专题2.6 有理数中的新定义问题（压轴题专项讲练）-2024-2025学年七年级数学上册压轴题专项讲练系列（北师大版2024）

专题2.6 有理数中的新定义问题 · 典例分析 【典例1】在有理数的范围内，定义三个数之间的新运算“”：，例如． （1）计算：； （2）计算：； （3）已知 ，，，，，，，， 这十五个数中．从中任取三个数作为 ，， 的值，进行“”运算，直接写出所有计算结果中的最小值是 ． 【思路点拨】 （1）直接代入公式计算即可； （2）直接代入公式计算即可； （3）分析为负数与非负数两种情况下的最小值，最后综合考虑即可． 【解题过程】 （1）原式= =6； （2）原式= = =3； （3）当为非负数时， ， ∴当时，的最小值为； 当为负数时， ， ∴当的值最小时，的值最小； ∵为负数， ∴， 由于最小取， ∴， 综上可得，的最小值为． · 学霸必刷 1．（23-24七年级上·广东广州·期末）定义新运算：对任意非零有理数，有，则（） A． B．1 C． D． 【思路点拨】 本题考查了有理数的混合运算，整式—数字规律找到运算规律（）是解题关键． 【解题过程】 解∶原式 故选：D． 2．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）定义运算“*”如下：对任意有理数x，y和z都有，，这里“”号表示数的加法，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】 本题主要考查了有理数的加减计算，先根据题意将所求式子变形为，则，再根据可进一步将原式变形为，据此可得答案． 【解题过程】 解：∵，， ∴ ， 故选A． 3．（23-24七年级上·江西南昌·阶段练习）已知表示不超过的最大整数，如：．现定义：，如，则 ． 【思路点拨】 根据题意可得，进行计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意得： ， 故答案为：． 4．（23-24七年级下·山西吕梁·期中）定义关于a，b的新运算：，其中a，b为整数，且为a与b的乘积，例如，，，，若，则的结果为 ． 【思路点拨】 本题考查了新定义．根据可依次推导出，，然后根据即可求解． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 5．（23-24七年级上·甘肃兰州·期中）定义：分数（m，n为正整数且互为质数）的连分数（其中为整数，且等式右边的每一个分数的分子都为1），记作： 例如：的连分数是，记作，则 ． 【思路点拨】 本题考查新定义连分数的化简，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新规定解答问题．根据连分数的定义列式计算即可解答． 【解题过程】 解：． 故答案为：． 6．（23-24七年级上·广东广州·阶段练习）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使运算结果为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取时，运算过程如图．若，则第2024次“F运算”的结果是 ． 【思路点拨】 本题考查了整数的奇、偶性的新定义问题，通过若干次得出循环是解题关键．按新定义运算法则，分别计算第一次到第九次运算结果可得出循环规律即可求解． 【解题过程】 由题意可知，当时，历次运算的结果是∶ 故规律为： 即从第七次开始1和4出现循环，偶数次为4，奇数次为1， ∴当时，第2024次“运算”的结果是4． 故答案为：4． 7．（23-24七年级上·重庆·期中）定义一种新运算：对于任意实数、，满足，当，时，的最大值为 ． 【思路点拨】 本题为新定义问题，考查了绝对值的意义，有理数混合运算，有理数的大小比较等知识．根据绝对值的意义求出，，再分，、，、，、，分别求出的值，比较大小，即可求解． 【解题过程】 解：∵，， ∴，， ∴当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，． ∵， ∴的最大值为0． 故答案为：0 8．（23-24七年级上·河南洛阳·阶段练习）在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．他借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：． （1）求的值； （2）求的值； （3）试用学习有理数的经验和方法来探究这种新运算“⊕”是否具有交换律？请写出你的探究过程． 【思路点拨】 本题主要考查的是新定义运算、有理数的混合运算等知识点，理解新定义的含义是解本题的关键． （1）直接根据新定义的进行计算即可； （2）直接根据新定义的含义列式，再进行计算即可； （3）根据新定义可得和，然后比较结果即可解答． 【解题过程】 （1）解：． （2）解：∵， ∴． （3）解:不具有，探究如下： 由，， ∵不一定是相同的有理数， ∴不一定等于， ∴和不一定相等， ∴新运算“⊕”不具有交换律． 9．（24-25七年级上·全国·随堂练习）阅读下列材料，并解答问题：定义一种新运算：（等号右边是常规的有理数加减法则运算），例如： （1）计算：； （2）计算：． 【思路点拨】 本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确新定义，求出所求式子的值． （1）根据题中给出的新定义，求出式子的值即可； （2）根据题中给出的新定义，求出式子的值即可． 【解题过程】 （1）解： ； （2） ． 10．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）如果，那么称为的劳格数，记为，由定义可知：与所表示的是、两个量之间的同一关系． （1）根据劳格数的定义，填空：　 ，　 ； （2）劳格数有如下运算性质：若、为正数，则，．根据运算性质，填空： ①　 　（为正数）， ②若，则　 　，　 　，　 　． 【思路点拨】 （1）根据定义可知，和就是指10的指数，据此即可求解； （2）①根据即可，②根据，，即可得出结果． 【解题过程】 （1）解： 依题意，得，， ，； 故答案为：1，； （2）解：① ， 故答案为：； ②， ， ， ． 故答案为：，，． 11．（23-24七年级上·江西景德镇·期中）材料一：对任意有理数a，b定义运算“”，，如：，． 材料二：规定表示不超过a的最大整数，如，，． （1） ______，=______； （2）求的值： （3）若有理数m，n满足，请直接写出的结果． 【思路点拨】 （1）根据材料1新定义的运算“”的概念即可求出的值，根据材料2中的定义即可求出的值； （2）根据新定义函数把变形为加减运算，再根据运算顺序即可求出的值； （3）根据求出的值和的范围，再求出的值，即可得出的值． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴， ∵， ∴ ， 故答案为：，； （2）依题意， ； （3）∵，， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 12．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如、等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”， 记作，读作“的下4次方”一般地，把记作，读作“a的下n次方”． （1）直接写出计算结果： ______，______． 【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如： （2）仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式： ， ； （3）将一个非零有理数a的下n次方写成幂的形式是：______． （4）【结论应用】计算：． 【思路点拨】 本题考查了有理数的混合运算，涉及新定义，解题的关键是熟练掌握有理数相关运算法则，能根据新定义列出算式． （1）由新定义列出算式计算即可； （2）根据新定义列出算式，化为乘方形式即可； （3）根据（2）的计算结果得出规律即可； （4）根据有理数的混合运算顺序和运算法则及除方的运算法则计算即可． 【解题过程】 解：（1）； ， 故答案为：，2； （2） ； 故答案为：，； （3） ， 故答案为：． （4） ． 13．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）探究规律，完成相关题目： 小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ；； ；； ；；；． 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．” 聪明的你也明白了吗？ （1）观察以上式子，类比计算： ① ， ； （2）计算：；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致，写出必要的运算步骤） （3）若．计算：的值． 【思路点拨】 本题考查了有理数的新定义运算，正确理解新定义掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据题意得出：同号得正，异号得负，并把绝对值相加的运算法则依次计算即可． （2）根据零与任意数※（加乘）或任何数同零※（加乘），都得这个数的绝对值，结合前面的运算计算即可； （3）根据题意得出，确定，然后代入式子进行计算即可． 【解题过程】 （1）解：① =， 故答案为：． ② =， 故答案为：． （2）解： = ． （3）∵， ∴， ∴， ∴ ． 14．（23-24七年级上·浙江台州·期中）定义：对于任意的有理数a，b， （1）探究性质： ①例：_________；_________；_________；________； ②可以再举几个例子试试，你有什么发现吗？请用含a，b的式子表示出的一般规律； （2）性质应用： ①运用发现的规律求的值； ②将，，，……，7，8这20个连续的整数，任意分为10组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作a，另一个记作b，求出，10组数代入后可求得10个的值，则这10个值的和的最小值是　　 ． 【思路点拨】 （1）①根据定义即可求解；②举例，通过与以上几个比较，可以发现该运算是用来求大小不同的两个有理数的最大值； （2）①直接利用规律进行求解；②不妨设，则代数式中绝对值符号可直接去掉，代数式等于，由此即可解决问题． 【解题过程】 （1）解：①， ， ， ， ， 故答案为：，，，； ②例如：， ， 通过以上例子发现，该运算是用来求大小不同的两个有理数的最大值， 用a，b的式子表示出一般规律为； （2）解：① ； ②不妨设，则代数式中绝对值符号可直接去掉， 代数式等于， 为偶数， 最小值， 故答案为：． 15．（23-24七年级上·湖南益阳·期中）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如:，． 若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． （1）下列各组数是“隔一数对”的是 （请填序号） ①，；②，；③，． （2）计算：． （3）已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”． 计算：． 【思路点拨】 本题考查有理数的定义新运算，仔细审题，理解题干中的新定义，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题关键． （1）按照题干定义进行计算，判断是否满足条件即可； （2）直接根据题目定义分别计算各项，然后再合并求解即可； （3）根据定义进行变形和拆项，然后根据规律求解即可． 【解题过程】 （1）解：①； ∵，， ∴，则①是“隔一数对”； ②； ∵，， ∴，则②是“隔一数对”； ③； ∵，， ∴，则③不是“隔一数对”； 故答案为：①②； （2）解：根据定义， ； （3）解：根据定义， ． 16．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期中）将两个数轴平行放置，并使二者的刻度数上下对齐，再将两个数轴的原点连接起来，就构成一个“双轴系”．定义“双轴系”中两个点A、B的距离．如果A、B两点在同一个数轴上，则二者之间的距离定义和通常的距离一致，，如果A、B两点分别位于两个数轴上，定义．    利用“双轴系”定义一种“有向数”，记号是在通常数的右边加上“”或“”，例如，“”表示上层数轴中表示数“2”的点，“”表示下层数轴中表示数“”的点，“”“”分别表示上下两个数轴的原点． （1）在双轴系中与的距离为：______，与的距离为________； （2）在（1）的假设下，现有只电子蚂蚁甲从“”所表示的点出发不断跳跃，依次跳至、、、、、、、、、…，另有一只电子蚂蚁乙从“”所表示的点出发，然后跳跃到，接着又跳回其后再次跳到，下一步又跳回，按此规律在和之间来回跳动．假设两只蚂蚁同时跳跃同时落下，步调一致． ①当蚂蚁甲第3次跳到所表示的点时，请问此时蚂蚁甲共跳跃了多少次？ ②当甲乙两只蚂蚁的距离为时，请直接写出3个符合条件的跳跃次数． 【思路点拨】 （1）根据题干信息列出算式进行计算即可； （2）①根据跳跃规律，找出蚂蚁甲第3次跳到所表示的点时，蚂蚁跳跃的次数即可； ②设蚂蚁甲为，蚂蚁乙为，根据题意得出，分两种情况：当跳跃次数为奇数次时，，此时满足条件的蚂蚁甲跳跃的数为；当跳跃次数为偶数次时，，此时满足条件的蚂蚁甲跳跃的数为，然后求出跳跃次数即可． 【解题过程】 （1）解：在双轴系中与的距离为：； 与的距离为：． 故答案为：2；6． （2）解：①蚂蚁甲从“”所表示的点出发不断跳跃，依次跳至、、、、、、、、、、、、、、、、…， ∴蚂蚁甲第3次跳到所表示的点时，蚂蚁甲共跳跃了14次； ②设蚂蚁甲为，蚂蚁乙为，根据题意得： ， ∴， 当跳跃次数为奇数次时，，此时满足条件的蚂蚁甲跳跃的数为， 则蚂蚁甲跳跃的次数为： （次）， 即此时蚂蚁甲跳跃的次数为偶数，不符合题意； 当跳跃次数为偶数次时，，此时满足条件的蚂蚁甲跳跃的数为， 蚂蚁甲第1次跳到时，跳跃次数为： （次）， 38是偶数，符合题意； 蚂蚁甲第2次跳到时，跳跃次数为： （次）， 174是偶数，符合题意； 蚂蚁甲第3次跳到时，跳跃次数为： （次）， 410是偶数，符合题意； 综上分析可知，当甲乙两只蚂蚁的距离为时，跳跃次数为38次、174次、410次． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.6 有理数中的新定义问题 · 典例分析 【典例1】在有理数的范围内，定义三个数之间的新运算“”：，例如． （1）计算：； （2）计算：； （3）已知 ，，，，，，，， 这十五个数中．从中任取三个数作为 ，， 的值，进行“”运算，直接写出所有计算结果中的最小值是 ． 【思路点拨】 （1）直接代入公式计算即可； （2）直接代入公式计算即可； （3）分析为负数与非负数两种情况下的最小值，最后综合考虑即可． 【解题过程】 （1）原式= =6； （2）原式= = =3； （3）当为非负数时， ， ∴当时，的最小值为； 当为负数时， ， ∴当的值最小时，的值最小； ∵为负数， ∴， 由于最小取， ∴， 综上可得，的最小值为． · 学霸必刷 1．（23-24七年级上·广东广州·期末）定义新运算：对任意非零有理数，有，则（） A． B．1 C． D． 2．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）定义运算“*”如下：对任意有理数x，y和z都有，，这里“”号表示数的加法，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24七年级上·江西南昌·阶段练习）已知表示不超过的最大整数，如：．现定义：，如，则 ． 4．（23-24七年级下·山西吕梁·期中）定义关于a，b的新运算：，其中a，b为整数，且为a与b的乘积，例如，，，，若，则的结果为 ． 5．（23-24七年级上·甘肃兰州·期中）定义：分数（m，n为正整数且互为质数）的连分数（其中为整数，且等式右边的每一个分数的分子都为1），记作： 例如：的连分数是，记作，则 ． 6．（23-24七年级上·广东广州·阶段练习）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使运算结果为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取时，运算过程如图．若，则第2024次“F运算”的结果是 ． 7．（23-24七年级上·重庆·期中）定义一种新运算：对于任意实数、，满足，当，时，的最大值为 ． 8．（23-24七年级上·河南洛阳·阶段练习）在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．他借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：． （1）求的值； （2）求的值； （3）试用学习有理数的经验和方法来探究这种新运算“⊕”是否具有交换律？请写出你的探究过程． 9．（24-25七年级上·全国·随堂练习）阅读下列材料，并解答问题：定义一种新运算：（等号右边是常规的有理数加减法则运算），例如： （1）计算：； （2）计算：． 10．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）如果，那么称为的劳格数，记为，由定义可知：与所表示的是、两个量之间的同一关系． （1）根据劳格数的定义，填空：　 ，　 ； （2）劳格数有如下运算性质：若、为正数，则，．根据运算性质，填空： ①　 　（为正数）， ②若，则　 　，　 　，　 　． 11．（23-24七年级上·江西景德镇·期中）材料一：对任意有理数a，b定义运算“”，，如：，． 材料二：规定表示不超过a的最大整数，如，，． （1） ______，=______； （2）求的值： （3）若有理数m，n满足，请直接写出的结果． 12．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如、等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”， 记作，读作“的下4次方”一般地，把记作，读作“a的下n次方”． （1）直接写出计算结果： ______，______． 【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如： （2）仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式： ， ； （3）将一个非零有理数a的下n次方写成幂的形式是：______． （4）【结论应用】计算：． 13．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）探究规律，完成相关题目： 小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ；； ；； ；；；． 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．” 聪明的你也明白了吗？ （1）观察以上式子，类比计算： ① ， ； （2）计算：；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致，写出必要的运算步骤） （3）若．计算：的值． 14．（23-24七年级上·浙江台州·期中）定义：对于任意的有理数a，b， （1）探究性质： ①例：_________；_________；_________；________； ②可以再举几个例子试试，你有什么发现吗？请用含a，b的式子表示出的一般规律； （2）性质应用： ①运用发现的规律求的值； ②将，，，……，7，8这20个连续的整数，任意分为10组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作a，另一个记作b，求出，10组数代入后可求得10个的值，则这10个值的和的最小值是　　 ． 15．（23-24七年级上·湖南益阳·期中）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如:，． 若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． （1）下列各组数是“隔一数对”的是 （请填序号） ①，；②，；③，． （2）计算：． （3）已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”． 计算：． 16．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期中）将两个数轴平行放置，并使二者的刻度数上下对齐，再将两个数轴的原点连接起来，就构成一个“双轴系”．定义“双轴系”中两个点A、B的距离．如果A、B两点在同一个数轴上，则二者之间的距离定义和通常的距离一致，，如果A、B两点分别位于两个数轴上，定义．    利用“双轴系”定义一种“有向数”，记号是在通常数的右边加上“”或“”，例如，“”表示上层数轴中表示数“2”的点，“”表示下层数轴中表示数“”的点，“”“”分别表示上下两个数轴的原点． （1）在双轴系中与的距离为：______，与的距离为________； （2）在（1）的假设下，现有只电子蚂蚁甲从“”所表示的点出发不断跳跃，依次跳至、、、、、、、、、…，另有一只电子蚂蚁乙从“”所表示的点出发，然后跳跃到，接着又跳回其后再次跳到，下一步又跳回，按此规律在和之间来回跳动．假设两只蚂蚁同时跳跃同时落下，步调一致． ①当蚂蚁甲第3次跳到所表示的点时，请问此时蚂蚁甲共跳跃了多少次？ ②当甲乙两只蚂蚁的距离为时，请直接写出3个符合条件的跳跃次数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$