精品解析：四川省成都市实外西区学校2024-2025学年九年级上学期入学考试数学试题

成都市实外西区学校2024-2025学年度九上入学测试数学试题 全卷满分150分 考试时间120分钟 A卷（100分） 一、选择题（每小题4分，共32分） 1. 下列图形中，是中心对称但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不合题意； C．是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是因式分解的概念，利用因式分解的概念（把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解）进行判定是解题的关键．根据因式分解的概念，逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、是多项式的乘法运算，不是因式分解，不符合题意； B、符合因式分解的定义，符合题意； C、右边不是整式积的形式，不是因式分解，不符合题意； D、是多项式的乘法，不是因式分解，不符合题意； 故选：B． 3. 小华早上从家出发到离家5千米的国际会展中心参观，实际每小时比原计划多走1千米，结果比原计划早到了15分钟，设小华原计划每小时行x千米，可列方程（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据结果比“原计划早到了15分钟”，则等量关系为：昨天所用时间−今天所用时间，根据等量关系列方程即可解答． 【详解】解：设小华原计划每小时行x千米， 依题意得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 4. 平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相垂直平分 【答案】A 【解析】 【分析】平行四边形、矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形的性质就是四个图形都具有的性质． 【详解】解：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立． 故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质，理解四个图形之间的关系是解题关键． 5. 若一个多边形的内角和与外角和之差是，则此多边形是（ ）边形． A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】先求出多边形的内角和，再根据多边形的内角和公式求出边数即可． 【详解】解：∵一个多边形的内角和与外角和之差为720°，多边形的外角和是360°， ∴这个多边形的内角和为720°+360°=1080°， 设多边形的边数为n， 则（n-2）×180°=1080°，解得：n=8， 即多边形的边数为8， 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和外角，能列出关于n的方程是即此题的关键，注意：边数为n的多边形的内角和=（n-2）×180°，多边形的外角和等于360°． 6. 如图，分别是四边形四条边的中点，要使四边形为矩形，四边形应具备的条件是（ ） A. 一组对边平行而另一组对边不平行 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中点四边形，三角形中位线定理，根据三角形中位线定理得到四边形一定是平行四边形，再推出一个角是直角，即可求解，掌握三角形中位线定理是解题的关键． 【详解】解：要使四边形为矩形，四边形应具备的条件是对角线互相垂直，理由如下： 根据三角形的中位线定理得： ，，，， ∴，， ∴四边形一定是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， 故选：C． 7. 如图，在中，平分，交于点F，平分交于点E，，则长为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，根据平行和角平分线，推出均为等腰三角形，得到，进而得到，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选B． 8. 如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（　　）cm2． A. 24 B. 27 C. 30 D. 33 【答案】B 【解析】 【分析】过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，根据角平分线的性质得OE＝OD＝3，OF＝OD＝3，由于S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC，所以根据三角形的面积公式可计算出△ABC的面积． 【详解】解：过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图， ∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB， ∴OE＝OD＝3， 同理可得OF＝OD＝3， ∴S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC ＝×OE×AB+×OD×BC+×OF×AC ＝（AB+BC+AC）， ∵△ABC的周长是18， ∴S△ABC＝×18＝27（cm2）． 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式． 二、填空题：（每小题4分，共20分） 9. 不等式4x＞7x﹣9的正整数解的是_____． 【答案】1，2 【解析】 【分析】首先解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的整数即可． 【详解】解：不等式4x＞7x−9， 移项，得4x−7x＞−9， 合并同类项，得−3x＞−9， 系数化为1，得x＜3， ∴不等式4x＞7x−9的正整数解为1，2， 故选答案为：1，2． 【点睛】本题考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是明确一元一次不等式的解法． 10. 若代数式有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于0，列式计算即可． 【详解】解：由题意得，，解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，准确计算是解题的关键． 11. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了提取公因式法分解因式，直接提取公因式，进而分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 已知关于x的不等式组有解，则m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，求出第一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了即可确定的范围． 【详解】解：解不等式，得：， 不等式组有解， ， 故答案为：． 13. 如图点P是边长为3的菱形对角线上的一个动点，点分别是边上的中点，则的最小值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了将军饮马模型，实际为轴对称的实际应用，也考查了菱形和平行四边形的判定与性质，关键是作点关于的对称点． 根据菱形的性质，作点关于的对称点，然后连接交于，此时的和最小，证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于， 此时有最小值，最小值为的长． ∵菱形关于对称，是边上的中点， ∴是的中点， 又∵是边上的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ， ∴，即的最小值为3． 故答案为：3． 三、解答题（共48分） 14. 因式分解： （1） （2） （3）解分式方程：． （4）先化简，再求代数式的值，请从0、1、2、3中选取一个适当的数代入求值． 【答案】（1） （2） （3） （4），当时， 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，因式分解以及分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式利用平方差公式分解即可； （2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可； （3）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． （4）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从0、1、2、3中选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题． 【小问1详解】 原式； 【小问2详解】 ， 【小问3详解】 去分母得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的根． 【小问4详解】 解： ， ，，， ，1，3， ， 当时，原式． 15. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的； （2）请画出绕O顺时针旋转后的并写出点的坐标． 【答案】（1）如图所示：，即为所求； （2） 如图所示：，即为所求； 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称的作图，旋转的作图，坐标与图形，利用旋转的性质作图是解本题的关键． （1）分别确定关于原点的对称点，再顺次连接，可得答案； （2）分别确定绕原点顺时针旋转后的对应点，再顺次连接，再根据的位置可得答案； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 如图，在□ABCD中，平分交于点，平分交于点. 求证：（1）； （2）若，则判断四边形是什么特殊四边形，请证明你的结论. 【答案】 （1）∵四边形是平行四边， ∴ ∵平分 平分 ∴ ∴ （2）由得 在平行四边形中， ∴ ∴四边形是平行四边形 若则四边形是菱形 【解析】 【分析】（1）由平行四边形ABCD可得出的条件有：①AB=CD，②∠A=∠C，③∠ABC=∠CDA；已知BE、CD分别是等角∠ABD、∠CDA的平分线，易证得∠ABE=∠CDF④；联立①②④，即可由ASA判定所求的三角形全等； （2）由（1）的全等三角形，易证得DE=BF，那么DE和BF平行且相等，由此可判定四边形BEDF是平行四边形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可得出EBFD的形状． 【详解】（1）略 （2）略 17. 六月是离别的季节，三年的初中时光就将告一段落，为了给大家的青春留下纪念，各班家委决定为同学们采购特色钢笔和笔记本两种商品，具体信息如表： 根据以下信息解答下列问题： 班级 购买数量（件） 购买总费用（元） 钢笔 笔记本 九（1）班 40 20 1100 九（2）班 20 60 1300 （1）求钢笔和笔记本的单价； （2）若九（3）班购买这两种商品共60件，且钢笔的数量不少于笔记本数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 【答案】（1）钢笔的单价是20元，笔记本的单价是15元； （2） 最省钱的购买方案为：购买40支钢笔，20本笔记本， 理由如下： 设九（3）班购买支钢笔，则购买本笔记本， 根据题意得：， 解得：， 设九（3）班购买这两种商品共花费元， 则， 即， ， 随的增大而增大， 当时，取得最小值，此时， 最省钱的购买方案为：购买40支钢笔，20本笔记本． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合表格信息，列出二元一次方程组，再求解，即可作答． （2）根据九（3）班购买这两种商品共60件，且钢笔的数量不少于笔记本数量的2倍，列出不等式，再解得，然后结合设九（3）班购买这两种商品共花费元，则，运用一次函数的性质作答即可． 【小问1详解】 解：设钢笔的单价是元，笔记本的单价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：钢笔的单价是20元，笔记本的单价是15元； 【小问2详解】 略 18. 点E是正方形的对角线上一点，过点E作交于点F，的延长线交于点G，交于点H． （1）如图1，证明：； （2）如图2，若，，求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接． 四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ，． ∵， ∴， ∴， ， 又∵， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）由四边形是正方形可得，，则可证明，得到，，再证明，得到，则可证明； （2）先由正方形的性质得到，，，再证明，可得，即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，，． ∵， ∴，， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． B卷（50分） 一、填空题（每小题4分，共20分） 19. 若，则的值为________________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式以及已知式子的值，求代数式的值，先整理得出，再把代入计算，即可作答． 【详解】解： ∵ ∴ 把代入， 得 故答案为：0 20. 关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为_______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据解分式方程的方法和方程的解为非负数，可以求得的取值范围． 【详解】解：， 方程两边同乘以，得 ， 去括号，得 ， 移项及合并同类项，得 ， 关于的分式方程的解为非负数，， ， 解得，且， 故答案为且． 【点睛】本题主要考查根据分式方程的根求解参数，难度系数稍微有点大，但是是必考点. 21. 若关于x的分式方程=2a无解，则a的值为_____． 【答案】1或 【解析】 【详解】解：去分母得：x-3a=2a（x-3）， 整理得：（1-2a）x=-3a， 当1-2a=0时，方程无解，故a=； 当1-2a≠0时，x==3时，分式方程无解， 则a=1， ∴关于x的分式方程=2a无解，则a的值为：1或． 故答案为：1或． 22. 如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE+AF的最小值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，的下方作，在上截取，使得，连接，．证明，推出，，根据求解即可． 【详解】解：如图，的下方作，在上截取，使得，连接，． 四边形是菱形，， ，， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， 的最小值为， 故答案为． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 23. 如图，AD∥BC，AB⊥BC于点B，AD＝4，将CD绕点D逆时针旋转90°至DE，连接AE、CE，若△ADE的面积为6，则BC＝_____． 【答案】7 【解析】 【分析】过D点作DF⊥BC，垂足为F，过E点作EG⊥AD，交AD的延长线与G点，由旋转的性质可知△CDF≌△EDG，从而有CF=EG，由△ADE的面积可求EG，得出CF的长，由矩形的性质得BF=AD，根据BC=BF+CF即可求解． 【详解】过D点作DF⊥BC，垂足为F，过E点作EG⊥AD，交AD的延长线与G点， 由旋转的性质可知CD=ED， ∵∠EDG+∠CDG=∠CDG+∠FDC=90°， ∴∠EDG=∠FDC，又∠DFC=∠G=90°， ∴△CDF≌△EDG， ∴CF=EG， ∵S△ADE=×AD×EG=6，AD=4， ∴EG=3，则CF=EG=3， 依题意得四边形ABFD为矩形， ∴BF=AD=4， ∴BC=BF+CF=4+3=7， 故答案为7． 【点睛】本题考查了旋转的性质及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解决问题的关键． 二、解答题（共30分） 24. 加强生活垃圾分类处理，维护公共环境和节约资源是全社会共同的责任．某社区为了增强社区居民的文明意识和环境意识，营造干净、整洁、舒适的人居环境，准备购买甲、乙两种分类垃圾桶．通过市场调研得知：乙种分类垃圾桶的单价比甲种分类垃圾桶的单价多元，且用元购买甲种分类垃圾桶的数量与用元购买乙种分类垃圾桶的数量相同． （1）求甲、乙两种分类垃圾桶的单价； （2）该社区计划用不超过元的资金购买甲、乙两种分类垃圾桶共个，则最少需要购买甲种分类垃圾桶多少个？ 【答案】（1）甲、乙两种分类垃圾桶的单价分别是元/个、元/个 （2）最少需要购买甲种分类垃圾桶个 【解析】 【分析】（1）设甲种分类垃圾桶的单价是x元/个，则乙种分类垃圾桶的单价是元/个，根据“用元购买甲种分类垃圾桶的数量与用元购买乙种分类垃圾桶的数量相同”列出分式方程，求解即可； （2）设购买甲种分类垃圾桶a个，则购买乙种分类垃圾桶个，根据“用不超过元的资金”列出不等式，求解即可． 【小问1详解】 解：设甲种分类垃圾桶的单价是x元/个，则乙种分类垃圾桶的单价是元/个， 由题意可知：， 解得， 经检验是所列方程的根且符合题意 （元/个） 答：甲、乙两种分类垃圾桶的单价分别是元/个、元/个； 【小问2详解】 解：设购买甲种分类垃圾桶a个，则购买乙种分类垃圾桶个， 由题意可知：， 解得， 答：最少需要购买甲种分类垃圾桶个． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 25. 课本再现 在学习了平行四边形的概念后，进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分． （1）如图1，在平行四边形中，对角线与交于点，求证：，． 知识应用 （2）在中，点为的中点．延长到，使得，使得，连接．如图2，若，请你探究线段与线段之间的数量关系．写出你的结论 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ； （2），证明如下： 如图所示，过点作交于，连接， ， ， ，即， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， 四边形是平行四边形， 互相平分， 点为的中点， 三点共线， ， 在中， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得到，证明，即可证明； （2）过点作交于，连接，则，先证明是等边三角形，得到，，进而证明是等边三角形，得到，接着证明四边形是平行四边形，得到互相平分，则，证明，得到，则． 【详解】略 26. 已知，如图，在菱形中，，，点M从A开始，以每秒1个单位的速度向点B运动，点N从点C出发，沿方向，以每秒2个单位的速度向A运动，若M，N同时出发，其中一点到达终点时，另一个点也停止运动，运动时间为t，过点N作交于点Q． （1）当，求的长； （2）设三角形的面积为S，求S与t的函数关系和t的取值范围； （3）在点M，N运动过程中，是否存在t，使三角形为等腰三角形？若存在求出t的值；若不存在说明理由． 【答案】（1） （2） （3）当或或时，为等腰三角形 【解析】 【分析】（1）首先求得的长，在直角中利用三角函数即可求得的长； （2）当时，在上，首先求得，则长即可求得，再根据，据此即可求得的长；当时，利用解直角三角形求得的长，进而求得的面积，得到函数解析式； （3）分三种情形讨论求解即可； 【小问1详解】 解：当时，， ∵在中，， ∴， 在直角中，， ∴当时，； 【小问2详解】 解：由题意得，， 当时，， ∵， ∴， 连接，与相交于点定，过点作于点， ，则， ∴在中，， ∴， ∴， 当时，延长，交于，交延长线于，如图： 则， ， ， ， ， ， 综上，． 【小问3详解】 解：①当时，只有符合条件， 过点作于点， 则， ， 得， 解得． ②当时， 由（2）知， 时，， 解得， 时，， ， 解得：． 综上所述，当或或时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质以及三角函数，等腰三角形的性质等知识点，正确进行分请情况进行讨论是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都市实外西区学校2024-2025学年度九上入学测试数学试题 全卷满分150分 考试时间120分钟 A卷（100分） 一、选择题（每小题4分，共32分） 1. 下列图形中，是中心对称但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 小华早上从家出发到离家5千米的国际会展中心参观，实际每小时比原计划多走1千米，结果比原计划早到了15分钟，设小华原计划每小时行x千米，可列方程（　　） A. B. C. D. 4. 平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相垂直平分 5. 若一个多边形的内角和与外角和之差是，则此多边形是（ ）边形． A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6. 如图，分别是四边形四条边的中点，要使四边形为矩形，四边形应具备的条件是（ ） A. 一组对边平行而另一组对边不平行 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分 7. 如图，在中，平分，交于点F，平分交于点E，，则长为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（　　）cm2． A. 24 B. 27 C. 30 D. 33 二、填空题：（每小题4分，共20分） 9. 不等式4x＞7x﹣9的正整数解的是_____． 10. 若代数式有意义，则的取值范围是______． 11. 因式分解：________． 12. 已知关于x的不等式组有解，则m的取值范围是________． 13. 如图点P是边长为3的菱形对角线上的一个动点，点分别是边上的中点，则的最小值为________． 三、解答题（共48分） 14. 因式分解： （1） （2） （3）解分式方程：． （4）先化简，再求代数式的值，请从0、1、2、3中选取一个适当的数代入求值． 15. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的； （2）请画出绕O顺时针旋转后的并写出点的坐标． 16. 如图，在□ABCD中，平分交于点，平分交于点. 求证：（1）； （2）若，则判断四边形是什么特殊四边形，请证明你的结论. 17. 六月是离别的季节，三年的初中时光就将告一段落，为了给大家的青春留下纪念，各班家委决定为同学们采购特色钢笔和笔记本两种商品，具体信息如表： 根据以下信息解答下列问题： 班级 购买数量（件） 购买总费用（元） 钢笔 笔记本 九（1）班 40 20 1100 九（2）班 20 60 1300 （1）求钢笔和笔记本的单价； （2）若九（3）班购买这两种商品共60件，且钢笔的数量不少于笔记本数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 18. 点E是正方形的对角线上一点，过点E作交于点F，的延长线交于点G，交于点H． （1）如图1，证明：； （2）如图2，若，，求的长． B卷（50分） 一、填空题（每小题4分，共20分） 19. 若，则的值为________________． 20. 关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为_______． 21. 若关于x的分式方程=2a无解，则a的值为_____． 22. 如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE+AF的最小值为 _____． 23. 如图，AD∥BC，AB⊥BC于点B，AD＝4，将CD绕点D逆时针旋转90°至DE，连接AE、CE，若△ADE的面积为6，则BC＝_____． 二、解答题（共30分） 24. 加强生活垃圾分类处理，维护公共环境和节约资源是全社会共同的责任．某社区为了增强社区居民的文明意识和环境意识，营造干净、整洁、舒适的人居环境，准备购买甲、乙两种分类垃圾桶．通过市场调研得知：乙种分类垃圾桶的单价比甲种分类垃圾桶的单价多元，且用元购买甲种分类垃圾桶的数量与用元购买乙种分类垃圾桶的数量相同． （1）求甲、乙两种分类垃圾桶的单价； （2）该社区计划用不超过元的资金购买甲、乙两种分类垃圾桶共个，则最少需要购买甲种分类垃圾桶多少个？ 25. 课本再现 在学习了平行四边形的概念后，进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分． （1）如图1，在平行四边形中，对角线与交于点，求证：，． 知识应用 （2）在中，点为的中点．延长到，使得，使得，连接．如图2，若，请你探究线段与线段之间的数量关系．写出你的结论 26. 已知，如图，在菱形中，，，点M从A开始，以每秒1个单位的速度向点B运动，点N从点C出发，沿方向，以每秒2个单位的速度向A运动，若M，N同时出发，其中一点到达终点时，另一个点也停止运动，运动时间为t，过点N作交于点Q． （1）当，求的长； （2）设三角形的面积为S，求S与t的函数关系和t的取值范围； （3）在点M，N运动过程中，是否存在t，使三角形为等腰三角形？若存在求出t的值；若不存在说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $