第05讲 直线的方程（秋季讲义）-2024-2025学年高二数学秋季讲义（人教A版2019选择性必修第一、二册）

第05讲 直线的方程 【人教A版2019】 模块一 直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 ①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率 (1)直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. (2)斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 (3)过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 【题型1 直线的倾斜角与斜率】 【例1.1】（23-24高二下·河北保定·开学考试）已知直线的倾斜角比直线的倾斜角大，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（2024高二上·江苏·专题练习）如图，若直线，，的斜率分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（23-24高二上·福建福州·期末）已知两条直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为.若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 直线与线段的相交关系求斜率范围】 【例2.1】（23-24高二上·广东汕头·期中）已知点，若过点的直线与线段相交，求直线的斜率的取值范围为（　） A．或 B．或 C． D． 【例2.2】（23-24高二上·云南曲靖·期末）经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（23-24高二上·天津南开·期中）已知点，，若点在线段上，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（23-24高二上·广东深圳·期末）已知、，若直线经过点，且与线段有交点，则的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 模块二 两条直线平行、垂直的判定 1．两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 2．两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 【注】判断两条直线是否垂直时：在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于 －1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直． 【题型3 两条直线平行、垂直的判定】 【例3.1】（24-25高二上·全国·课堂例题）判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【例3.2】（23-24高二上·全国·课后作业）判断下列各题中与是否垂直． (1)经过点；经过点； (2)的斜率为；经过点； (3)经过点；经过点． 【变式3.1】（2024高二上·江苏·专题练习）判断下列各组中的直线与是否平行或垂直： (1)； (2) ； (3)的斜率为，经过点； (4)经过点，经过点. 【变式3.2】（2024高二·全国·专题练习）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的斜率为，经过点，； (3)平行于轴，经过点，； (4)经过点，，经过点，． 【题型4 已知直线平行、垂直求参数】 【例4.1】（24-25高二上·江苏南通·开学考试）已知直线：和直线：，则“”是“∥”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例4.2】（23-24高二上·福建莆田·期中）若直线与直线垂直.则（    ） A．1 B． C．0 D．0或 【变式4.1】（23-24高二上·安徽黄山·期中）已知直线，直线． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 【变式4.2】（23-24高二上·安徽芜湖·阶段练习）已知直线：，：，则 (1)若两直线平行，求a的值． (2)若两直线垂直，求a的值． 模块三 直线的方程 1．辨析直线方程的五种形式 方程形式 直线方程 局限性 选择条件 点斜式 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知斜率；②已知 一点 斜截式 y=kx+b 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知在y轴上的截距；②已知斜率 两点式 不能表示与x轴、 y轴垂直的直线 ①已知两个定点；②已知两个截距 截距式 不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线 ①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积 一般式 Ax+By+C=0 (A,B不全为0) 表示所有的直线 求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程 2．求直线方程的一般方法 (1)直接法 直线方程形式的选择方法： ①已知一点常选择点斜式； ②已知斜率选择斜截式或点斜式； ③已知在两坐标轴上的截距用截距式； ④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况. (2)待定系数法 先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程. 利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程. 若已知直线过定点，则可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、 截距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况). 【题型5 求直线的方程】 【例5.1】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线的倾斜角为，且在轴上的截距为，则直线的一般式方程是（    ） A． B． C． D． 【例5.2】（23-24高三上·河北衡水·阶段练习）已知直线的一个方向向量为，且经过点，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（23-24高二上·安徽淮北·期中）根据条件写出下列直线的方程，并化成一般式： (1)直线的斜率为，在轴上的截距是； (2)直线的倾斜角是直线的倾斜角的一半，且过点． 【变式5.2】（2024高一上·全国·专题练习）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式： (1)斜率是，且经过点； (2)斜率为，在轴上的截距为； (3)经过，两点； (4)在轴、轴上的截距分别为. 【题型6 直线过定点问题】 【例6.1】（23-24高二上·安徽六安·期末）直线，当变动时，所有直线都通过定点（    ） A． B． C． D． 【例6.2】（2024高二上·全国·专题练习）已知，满足，则直线必过定点（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】（23-24高二上·江苏·期末）直线恒过定点 . 【变式6.2】（23-24高二下·上海宝山·期末）若无论实数取何值，直线都经过一个定点，则该定点坐标为 . 【题型7 由两条直线平行、垂直求方程】 【例7.1】（23-24高二上·北京丰台·期中）已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【例7.2】（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）过点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式7.1】（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知直线与直线的交点为． (1)求过点且与直线垂直的直线方程； (2)求过点且与直线平行的直线方程． 【变式7.2】（23-24高二上·福建厦门·期中）如图，已知平行四边形的三个顶点的坐标为，，.    (1)求平行四边形的顶点的坐标； (2)在中，求边上的高线所在直线方程. 【题型8 直线方程的综合应用】 【例8.1】（24-25高二上·上海·课后作业）设直线l的方程为． (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程； (2)是否存在实数a，使直线l不经过第二象限？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 【例8.2】（23-24高二上·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标：，，. (1)求点的坐标，并证明平行四边形为矩形； (2)求边所在的直线方程及的内角平分线所在的直线方程. 【变式8.1】（23-24高二上·广东东莞·阶段练习）已知四边形的四个顶点坐标分别为，，，． (1)试判断四边形的形状，并给出证明； (2)求平分线所在直线的方程． 【变式8.2】（23-24高一下·黑龙江鸡西·期末）设直线l的方程为． (1)求证：不论a为何值，直线l必过一定点P； (2)若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点，当面积最小时，求的周长及此时的直线方程； (3)当直线l在两坐标轴上的截距均为正整数且a也为正整数时，求直线l的方程． 一、单选题 1．（23-24高二下·全国·课后作业）下列命题正确的是（　　） A．两条不重合的直线，如果它们的倾斜角相等，那么这两条直线平行 B．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 C．若分别为三条直线的倾斜角，则的度数可以大于60° D．若是直线l的倾斜角，且，则 2．（23-24高二上·四川绵阳·期末）直线的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·广东·开学考试）已知直线，直线，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．（24-25高二上·上海·随堂练习）若直线在y轴上的截距为-1，且它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则（    ） A．， B．， C．， D．， 5．（24-25高二上·湖南岳阳·开学考试）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 6．（2024高三·全国·专题练习）已知点A(0，3)，B(3，2)，直线l过点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（    ） A．[－2，0)∪(0，] B．(－∞，－]∪[2，＋∞) C．[－2，] D．(－∞，－2]∪[，＋∞) 7．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知直线l：，则下列说法不正确的是（    ） A．直线l恒过点 B．若直线l与y轴的夹角为30°，则或 C．直线l的斜率可以等于0 D．若直线l在两坐标轴上的截距相等，则或 8．（23-24高二下·湖南常德·开学考试）已知直线l过点，且与直线及x轴围成等腰三角形，则l的方程为（    ） A． B． C． D．或 二、多选题 9．（23-24高二上·河南信阳·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为 C．若，，则直线的倾斜角为 D．若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点 10．（23-24高二上·四川成都·期中）已知直线，，则（    ） A．当时，直线的一个方向向量为 B．若与相互平行，则或 C．若，则 D．若不经过第二象限，则 11．（23-24高二上·河北沧州·阶段练习）已知的三个顶点分别是，且边上的高所在的直线方程为，则以下结论正确的是（    ） A． B．边上的中线所在的直线方程为 C．过点且平行于的直线方程为 D．三边所在的直线中，直线的倾斜角最大 三、填空题 12．（23-24高二下·全国·课后作业）已知三点A，B，C在同一直线上，则实数的值是 . 13．（24-25高二上·湖南衡阳·开学考试）对任意的实数，直线所过的定点为 ． 14．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围是 ． 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课前预习）根据下列条件分别写出直线的一般式方程． (1)经过两点，； (2)经过点，斜率为； (3)经过点，平行于轴； (4)斜率为2，在轴上的截距为1． 16．（24-25高二上·广西·开学考试）已知直线，直线. (1)若 ，求实数的值； (2)若，求实数的值. 17．（2024高二·全国·专题练习）已知． (1)求直线AB的斜率并写出直线BC的一个方向向量； (2)若点D在线段BC（包括端点）上移动，求直线AD的斜率的变化范围． 18．（24-25高一上·全国·假期作业）已知. (1)若可以构成平行四边形，求点的坐标； (2)在（1）的条件下，判断构成的平行四边形是否为菱形. 19．（23-24高二上·安徽·期末）已知直线过点． (1)若直线在轴上的截距、在轴上的截距的满足，求直线的方程； (2)若直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 直线的方程 【人教A版2019】 模块一 直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 ①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率 (1)直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. (2)斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 (3)过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 【题型1 直线的倾斜角与斜率】 【例1.1】（23-24高二下·河北保定·开学考试）已知直线的倾斜角比直线的倾斜角大，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据直线方程求出直线斜率为，由此确定直线倾斜角，结合已知条件求得直线倾斜角为，由此即可求得直线的斜率. 【解答过程】由得的倾斜角为， 所以的倾斜角为，即的斜率为. 故选：A. 【例1.2】（2024高二上·江苏·专题练习）如图，若直线，，的斜率分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据直线的倾斜角的大小，即可判断斜率大小. 【解答过程】倾斜角为锐角时，斜率为正，倾斜角越大，倾斜程度越大，斜率越大；倾斜角为钝角时，斜率为负， 所以. 故选：A. 【变式1.1】（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，设直线的倾斜角为，由的坐标求出直线的斜率，结合的范围可得即的取值范围， 再利用正切函数的性质分析可得的范围，即可得答案. 【解答过程】解：根据题意，设直线的倾斜角为， 点，，则直线的斜率， 又由，则的取值范围为，， 即的范围为，， 又由，则 故选：C. 【变式1.2】（23-24高二上·福建福州·期末）已知两条直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为.若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据直线斜率与倾斜角的关系，结合正切函数的单调性即可得解. 【解答过程】依题意得，，，， 而在和上单调递增，且在上，， 在上，所以，即. 故选：D. 【题型2 直线与线段的相交关系求斜率范围】 【例2.1】（23-24高二上·广东汕头·期中）已知点，若过点的直线与线段相交，求直线的斜率的取值范围为（　） A．或 B．或 C． D． 【解题思路】由题知直线过定点，进而作出图形，数形结合求解即可得答案. 【解答过程】解：直线方程为转化为， 所以直线过定点，且与线段相交，如图所示， 则直线的斜率是， 直线的斜率是， 则直线与线段相交时，它的斜率的取值范围是或. 故选：A． 【例2.2】（23-24高二上·云南曲靖·期末）经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】计算，，画出图像，根据图像得到答案. 【解答过程】，，画出图像，如图所示：    根据图像知：. 故选：D. 【变式2.1】（23-24高二上·天津南开·期中）已知点，，若点在线段上，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】表示点与与直线的斜率取值范围，先求出与点连线斜率，再结合题意即可得出答案. 【解答过程】解：∵，∴可得为点与与直线的斜率取值范围， 如图所示： ∴与点连线斜率为， 与点连线斜率为， ∴可得斜率取值范围为． 故选:A． 【变式2.2】（23-24高二上·广东深圳·期末）已知、，若直线经过点，且与线段有交点，则的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】作出图形，数形结合可得出直线的斜率的取值范围. 【解答过程】过点作，垂足为点，如图所示： 设直线交线段于点，设直线的斜率为，且，， 当点在从点运动到点（不包括点）时，直线的倾斜角逐渐增大， 此时； 当点在从点运动到点时，直线的倾斜角逐渐增大，此时. 综上所述，直线的斜率的取值范围是. 故选：D. 模块二 两条直线平行、垂直的判定 1．两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 2．两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 【注】判断两条直线是否垂直时：在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于 －1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直． 【题型3 两条直线平行、垂直的判定】 【例3.1】（24-25高二上·全国·课堂例题）判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【解题思路】（1）（2）（3）（4）根据直线是否平行与斜率以及截距的关系一一分析即可. 【解答过程】（1）设两直线，的斜率分别为，，在轴上的截距分别为，． 因为，，，，所以． （2）因为，，． 所以与不平行． （3）由两直线的方程可知，轴，轴，且两直线在轴上的截距不相等，所以． （4），因为，， 所以与重合． 【例3.2】（23-24高二上·全国·课后作业）判断下列各题中与是否垂直． (1)经过点；经过点； (2)的斜率为；经过点； (3)经过点；经过点． 【解题思路】（1）分别求解直线与的斜率，根据斜率关系判断即可； （2）求解直线的斜率，根据斜率关系判断即可； （3）根据坐标确定直线倾斜角，即可判断直线位置关系. 【解答过程】（1），， 与不垂直． （2）， ． （3）由的横坐标相等得的倾斜角为， 则轴， 又，则轴，因此． 【变式3.1】（2024高二上·江苏·专题练习）判断下列各组中的直线与是否平行或垂直： (1)； (2) ； (3)的斜率为，经过点； (4)经过点，经过点. 【解题思路】（1）由直线平行的充要条件证明即可. （2）由直线重合的充要条件证明即可. （3）由直线垂直的充要条件证明即可. （4）由直线垂直的充要条件证明即可. 【解答过程】（1）因为，而，所以. （2）因为，而，所以重合. （3）直线的斜率，直线的斜率，，故. （4）的倾斜角为90°，则轴.直线的斜率，则轴，故. 【变式3.2】（2024高二·全国·专题练习）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的斜率为，经过点，； (3)平行于轴，经过点，； (4)经过点，，经过点，． 【解题思路】先求出两直线的斜率，再利用斜率进行判断； 【解答过程】（1），，，所以与不平行． （2）的斜率，的斜率，，所以l1与l2平行或重合． （3）由题意，知的斜率不存在，且不与轴重合，的斜率也不存在，且与轴重合，所以. （4）由题意，知，, ，所以与平行或重合． 需进一步研究，，，四点是否共线，. 所以，，，四点共线，所以与重合． 【题型4 已知直线平行、垂直求参数】 【例4.1】（24-25高二上·江苏南通·开学考试）已知直线：和直线：，则“”是“∥”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】根据直线平行求得，然后根据充分、必要条件的知识求得正确答案. 【解答过程】当时，，解得或， 当时，两直线分别为，符合题意， 当时，两直线分别为符合题意， 所以“”是“∥”的充分不必要条件 故选：B. 【例4.2】（23-24高二上·福建莆田·期中）若直线与直线垂直.则（    ） A．1 B． C．0 D．0或 【解题思路】利用两条直线垂直的充要条件，列式计算即得. 【解答过程】由直线与直线垂直，得， 所以或. 故选：D. 【变式4.1】（23-24高二上·安徽黄山·期中）已知直线，直线． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 【解题思路】（1） ， ，若，则，求出参数后，需代入验证，排除两直线重合的情况； （2） ， ，若，则，由此求参数即可. 【解答过程】（1）因为，所以， 整理得：，即：，解得：或， 当时，， ，即，符合题意； 当时，，即， ，即，此时与重合，不符合题意. 所以. （2）因为，所以， 整理得：，即：，解得：或， 所以或. 【变式4.2】（23-24高二上·安徽芜湖·阶段练习）已知直线：，：，则 (1)若两直线平行，求a的值． (2)若两直线垂直，求a的值． 【解题思路】（1）利用两直线平行的充要条件，列出方程，解之即可； (2)利用两直线垂直的充要条件，列出方程，解之即可. 【解答过程】（1）直线：与直线：互相平行， 所以，即，解得. 故两直线平行，则. （2）直线：与直线：互相垂直， 所以，即，解得或. 故两直线垂直，则或. 模块三 直线的方程 1．辨析直线方程的五种形式 方程形式 直线方程 局限性 选择条件 点斜式 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知斜率；②已知 一点 斜截式 y=kx+b 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知在y轴上的截距；②已知斜率 两点式 不能表示与x轴、 y轴垂直的直线 ①已知两个定点；②已知两个截距 截距式 不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线 ①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积 一般式 Ax+By+C=0 (A,B不全为0) 表示所有的直线 求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程 2．求直线方程的一般方法 (1)直接法 直线方程形式的选择方法： ①已知一点常选择点斜式； ②已知斜率选择斜截式或点斜式； ③已知在两坐标轴上的截距用截距式； ④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况. (2)待定系数法 先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程. 利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程. 若已知直线过定点，则可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、 截距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况). 【题型5 求直线的方程】 【例5.1】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线的倾斜角为，且在轴上的截距为，则直线的一般式方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由斜截式方程求解即可. 【解答过程】由直线的倾斜角可得直线的斜率， 所以直线的方程为，即直线的一般方程为：. 故选：D. 【例5.2】（23-24高三上·河北衡水·阶段练习）已知直线的一个方向向量为，且经过点，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由方向向量得斜率，由点斜式化为一般式即可. 【解答过程】由题意得直线的一个方向向量为，所以其斜率为， 又它经过点，所以直线的方程为，即. 故选：B. 【变式5.1】（23-24高二上·安徽淮北·期中）根据条件写出下列直线的方程，并化成一般式： (1)直线的斜率为，在轴上的截距是； (2)直线的倾斜角是直线的倾斜角的一半，且过点． 【解题思路】（1）利用斜截式方程求解即可； （2）根据倾斜角的关系求出直线斜率，再将代入即可求解. 【解答过程】（1）因为直线斜率为，在轴上的截距是， 所以由斜截式可得直线方程为，整理得. （2）因为直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为， 所以由题意得所求直线的倾斜角为，则斜率， 设所求直线为，将代入可得，解得， 所以所求直线方程为，整理得． 【变式5.2】（2024高一上·全国·专题练习）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式： (1)斜率是，且经过点； (2)斜率为，在轴上的截距为； (3)经过，两点； (4)在轴、轴上的截距分别为. 【解题思路】（1）由点斜式方程进行求解即可； （2）由斜截式方程求解即可； （3）由两点式方程求解即可； （4）由截距式方程求解即可. 【解答过程】（1）由点斜式，得直线方程为， 即. （2）由斜截式，得直线方程为， 即. （3）由两点式，得直线方程为， 即. （4）由截距式，得直线方程为， 即. 【题型6 直线过定点问题】 【例6.1】（23-24高二上·安徽六安·期末）直线，当变动时，所有直线都通过定点（    ） A． B． C． D． 【解题思路】直线方程转化为：，然后令，解方程即可求解． 【解答过程】解：直线方程转化为：， 令，解得， 所以直线过定点， 故选：A． 【例6.2】（2024高二上·全国·专题练习）已知，满足，则直线必过定点（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用已知条件消去，令的系数为0即可. 【解答过程】由，得， 代入直线方程中， 得，即， 令，解得， 所以该直线必过定点. 故选：D. 【变式6.1】（23-24高二上·江苏·期末）直线恒过定点 . 【解题思路】整理直线方程，列出方程组，求出定点坐标即得. 【解答过程】直线，化为， 令，解得， 所以直线恒过定点， 故答案为：. 【变式6.2】（23-24高二下·上海宝山·期末）若无论实数取何值，直线都经过一个定点，则该定点坐标为 . 【解题思路】变形得到方程组，求出定点坐标. 【解答过程】令，解得，故经过的定点坐标为. 故答案为：. 【题型7 由两条直线平行、垂直求方程】 【例7.1】（23-24高二上·北京丰台·期中）已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据直线方程求其斜率，再利用两直线垂直得到垂直直线斜率，然后利用点斜式方程得到垂直直线方程，化成一般式即为答案. 【解答过程】因为直线的斜率为， 则与其垂直的直线的斜率为， 又因为直线过点， 则直线的方程为，即. 故选：B. 【例7.2】（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）过点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意设线的方程为，再根据经过点，待定系数即可得答案. 【解答过程】由题可得，设平行于直线的直线的方程为， 因为直线过点， 所以，解得， 所以直线的方程为. 故选：D. 【变式7.1】（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知直线与直线的交点为． (1)求过点且与直线垂直的直线方程； (2)求过点且与直线平行的直线方程． 【解题思路】（1）先求出交点，后依据垂直求出所求直线的斜率，再求方程即可. （2）结合求出的交点，后依据平行求出所求直线的斜率，再求方程即可. 【解答过程】（1）联立方程与，解得，，故， 而的斜率为，故所求直线斜率为， 则所求直线方程为，化简得. （2）易知的斜率为，故所求直线斜率为， 则所求直线方程为，化简得. 【变式7.2】（23-24高二上·福建厦门·期中）如图，已知平行四边形的三个顶点的坐标为，，.    (1)求平行四边形的顶点的坐标； (2)在中，求边上的高线所在直线方程. 【解题思路】（1）先求出线段中点坐标，再利用平行四边形的性质得为线段中点，从而利用中点坐标公式列方程组求解即可； （2）通过直线垂直求出高线的斜率，代入点斜式直线公式求解即可. 【解答过程】（1）设线段中点为，则点坐标为， 设点坐标为，由平行四边形性质得为线段中点，有， 解得，所以；    （2）因为直线的斜率为， 所以边上的高线所在直线的斜率为， 又，故边上的高线所在直线的方程为， 即为. 【题型8 直线方程的综合应用】 【例8.1】（24-25高二上·上海·课后作业）设直线l的方程为． (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程； (2)是否存在实数a，使直线l不经过第二象限？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 【解题思路】（1）确定，再分别求出直线在轴上的截距，列出方程求解即得. （2）化直线方程为点斜式，由直线不过第二象限，列出不等式组并求解即得. 【解答过程】（1）当时，直线平行于轴，在轴上无截距，不合题意， 则，直线在轴上的截距分别为， 依题意，，解得或， 当时，直线的方程为，当时，直线的方程为， 所以直线的方程为或 ． （2）假设存在实数，使直线不经过第二象限， 而直线的方程化为， 则有，解得， 所以存在实数使直线不经过第二象限，的取值范围为． 【例8.2】（23-24高二上·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标：，，. (1)求点的坐标，并证明平行四边形为矩形； (2)求边所在的直线方程及的内角平分线所在的直线方程. 【解题思路】（1）利用平行四边形对边为相等向量求出点的坐标，再有斜率之积证明垂直； （2）先根据两点求出方程，再求出的角平分线所在直线的斜率，最后由点斜式写出直线方程. 【解答过程】（1）如图所示，    因为四边形是平行四边形，所以， 设，则，解得，所以， 又因为，所以，所以， 所以四边形是矩形； （2），所以直线， 即 ； 设的角平分线与轴交于点，求得， 所以，又为角平分线，所以， 所以倾斜角， 所以斜率， 所以直线，即. 【变式8.1】（23-24高二上·广东东莞·阶段练习）已知四边形的四个顶点坐标分别为，，，． (1)试判断四边形的形状，并给出证明； (2)求平分线所在直线的方程． 【解题思路】（1）利用，，得出四边形一组对边平行，另一组对边不平行，从而判断四边形是平行四边形，再根据，得出一组邻边互相垂直，进而证出四边形是直角梯形； （2）利用到角公式，代入斜率即可求出角平分线所在直线的斜率，再根据点斜式，求出角平分线所在直线方程． 【解答过程】（1）由已知可判断四边形是直角梯形， 证明如下：因为，，，． 由斜率公式得，，，， 所以，，即且不平行， 所以四边形是梯形， 又因为，所以， 综上，四边形是直角梯形； （2）根据题意，设的内角平分线所在直线的斜率为k， 则有，即， 整理得，，解得或， 又由的内角平分线所在直线的斜率k应在、的斜率之间， 所以， 则的平分线所在的直线方程为， 即． 【变式8.2】（23-24高一下·黑龙江鸡西·期末）设直线l的方程为． (1)求证：不论a为何值，直线l必过一定点P； (2)若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点，当面积最小时，求的周长及此时的直线方程； (3)当直线l在两坐标轴上的截距均为正整数且a也为正整数时，求直线l的方程． 【解题思路】（1）将整理成，令，即可得解； （2）由题意知，，可得面积的表达式，变形后结合基本不等式求解； （3）由题意不妨设，则，又a也为正整数，即，所以或4，进而可得直线l的方程． 【解答过程】（1）将整理成， 令，解得，所以定点P为， 故不论a为何值，直线l必过一定点． （2）由题意知，，，则， 所以面积 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以时，面积最小， 此时， 所以的周长为， 直线方程为，即． 故当面积最小时，的周长为，此时直线方程为． （3）因为直线l在两坐标轴上的截距均为正整数， 所以不妨设，则， 又a也为正整数，所以，即，所以或4， 当时，，此时， 所以直线l的方程为，即； 当时，，不符合题意，舍去， 综上所述，直线l的方程为． 一、单选题 1．（23-24高二下·全国·课后作业）下列命题正确的是（　　） A．两条不重合的直线，如果它们的倾斜角相等，那么这两条直线平行 B．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 C．若分别为三条直线的倾斜角，则的度数可以大于60° D．若是直线l的倾斜角，且，则 【解题思路】利用倾斜角、斜率的意义逐项判断即得. 【解答过程】对于A，两条不重合的直线，如果它们的倾斜角相等，那么这两条直线平行，A正确； 对于B，当时，直线不存在斜率，B错误； 对于C，，则，C错误； 对于D，由，得，D错误. 故选：A. 2．（23-24高二上·四川绵阳·期末）直线的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出给定直线的斜率即可得该直线的一个方向向量，再求与共线的向量即可. 【解答过程】直线的斜率为，则直线的一个方向向量， 对于A，因，即向量与共线，A是； 对于B，因，即向量与不共线，B不是； 对于C，因，即向量与不共线，C不是； 对于D，因，即向量与不共线，D不是. 故选：A. 3．（24-25高三上·广东·开学考试）已知直线，直线，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【解题思路】根据直线平行的充要条件化简即可得解. 【解答过程】因为 或， 所以是 的充分不必要条件． 故选：A． 4．（24-25高二上·上海·随堂练习）若直线在y轴上的截距为-1，且它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【解题思路】则，求出的值，再设直线的倾斜角为 ，则， 求出，即可求解． 【解答过程】解：，则，得， 得， 设直线的倾斜角为 ，则， 得， 得，得， 故选：D. 5．（24-25高二上·湖南岳阳·开学考试）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解. 【解答过程】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意， 又因为直线过点，所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即， 当直线不过原点时，设直线方程为， 因为点在直线上， 所以，解得， 所以直线方程为， 故所求直线方程为或.故D项正确. 故选：D. 6．（2024高三·全国·专题练习）已知点A(0，3)，B(3，2)，直线l过点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（    ） A．[－2，0)∪(0，] B．(－∞，－]∪[2，＋∞) C．[－2，] D．(－∞，－2]∪[，＋∞) 【解题思路】求出和，数形结合观察满足直线l过点且与线段AB有公共点下斜率的变化情况即可求出结果. 【解答过程】根据题意，作出图形如下图： 直线PA的斜率为，直线PB的斜率为， 所以由图可知过点且与线段AB有公共点时，直线l的斜率取值范围是. 故选：D. 7．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知直线l：，则下列说法不正确的是（    ） A．直线l恒过点 B．若直线l与y轴的夹角为30°，则或 C．直线l的斜率可以等于0 D．若直线l在两坐标轴上的截距相等，则或 【解题思路】将方程化为判断直线过定点，判断A的正误；利用倾斜角和斜率的关系判断B的正误；讨论和时直线的斜率和截距情况，判断CD的正误. 【解答过程】直线的方程可化为， 所以直线过定点，故A正确； 因为直线与轴的夹角为， 所以直线的倾斜角为或， 而直线的斜率为，所以或， 所以或，故B正确； 当时，直线，斜率不存在， 当时，直线的斜率为， 不可能等于，故C错误； 当时，直线在轴上的截距不存在， 当时，令，得， 令，得，令， 得，故D选项正确. 故选：C. 8．（23-24高二下·湖南常德·开学考试）已知直线l过点，且与直线及x轴围成等腰三角形，则l的方程为（    ） A． B． C． D．或 【解题思路】根据直线所过点、倾斜角以及等腰三角形等知识求得正确答案. 【解答过程】设，直线过和， 当时，直线、直线与轴围成的三角形是不是等腰三角形.所以直线的斜率存在. 设关于轴的对称点为， 当直线过两点时，，三角形是等腰三角形， 同时由于直线的斜率为，倾斜角为，所以三角形是等边三角形， 所以，此时直线的方程为，即， 设直线与轴相交于点，如图所示，若， 则，所以直线，也即直线的斜率为， 对应方程为，即， 综上直线方程为或， 故选：D. 二、多选题 9．（23-24高二上·河南信阳·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为 C．若，，则直线的倾斜角为 D．若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点 【解题思路】根据倾斜角与斜率关系，点斜式及斜截式判断各项正误即可. 【解答过程】A：倾斜角为锐角，斜率为正；倾斜角为钝角时，斜率为负，错； B：直线的倾斜角为时，直线的斜率不存在，错； C：由题设，知两点横坐标相同，直线方程为，直线的倾斜角为，对； D：过，两点的斜率为：，对. 故选：CD. 10．（23-24高二上·四川成都·期中）已知直线，，则（    ） A．当时，直线的一个方向向量为 B．若与相互平行，则或 C．若，则 D．若不经过第二象限，则 【解题思路】代入，根据方向向量定义即可判断A，根据直线平行和垂直与斜率的关系即可判断B,C，将直线方程化简可得，结合一次函数的性质即可判断D. 【解答过程】对A，当时，，斜率为，则其一个方向向量为， ，A错误； 对B，若与相互平行，则，解得或， 当时，与重合，B错误； 对C，若，则，解得，故C正确； 对D，若不经过第二象限，，即， 则，解得，D正确. 故选：CD. 11．（23-24高二上·河北沧州·阶段练习）已知的三个顶点分别是，且边上的高所在的直线方程为，则以下结论正确的是（    ） A． B．边上的中线所在的直线方程为 C．过点且平行于的直线方程为 D．三边所在的直线中，直线的倾斜角最大 【解题思路】对于A，利用高线所在直线方程，代入点的坐标，建立方程，可得答案；对于B，利用中点坐标公式，根据斜率公式以及点斜式方程，可得答案；对于C，根据斜率公式以及点斜式方程，可得答案；对于D，根据斜率与倾斜角的关系，可得答案. 【解答过程】对于A，在直线上，，故A不正确； 对于B，的中点为，，∴斜率为， 则直线方程为，即，故B正确； 对于C，直线方程为， 整理可得，故C正确； 对于D，，， 直线的倾斜角大于直线的倾斜角，故D不正确， 故选：BC． 三、填空题 12．（23-24高二下·全国·课后作业）已知三点A，B，C在同一直线上，则实数的值是 3 . 【解题思路】利用三点共线与斜率的关系，斜率的计算公式. 【解答过程】三点A，B，C在同一直线上， ， ，解得. 故答案为：3. 13．（24-25高二上·湖南衡阳·开学考试）对任意的实数，直线所过的定点为 ． 【解题思路】将方程化为，列方程求解即可. 【解答过程】原方程可变形为， 令，解得， 于是有对，都满足方程， 所以这些直线都经过同一定点，该定点的坐标为. 故答案为：. 14．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围是 ． 【解题思路】先求出直线过的定点，直线与连接两点的线段总有公共点，求出，可知直线的斜率满足或，求出倾斜角即可. 【解答过程】如下图，由题意， 直线方程可化为，    由解得， 则直线过定点， 又， 则由直线与连接两点的线段总有公共点知: 直线的斜率满足或， 又当直线的斜率存在时，， 所以或， 则直线的倾斜角为或， 又也符合题意， 则直线的倾斜角范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课前预习）根据下列条件分别写出直线的一般式方程． (1)经过两点，； (2)经过点，斜率为； (3)经过点，平行于轴； (4)斜率为2，在轴上的截距为1． 【解题思路】（1）根据两点式写出方程转化为一般式方程； （2）根据点斜式写出方程转化为一般式方程； （3）根据点斜式写出方程转化为一般式方程； （4）根据点斜式写出方程转化为一般式方程. 【解答过程】（1）由两点式，得直线的方程为， 即． （2）由点斜式，得直线的方程为， 即． （3）由题意知，直线的方程为， 即． （4）由点斜式，得直线的方程为， 即． 16．（24-25高二上·广西·开学考试）已知直线，直线. (1)若 ，求实数的值； (2)若，求实数的值. 【解题思路】（1）根据两条直线平行公式计算即可求参，再检验是否重合； （2）根据两条直线垂直公式计算即可求参. 【解答过程】（1）因为 ，所以， 整理得 解得或. 当时，重合； 当时，，符合题意. 故. （2）因为，所以 解得或. 17．（2024高二·全国·专题练习）已知． (1)求直线AB的斜率并写出直线BC的一个方向向量； (2)若点D在线段BC（包括端点）上移动，求直线AD的斜率的变化范围． 【解题思路】（1）利用斜率公式求出直线AB，BC的斜率，从而求出直线BC的一个方向向量； （2）当点D由点B运动到点C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，求出kAC即可． 【解答过程】（1）解：直线AB的斜率为，直线BC的斜率为1， ∴直线BC的一个方向向量为． （2）解：如图，当点D由点B运动到点C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC， 由（1）可知kAB，kAC， ∴直线AD的斜率的变化范围为[，]． 18．（24-25高一上·全国·假期作业）已知. (1)若可以构成平行四边形，求点的坐标； (2)在（1）的条件下，判断构成的平行四边形是否为菱形. 【解题思路】（1）分四边形、、是平行四边形三种情况讨论，分别利用对边的斜率相等求解即可； （2）分别验证对角线是否垂直，即对角线斜率乘积是否为即可. 【解答过程】（1）由题意得，，， 设， 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 综上，点的坐标为或或. （2）若的坐标为， 因为，， 所以，所以， 所以平行四边形为菱形. 若的坐标为， 因为，， 所以，所以平行四边形不是菱形. 若的坐标为， 因为，直线的斜率不存在，所以平行四边形不是菱形. 因此，平行四边形为菱形,平行四边形,不是菱形. 19．（23-24高二上·安徽·期末）已知直线过点． (1)若直线在轴上的截距、在轴上的截距的满足，求直线的方程； (2)若直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程． 【解题思路】（1）分直线过原点和不过原点，利用截距式直线方程解题即可； （2）利用点斜式直线方程以及基本不等式解题即可. 【解答过程】（1）根据题意：直线在轴上的截距是在轴上的截距的3倍， 当直线不过原点时，设直线为， 将代入可得， 所以直线的方程为； 当直线过原点时，直线的斜率为， 所以直线的方程为即． 综上，直线的方程为或； （2）设直线的方程为， 所以，， 所以， 当且仅当时，，（舍）， 所以直线的方程为即． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$