意实数，若存在实数，使得，则存在实数，使得 D. 若函数满足：当时，，当时，，则为的最小值 【答案】D 【解析】 【分析】首先理解函数表达的是函数图象上两点割线的斜率，当时，表示的为切线斜率，然后举反例设可判断A错误；设可得B错误；设可得C错误；由函数单调性的定义可以判断D正确. 【详解】函数表达的是函数图象上两点割线的斜率，当时，表示的为切线斜率； 对于A：因为是定义在上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，且在上单调递增， 所以设，则，此时为常数，即任意两点的割线的斜率为常数，故A错误； 对于B：设， 由图象可知， 当时，随增大，点与点连线的割线斜率越来越大，即单调递增，但在不是单调函数，故B错误； 对于C：因为对于任意实数存在实数，使得，说明为有界函数，所以设， 函数在上有界，但当且x趋近于-2时、、且x趋近于2时导函数无界，故割线的斜率不一定有界，如图 当点向点靠近时，割线斜率近似等于点处切线的斜率，故C错误； 对于D：因为函数满足：当时，， 即， 因为，，所以； 同理，当时，， 即， 因为，，所以； 所以为的最小值，故D正确； 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解函数表达的是函数图像上两点割线的斜率，当时，表示的为切线斜率，然后通过熟悉的函数可逐项判断. 三、解答题（本大题共5题，满分78分） 17. 某公司今年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元.同时，公司每年需要付出设备的维修和工人工资等费用，第一年各种费用2万元，第二年各种费用4万元，以后每年各种费用都增加2万元. （1）引进这种设备后，求该公司使用这种设备后第年后所获利润； （2）这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大? 【答案】（1） （2）这种设备使用5年，该公司的年平均获利最大 【解析】 【分析】（1）由题意可知，每年的各种费用是以2为首项，2为公差的等差数列，所以可以设出纯收益和使用年数n的关系式； （2）根据年平均收益函数表达式，借助基本不等式即可求出最大值. 【小问1详解】 由题意知：每年的各种费用是以2为首项，2为公差的等差数列， 所以， 【小问2详解】 年平均收入为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以这种设备使用5年，该公司的年平均获利最大. 18. 已知圆锥母线长为6，底面圆半径长为4，点M是母线的中点，是底面圆的直径，底面半径与母线所成角的大小等于． （1）当时，求异面直线与所成角； （2）当三棱锥的体积最大时，求的值． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，得是与所成的角或其补角，是与所成的角或其补角，根据异面直线所成角的定义分类讨论，求得，从而求得结论； （2）由体积公式确定三棱锥体积最大时，然后求出相应线段长得异面直线所成的角． 【小问1详解】 取中点，因为是中点，则，是中点，则， 所以是与所成的角或其补角，是与所成的角或其补角． ，，， 若，则， ，， 是圆锥的高，而在底面上，因此， 所以，所以，； 若若，则， ，， 是圆锥的高，而在底面上，因此， 所以，所以，． 小问2详解】 三棱锥中顶点到底面的距离不变，只有最大时，三棱锥的体积最大， ， 所以时，最大． 此时， ， ，． 所以． 19. 为了缓解高三学生学业压力，学校开展健美操活动，高三某班文艺委员调查班级学生是否愿意参加健美操，得到如下的列联表. 性别 愿意 不愿意 男生 6 10 女生 18 6 （1）根据该列联表，并依据显著水平的独立性检验，判断能否认为“学生性别与是否愿意参加健美操有关”； （2）在愿意参加的所有学生中，根据性别，分层抽样选取8位学生组织班级健美操队，并从中随机选取2人作为领队，记这2人中女生人数为随机变量，求的分布及期望. 附：. 【答案】（1）能 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）完善列联表，作出零假设，根据独立性检验公式计算的值，推断出零假设成立与否，从而得出判断； （2）根据列联表得出选取8人中男生与女生人数，由超几何分布计算出对应概率值，得出随机变量的分布列，求出数学期望. 【小问1详解】 列联表如下： 性别 愿意 不愿意 合计 男生 6 10 16 女生 18 6 24 合计 24 16 40 零假设为：是否愿意参加健美操与学生性别无关. 根据列联表中的数据，可得, 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立, 既认为是否愿意参加健美操与学生性别有关联，此判断犯错误的概率不大于0.005. 【小问2详解】 根据列联表可得愿意参加健美操的学生中女生占全部的， ∴选取的8人中，女生有人，男生有人， ∴随机变量的可取值：0,1,2. ∴，，. ∴随机变量的分布列： 0 1 2 数学期望. 20. 已知椭圆的左右焦点分别为，离心率，点分别是椭圆的右顶点和上顶点，的边上的中线长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线交椭圆于两点，若，求直线的方程； （3）直线过右焦点，且它们的斜率乘积为，设分别与椭圆交于点和．若分别是线段和的中点，求面积的最大值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据的边上中线为得，再联立即可求解； （2）设直线的方程为，，联立直线与椭圆方程得，再由，即，最后代入即可求解； （3）设直线的方程为,则直线的方程为，分别与椭圆方程联立，通过韦达定理求出中点的坐标，观察坐标知，的中点坐标在轴上，则整理后利用基本不等式即可得到面积的最值. 【小问1详解】 由题意，因为，为直角三角形，所以. 又，所以，所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）知，,显然直线的斜率存在， 设直线的方程为，， 联立消去得，， 所以，即. 且， 因为，所以， 所以，即， 所以， 整理得， 即， 化简得，即满足条件， 所以直线的方程为或， 即直线的方程为或. 【小问3详解】 由题意，, 设直线的方程为,， 则直线的方程为，， 联立消去得， 所以 所以 所以， 同理联立消去得， 所以 所以 所以， 即的中点. 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的面积最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题考查待定系数法求椭圆的标准方程，直线与椭圆综合应用问题，利用基本不等式求最值，第三问的解题关键是分类联立直线与椭圆方程，求出的坐标，观察坐标知，的中点坐标在轴上，则整理后利用基本不等式得到面积的最值. . 21. 若函数满足：对任意正数，都有，则称函数为“H函数”． （1）试判断函数与是否为“H函数”，并说明理由； （2）若函数是“H函数”，求实数a的取值范围； （3）若函数为“H函数”，，对任意正数s、t，都有，，证明：对任意，都有． 【答案】（1）是“H函数”， 不是“H函数”，理由见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据“H函数”的定义并结合举反例的方法进行判断即可； （2）根据函数是“H函数”列出不等式，转化为求最值问题即可； （3）由题意令，得到，进而得到和即可得证. 【小问1详解】 对于任意，，， 所以， 即成立， 故是“H函数”； 对于， 取，则，． 因为，故不是“H函数” 【小问2详解】 因为函数是“H函数”， 所以对于任意的，有恒成立， 即恒成立， 所以恒成立， 又，故，则， 则，即，即实数a的取值范围为 【小问3详解】 由函数为“H函数”，可知对于任意正数， 都有，，且， 令，可知，即， 故对于自然数k与正数s， 都有， 对任意，可得，又， 所以， 同理， 故 【点睛】方法点睛：针对一般的函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 复附2024学年第一学期高三年级数学拓展考 2024.09 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 直线的倾斜角是___________． 2. 已知复数满足（是虚数单位），则___________. 3. 已知随机变量的方差，则随机变量的方差______ 4. 已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝，则cos2α＝________． 5. 在中，若，，，则的面积是________． 6. 已知向量、满足，且在上数量投影为，则__________ 7. 设若是最小值，则的取值范围是　　　　　. 8. 设是定义在上的函数，且满足.若是奇函数，是偶函数，则的值为___________. 9. 如果关于的不等式的解集为一切实数，那么的取值范围是_________. 10. 已知，，若曲线上存在点满足，则的取值范围是___________. 11. 已知全集，若集合，且对任意，均存在，使得：，则称集合为“对称对点集”.给出如下集合： （1）； （2）； （3）； （4）. 其中是“对称对点集”的序号为__________（写出所有正确的序号） 12. 关于x的方程有实根，则的最小值为______． 二、选择题（本大题共4小题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 设、是非零向量，则“”是“为锐角”的（ ）条件. A. 充分必要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 既非充分又非必要 14. 装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（ ） A. ① B. ①② C. ②③ D. ①②③ 15. 如图，正方体中，M是的中点，则（ ） A. 直线与直线相交，直线平面 B 直线与直线平行，直线平面 C. 直线与直线AC异面，直线平面 D. 直线与直线垂直，直线∥平面 16. 已知是定义在上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，设函数，下列说法正确的是（ ） A. 若在上单调递增，则存在实数，使得在上单调递增 B. 对于任意实数，若在上单调递增，则在上单调递增 C. 对于任意实数，若存在实数，使得，则存在实数，使得 D. 若函数满足：当时，，当时，，则为的最小值 三、解答题（本大题共5题，满分78分） 17. 某公司今年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元.同时，公司每年需要付出设备的维修和工人工资等费用，第一年各种费用2万元，第二年各种费用4万元，以后每年各种费用都增加2万元. （1）引进这种设备后，求该公司使用这种设备后第年后所获利润； （2）这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大? 18. 已知圆锥母线长为6，底面圆半径长为4，点M是母线的中点，是底面圆的直径，底面半径与母线所成角的大小等于． （1）当时，求异面直线与所成的角； （2）当三棱锥的体积最大时，求的值． 19. 为了缓解高三学生学业压力，学校开展健美操活动，高三某班文艺委员调查班级学生是否愿意参加健美操，得到如下的列联表. 性别 愿意 不愿意 男生 6 10 女生 18 6 （1）根据该列联表，并依据显著水平的独立性检验，判断能否认为“学生性别与是否愿意参加健美操有关”； （2）在愿意参加的所有学生中，根据性别，分层抽样选取8位学生组织班级健美操队，并从中随机选取2人作为领队，记这2人中女生人数为随机变量，求的分布及期望. 附：. 20. 已知椭圆的左右焦点分别为，离心率，点分别是椭圆的右顶点和上顶点，的边上的中线长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线交椭圆于两点，若，求直线的方程； （3）直线过右焦点，且它们的斜率乘积为，设分别与椭圆交于点和．若分别是线段和的中点，求面积的最大值． 21. 若函数满足：对任意正数，都有，则称函数为“H函数”． （1）试判断函数与否为“H函数”，并说明理由； （2）若函数是“H函数”，求实数a的取值范围； （3）若函数“H函数”，，对任意正数s、t，都有，，证明：对任意，都有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$