精品解析：山东省潍坊市部分学校2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

2023级高二上学期数学第一次月考试题 考试时间：120分钟 满分：150分 温馨提示： 1､本试卷分为选择题和非选择题两部分.选择题：共58分；非选择题：共92分；全卷满分150分.考试时间120分钟. 2､请你在答题卡规定的答题区域内作答，选择题用2B铅笔填涂，非选择题使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写. 3､考试范围：人教A版2019选择性必修2.1~3.1（3.1仅一个解答题） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线经过两点、且的倾斜角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线，若，则（ ） A. 或 B. C. 或 D. 3. 已知点与关于直线对称，则的值分别为（ ） A. 1，3 B. ， C. -2，0 D. ， 4. 点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（ ） A. B. C. D. 5. 若圆与轴，轴均有公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 一束光线从点出发经轴反射后经过点，半径为的圆恰好与入射光线和反射光线都相切，则圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 8. 定义：若抛物线的顶点，抛物线与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．如图，直线经过点，一组抛物线的顶点，（为正整数），依次是直线上的点，这组抛物线与轴正半轴的交点依次是：，（为正整数）．若，当为（ ）时，这组抛物线中存在美丽抛物线． A. 或 B. 或 C. 或 D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为5 B. 的最大值为 C. 圆心到直线的距离最大为4 D. 直线与圆相切时， 10. （多选） “曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（ ） A. 若点，则 B. 若点，则在轴上存在点，使得 C. 若点，点在直线上，则的最小值是3 D. 若点在上，点在直线上，则的值可能是4 11. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角的取值范围是 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 过点且在轴，轴截距相等的直线方程为 D. 经过平面内任意相异两点的直线都可以用方程表示． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条线称之为三角形的欧拉线.已知，，，且为圆内接三角形，则的欧拉线方程为________. 13. 在直线上求一点，使它到直线的距离等于原点到l的距离，则此点的坐标为______. 14. 梵高《星月夜》用夸张的手法描绘了充满运动和变化的星空.假设月亮可看作半径为1的圆的一段圆弧，且弧所对的圆心角为.设圆的圆心在点与弧中点的连线所在直线上.若存在圆满足：弧上存在四点满足过这四点作圆的切线，这四条切线与圆也相切，则弧上的点与圆上的点的最短距离的取值范围为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知点，_______，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件补充在横线处，并作答 （1）求直线的方程； （2）求直线：关于直线的对称直线的方程 条件①：点关于直线的对称点的坐标为； 条件②：点的坐标为，直线过点且与直线平行； 条件③：点的坐标为，直线过点且与直线垂直. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 16. 已知圆的圆心为，且圆______.在下列所给的三个条件中任选一个，填在直线上，并完成解答（注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） ①与直线相切； ②与圆：相外切； ③经过直线与直线的交点. （1）求圆的方程； （2）圆：，是否存在实数，使得圆与圆公共弦的长度为2，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 17. 已知圆经过点、，并且直线：平分圆． （1）求圆的方程； （2）过点，且斜率为的直线与圆有两个不同的交点，且，求k的值． 18. 已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知． （1）求椭圆的方程和离心率； （2）点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程． 19. 已知点和非零实数，若两条不同的直线均过点，且斜率之积为，则称直线是一组“共轭线对”，如直线 是一组“共轭线对”，其中O是坐标原点.规定相交直线所成的锐角或直角为两条相交直线的夹角. （1）已知是一组“共轭线对”，求的夹角的最小值； （2）已知点，直线是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点O到直线的距离之积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023级高二上学期数学第一次月考试题 考试时间：120分钟 满分：150分 温馨提示： 1､本试卷分为选择题和非选择题两部分.选择题：共58分；非选择题：共92分；全卷满分150分.考试时间120分钟. 2､请你在答题卡规定的答题区域内作答，选择题用2B铅笔填涂，非选择题使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写. 3､考试范围：人教A版2019选择性必修2.1~3.1（3.1仅一个解答题） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线经过两点、且的倾斜角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜率的定义以及斜率公式可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】由斜率的定义可得，即，解得. 故选：D. 2. 已知直线，若，则（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件结合直线平行结论列方程求，并对所得结果进行检验. 【详解】因为，， 所以，所以，解得或， 当时，，，直线重合，不满足要求， 当时，，，直线平行，满足要求， 故选：B. 3. 已知点与关于直线对称，则的值分别为（ ） A. 1，3 B. ， C. -2，0 D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】 点关于直线对称，则利用垂直关系，以及线段的中点在直线上，列式求解. 【详解】，若点与关于直线对称， 则直线与直线垂直，直线的斜率是， 所以，得. 线段的中点在直线上，则，得 故选:B 4. 点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线的方程求出其所过定点坐标，由此确定最大距离及此时直线的方程. 【详解】直线的方程可化为， 联立，解得， 所以直线经过定点， 当时，点到直线的距离最大，最大距离为， 因为直线的斜率，， 所以直线的斜率， 所以， 所以， 所以，故， 所以直线的方程为. 故选：C. 5. 若圆与轴，轴均有公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用圆的一般方程满足的条件得到，再分别令，利用，即可求出结果. 【详解】因为表示圆，所以，得到， 令，得到，则，得到， 令，得到，则，得到， 所以， 故选：A. 6. 一束光线从点出发经轴反射后经过点，半径为的圆恰好与入射光线和反射光线都相切，则圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知圆心在法线上面，故首先求出法线方程，然后结合圆与入射光线相切即可确定圆心位置，从而即可得解. 【详解】由题意入射光线不垂直轴，设入射光线交轴于点， 则由题意，即，解得， 所以法线方程为即轴， 由题意半径为的圆恰好与入射光线和反射光线都相切， 所以由对称性可知圆心在轴上，不妨设为， 而入射光线为，所以圆心在轴正半轴上，即， 所以半径为的圆恰好与入射光线相切得，解得， 所以圆心，圆的标准方程是. 故选：C. 7. 已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线的方程，利用点到直线的距离，结合圆的性质求出点到直线距离的最小值即可求得最小值. 【详解】两点，，则，直线方程为， 圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 因此点到直线距离的最小值为， 所以面积的最小值是. 故选：D 8. 定义：若抛物线的顶点，抛物线与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．如图，直线经过点，一组抛物线的顶点，（为正整数），依次是直线上的点，这组抛物线与轴正半轴的交点依次是：，（为正整数）．若，当为（ ）时，这组抛物线中存在美丽抛物线． A. 或 B. 或 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的对称性可知，“美丽抛物线”所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰三角形，所以此等腰三角形斜边上的高等于斜边的一半，又，所以等腰直角三角形斜边的长小于2，所以等腰直角三角形斜边的高一定小于1，即抛物线的定点纵坐标必定小于1，据此解答即可． 【详解】因为直线经过点，则，解得， 直线， 由抛物线的对称性知，“美丽抛物线”所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰三角形， 所以该等腰三角形的高等于斜边的一半， 因为，结合题意可知该等腰直角三角形的斜边长小于2， 斜边上的高小于1（即抛物线的顶点纵坐标小于1）， 因为当时，， 当时，， 当时，， 所以美丽抛物线的顶点只有， ①若为顶点，由，则； ②若为顶点，由，则， 综上所述，的值为或时，存在美丽抛物线． 故选：B 【点睛】关键点睛：此题主要考查新定义问题，二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，利用抛物线的对称性找出相应的等腰直角三角形是解答该题的关键． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为5 B. 的最大值为 C. 圆心到直线的距离最大为4 D. 直线与圆相切时， 【答案】BD 【解析】 【分析】根据直线和圆的位置关系、点和圆的位置关系，结合距离平方型、斜率型计算即可求解. 【详解】A:圆的方程可化为，则圆心为，半径.是圆上的点， 所以的最大值，故A错误； B：如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大， 此时，且，故B正确； C：圆心到直线的距离， 当时，， 当时，，故C错误； D：直线，即，过定点， 代入圆的方程得，则定点在圆外. 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离为2， 即，解得，故D正确. 故选：BD 10. （多选） “曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（ ） A. 若点，则 B. 若点，则在轴上存在点，使得 C. 若点，点在直线上，则的最小值是3 D. 若点在上，点在直线上，则的值可能是4 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用“曼哈顿距离”的定义计算判断AD；结合绝对值的意义判断B；作出图形，借助几何意义求解判断C. 【详解】对于A，由曼哈顿距离的定义知，A正确； 对于B，设，则，B错误； 对于C，作轴，交直线于，过作，垂足为，如图①所示： 由曼哈顿距离的定义可知，而点， 当不与重合时，由直线的斜率为，得， 则；当与重合时，， 于是，因此，C正确． 对于D，如图②所示，取，，则，D正确． 故选：ACD 11. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角的取值范围是 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 过点且在轴，轴截距相等的直线方程为 D. 经过平面内任意相异两点的直线都可以用方程表示． 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A：根据可求倾斜角的取值范围；对于B：根据两直线垂直的条件求出的值即可判断；对于C：分截距是否为0两种情况求解可判断；对于D：对斜率为0、斜率不存在特殊情况讨论可以确定所求直线均可用表示. 【详解】对于A：直线的倾斜角为，则， 因为，所以，故A正确. 对于B：当时，直线与直线斜率分别为，斜率之积为，故两直线相互垂直，所以充分性成立， 若“直线与直线互相垂直”，则， 故或，所以得不到，故必要性不成立，故B错误. 对于C：截距为0时，设直线方程为，又直线过点， 所以可得，所以直线方程为， 当截距不为0时，调直线方程为，又直线过点， 所以可得，所以直线方程为， 所以过点且在轴，轴截距相等的直线方程为或，故C错误； .对于D：经过平面内任意相异两点的直线： 当斜率等于0时，，方程为，能用方程表示； 当斜率不存在时，，方程为，能用方程表示； 当斜率不为0且斜率存在时，直线方程为， 也能用方程表示，故D正确. 故选：AD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条线称之为三角形的欧拉线.已知，，，且为圆内接三角形，则的欧拉线方程为________. 【答案】## 【解析】 【分析】首先将点的坐标代入圆的方程，即可求出、，从而得到圆心坐标即的外心坐标，再确定的重心坐标，即可得解. 【详解】依题意，解得， 所以圆，即，故圆心坐标为， 即的外心坐标为，又的重心坐标为， 又点、均在直线上，所以的欧拉线方程为. 故答案为： 13. 在直线上求一点，使它到直线的距离等于原点到l的距离，则此点的坐标为______. 【答案】或 【解析】 【分析】设直线上的点为，再根据点到直线的距离公式求解即可. 【详解】设直线上的点为， 点直线的距离为， 原点到l的距离为， 所以，解得或， 所以此点的坐标为或. 故答案为：或. 14. 梵高《星月夜》用夸张的手法描绘了充满运动和变化的星空.假设月亮可看作半径为1的圆的一段圆弧，且弧所对的圆心角为.设圆的圆心在点与弧中点的连线所在直线上.若存在圆满足：弧上存在四点满足过这四点作圆的切线，这四条切线与圆也相切，则弧上的点与圆上的点的最短距离的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知圆与圆相离，由弧所对的圆心角为，分析两圆的外公切线与内公切线及圆心的变化位置，通过构造法求出，分析计算可得弧上的点与圆上的点的最短距离. 【详解】如图，构造等腰三角形，其中顶角，则， 过作的角平分线交于，则. 故与相似，不妨设，， 则，， 则，即，由，解得， 则，则. 由题意，弧上存在四点满足过这四点作圆的切线，这四条切线与圆也相切， 则圆与圆有4条公切线，即两圆相离，且与圆相切的切点均在弧上. 如图， 设弧的中点为，弧所对的圆心角为， 圆的半径，在弧上取两点，则， 分别过点作圆的切线，由对称性可知两切线交直线于同一点，设为， 当过点的切线刚好是圆与圆的外公切线时，劣弧上一定还存在点，使过点的切线为两圆的内公切线， 则圆的圆心在线段上，且不包括端点，即. 过点，分别向作垂线，垂足为， 则即为圆的半径，由两圆相离可知，. 设线段交圆于点，则弧上的点与圆上的点的最短距离即为线段的长度. 在中，， 则， 而. 故 即弧上的点与圆上的点的最短距离的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：相离的两个圆（圆心分别为和 ,半径分别为和）上的两个动点之间的距离的最小值是两圆心之间的距离减去两圆的半径和，最大值是两圆心之间的距离加上两圆的半径和，即. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知点，_______，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件补充在横线处，并作答 （1）求直线的方程； （2）求直线：关于直线的对称直线的方程 条件①：点关于直线的对称点的坐标为； 条件②：点的坐标为，直线过点且与直线平行； 条件③：点的坐标为，直线过点且与直线垂直. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）选择条件①：由题意可得是线段的垂直平分线，根据垂直关系可得斜率，再结合中点坐标，根据点斜式即可求解方程；选择条件②：根据平行关系可得斜率，再根据点斜式即可求解方程；选择条件③：根据垂直关系可得斜率，再根据点斜式即可求解方程； （2）联立，的方程可得两直线的交点坐标，在直线：上取，求得对称点坐标，再根据两点式即可求解方程. 【小问1详解】 选择条件①：因为点关于直线的对称点的坐标为， 所以是线段的垂直平分线， 又，所以直线的斜率为. 又线段的中点坐标为，所以直线的方程为，即. 选择条件②：因为，直线与直线平行，所以直线的斜率为， 又直线过点，所以直线的方程为，即. 选择条件③：因为，直线与直线垂直，所以直线的斜率为， 又直线过点，所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 由解得故，的交点坐标为， 因为在直线：上，设关于对称的点为， 则解得 所以直线关于直线对称的直线经过点，， 代入两点式方程得，即， 所以直线：关于直线的对称直线的方程为. 16. 已知圆的圆心为，且圆______.在下列所给的三个条件中任选一个，填在直线上，并完成解答（注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） ①与直线相切； ②与圆：相外切； ③经过直线与直线的交点. （1）求圆的方程； （2）圆：，是否存在实数，使得圆与圆公共弦的长度为2，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）分别根据直线与圆相切、圆与圆外切、两点间距离公式求出半径即可； （2）根据圆与圆相交的条件和圆的弦长公式即可求解. 【小问1详解】 设圆的半径为， 若选条件①，圆与直线相切， 所以圆心到直线的距离是圆的半径， 即， 所以圆的方程为. 若选条件②，与圆：相外切，圆的圆心为，半径为2， 所以，所以， 所以圆的方程为. 若选条件③，经过直线与直线的交点， 由，得，所以， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 圆：的圆心为，半径为， 两个圆有公共弦，则， 即，解得， 由得两圆公共弦所在直线方程为 又两圆的公共弦长为2，则圆心到公共弦所在直线的距离为 ，且， 解得或， 又，所以.经检验符合题意. 故存在实数，使得圆与圆公共弦的长度为2. 17. 已知圆经过点、，并且直线：平分圆． （1）求圆的方程； （2）过点，且斜率为的直线与圆有两个不同的交点，且，求k的值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可得解； （2）联立直线与圆的方程得到，从而化简得到关于k的方程，解之即可得解. 【小问1详解】 设圆C的标准方程为， 因为直线m：平分圆C的面积， 所以直线过圆心，即， 则，解得， 圆的方程为； 【小问2详解】 由题意直线的方程为， 联立，消去得， 设， 则，得， 故， 而， 所以 ， 故有，解得，满足， 所以. 18. 已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知． （1）求椭圆的方程和离心率； （2）点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程． 【答案】（1）椭圆的方程为，离心率为. （2）. 【解析】 【分析】（1）由解得，从而求出，代入椭圆方程即可求方程，再代入离心率公式即求离心率. （2）先设直线的方程，与椭圆方程联立，消去，再由韦达定理可得，从而得到点和点坐标.由得，即可得到关于的方程，解出，代入直线的方程即可得到答案. 【小问1详解】 如图， 由题意得，解得，所以， 所以椭圆的方程为，离心率为. 【小问2详解】 由题意得，直线斜率存在，由椭圆的方程为可得， 设直线的方程为， 联立方程组，消去整理得：， 由韦达定理得，所以， 所以，. 所以,,， 所以， 所以，即， 解得，所以直线的方程为. 19. 已知点和非零实数，若两条不同的直线均过点，且斜率之积为，则称直线是一组“共轭线对”，如直线 是一组“共轭线对”，其中O是坐标原点.规定相交直线所成的锐角或直角为两条相交直线的夹角. （1）已知是一组“共轭线对”，求的夹角的最小值； （2）已知点，直线是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点O到直线的距离之积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由“共轭线对”的定义结合直线的夹角公式以及基本不等式即可求解. （2）由“共轭线对”设出直线方程（含有参数），由点到直线的距离公式结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 设的斜率为，则的斜率为，两直线的夹角为， 则 ， ， ， 等号成立的条件是，所以直线的夹角最小值为. 【小问2详解】 设，，其中， 故 由于（等号成立的条件是）， 故， 所以， 即原点O到直线的距离之积的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $