第04讲 三个“二次”及其拓展（秋季讲义）-2024-2025学年高一数学秋季讲义（人教A版2019必修第一册）

第04讲 三个“二次”及其拓展 【人教A版2019】 模块一 一元二次不等式 1．一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2．一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 3．分式、高次、绝对值不等式的解法 (1)解分式不等式的一般步骤： ①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． ②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． (2)解高次不等式的一般步骤： 高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集. (3)解绝对值不等式的一般步骤： 对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解. 【题型1 解不含参的一元二次不等式】 【例1.1】（24-25高一上·全国·随堂练习）不等式的解集为（    ） A． B． C． D．R 【解题思路】根据题意整理可得，结合一元二次不等式运算求解. 【解答过程】因为，整理可得，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：C. 【例1.2】（23-24高一上·辽宁·期中）设，用表示不超过的最大整数，则满足不等式解集是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由一元二次不等式的解法结合题设条件求解即可. 【解答过程】由不等式，解得，因为表示不超过的最大整数，所以，故不等式解集为 故选：C. 【变式1.1】（2024·天津·模拟预测）已知，，则是的（    ）条件 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【解题思路】分别求得对应命题的范围，根据集合语言和命题语言的关系，即可判断. 【解答过程】由得， 由得， 则是的必要不充分条件. 故选：B. 【变式1.2】（23-24高一上·陕西渭南·期末）已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【解题思路】 根据给定的解集求出，再解一元二次不等式即得. 【解答过程】由不等式的解集为或， 得是方程的两个根，且， 因此，且，解得， 不等式化为：，解得， 所以不等式为. 故选：C. 【题型2 解含参的一元二次不等式】 【例2.1】（23-24高一上·河南开封·期中）关于x的不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D．或 【解题思路】将原不等式化为，再分类讨论的取值情况进行求解. 【解答过程】由题意，原不等式可化为 当时，原不等式为，解得，原不等式的解集为； 当时，，原不等式的解集为； 当时，，原不等式的解集为； 当时，，原不等式的解集为； 当时，，原不等式的解集为或； 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 故不可能的解集为或. 故选：D. 【例2.2】（23-24高一上·山东·阶段练习）不等式的解集为（    ）. A． B． C．或 D．或 【解题思路】由一元二次不等式的解法求解. 【解答过程】原不等式可化为即，而，故， 图象开口向下，故原不等式的解集为. 故选：A. 【变式2.1】（2024高一·全国·专题练习）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】首先不等式转化为，再根据，结合一元二次不等式的形式求不等式的解集. 【解答过程】原不等式可以转化为：， 当时，可知，对应的方程的两根为1，， 所以不等式的解集为：. 故选：A. 【变式2.2】（23-24高一上·浙江台州·期中）不等式的解集为，则下列选项正确的为（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为或 【解题思路】赋值法可解AB，消去参数可解CD. 【解答过程】记，因为 所以，故A错误； 因为 所以，故B错误； 由题知和2是方程的两个实根， 所以，且 解得 故或，C错误； 或，D正确； 故选：D. 【题型3 由一元二次不等式的解确定参数】 【例3.1】（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）已知关于x的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【解题思路】由题意可得且方程的解为，利用韦达定理将用表示，再根据一元二次不等式的解法即可得解. 【解答过程】因为关于x的一元二次不等式的解集为， 所以且方程的解为， 所以，所以， 则不等式，即为不等式， 则，解得， 所以不等式的解集为. 故选：D. 【例3.2】（24-25高一上·上海·随堂练习）若关于x的不等式组的整数解只有，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求出每一个不等式，然后由不等式组整数解只有，列出关于的不等式组，从而可求出的取值范围. 【解答过程】解集为， 当时， 的解集为， 因为关于x的不等式组的整数解只有， 所以，即， 当时，的解集为空集，不满足题意， 当时，的解集为，不满足题意， 综上，的取值范围. 故选：D. 【变式3.1】（23-24高一上·湖北恩施·期末）已知关于的不等式恰有三个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】化不等式为，分，和三种情况讨论，求得不等式的解集，结合题意即可求解. 【解答过程】不等式，可化为， 当时，不等式的解集为空集，不合题意； 当时，不等式的解集为， 要使不等式恰有三个整数解，则， 当时，不等式的解集为， 要使不等式恰有三个整数解，则， 综上可得，实数的取值范围是. 故选：D. 【变式3.2】（23-24高一上·河南安阳·阶段练习）已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【解题思路】先利用题给条件求得三者正负号和三者间的关系，进而否定选项A和选项B，求得不等式的解集判断选项C；求得不等式的解集判断选项D. 【解答过程】关于的不等式的解集为 则且关于的方程的根为，， 则，解之得， 由，可得选项 A判断错误； ，故选项 B判断错误； 不等式可化为，解之得，故选项 C判断正确； 不等式可化为，即， 解之得或，故选项 D判断错误. 故选：C. 【题型4 其他不等式的解法】 【例4.1】（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将原不等式转化为或，再由二次不等式和一次不等式的解法，即可得到解集． 【解答过程】不等式化为，即有0， 于是或，解得或， 所以原不等式的解集为. 故选：B. 【例4.2】（2024·甘肃张掖·模拟预测）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】按照正负分类讨论取绝对值，运算得解. 【解答过程】当，即或时， 不等式等价于，即， 解得，所以； 当，即时，不等式等价于不等式，即， 解得或，所以. 综上，不等式的解集是. 故选：C. 【变式4.1】（23-24高一下·全国·课后作业）解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4). 【解题思路】（1）（2）根据一元二次不等式的解法求解即可. （3）利用平方法解绝对值不等式即可得解. （4）利用分式不等式，结合完全平方公式即可得解； 【解答过程】（1）由，得， ，得， 所以原不等式的解集为. （2）由，得， 得恒成立， 所以原不等式的解集为. （3）因为， 所以，即， 所以，即，解得或， 故原不等式的解集为或. （4）因为， 所以，即，则， 所以，解得或且， 故原不等式的解集为或且. 【变式4.2】（24-25高一上·上海·假期作业）求下列不等式的解集. (1) (2) (3) (4) 【解题思路】（1）根据绝对值的几何意义即公式：，得到或求解； （2）根据绝对值的几何意义即公式：，解得求解可得； （3）两边同乘变成整式型，两边平方得到解集，注意； （4）因为，，转成整式进而得到答案. 【解答过程】（1），则，解得，所以解集为. （2）因为，所以，即， 解出或， 或，即，无实数解， 综上，解集为. （3），，， 两边平方得到：， 即，解得或， ，所以解集为：. （4），，即， 解得，故解集为. 模块二 三个“二次”的关系 1．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 【注】：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． (2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 △>0 △=0 △<0 y=ax2+bx+ c (a>0)的图象 ax2+bx+ c=0 (a>0)的根 有两个不相等 的实数根 x1,x2（x1<x2） 有两个相等 的实数根 没有实数根 ax2+bx+ c>0 (a>0)的解集 或 R ax2+bx+ c<0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2} 【注】：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 【题型5 二次函数零点（方程的根）的分布问题】 【例5.1】（2024高三·全国·专题练习）关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】说明时，不合题意，从而将化为，令，结合其与x轴有两个交点，且分布在1的两侧，可列不等式即可求得答案. 【解答过程】当时，即为，不符合题意； 故，即为， 令， 由于关于的方程有两个不相等的实数根，且， 则与x轴有两个交点，且分布在1的两侧， 故时，，即，解得，故， 故选：D. 【例5.2】（23-24高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知函数只有一个零点，不等式的解集为，则m的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】 根据函数有一个零点可得，再将不等式的解集转化为方程的两根，最后利用韦达定理和两根的大小关系即可求解. 【解答过程】 函数只有一个零点，则， 不等式的解集为， 即的解集为． 设方程的两根为， 则，且， ∴，则， 整理得，∴． 故选：D. 【变式5.1】（23-24高一上·广东广州·阶段练习）已知关于的方程在区间内有实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】参变分离可得在区间内有实根，令，，根据二次函数的性质求出的值域，即可求出参数的取值范围. 【解答过程】解：因为关于的方程在区间内有实根， 所以在区间内有实根， 令，，所以在上单调递减， 所以，即， 依题意与在内有交点， 所以. 故选：B. 【变式5.2】（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）已知函数（）有两个零点-1和m，若存在实数，使得，则实数m的值可能是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意可得，则，，依题意可得：，然后结合根的对称性分析得答案． 【解答过程】是函数的一个零点， ， ，则，， ，． 由，，得①，由，得，即②， 由①②得：． 函数的图象是开口向下的抛物线，其对称轴方程为，则． 零点到对称轴的距离，， 另一零点为，，， 因为，所以， 故， ， 综合四个选项，实数的值可能是,和. 故选：BCD． 【题型6 三个“二次”关系的应用】 【例6.1】（23-24高一·全国·课堂例题）不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．     D．   【解题思路】根据题意，可得方程的两个根为和，且，结合二次方程根与系数的关系得到、、的关系，再结合二次函数的性质判断即可． 【解答过程】因为的解集为， 所以方程的两根分别为和1，且， 则变形可得 故函数的图象开口向下， 且与x轴的交点坐标为和，故A选项的图象符合. 故选：A. 【例6.2】（23-24高一上·浙江金华·阶段练习）已知不等式的解集是，则对函数，下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用二次不等式的解集，求得a,b,c的关系，由此判断二次函数的图像与性质，从而判断出的大小关系. 【解答过程】由于二次不等式的解集为， 所以，是方程的两个实数根，即 即. 则，，其图像开口向上，且对称轴为 ， 所以 故选：A. 【变式6.1】（23-24高一·全国·课后作业）已知二次函数的对称轴为，且有两个实数根、，则等于（    ） A． B． C． D．不能确定 【解题思路】利用二次函数的对称轴方程可求得的值，然后利用韦达定理可求得的值. 【解答过程】由于二次函数的对称轴方程为，可得， 又因为方程的两根分别为、，由韦达定理得. 故选：C. 【变式6.2】（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）已知二次函数的最小值为，若关于的不等式的解集为区间，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据二次函数最值可求得，利用一元二次不等式的解集与一元二次方程根之间的关系，结合韦达定理可构造方程，解方程求得结果. 【解答过程】的最小值为，，即， 的解集为，的解集为， 的两根分别为，，则， ，又， ，解得：. 故选：A. 模块三 一元二次不等式恒成立、有解问题 1．一元二次不等式恒成立、存在性问题 不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为 【题型7 一元二次不等式恒成立问题】 【例7.1】（23-24高一上·广东广州·期中）若，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【解题思路】根据二次函数的性质，分，，，讨论求解. 【解答过程】当时，不等式化为，不恒成立，不合题意； 当时，由二次函数图象和性质知不合题意； 当时，要使，对恒成立，则 ，解得， 综上可得实数的取值范围是. 故选：C. 【例7.2】（23-24高三上·辽宁铁岭·期中）已知，，，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】首先将不等式转化为关于的不等式，再根据参变分离，转化为求函数的最值. 【解答过程】因为，，则，所以， 又，可得，令， 则原题意等价于，，即， ，当时，取到最大值， 所以实数m的取值范围是． 故选：C. 【变式7.1】（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知函数，， (1)若关于的不等式的解集为，求实数和实数的值； (2)若对，恒成立，求实数a的取值范围. 【解题思路】（1）关于的不等式的解集为，转换为，是方程的两个实数根，求值即可. （2）对，恒成立，转换为恒成立，利用恒成立知识求解即可. 【解答过程】（1）依题意，，即解集为， 所以，是方程的两个实数根， 将代入方程得，此时方程，另一根，即， 所以实数，. （2）若对，恒成立， 即，恒成立， 当时，上述不等式恒成立； 当时，上述不等式恒成立等价于， 而， 当且仅当，即时取等号， 即函数在上有最小值为4，则； 综上，实数的取值范围是. 【变式7.2】（23-24高一上·福建莆田·期中）设函数，其中. (1)若，且对任意的，都有，求实数的取值范围； (2)若对任意的，都有，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）根据得到，然后结合题意列不等式求解即可； （2）将“对任意的， ，都有”转化为“”，然后分、、和四种情况讨论即可. 【解答过程】（1）当时，， 令，解得， 所以，解得， 所以的取值范围为. （2）设函数在区间上的最大值为，最小值为， 所以“对任意的， ，都有”等价于“”， ①当时，，， 由，得，从而此时； ②当时，，， 由得， 从而； ③当时，，， 由，得， 从而； ④当时，，， 由得， 从而此时； 综上可得，的取值范围为. 【题型8 一元二次不等式有解问题】 【例8.1】（23-24高二上·浙江·期中）若关于x的不等式在上有解，则实数m的最小值为（    ） A．9 B．5 C．6 D． 【解题思路】先通过分离参数得到，然后利用基本不等式求解出的最小值，则的最小值可求. 【解答过程】因为在上有解，所以在上有解， 所以， 又因为，当且仅当即时取等号， 所以，所以，即的最小值为， 故选：B. 【例8.2】（23-24高一上·福建·期中）若至少存在一个，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】 化简不等式，根据二次函数的图象、含有绝对值函数的图象进行分析，从而求得的取值范围. 【解答过程】依题意，至少存在一个，使得关于的不等式成立， 即至少存在一个，使得关于的不等式成立， 画出以及的图象如下图所示，其中. 当与相切时， 由消去并化简得， . 当与相切时， 由消去并化简得①， 由解得，代入①得， 解得，不符合题意. 当过时，. 结合图象可知的取值范围是. 故选：A. 【变式8.1】（23-24高一上·山东济宁·期末）设函数. （1）若不等式的解集为，求实数的值； （2）若，且存在，使成立，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）由不等式的解集得相应二次方程的两根，由韦达定理可求得； （2）由得，问题可转化为存在，使得成立.，不等式可以成立，时由二次不等式有解可得的范围． 【解答过程】解：（1）由题意可知：方程的两根是，1 所以 解得 （2）由得 存在，成立，即使成立， 又因为，代入上式可得成立. 当时，显然存在使得上式成立； 当时，需使方程有两个不相等的实根 所以 即 解得或 综上可知的取值范围是． 【变式8.2】（23-24高一上·福建·期中）已知函数 (1)若的解集是或，求实数的值； (2)当时，若时函数有解，求的取值范围． 【解题思路】（1）根据一元二次不等式的解集列方程，由此求得的值. （2）化简不等式，通过直接讨论法或分离常数法，结合二次函数的性质或基本不等式求得的取值范围. 【解答过程】（1）依题意，的解集是或，则， 且是方程的两个根， 所以，解得． （2）时，在有解， 即在有解， 法一：因为的开口向上，对称轴 ①即时，函数取得最小值. ②即时，当取得最小值，此时， 解得或.又. ③当即，当时取得最小值，此时不成立， 即无解. 综上，． 法二：在有解， 当时不成立， 当时，即在有解，， 令，， 当且仅当即取“”，，. 一、单选题 1．（23-24高二下·福建福州·期末）设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】对参数进行分类讨论得到一元二次不等式的解集后求解即可. 【解答过程】对于，当时，变为， 此时解得， 当时，解得， 当时，解得， 当时，此时解集为空集， 当时，解得， 综上讨论，并未在任何情况出现， 故不可能是原不等式解集，故B正确. 故选：B. 2．（24-25高一上·北京·开学考试）已知二次函数（为常数），当时，函数值y的最小值为，则m的值是（　　） A． B．1 C．2或 D． 【解题思路】利用二次函数的性质，先求得抛物线对称轴，分和，两种情况进行分析，求得的值即可． 【解答过程】∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ①当时，抛物线的开口向上， ∵当时，函数在处取得最小值， 又函数值y的最小值为，∴当时，，∴，解得． ②当时，抛物线的开口向下， ∵当时，函数在处取得最小值， 又函数值y的最小值为，∴当时，，∴，解得： 故选：C． 3．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）不等式的解集为或，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将不等式化为，即的两个根为，，代入求出，再利用分式不等式的解法即可求解. 【解答过程】不等式可转化为， 其解集为或， 所以，且方程的两个根为，， 则 或，解得或（舍去）， 即有，即，解得. 所以不等式的解集为. 故选：A. 4．（2024高三·全国·专题练习）已知关于x的方程，下列结论错误的是（    ） A．方程无实数根的必要条件是 B．方程有一正一负根的充要条件是 C．方程有两正实数根的充要条件是 D．方程有实数根的充要条件是或 【解题思路】A，根据一元二次方程两实根可得，列出不等式，求解即可得出充要条件，再根据包含关系得到A正确；B，由已知可知判别式条件及两根之积为负列出不等式组，求解即可；C项，由已知可知判别式条件及两根之和以及两根之积为正列出不等式组；D项，由已知可知判别式条件列出不等式，求解即可． 【解答过程】A选项，方程无实数根的充要条件是， 解得，，故必要条件是，故A正确． B选项，方程有一正一负根的充要条件是， 解得，B正确； C选项，方程有两正实数根的充要条件是， 解得，C正确； D选项，方程有实数根的充要条件是，解得，D错误； 故选：D． 5．（2024高二下·安徽·学业考试）若不等式对所有实数恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分和两种情况讨论，时，结合二次函数图象得到的取值范围. 【解答过程】时，原不等式化为，解得，不对所有的恒成立，不符合题意； 时，原不等式为一元二次不等式，要对所有实数恒成立， 则二次函数的图象开口向下且与轴无交点， 从而，解得， 所以，的取值范围为， 故选：B. 6．（24-25高一上·上海·随堂练习）若关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】因式分解得到，对分类讨论，求出不等式的解，再根据条件，即可求出结果. 【解答过程】由，得到， 当时，不等式的解为，又不等式的解集中恰有4个正整数解，所以， 当时，不等式的解为，不满足题意， 当时，不等式的解为，最多含1个正整数解，不满足题意， 故选：A. 7．（23-24高一下·江苏·开学考试）已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】注意到原题条件等价于当时，恒成立，当时，恒成立，故当时，，从而得，由此结合基本不等式即可求解. 【解答过程】设，， 因为，所以当时，； 当时，； 时，； 由不等式恒成立，得或， 即当时，恒成立， 当时，恒成立， 所以当时，， 则，即， 则当时，，当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为． 故选：C． 8．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）已知关于的不等式的解集为，则下列选项不正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 【解题思路】由题意可知，和3是方程的两根，且，故A正确；再结合韦达定理可得,代入选项和，解不等式即可判断;当时，有，从而判断选项 【解答过程】由题意可知和3是方程的两根,且 ， , , , , ，即选项正确； 不等式等价于, ，即选项正确； 不等式的解集为 , 当时，有，即选项错误； ∵不等式等价于，即 , 或,即选项正确. 故选：C. 二、多选题 9．（24-25高三上·福建宁德·开学考试）已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由一元二次不等式的性质可得，且，即可得A、D，结合二次函数的性质可得，即可得B、C. 【解答过程】由题意可得， ， 即， 即有，即，， 故A正确、D错误； 令，其根为，， 结合二次函数性质可得， ，即，故B正确、C错误. 故选：AB. 10．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 【解题思路】一元二次不等式的解集可判断AB：用表示代入可判断CD. 【解答过程】不等式的解集为， 所以是的两个根，且，故A正确； 对于B，所以， 可得， 所以， 所以不等式的解集是，故B正确； 对于C，因为，， 可得，故C错误； 对于D，因为， 即解，解得，故D错误. 故选：AB. 11．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则且 B．若，则关于的不等式的解集也为 C．若，则关于的不等式的解集为或 D．若为常数，且，则的最小值为 【解题思路】A项，利用二次函数的图象可知A正确；B项，令，当时，不等式的解集不为，B不正确；C项，根据求出，，代入所求不等式求出解集，可知C正确；D项，根据得到且，将代入，然后换元利用基本不等式可求出最小值可得. 【解答过程】A选项，若，即一元二次不等式无解， 则一元二次不等式恒成立， 且，故A正确； B选项，令（），则、、， ∴可化为， 当时，可化为，其解集不等于，故B错误； C选项，若， 则，且和是一元二次方程的两根， ，且，，， 关于的不等式可化为， 可化为，，，解得或， 即不等式的解集为或，故C正确； D选项，为常数， 且，， ，，令，则， ， 当且仅当，则，且为正数时，等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数的图像如图所示，则不等式的解集是 ．    【解题思路】由二次函数的图象可知方程的两根分别为1和2，且，然后利用韦达定理可求得，，代入中化简求解即可. 【解答过程】根据函数图像可知，方程的两根分别为1和2，且， 根据韦达定理，可知，，即，， 代入中可得， 化简可得，解得． 故答案为：. 13．（24-25高一上·上海长宁·开学考试）已知，同时满足不等式和的的整数值只有2024个，则实数的取值范围是 . 【解题思路】解不等式得到或，解不等式得到，从而根据整数解得个数得到， 求出实数的取值范围. 【解答过程】由解得：或， 变形为， 因为，所以， 其中之间有1个整数解， 因此要想同时满足两不等式的整数值只有2024个， 则要满足有2023个整数值，则，解得：. 故答案为：. 14．（23-24高一上·云南临沧·期末）在上定义运算：若不等式对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【解题思路】根据题意，对分以及讨论，将原不等式转化为一元二次不等式恒成立问题，利用判别式运算可得解. 【解答过程】因为恒成立， 所以当时，原不等式化为恒成立， 即恒成立， 故，解得， 又因为，所以． 当时，原不等式化为恒成立， 即恒成立， 故，解得， 又因为，所以． 综上可得． 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一上·江苏淮安·开学考试）解不等式 (1) (2) (3) (4) 【解题思路】利用一元二次不等式的解法求解即可. 【解答过程】（1）因为， 解得， 所以不等式的解集为. （2）因为， 解得， 所以不等式的解集为. （3）不等式转化为，且， 解得， 所以不等式的解集为. （4）不等式转化为， 解得， 所以不等式的解集为. 16．（23-24高一下·全国·课堂例题）关于的方程满足下列条件，求的取值范围. (1)有两个正根； (2)一个根在内，另一个根在内； 【解题思路】（1）根据韦达定理和根的判别式得到不等式，求出； （2）根据方程一个根在内，另一个根在内，得到不等式，求出答案. 【解答过程】（1）令，设的两个根为. 由题得，解得. （2）令，设的两个根为. 若方程一个根在内，另一个根在内， 结合开口向上， 则，解得. 17．（24-25高二上·陕西西安·开学考试）已知二次函数． (1)若不等式的解集为，解关于x的不等式． (2)若且，，解关于x的不等式． 【解题思路】（1）由已知得，代入所求不等式得从而求得解集； （2）由已知转化为，又，再解含参的一元二次不等式可得答案. 【解答过程】（1）的解集为， ， ， ， 则，即， 所求不等式的解集为. （2）由，， 得， 则，即， 又，则不等式可化为， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 18．（23-24高一上·山东潍坊·阶段练习）已知关于的不等式. (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立，并说明理由； (2)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围； (3)若不等式对有解，求的取值范围. 【解题思路】将转化为， （1）讨论和时的情况； （2），显然该函数单调，所以只需即可. （3）讨论当时，当时，当时，如何对有解，其中，，均为一元二次不等式，结合一元二次函数图象求解即可. 【解答过程】（1）原不等式等价于， 当时，，即，不恒成立； 当时，若不等式对于任意实数恒成立， 则且，无解； 综上，不存在实数，使不等式恒成立. （2）设， 当时，恒成立， 当且仅当，即， 解得即， 所以的取值范围是. （3）若不等式对有解， 等价于时，有解. 令， 当时，即，此时显然在有解； 当时，时，结合一元二次函数图象，显然有解； 当时，对称轴为，， 时，有解， 结合一元二次函数图象，易得：或， 解得或（无解）， 又∵， ; 综上所述，的取值范围为. 19．（23-24高一上·宁夏银川·阶段练习）已知二次函数. (1)若的解集为，解关于的不等式； (2)恒成立，求的最大值； (3)已知，若对于任意恒成立，并存在，使得成立，求的最小值及取到最小值时和的值. 【解题思路】（1）利用的解集为，得出，，的关系，再解关于的不等式； （2）恒成立，等价于，且，借助均值不等式可得最大值； （3）由对于一切实数恒成立，可得，由存在，使得成立，可得，结合均值不等式得到结果． 【解答过程】（1）的解集为， ，且，， ，， ，解得 解集为； （2） 恒成立， ，且， ，， 故， ，当，时取“”， 的最大值为4； （3）由对于一切实数恒成立，可得， 即， 由存在，使得成立， 可得， ， ，又， ， 当且仅当时，又，即时，“”成立， 所以时，的最小值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 三个“二次”及其拓展 【人教A版2019】 模块一 一元二次不等式 1．一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2．一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 3．分式、高次、绝对值不等式的解法 (1)解分式不等式的一般步骤： ①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． ②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． (2)解高次不等式的一般步骤： 高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集. (3)解绝对值不等式的一般步骤： 对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解. 【题型1 解不含参的一元二次不等式】 【例1.1】（24-25高一上·全国·随堂练习）不等式的解集为（    ） A． B． C． D．R 【例1.2】（23-24高一上·辽宁·期中）设，用表示不超过的最大整数，则满足不等式解集是（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（2024·天津·模拟预测）已知，，则是的（    ）条件 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式1.2】（23-24高一上·陕西渭南·期末）已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【题型2 解含参的一元二次不等式】 【例2.1】（23-24高一上·河南开封·期中）关于x的不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D．或 【例2.2】（23-24高一上·山东·阶段练习）不等式的解集为（    ）. A． B． C．或 D．或 【变式2.1】（2024高一·全国·专题练习）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（23-24高一上·浙江台州·期中）不等式的解集为，则下列选项正确的为（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为或 【题型3 由一元二次不等式的解确定参数】 【例3.1】（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）已知关于x的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【例3.2】（24-25高一上·上海·随堂练习）若关于x的不等式组的整数解只有，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（23-24高一上·湖北恩施·期末）已知关于的不等式恰有三个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（23-24高一上·河南安阳·阶段练习）已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【题型4 其他不等式的解法】 【例4.1】（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例4.2】（2024·甘肃张掖·模拟预测）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（23-24高一下·全国·课后作业）解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4). 【变式4.2】（24-25高一上·上海·假期作业）求下列不等式的解集. (1) (2) (3) (4) 模块二 三个“二次”的关系 1．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 【注】：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． (2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 △>0 △=0 △<0 y=ax2+bx+ c (a>0)的图象 ax2+bx+ c=0 (a>0)的根 有两个不相等 的实数根 x1,x2（x1<x2） 有两个相等 的实数根 没有实数根 ax2+bx+ c>0 (a>0)的解集 或 R ax2+bx+ c<0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2} 【注】：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 【题型5 二次函数零点（方程的根）的分布问题】 【例5.1】（2024高三·全国·专题练习）关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例5.2】（23-24高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知函数只有一个零点，不等式的解集为，则m的值为（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（23-24高一上·广东广州·阶段练习）已知关于的方程在区间内有实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5.2】（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）已知函数（）有两个零点-1和m，若存在实数，使得，则实数m的值可能是（    ） A． B． C． D． 【题型6 三个“二次”关系的应用】 【例6.1】（23-24高一·全国·课堂例题）不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．     D．   【例6.2】（23-24高一上·浙江金华·阶段练习）已知不等式的解集是，则对函数，下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】（23-24高一·全国·课后作业）已知二次函数的对称轴为，且有两个实数根、，则等于（    ） A． B． C． D．不能确定 【变式6.2】（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）已知二次函数的最小值为，若关于的不等式的解集为区间，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 模块三 一元二次不等式恒成立、有解问题 1．一元二次不等式恒成立、存在性问题 不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为 【题型7 一元二次不等式恒成立问题】 【例7.1】（23-24高一上·广东广州·期中）若，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【例7.2】（23-24高三上·辽宁铁岭·期中）已知，，，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7.1】（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知函数，， (1)若关于的不等式的解集为，求实数和实数的值； (2)若对，恒成立，求实数a的取值范围. 【变式7.2】（23-24高一上·福建莆田·期中）设函数，其中. (1)若，且对任意的，都有，求实数的取值范围； (2)若对任意的，都有，求实数的取值范围. 【题型8 一元二次不等式有解问题】 【例8.1】（23-24高二上·浙江·期中）若关于x的不等式在上有解，则实数m的最小值为（    ） A．9 B．5 C．6 D． 【例8.2】（23-24高一上·福建·期中）若至少存在一个，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8.1】（23-24高一上·山东济宁·期末）设函数. （1）若不等式的解集为，求实数的值； （2）若，且存在，使成立，求实数的取值范围. 【变式8.2】（23-24高一上·福建·期中）已知函数 (1)若的解集是或，求实数的值； (2)当时，若时函数有解，求的取值范围． 一、单选题 1．（23-24高二下·福建福州·期末）设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·北京·开学考试）已知二次函数（为常数），当时，函数值y的最小值为，则m的值是（　　） A． B．1 C．2或 D． 3．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）不等式的解集为或，则的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（2024高三·全国·专题练习）已知关于x的方程，下列结论错误的是（    ） A．方程无实数根的必要条件是 B．方程有一正一负根的充要条件是 C．方程有两正实数根的充要条件是 D．方程有实数根的充要条件是或 5．（2024高二下·安徽·学业考试）若不等式对所有实数恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·上海·随堂练习）若关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·江苏·开学考试）已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）已知关于的不等式的解集为，则下列选项不正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 二、多选题 9．（24-25高三上·福建宁德·开学考试）已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 11．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则且 B．若，则关于的不等式的解集也为 C．若，则关于的不等式的解集为或 D．若为常数，且，则的最小值为 三、填空题 12．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数的图像如图所示，则不等式的解集是 ．    13．（24-25高一上·上海长宁·开学考试）已知，同时满足不等式和的的整数值只有2024个，则实数的取值范围是 . 14．（23-24高一上·云南临沧·期末）在上定义运算：若不等式对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是 ． 四、解答题 15．（24-25高一上·江苏淮安·开学考试）解不等式 (1) (2) (3) (4) 16．（23-24高一下·全国·课堂例题）关于的方程满足下列条件，求的取值范围. (1)有两个正根； (2)一个根在内，另一个根在内； 17．（24-25高二上·陕西西安·开学考试）已知二次函数． (1)若不等式的解集为，解关于x的不等式． (2)若且，，解关于x的不等式． 18．（23-24高一上·山东潍坊·阶段练习）已知关于的不等式. (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立，并说明理由； (2)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围； (3)若不等式对有解，求的取值范围. 19．（23-24高一上·宁夏银川·阶段练习）已知二次函数. (1)若的解集为，解关于的不等式； (2)恒成立，求的最大值； (3)已知，若对于任意恒成立，并存在，使得成立，求的最小值及取到最小值时和的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$