圆的方程题型归纳训练-2025届高三数学一轮复习

圆的题型归纳 1.圆的标准式和一般式 2．圆的方程求法 3．点与圆的位置关系 4．难点：点与圆的最值问题 5．难点：直线与圆相切问题 6．难点：圆的相切和面积最值问题 7．难点：弦长问题 8．难点：最短弦长问题 9．难点：圆与圆的位置关系 10．难点：圆与圆最值问题 1、 圆的标准式和一般式 1．圆的圆心坐标和半径分别是（　　） A．， B．， C．， D．， 2．方程表示一个圆，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．已知表示的曲线是圆，则的值为（　　） A． B． C． D． 4．若圆的方程为，则圆心坐标为（　　） A． B． C． D． 5．已知圆O的方程为，若圆O的半径小于8，则的取值范围是（　　） A．（-7，13） B．（-∞，-3）（9，+∞） C．（3-2，-3）（9，3+2） D．（-7，-3）（9，13） 2、 圆的方程求法 1．已知圆 的圆心为 ，且圆 与 轴的交点分别为 ，则圆 的标准方程为（　　） A． B． C． D． 2．已知圆C的半径为，圆心在轴的负半轴上，直线与圆C相切，则圆C的方程为（　　） A． B． C． D． 3．已知四边形的三个顶点，，. （1）求过A，B，C三点的圆的方程. 4．已知圆经过和两点，且与轴的正半轴相切. （1）求圆的方程； （2）若圆与圆关于直线对称，求圆的方程. 3、 点与圆的位置关系 1．已知两直线与的交点在圆的内部，则实数k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．若点在圆C：上，则直线与圆C的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 3．若点在圆的内部，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．若坐标原点在圆 的内部，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4、 点与圆的最值问题 1．已知点，Q是圆上的动点，则线段长的最小值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．已知圆 ，点 在圆 上，则 的最大值为（　　） A．-2 B．-1 C．5 D．9 3．若x、y满足x2＋y2－2x＋4y－20＝0，则x2＋y2的最小值是(　　) A． －5 B．5－ C．30－10 D．无法确定 五、直线与圆相切 1．已知直线 的方程为 ， 的方程 ，则直线 与 的位置关系为（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 2．过定点作圆的切线．则切线的方程为（　　） A． B． C．或 D．或 3．过点作圆的切线，则切线方程为（　　） A． B． C．或 D．或 4．若直线与圆相切，则（　　） A．0 B．-4或2 C．2 D．0或-4 5．已知圆与直线相切，则（　　） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，动点P满足. （1）求动点P的轨迹C的方程； （2）若直线l过点且与轨迹C相切，求直线l的方程. 7．已知圆C的圆心在直线上，且过，两点． （1）求圆C的方程； （2）已知l：，若直线l与圆C相切，求实数m的值． 8(多选)．已知圆，斜率为k的直线l经过圆O内与O点不重合且不在坐标轴上的一个定点P，且与圆O相交于A、B两点，下列选项中正确的是（　　） A．若r为定值，则存在k，使得 B．若k为定值，则存在r，使得 C．若r为定值，则存在k，使得圆O上恰有三个点到l的距离均为 D．若k为定值，则存在r，使得圆O上恰有三个点到l的距离均为 6、 圆的线切与面积最值问题 1．已知圆 ，由直线 上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（　　） A．2 B． C． D．7 2．过直线上一点作圆：的切线，切点为，，则四边形的面积的最小值为（　　） A． B． C．3 D． 3．过直线上一点作圆：的两条切线，切点分别为，若，则点的坐标为（　　） A． B．或 C． D．或 4．已知圆，过点作圆的一条切线，切点为，则的面积为（　　） A． B． C．8 D．16 5．从直线上的动点作圆的两条切线，切点分别为、，则最大时，四边形（为坐标原点）面积是（　　） A． B． C． D． 6．已知 为直线 上的动点，过点 作圆 的一条切线，切点为 ，则 面积的最小值是（　　） A． B． C． D． 7（多选）．设点为圆上一点，已知点，，则下列结论正确的有（　　） A．的最大值为 B．的最小值为 C．存在点使 D．过点作圆的切线，则切线长为 8（多选）．已知圆：，点为直线：上一动点，点在圆上，以下四个命题表述正确的是（　　） A．直线与圆相离 B．圆上有2个点到直线的距离等于1 C．过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为 D．过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过点 9（多选）． 下列说法错误的是（　　） A．圆的圆心在直线上 B．若曲线与恰有四条公切线，则实数m的取值范围为 C．若圆上有且仅有3个点到直线的距离为，则 D．已知圆，P为直线上一动点，过点Р向圆C引切线PA，其中A为切点，则切线长的最小值为2 10．曲线 与直线 有两个不同交点，实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 11.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7、 弦长问题 1．已知圆C经过，两点，且圆心C在直线上． （1）求圆C的方程； （2）过点的直线l与圆C交于P，Q两点，若，求直线l的方程． 2．已知圆． （1）已知直线l：，求该直线截得圆C的弦AB的长度； （2）若直线过点且与圆C相交于M，N两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程． 3．已知圆． （1）求直线被圆截得弦长； （2）已知为圆C上一点，求与圆C外切于点A，且半径为6的圆的方程． 3．已知圆以为圆心，且圆与轴相切于点． （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆相交于两点，求． 8、 最短弦长 1（多选）．已知直线和圆，则下列选项正确的是（　　） A．直线恒过点 B．圆与圆有三条公切线 C．直线被圆截得的最短弦长为 D．当时，圆上存在无数对关于直线对称的点 2（多选）． 在平面直角坐标系中，定点，动点满足，记动点的轨迹为曲线，曲线与轴的正半轴的交点为，则下列说法正确的是（　　） A．曲线的方程是 B．直线与曲线有且只有一个公共点 C．若直线与曲线相交于两点，则的最小值为 D．若直线过点且斜率为，若曲线上恰有三个点到直线的距离等于，则 3（多选）． 设直线与圆，则下列结论正确的为（　　） A．与可能相离 B．不可能将的周长平分 C．当时，被截得的弦长为 D．被截得的最短弦长为 4．已知圆C：，直线：. （1）求证：直线恒过定点； （2）求直线被圆C截得的弦长最短时的值以及最短弦长. 9、 圆与圆的位置关系 1．两圆与的公共弦长为（　　） A． B． C． D．1 2．古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数（）的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点，，动点满足，若点的轨迹与圆：（）有且仅有三条公切线，则（　　） A． B．1 C．2 D．3 3．“”是“圆：与圆：有公切线”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若圆与圆只有一个交点，则实数a的值可以是（　　） A． B． C．1 D．2 5（多选）．已知圆，圆，则下列结论正确的是（　　） A．若和外离，则或 B．若和外切，则 C．当时，有且仅有一条直线与和均相切 D．当时，和内含 十、圆与圆最值问题 1． 已知为圆上一动点，为圆上一动点，则的最小值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 2（多选）．已知圆，圆，，则(　　) A．两圆的圆心距的最小值为1 B．若圆O与圆C相切，则 C．若圆O与圆C恰有两条公切线，则 D．若圆O与圆C相交，则公共弦长的最大值为2 学科网（北京）股份有限公司 $$圆的题型归纳 1.圆的标准式和一般式 2.圆的方程求法 3.点与圆的位置关系 4.难点:点与圆的最值问题 5.难点:直线与圆相切问题 6.难点:圆的相切和面积最值问题 7.难点:弦长问题 8.难点:最短弦长问题 9.难点:圆与圆的位置关系 10.难点:圆与圆最值问题 1、 圆的标准式和一般式 1.圆的圆心坐标和半径分别是( ) A., B., C., D., 答案:D 2.方程表示一个圆,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案:D 3.已知表示的曲线是圆,则的值为( ) A. B. C. D. 答案:C 4.若圆的方程为,则圆心坐标为( ) A. B. C. D. 答案:D 5.已知圆O的方程为,若圆O的半径小于8,则的取值范围是( ) A.(-7,13) B.(-∞,-3)(9,+∞) C.(3-2,-3)(9,3+2) D.(-7,-3)(9,13) 答案:D 2、 圆的方程求法 1.已知圆 的圆心为 ,且圆 与 轴的交点分别为 ,则圆 的标准方程为( ) A. B. C. D. 答案:B 2.已知圆C的半径为,圆心在轴的负半轴上,直线与圆C相切,则圆C的方程为( ) A. B. C. D. 答案:C 3.已知四边形的三个顶点,,. (1)求过A,B,C三点的圆的方程. 答案:设过A,B,C三点的圆的方程为, 则解得 故过A,B,C三点的圆的方程为. 4.已知圆经过和两点,且与轴的正半轴相切. (1)求圆的方程; (2)若圆与圆关于直线对称,求圆的方程. 答案:(1)解:根据题意设圆的方程为,其中. 将两点的坐标代入方程得 解得. 因此圆的方程为,标准方程为. 3、 点与圆的位置关系 1.已知两直线与的交点在圆的内部,则实数k的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案:B 解:联立得出交点坐标为, 因为两直线与的交点在圆的内部, 则,所以,实数k的取值范围是。 故答案为:B. 2.若点在圆C:上,则直线与圆C的位置关系是( ) A.相离 B.相切 C.相交 D.不确定 答案:B 解:点在圆C:上,, 圆C的圆心到直线 的距离为, 直线与圆C 相切 . 3.若点在圆的内部,则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案:D 由题意,点在圆的内部 故,即 解得: 则a的取值范围是 4.若坐标原点在圆 的内部,则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案:D 化为标准方程为: 把原点坐标代入圆的方程得: , 解得: 。 故答案为:D. 4、 点与圆的最值问题 1.已知点,Q是圆上的动点,则线段长的最小值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案:A 圆的圆心为,半径为, 所以, 圆上点在线段上时,, 故答案为:A 2.已知圆 ,点 在圆 上,则 的最大值为( ) A.-2 B.-1 C.5 D.9 答案:C 由点 在圆 上,所以 ,且 , 所以 , 所以 的最大值为5。 故答案为:C 3.若x、y满足x2+y2-2x+4y-20=0,则x2+y2的最小值是( ) A. -5 B.5- C.30-10 D.无法确定 答案:C 由x2+y2-2x+4y-20=0得 ,设圆心 ,则x2+y2的最小值是 , 故答案为:C. 五、直线与圆相切问题 1.已知直线 的方程为 , 的方程 ,则直线 与 的位置关系为( ) A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 答案:B 由直线 的方程 ,得 由 得 所以直线 恒过点 ,又 所以点 在圆 内, 所以直线 与圆 相交. 故答案为:B 2.过定点作圆的切线.则切线的方程为( ) A. B. C.或 D.或 答案:C 3.过点作圆的切线,则切线方程为( ) A. B. C.或 D.或 答案:D 由圆心为,半径为2,斜率存在时,设切线为, 则,可得,所以,即; 斜率不存在时,,显然与圆相切, 综上,切线方程为或。 故答案为:D. 4.若直线与圆相切,则( ) A.0 B.-4或2 C.2 D.0或-4 答案:D 5.已知圆与直线相切,则( ) A. B. C. D. 答案:A 圆的标准方程是,圆心为,半径为2,所以,解得. 6.在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为,动点P满足. (1)求动点P的轨迹C的方程; (2)若直线l过点且与轨迹C相切,求直线l的方程. 答案:(1)解:设,由,得, 化简得, 所以动点P的轨迹C的方程为. (2)解:由(1)知轨迹C:表示圆心为,半径为2的圆. 当直线l的斜率不存在时,方程为,此时直线l与圆C相切. 当直线l的斜率存在时,设,即, 于是有,解得,因此直线l的方程为,即, 所以直线l的方程为或. 7.已知圆C的圆心在直线上,且过,两点. (1)求圆C的方程; (2)已知l:,若直线l与圆C相切,求实数m的值. 答案:(1)解:方法一:设圆心C的坐标为,则, 又,则即, 得,,所以圆C的半径, 所以圆C的方程是(或). 方法二:AB的中点坐标为,,则AB的中垂线方程为. 则,解得,所以圆心C的坐标为, 所以圆C的半径, 所以圆C的方程是(或). (2)解:设圆心C到直线的距离为d, 由题意可得, 平方整理后可得,解得或. 8.已知圆,斜率为k的直线l经过圆O内与O点不重合且不在坐标轴上的一个定点P,且与圆O相交于A、B两点,下列选项中正确的是( ) A.若r为定值,则存在k,使得 B.若k为定值,则存在r,使得 C.若r为定值,则存在k,使得圆O上恰有三个点到l的距离均为 D.若k为定值,则存在r,使得圆O上恰有三个点到l的距离均为 答案:A,C 如图, 当P为弦AB中点时,,A 正确,B错误; 因为与l距离为非零定值的所有点的轨迹是与l平行的两条平行线, 若r为定值,当k趋向于0时,两条平行线与l的距离趋向于0,都与圆相交,当k趋向于无穷大时,两条平行线与l的距离趋向于无穷大,都与圆相离. 由于P点在圆内且与O点不重合,前面两个极限状态之间必然存在一条平行线与圆相交而另一条平行线与圆相切的情况,此时圆O上恰有三个点到l的距离均为,符合题意,C正确; 若k为定值,当圆O上恰有三个点到l的距离均为时,l的两条平行线中一条与圆相切,一条与圆相交.设原点O与l的距离为d ,直线OP与l的夹角为 ,此时,即,由于,所以,所以,故当时,不存在圆O上恰有三个点到l的距离均为,故D错误. 6、 圆的线切与面积最值问题 1.已知圆 ,由直线 上的一点向圆引切线,则切线长的最小值为( ) A.2 B. C. D.7 答案:B 如图, 切线长 ,当 最小时, 最小, 最小值为 到直线 的距离 , 故 的最小值为 , 故答案为:B. 2.过直线上一点作圆:的切线,切点为,,则四边形的面积的最小值为( ) A. B. C.3 D. 答案:B 解:圆的标准方程为,圆心为,半径为,因为,所以四边形的面积为,又因为,要使四边形面积最小,只需要取最小值,即求得最小值,的最小值为圆心到直线的距离,所以的最小值为,故四边形的面积的最小值为. 3.过直线上一点作圆:的两条切线,切点分别为,若,则点的坐标为( ) A. B.或 C. D.或 答案:B 解:设点, 因为是圆的两条切线,且,所以,,, 所以,即,化简可得,解得或, 所以点坐标为. 4.已知圆,过点作圆的一条切线,切点为,则的面积为( ) A. B. C.8 D.16 答案:A 因为圆的圆心,半径为 因为是圆的切线, 所以,即是以为直角的直角三角形 则 又因为 又因为 所以 所以 故答案为:A 5.从直线上的动点作圆的两条切线,切点分别为、,则最大时,四边形(为坐标原点)面积是( ) A. B. C. D. 答案:B 圆 的圆心为坐标原点 ,连接 、 、 ,则 , 设 ,则 , ,则 , 当 取最小值时, ,此时 , , , ,故 , 此时, . 故答案为:B. 6.已知 为直线 上的动点,过点 作圆 的一条切线,切点为 ,则 面积的最小值是( ) A. B. C. D. 答案:A 如下图所示,过点 引圆 的切线,切点为点 , ,且 , 由勾股定理得 . 点 是直线 上的动点,当 时,此时 取得最小值,则 取得最小值,则圆心 到直线 的距离为 . 则 的最小值为 ,所以 的面积等于 , 因此, 面积的最小值为 . 故答案为:A. 7(多选).设点为圆上一点,已知点,,则下列结论正确的有( ) A.的最大值为 B.的最小值为 C.存在点使 D.过点作圆的切线,则切线长为 答案:A,D 8(多选).已知圆:,点为直线:上一动点,点在圆上,以下四个命题表述正确的是( ) A.直线与圆相离 B.圆上有2个点到直线的距离等于1 C.过点向圆引一条切线,其中为切点,则的最小值为 D.过点向圆引两条切线、,、为切点,则直线经过点 答案:A,B,D 9(多选). 下列说法错误的是( ) A.圆的圆心在直线上 B.若曲线与恰有四条公切线,则实数m的取值范围为 C.若圆上有且仅有3个点到直线的距离为,则 D.已知圆,P为直线上一动点,过点 向圆C引切线PA,其中A为切点,则切线长的最小值为2 答案:A,C 10.曲线 与直线 有两个不同交点,实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案:D 可化为 曲线 表示以 为圆心, 为半径的圆的 的部分 又直线 恒过定点 可得图象如下图所示: 当直线 为圆的切线时,可得 ,解得: 当直线 过点 时, 由图象可知,当 与曲线有两个不同交点时, 11.若直线与曲线有两个不同的交点,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案:A 解:因为直线l:kx-y-1=0恒过(0,-1)曲线即,是以(1,1)为圆心,1为半径的圆位于x=1的右侧部分. 设直线l在圆下方相切时斜率为k1,直线l过点(1,0)、(0,-1)与圆有两个交点时斜率为k2. 因此 直线与曲线有两个不同的交点时,斜率k满足 ,又直线l在圆下方相切时, , ,. 7、 弦长问题 1.已知圆C经过,两点,且圆心C在直线上. (1)求圆C的方程; (2)过点的直线l与圆C交于P,Q两点,若,求直线l的方程. 答案:(1)解:,A,B的中点为, 故AB的垂直平分线所在的直线方程为, 即,解得故圆心为, 半径,故圆C的方程为; (2)解:当直线l斜率不存在时,此时与圆C没有交点,不合题意; 当直线l斜率存在时,设直线l的方程为,即, 由,可得圆心到直线l的距离为,解得或0, 故直线l的方程为或. 2.已知圆. (1)已知直线l:,求该直线截得圆C的弦AB的长度; (2)若直线过点且与圆C相交于M,N两点,求的面积的最大值,并求此时直线的方程. 答案:(1)法1:圆C的圆心坐标为,半径, 圆心C到直线的距离. 则截得的弦长 (2)因为直线过点且与圆C相交,所以直线的斜率一定存在. 设直线的方程为,即, 则圆心C到直线的距离为. 又的面积 所以当时S取最大值8 由,得,解得, 所以直线的方程为或 3.已知圆. (1)求直线被圆截得弦长; (2)已知为圆C上一点,求与圆C外切于点A,且半径为6的圆的方程. 答案:(1)解:的圆心为,半径, 圆心到直线的距离为, 故弦长为, (2)解:由题意可知在直线上,由于,, 所以直线方程为, 设,则, 化简可得,解得或, 由于两圆外切,且点为切点,所以不符合,舍去, 故,圆心为则圆的方程为 3.已知圆以为圆心,且圆与轴相切于点. (1)求圆的标准方程; (2)若直线与圆相交于两点,求. 答案:(1)依题意,设圆的方程为, 由圆与轴相切于点,得, 所以圆的标准方程为. (2)解:由(1)知,圆心为,半径, 则圆心到直线的距离为, 所以. 8、 最短弦长问题 1(多选).已知直线和圆,则下列选项正确的是( ) A.直线恒过点 B.圆与圆有三条公切线 C.直线被圆截得的最短弦长为 D.当时,圆上存在无数对关于直线对称的点 答案:A,C,D 解:A、直线,化简为,即直线恒过点,故A正确; B、易知圆的圆心坐标为,半径为,圆的圆心为,半径为1, 两圆心的距离为,因为,所以两圆相交,即两圆有两条公切线,故B错误; C、当圆心与所在直线垂直于直线时,直线被圆截得的弦最短, 最短弦长为,故C正确; D、当时,直线方程为:,代入圆心坐标,得,则该直线经过圆的圆心,所以圆上存在无数对点关于直线对称,故D正确. 故答案为:ACD. 2(多选). 在平面直角坐标系中,定点,动点满足,记动点的轨迹为曲线,曲线与轴的正半轴的交点为,则下列说法正确的是( ) A.曲线的方程是 B.直线与曲线有且只有一个公共点 C.若直线与曲线相交于两点,则的最小值为 D.若直线过点且斜率为,若曲线上恰有三个点到直线的距离等于,则 答案:A,B,D 解:A、设点,由,可得, 化简整理可得,故A正确; B、曲线可化为,则圆心, 因为,所以,又因为,所以,即直线AB与圆相切, 故直线AB与圆C有且仅有一个公共点,故B正确; C、因为直线恒过点,当且仅当时最小, 又,半径为,则,故C错误; D、曲线上恰有三个点到直线的距离相等,即圆心到的距离等于, 设,由,解得,故D正确. 故答案为:ABD. 3(多选). 设直线与圆,则下列结论正确的为( ) A.与可能相离 B.不可能将的周长平分 C.当时,被截得的弦长为 D.被截得的最短弦长为 答案:B,D 解:A、易知直线过定点,且点在圆内,则直线与圆必相交,故A错误; B、若直线将圆周长平分,则直线过圆心原点,此时直线的斜率不存在,故B正确; C、当时,直线的方程为,圆心到直线的距离为, 所以,直线被截得的弦长为,故C错误; D、圆心到直线的距离为, 所以,直线被截得的弦长为,故D正确. 故答案为:BD. 4.已知圆C:,直线:. (1)求证:直线恒过定点; (2)求直线被圆C截得的弦长最短时的值以及最短弦长. 答案:(1)证明:直线l的方程可化为, 令解得,所以直线l恒过定点A(3,1); (2)解:由题意可知:圆的圆心为,半径, 因为, 可知点在圆内,直线与圆相交, 当直线时,直线被圆截得的弦长最短, 因为直线的斜率为, 故直线的斜率为,解得, 此时圆心到直线的距离为,所以最短弦长为. 9、 圆与圆的位置关系 1.两圆与的公共弦长为( ) A. B. C. D.1 答案:B 解:联立和得x-y+1=0即为公共弦的方程,圆心(0,0)到弦的距离为d=, 故弦长为2, 故选:B. 2.古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论:平面内与两点距离的比为常数()的点的轨迹是圆,后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点,,动点满足,若点的轨迹与圆:()有且仅有三条公切线,则( ) A. B.1 C.2 D.3 答案:D 解:设点,因为点,,动点满足,根据两点间的距离公式可得:化简可得:,即,所以点P的轨迹是以为圆心,2为半径的圆,又 圆: 可得:故圆C以为圆心,r为半径,根据两圆有且仅有3条公切线可得两圆外切,则有,解得:则D选项符合题意. 3.“”是“圆:与圆:有公切线”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:A 解:由圆:得出圆心,半径, 由圆:得出圆心,半径, 若两圆有公切线,则, 即,解得或, 则“”是“圆:与圆:有公切线”的充分而不必要条件. 4.若圆与圆只有一个交点,则实数a的值可以是( ) A. B. C.1 D.2 答案:D 解:因为圆与圆只有一个交点,所以两圆外切或内切, 当两圆外切时,因为圆的圆心为,半径为, 圆的圆心为,半径为, 则圆心距为, 则,所以,,当时,则a=2(舍); 当时,则(舍),所以a不存在; 当两圆内切时,则,所以,, 所以,当时,则;当时,则a=2,所以。 故答案为:D. 5(多选).已知圆,圆,则下列结论正确的是( ) A.若和外离,则或 B.若和外切,则 C.当时,有且仅有一条直线与和均相切 D.当时,和内含 答案:A,B,C 解:圆的圆心为,半径, 圆的圆心为,半径,则, 若和外离,则,解得或,故A正确; 若和外切,则,解得,故B正确; 当时,,则和内切,故仅有一条公切线,故C正确; 当时,,则和相交,故D错误. 十、圆与圆最值问题 1. 已知为圆上一动点,为圆上一动点,则的最小值为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 答案:C 解:因为 圆 , 所以圆M的圆心为M(3,4),得, 圆O与圆M的半径之差为8-1=7>5, 所以圆O与圆M的位置关系为内含, 所以|PQ|的最小值为8-5-1=2. 故答案为:C. 2(多选).已知圆,圆,,则( ) A.两圆的圆心距的最小值为1 B.若圆O与圆C相切,则 C.若圆O与圆C恰有两条公切线,则 D.若圆O与圆C相交,则公共弦长的最大值为2 答案:A,D 解:因为圆,圆,, 对于A,因为圆心,圆心,则两圆的圆心距, 当a=0时,则两圆的圆心距的最小值为,所以A对; 对于B,因为圆O与圆C相切,又因为圆心,圆心, 圆O的半径为1,圆C的半径为2,则两圆的圆心距等于两圆半径之和或等于半径之差的绝对值, 当两圆的圆心距等于两圆半径之和时,则,则, 当两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值时,则,则, 综上所述,或,所以B错; 对于C,因为圆O与圆C恰有两条公切线,则两圆相交,所以,, 则,所以,则,所以C错; 对于D,圆O与圆C相交,则公共弦方程为 即,圆O:的圆心到的距离为 令,, 当时,为增函数;当时,为减函数; 所以的最小值为, 所以,圆心到的距离的最小值为0, 即点O在直线上,所以,公共弦长的最大值为圆O的直径2,所以D对. 学科网(北京)股份有限公司 $$