21.1二次根式 导学案 2024—-2025学年华东师大版数学九年级上册

21.1 二次根式 【学习目标】 1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 3、掌握二次根式的基本性质：和 【重点】：二次根式有意义的条件；二次根式的性质． 【难点】：综合运用性质和。 课堂导入 1、已知x2 = a，那么a是x的______; x是a的________, 记为______, a一定是_______数。 2、4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________； 正数a的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______； 式子的意义是 。 3、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？ ，，，，， 计算 ： (1) 　　　　　　　　　　 (2) 　（3） 　　　　　　　　　（4） 概括：当a≥0时，；当a＜0时， 课堂教学设计 探究点1：二次根式的意义及有意义的条件 问题1： 分别表示什么？ 问题2： 这些式子有什么共同特征？ 【要点归纳】把形如 (a≥0)的式子叫做二次根式. “”称为_______. 例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？ 【方法总结】判断式子是否为二次根式时，抓住二次根式的两个必备特征： ①外貌特征：含有“”；②内在特征：被开方数a≥0. 例2 (教材P2例题变式题)当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 【方法总结】要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可. 若二次根式为分式的分母或二次根式为的被开方数为分式时，应同时考虑分母不为零. 【针对训练】 1.下列各式:一定是二次根式的个数为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 2.(1)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___ ____; (2)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____ _____. 探究点2：的性质 【典例精析】 例3 计算： 【要点归纳】. 【针对训练】 计算： 议一议:下面根据算术平方根的意义填空，你有什么发现？ 1.计算： ; ; ; . 观察其结果与根号内幂的底数的关系，归纳得到：当 . 2.计算： ; ; ; . 观察其结果与根号内幂的底数的关系，归纳得到：当 . 3.计算： ;当 . 【要点归纳】将上面得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质： ，即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 探究点4：二次根式的双重非负性 问题1：当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？ 问题2：二次根式的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？ 【要点归纳】二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根. 对于任意一个二次根式，我们知道： （1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a______0； （2）表示一个数或式的算术平方根，可知__ __0. 【典例精析】 例4 若，求a-b+c的值. 【方法总结】多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、 偶次幂及二次根式. 例5 已知y=,求3x+2y的算术平方根. 【方法总结】若，则根据被开方数大于等于0，可得a=0. 【针对训练】 已知|3x-y-1|和 互为相反数，求x+4y的平方根． 二、课堂小结 二次根式的概念 一般地，我们把形如的式子叫作___________. “”称为二次根号，根指数为_____,可省略. 二次根式有意义的条件 被开方数（式）为_________,即有意义 a≥0. 二次根式的性质1 一个非负数的算术平方根的平方等于它________，即 二次根式的性质2 一个数的平方的算术平方根等于它的_____,即 二次根式的非负性 双重非负性： 【探究二】 结论： 【拓展提升】 1、次根式有意义，化简│x-4│-│7-x│。 【当堂检测】 1．x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？ （1）；（2）；（3）；（4）． 2．计算： （1）；（2）；（3）；（4）． 3、2＜x＜3，化简： 课后巩固 1、(1)在式子中，x的取值范围是____________. (2)已知+＝0，则x-y＝ _____________. (3)已知y＝+,则= _____________。 2、 若，则 = 。 3、分解因式：x4 - 4X2 + 4= ________. 4、当x= 时，代数式有最小值， 其最小值是 。 5、化简下列各式 （1） (2) 6、化简下列各式 （1） （2）（x＜-2） 7、 已知0 ＜x＜1，化简：－ 学科网（北京）股份有限公司 $$