第05讲 函数的三要素（秋季讲义）-2024-2025学年高一数学秋季讲义（人教A版2019必修第一册）

第05讲 函数的三要素 【人教A版2019】 模块一 定义域问题 1．函数的概念 (1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y=f(x)，xA. (2)函数的四个特征： ①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系. 2．函数的三要素 (1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． (2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域(range). (3)对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 3．抽象函数的定义域 (1)抽象函数小括号内整体取值范围一致； (2)定义域是指自变量x的取值范围. 4．求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 5．求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 【题型1 具体函数的定义域的求解】 【例1.1】（23-24高一上·河北石家庄·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数解析式有意义可得出关于实数的不等式组，即可解得函数的定义域. 【解答过程】由题意对于，得，解得且，故C正确. 故选：C. 【例1.2】（23-24高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）若函数的定义域为R，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意可知的解集为R，分，两种情况讨论，即可求解. 【解答过程】函数的定义域为R，可知的解集为R， 若，则不等式为恒成立，满足题意； 若，则，解得． 综上可知，实数k的取值范围是． 故选：B． 【变式1.1】（23-24高一下·广东汕头·期中）函数的定义域为（    ） A．{且} B．{且} C． D．{且} 【解题思路】根据函数解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可. 【解答过程】由题意得，解得且， 即定义域为. 故选：D. 【变式1.2】（23-24高一上·重庆·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解. 【解答过程】由题意，函数有意义，则满足： 分母不为零：……① 负数不能开偶次方根：……② 由①②得：的定义域为. 故选：B. 【题型2 抽象函数的定义域的求解】 【例2.1】（23-24高一上·河南·阶段练习）若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数的定义域求出的定义域，然后求解的定义域即可. 【解答过程】因为函数的定义域是，所以，所以， 所以的定义域是，故对于函数，有，解得， 从而函数的定义域是. 故选：A. 【例2.2】（23-24高一上·浙江·期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据条件列出不等式组，解出即可. 【解答过程】因为函数的定义域为， 所以，解得或， 故函数的定义域为， 故选：A. 【变式2.1】（23-24高二下·辽宁·阶段练习）若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意先求得函数的定义域为，然后结合抽象函数定义域与求解即可； 【解答过程】由题意可知，所以，要使函数有意义，则解得. 故选：D. 【变式2.2】（23-24高一上·湖南衡阳·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，结合抽象函数定义域的意义，列出不等式求解作答. 【解答过程】函数的定义域为，则，因此在中，， 函数有意义，必有，解得， 所以函数的定义域为. 故选：C. 【题型3 复合函数的定义域的求解】 【例3.1】（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由已知求出中的取值范围，它即为中的范围，再结合分母不等于0，二次根式中被开方数非负得出结论． 【解答过程】中，，则， 所以函数中，解得， 故选：A． 【例3.2】（23-24高一上·河北邢台·期末）已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数的定义域列出不等式即可得解. 【解答过程】因为， 所以，解得，即的定义域为， 若有意义， 则 解得，即的定义域为. 故选：A. 【变式3.1】（23-24高一上·河南信阳·阶段练习）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由已知条件求得的定义域，再由的定义域求出的定义域即可. 【解答过程】∵函数的定义域为，即， ∴， 又∵，解得， ∴的定义域为, 故选：C. 【变式3.2】（23-24高三上·全国·阶段练习）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用复合函数的定义及给定函数式列出不等式组，求出其解集即可作答. 【解答过程】因函数的定义域为，则在函数中， 必有，解得， 所以的定义域为. 故选：A. 模块二 值域问题 1．复合函数的值域 求复合函数的值域是由内向外逐层求解，先看整个函数的定义域，再依次从内层开始求每层的值域，每一个内层的值域都对应它外面一层的定义域，这样一层层处理就可以得到整个函数的值域. 2．求函数值域的一般方法 (1)分离常数法； (2)配方法； (3)不等式法； (4)单调性法； (5)换元法； (6)数形结合法. 【题型4 复杂函数求值域问题】 【例4.1】（23-24高一下·吉林·阶段练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求出函数的定义域，然后利用换元法转化为关于的一元二次函数，利用一元二次方程最值性质进行求解即可. 【解答过程】由得，设，则，且， 即， 则等价为，抛物线开口向下，对称轴为， ∵，∴当时函数取得最大值， 即，即函数的值域为， 故选：D. 【例4.2】（23-24高一上·四川宜宾·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】对函数分离常数，借助基本不等式，分三种情况讨论即可. 【解答过程】结合题意：， 当时，； 当时，，当且仅当， 即，原式取得最小值； 另一方面，因为，所以，即; 当时，， 当且仅当，即，原式取得最大值; 另一方面因为， 令，则，所以，所以 所以，即; 综上所述：函数的值域是. 故选：A. 【变式4.1】（23-24高三·全国·对口高考）已知函数的定义域为，且当时，，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】首先由的定义域得出的定义域，再将代入，由的范围求出值域即可． 【解答过程】由的定义域为，， 则，即， 所以， 因为，所以函数在上单调递增， 当，当， 故函数的值域为. 故选：C． 【变式4.2】（23-24高一上·广东梅州·阶段练习）设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：，，已知函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用基本不等式可求得函数的值域，由此可求得函数的值域. 【解答过程】当时，，当且仅当时，等号成立； 当时，，当且仅当时，等号成立， 此时； 又因为，所以，函数的值域为， 当时，；当时，； 当时，. 综上所述，函数的值域为. 故选：D. 【题型5 已知值域求参数问题】 【例5.1】（23-24高一上·湖北黄石·期中）若函数的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】当时易知满足题意；当时，根据的值域包含，结合二次函数性质可得结果. 【解答过程】当时，，即值域为，满足题意； 若，设，则需的值域包含， ，解得：； 综上所述：的取值范围为. 故选：C. 【例5.2】（23-24高一下·广东梅州·期中）已知函数在上的值域为，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【解题思路】首先利用二次函数最值求出，则得到其单调性，则，代入计算即可. 【解答过程】的对称轴为，则，解得， 则在上单调递增， 所以，即， 所以，为方程的两个根， 即为方程的两个根，所以. 故选：D. 【变式5.1】（23-24高一·全国·课后作业）已知函数的值域为，求实数的值． 【解题思路】先令，将该函数整理成关于的方程，该方程有实数根，所以对应判别式，这样便可求出的范围，即原函数的值域，又已知函数值域是，所以让它对应端点相等求出，即可． 【解答过程】解：令，并将该函数变成：，则该关于的方程有实数根； ，即， ， 又函数的值域为， ，解得，； ，． 【变式5.2】（23-24高一上·江西赣州·期中）已知函数. (1)若的定义域为，求的取值范围； (2)若的值域为，求的取值范围. 【解题思路】（1）由定义域为即可知不等式对恒成立，对进行分类讨论即可； （2）由的值域为可知函数的值域包括，限定的取值即可求得结果. 【解答过程】（1）因为的定义域为， 所以对恒成立. 当时，不恒成立，不合题意. 当时，由题意可得， 解得. 综上可知的取值范固为. （2）设函数的值域为. 因为的值域为，所以. 当时，的值域为，满足题意. 当时，由题意知，解得. 故的取值范围为. 模块三 解析式问题 1．函数解析式的常见求法 (1)配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式. (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解. (3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. (4)方程思想：已知关于f(x)与或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 【题型6 已知函数类型求解析式】 【例6.1】（23-24高一上·内蒙古赤峰·期中）已知是一次函数，且，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意设函数，列出方程组，求得的值，即可求解. 【解答过程】由题意，设函数， 因为，， 所以，， 则，解得， 所以. 故选：D. 【例6.2】（23-24高一上·河南驻马店·阶段练习）设为一次函数，且．若，则的解析式为（    ） A．或 B． C． D． 【解题思路】设，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，再结合可得出、的值，即可得出函数的解析式. 【解答过程】设，其中，则， 所以，，解得或. 当时，，此时，合乎题意； 当时，，此时，不合乎题意. 综上所述，. 故选：B. 【变式6.1】（23-24高一上·云南昭通·阶段练习）（1）若二次函数满足，且图象过原点，求的解析式; （2）已知是一次函数，且满足，求的解析式. 【解题思路】（1）根据待定系数法即可求解， （2）根据待定系数法即可求解. 【解答过程】解：（1）设 , , 且图象过原点, 解得 （2）设 ， 则, , 即 不论为何值都成立, 解得 . 【变式6.2】（23-24高一上·全国·课前预习）（1）已知是一次函数，且，求； （2）已知是二次函数，且满足，求. 【解题思路】（1）设，代入，整理，得恒等式，求出即可； （2）设，代入条件，求出即可 【解答过程】（1）设， 则 因为，所以 所以解得或 所以或 （2）设 由，得 由 得 整理，得 所以 所以 所以. 【题型7 已知f(g(x))求解析式】 【例7.1】（23-24高一上·湖北·期中）已知，则函数的解析式为（        ） A． B．（） C．（） D．（） 【解题思路】令（），采用换元法求函数的解析式. 【解答过程】设（），则， ， 所以（）， 故选：C. 【例7.2】（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】令，利用换元法求出函数 ，从而直接代入即可求出的解析式. 【解答过程】因为，所以令，则， 所以 ， 所以， 因为，所以，即， 所以 . 故选：D. 【变式7.1】（24-25高三上·黑龙江佳木斯·开学考试）求下列函数解析式 (1)函数满足， 求函数的解析式; (2)函数满足，求函数的解析式. 【解题思路】（1）令，用换元法进行求解； （2）用替换的，得到，与原式组成方程组，解方程组即可得到的解析式. 【解答过程】（1）令，则(R)，又， 所以， 所以函数的解析式为. （2）∵， ∴用替换上式中的，得到， 解方程组，得. 【变式7.2】（24-25高一上·全国·课堂例题）（1）已知，求； （2）已知为二次函数，且，求； （3）已知函数对于任意的x都有，求． 【解题思路】（1）利用换元法或配凑法求解即可； （2）利用待定系数法，令，然后结合已知条件化简列方程组可求出，从而可求出； （3）将已知等式中的用替换，得到另一个式子，与已知等式联立可求出. 【解答过程】（1）方法一  （换元法）： 令，则，， 所以， 所以的解析式为． 方法二  （配凑法）： ． 因为， 所以的解析式为． （2）设， 则 ， 所以，解得， 所以． （3）， 令，得， 于是得到关于与的方程组， 解得． 【题型8 求函数值或由函数值求参】 【例8.1】（23-24高一上·广西钦州·期末）若函数，且，则a等于（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将代入函数解析式，解方程即可. 【解答过程】由，令， 则， 解得. 故选：A. 【例8.2】（2024·浙江嘉兴·模拟预测）已知函数的定义域为，且，，则的值是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【解题思路】由赋值法先得，再由与关系列式求解． 【解答过程】中令，则， 中令，，则， 又中令，则，所以， 中，令，则， 再令，，则． 故选：D. 【变式8.1】（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知数. (1)求函数的定义域 (2)求； (3)已知，求的值. 【解题思路】（1）根据函数定义域的求法求得正确答案. （2）根据函数的解析式求得正确答案. （3）根据已知条件解方程来求得. 【解答过程】（1）由解析式知：，可得且， 故定义域为或， （2）， . （3）由，， 所以，显然在定义域内， 所以. 【变式8.2】（23-24高一上·浙江·阶段练习）已知函数对，都有且. (1)求证：； (2)求的值. 【解题思路】（1）取都为时，代入题中关系式即可证明； （2）令，分析可得，进而可求，令，分析可得，整理得，即可得结果. 【解答过程】（1）因为， 取都为时，所以. （2）令，则，可得或， 当时，令，则，即与矛盾， 所以， 因为， 令，则，可得， 令，则， 即， 即， 可得， 用代可得， 可得，即， 所以. 一、单选题 1．（23-24高二上·安徽马鞍山·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】依题意得，解出该不等式组即可得解. 【解答过程】因为函数的定义域为， 所以，， 所以函数的定义域为. 故选：A. 2．（23-24高一上·江苏苏州·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】令，，可得，利用函数单调性求值域. 【解答过程】令，，则， 所以函数，函数在上单调递增， 时，有最小值， 所以函数的值域为. 故选：C. 3．（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习）下列各组函数相等的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【解题思路】分别求每个选项中两个函数的定义域和对应关系，即可判断是否为相同函数，进而可得正确选项. 【解答过程】对于A中，函数的定义域为R，的定义域为， 所以定义域不同，不是相同的函数，故A错误； 对于B中，函数的定义域为R，的定义域为， 所以定义域不同，不是相同的函数，故B错误； 对于C中，函数的定义域为R，与的定义域为， 所以定义域不同，所以不是相同的函数,故C错误； 对于D中，函数与的定义域均为R， 可知两个函数的定义域相同，对应关系也相同，所以是相同的函数, 故D正确； 故选：D. 4．（23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知函数是一次函数，且，则（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 【解题思路】设，根据恒成立可得a，b，然后可解. 【解答过程】设， 则， 整理得， 所以，解， 所以，所以. 故选：A. 5．（24-25高一上·广东梅州·开学考试）已知函数的定义域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】函数的定义域是，等价于不等式对任意恒成立，分和两种情况求出实数的取值范围即可. 【解答过程】因为函数的定义域是， 所以不等式对任意恒成立， 当时，，对任意恒成立，符合题意； 当时，，即，解得：， 综上，实数的取值范围是; 故选：D. 6．（23-24高一上·天津南开·期中）已知，则函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用配凑法先求出函数，再整体代入即可求出函数的表达式. 【解答过程】因为 所以 所以，即. 故选：C. 7．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）设函数，若，则实数a的值为（    ） A．或 B．或4 C．或 D．或4 【解题思路】根据给定的分段函数，先分类讨论求得的值，再分类讨论求得的值，从而得解. 【解答过程】设，则， 当时，由，解得，当时，由，解得， 于是或， 当时，由或，解得或，因此； 当时，由或，解得或，因此， 所以实数a的值为或. 故选：C. 8．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知函数满足，且，则（    ） A．0 B．1 C．5 D． 【解题思路】通过赋值得，，由此即可得解. 【解答过程】由题意在中令，则，解得， 令，则，则， 所以. 故选：C. 二、多选题 9．（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知函数的定义域为，值域为，则下列函数的值域也为的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】结合题意根据复合函数值域及函数图象变换，逐个选项验证可得答案. 【解答过程】对于A，的图象可看作由的图象向左平移一个单位得到的，故值域不变，正确； 对于B，由可得，即的值域为，错误； 对于C，函数与函数的图象关于y轴对称， 故函数的值域与函数的值域相同，为，正确； 对于D，由可得，即的值域为，错误. 故选：AC. 10．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．若的定义域为，则的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的值域为 D．函数在上的值域为 【解题思路】根据抽象函数的定义域的求解判断A；利用分离常数化简函数解析式，结合反比型函数的值域判断B；利用换元法，结合二次函数的性质求得其值域，判断C；利用配方法，结合二次函数的性质判断D. 【解答过程】对于A，因为的定义域为，所以， 解得，即的定义域为，故A正确； 对于B，， 所以，即函数的值域为，故B不正确； 对于C，令，则，， 所以，， 所以当时，该函数取得最大值，最大值为， 所以函数的值域为，故C正确； 对于D，，其图象的对称轴为直线，且，， 所以函数在上的值域为，故D不正确． 故选：AC． 11．（23-24高一上·浙江·期中）已知函数定义域为，且 ，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据条件，令，可得，A正确；再令，可得，据此变形，可得，故C正确；此时可解出，求得，故BD错误. 【解答过程】对于A，中令， 则，A正确； 对于BCD，再令，则， 即① 所以 即②， 又因为也符合上式，C正确； 联立①②，解得 ，D错误 ，B错误. 故选：AC. 三、填空题 12．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 【解题思路】由的定义域为，则恒成立，对分类讨论计算即可得. 【解答过程】由的定义域为，则恒成立， 当时，，得，不符合要求，故舍去， 当时，有，解得， 综上，. 故答案为：. 13．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数（a，b为常数，且）满足，方程有唯一解，则函数的解析式为 ． 【解题思路】根据，且方程的解只有一个，求出a和b的值，从而求出函数的解析式即可. 【解答过程】因为，且，可知， 令，整理可得，解得或， 若方程有唯一解，则或，解得， 又因为，解得， 所以． 故答案为：. 14．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知是定义在R上的函数，，且对于任意都有，，若，则 11 . 【解题思路】根据题目所给不等式恒成立，利用赋值法求得的值，由此求得的值. 【解答过程】在中，令，得， 由，得， 又，， 因此，则有，即， 所以. 故答案为：11. 四、解答题 15．（23-24高一上·全国·课后作业）设函数的定义域为． (1)求函数的定义域； (2)设，求函数的定义域． 【解题思路】（1）根据题意可得，从而可得出答案； （2）根据题意可得，分，，三种情况讨论即可得出答案. 【解答过程】（1）解：因为函数的定义域为， 所以，解得， 所以函数的定义域为； （2）解：因为函数的定义域为， 所以，即， 当或，即时，不等式组无解，即函数的定义域为空集， 当时，定义域是， 当，定义域是． 16．（23-24高一上·安徽宣城·期中）根据下列条件，求的解析式 (1)已知满足 (2)已知是一次函数，且满足； (3)已知满足 【解题思路】（1）利用换元法即可求解； （2）设，然后结合待定系数法即可得解； （3）由题意可得，利用方程组思想即可得出答案. 【解答过程】（1）解：令，则， 故， 所以； （2）解：设， 因为， 所以， 即， 所以，解得， 所以； （3）解：因为①， 所以②， ②①得， 所以. 17．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知函数 (1)若，求实数m及； (2)若，求的定义域； (3)若的定义域为，求实数m的取值范围. 【解题思路】（1）根据求出m的值，然后即可求出的值； （2）根据可得出的解析式，让解析式有意义即可求出的定义域； （3）根据的定义域可得出的最小值，从而得出m的范围. 【解答过程】（1），解得，所以，则， 所以； （2）当时，，要使有意义，则， 解得，所以的定义域为； （3）因为的定义域为， 所以在上恒成立， 所以的最小值，解得， 所以m的取值范围为. 18．（23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知． (1)若时，求的值域； (2)函数，若函数的值域为，求a的取值范围． 【解题思路】（1）根据函数解析式，采用分离常数项的方法，结合不等式性质，可得答案； （2）根据二次根式的定义，结合二次函数的性质，可得答案. 【解答过程】（1）由，则， 由不等式性质，则，，，，， 故，即的值域为. （2）由题意，， 由函数的值域为，则有解且无最大值， 当时，符合题意； 当时，根据二次函数的性质，可得， 其中，，，，解得或， 综上，故. 19．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数满足． (1)求的值，并求出的解析式； (2)若函数，且在的最大值与最小值的差值恒小于4，求实数t的取值范围． 【解题思路】（1）令x=0代入求；利用构造法求的解析式； （2），讨论对称轴与区间的关系，分别求出最小值和最大值，列不等式解出t的范围. 【解答过程】（1）因为函数满足 所以令x=0得：，即. 由得： . （2）函数，对称轴为x=t. 当时，在单调递增，所以所以有，即，解得：，所以； 当时，在单调递减，在单调递增，且，所以所以有，即，解得：，所以； 当时，在单调递减，在单调递增，且，所以所以有，即，解得：，所以； 当时，在单调递减，所以所以有，即，解得：，所以； 综上所述：. 即实数t的范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 函数的三要素 【人教A版2019】 模块一 定义域问题 1．函数的概念 (1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y=f(x)，xA. (2)函数的四个特征： ①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系. 2．函数的三要素 (1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． (2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域(range). (3)对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 3．抽象函数的定义域 (1)抽象函数小括号内整体取值范围一致； (2)定义域是指自变量x的取值范围. 4．求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 5．求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 【题型1 具体函数的定义域的求解】 【例1.1】（23-24高一上·河北石家庄·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（23-24高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）若函数的定义域为R，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（23-24高一下·广东汕头·期中）函数的定义域为（    ） A．{且} B．{且} C． D．{且} 【变式1.2】（23-24高一上·重庆·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【题型2 抽象函数的定义域的求解】 【例2.1】（23-24高一上·河南·阶段练习）若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（23-24高一上·浙江·期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（23-24高二下·辽宁·阶段练习）若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（23-24高一上·湖南衡阳·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【题型3 复合函数的定义域的求解】 【例3.1】（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【例3.2】（23-24高一上·河北邢台·期末）已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（23-24高一上·河南信阳·阶段练习）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（23-24高三上·全国·阶段练习）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 模块二 值域问题 1．复合函数的值域 求复合函数的值域是由内向外逐层求解，先看整个函数的定义域，再依次从内层开始求每层的值域，每一个内层的值域都对应它外面一层的定义域，这样一层层处理就可以得到整个函数的值域. 2．求函数值域的一般方法 (1)分离常数法； (2)配方法； (3)不等式法； (4)单调性法； (5)换元法； (6)数形结合法. 【题型4 复杂函数求值域问题】 【例4.1】（23-24高一下·吉林·阶段练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【例4.2】（23-24高一上·四川宜宾·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（23-24高三·全国·对口高考）已知函数的定义域为，且当时，，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（23-24高一上·广东梅州·阶段练习）设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：，，已知函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【题型5 已知值域求参数问题】 【例5.1】（23-24高一上·湖北黄石·期中）若函数的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例5.2】（23-24高一下·广东梅州·期中）已知函数在上的值域为，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【变式5.1】（23-24高一·全国·课后作业）已知函数的值域为，求实数的值． 【变式5.2】（23-24高一上·江西赣州·期中）已知函数. (1)若的定义域为，求的取值范围； (2)若的值域为，求的取值范围. 模块三 解析式问题 1．函数解析式的常见求法 (1)配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式. (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解. (3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. (4)方程思想：已知关于f(x)与或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 【题型6 已知函数类型求解析式】 【例6.1】（23-24高一上·内蒙古赤峰·期中）已知是一次函数，且，，则（    ） A． B． C． D． 【例6.2】（23-24高一上·河南驻马店·阶段练习）设为一次函数，且．若，则的解析式为（    ） A．或 B． C． D． 【变式6.1】（23-24高一上·云南昭通·阶段练习）（1）若二次函数满足，且图象过原点，求的解析式; （2）已知是一次函数，且满足，求的解析式. 【变式6.2】（23-24高一上·全国·课前预习）（1）已知是一次函数，且，求； （2）已知是二次函数，且满足，求. 【题型7 已知f(g(x))求解析式】 【例7.1】（23-24高一上·湖北·期中）已知，则函数的解析式为（        ） A． B．（） C．（） D．（） 【例7.2】（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式7.1】（24-25高三上·黑龙江佳木斯·开学考试）求下列函数解析式 (1)函数满足， 求函数的解析式; (2)函数满足，求函数的解析式. 【变式7.2】（24-25高一上·全国·课堂例题）（1）已知，求； （2）已知为二次函数，且，求； （3）已知函数对于任意的x都有，求． 【题型8 求函数值或由函数值求参】 【例8.1】（23-24高一上·广西钦州·期末）若函数，且，则a等于（    ） A． B． C． D． 【例8.2】（2024·浙江嘉兴·模拟预测）已知函数的定义域为，且，，则的值是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【变式8.1】（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知数. (1)求函数的定义域 (2)求； (3)已知，求的值. 【变式8.2】（23-24高一上·浙江·阶段练习）已知函数对，都有且. (1)求证：； (2)求的值. 一、单选题 1．（23-24高二上·安徽马鞍山·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏苏州·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习）下列各组函数相等的是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知函数是一次函数，且，则（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 5．（24-25高一上·广东梅州·开学考试）已知函数的定义域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·天津南开·期中）已知，则函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）设函数，若，则实数a的值为（    ） A．或 B．或4 C．或 D．或4 8．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知函数满足，且，则（    ） A．0 B．1 C．5 D． 二、多选题 9．（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知函数的定义域为，值域为，则下列函数的值域也为的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．若的定义域为，则的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的值域为 D．函数在上的值域为 11．（23-24高一上·浙江·期中）已知函数定义域为，且 ，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 13．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数（a，b为常数，且）满足，方程有唯一解，则函数的解析式为 ． 14．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知是定义在R上的函数，，且对于任意都有，，若，则 . 四、解答题 15．（23-24高一上·全国·课后作业）设函数的定义域为． (1)求函数的定义域； (2)设，求函数的定义域． 16．（23-24高一上·安徽宣城·期中）根据下列条件，求的解析式 (1)已知满足 (2)已知是一次函数，且满足； (3)已知满足 17．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知函数 (1)若，求实数m及； (2)若，求的定义域； (3)若的定义域为，求实数m的取值范围. 18．（23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知． (1)若时，求的值域； (2)函数，若函数的值域为，求a的取值范围． 19．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数满足． (1)求的值，并求出的解析式； (2)若函数，且在的最大值与最小值的差值恒小于4，求实数t的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$