大单元复习02 一元二次函数、方程和不等式-2024-2025学年高一年级数学大单元复习与单元检测及期中、期末（人教A版专用）

大单元复习02 一元二次函数、方程和不等式（新高考人教A版专用） 目录 【知识梳理】 2 【热考题型】 4 【考点1】比较大小 4 【考点2】不等式性质 5 【考点3】基本不等式 6 【考点4】商式最值 7 【考点5】基本不等式恒成立 7 【考点6】基本不等式的应用 8 【考点7】基本不等式“1”的最值 9 【考点8】二次函数 10 【考点9】二次函数求参 11 【考点10】解一元二次不等式 12 【考点11】一元二次不等式恒成立 13 【考点12】一元二次不等式应用 14 知识梳理 一、不等关系与不等式 (1)在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，常用不等式来研究含有不等关系的问题. (2)用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示不等关系.“a≠b”应包含“a>b”或“a<b”. 常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号 语言 > < ≥ ≤ 二、两个实数的大小关系 两个实数大小的基本事实 依据 a>b⇔a－b>0 a＝b⇔a－b＝0 a<b⇔a－b<0 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 三、不等式：∀a，b∈R，a2＋b2≥2ab 一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立. 四、不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 五、基本不等式 (1)基本不等式：如果a>0，b>0，则≤，当且仅当a＝b时，等号成立. (2)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数.两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 六、最值问题 已知x，y都为正数，则： (1)如果积xy等于定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值S2，简记为：积定和最小，和定积最大. 七、满足三个条件：一正、二定、三相等，所谓“正”是指各项或各因式为正值，所谓“定”是指和或积为定值，所谓“相等”是指各项或各因式能相等，即等号能取到. 八、一元二次不等式 (1)一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. (2)一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. (3)一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点. 九、二次函数与一元二次不等式(方程)的关系 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2}   十、简单的分式不等式的解法 十一、一元二次不等式恒成立问题 (1)转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔a>0且Δ<0，ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是a<0且Δ<0. (2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题. 热考题型 【考点1】比较大小 一、单选题 1．（24-25高三上·北京·开学考试）若且，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·黑龙江伊春·开学考试）已知，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·天津和平·开学考试）已知a是实数，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 4．（23-24高三上·河南信阳·阶段练习）若，那么下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·福建福州·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 三、填空题 6．（24-25高一上·上海·随堂练习）下面四个条件中，使成立的充分而非必要的条件是 （填写序号）． ①    ②   ③    ④ 【考点2】不等式性质 一、单选题 1．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）下列命题中，为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·江西·期中）已知为实数，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二、多选题 4．（23-24高二上·浙江杭州·期末）下列表述正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 5．（23-24高一上·江苏南通·期末）若，，则（ ） A． B． C． D． 三、填空题 6．（20-21高一上·北京朝阳·期末）设，给出下列四个结论： ①； ②； ③； ④. 其中所有正确结论的序号是 . 【考点3】基本不等式 一、单选题 1．（23-24高一下·四川眉山·开学考试）阿基米德有这样一句流传很久的名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球！”这句话说的便是杠杆原理，即“动力×动力臂=阻力×阻力臂”．现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的黄金交给顾客，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．以上选项都有可能 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知实数．满足且，则下列不等式关系一定正确的是（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）设，若恒成立，则k的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 二、多选题 4．（24-25高三上·广东肇庆·阶段练习）设正实数m，n满足，则（　） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为1 D．的最小值为 5．（24-25高二上·安徽·开学考试）已知正数，满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值 三、填空题 6．（2024·上海静安·二模）在下列关于实数的四个不等式中，恒成立的是 ．（请填入全部正确的序号） ①；②；③；④． 【考点4】商式最值 一、单选题 1．（23-24高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·湖北·期中）关于的方程有两个相等的正根，则（    ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 二、多选题 4．（23-24高一上·浙江宁波·阶段练习）已知，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为8 5．（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）下列说法不正确的是（    ） A．若，，，则的最大值为8 B．若，则函数的最大值为 C．函数的最小值为 D．若，，，则的最小值为2 三、填空题 6．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知，则的最小值为 . 【考点5】基本不等式恒成立 一、单选题 1．（23-24高一上·浙江杭州·期末）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·重庆·期末）当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·浙江宁波·期末）设实数x，y满足，，不等式恒成立，则实数k的最大值为（    ） A．12 B．24 C． D． 二、多选题 4．（23-24高一下·湖南株洲·开学考试）若对于任意，恒成立，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·云南大理·期末）已知且，若恒成立，则实数可取（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 三、填空题 6．（24-25高一上·上海·课后作业）若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【考点6】基本不等式的应用 一、单选题 1．（24-25高二上·湖南郴州·开学考试）设，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·湖南郴州·开学考试）由于猪肉的价格有升也有降，小张想到两种买肉方案.第一种方案：每次买3斤猪肉；第二种方案：每次买50元猪肉.下列说法正确的是（    ） A．采用第一种方案划算 B．采用第二种方案划算 C．两种方案一样 D．采用哪种方案无法确定 3．（2023·陕西榆林·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 二、多选题 4．（24-25高一上·全国·课后作业）下列不等式恒成立的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（2024·广西·模拟预测）根据不等式的有关知识，下列日常生活中的说法正确的是（    ） A．自来水管的横截面制成圆形而不是正方形，原因是：圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积． B．在b克盐水中含有a克盐（），再加入n克盐，全部溶解，则盐水变咸了． C．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率等于． D．购买同一种物品，可以用两种不同的策略.第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．用第一种方式购买一定更实惠. 三、填空题 6．（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．若菜园面积为，则 时，可使所用篱笆总长最小，最小值为 ．    【考点7】基本不等式“1”的最值 一、单选题 1．（24-25高三上·江苏徐州·开学考试）已知且，则的最小值为（    ） A．12 B． C．16 D． 2．（2024·江苏宿迁·一模）若，则的最小值为（    ） A．9 B．18 C．24 D．27 3．（23-24高二下·山西临汾·期末）已知，，且恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知为正实数，，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值 C．的最小值为 D．的最小值为 5．（24-25高三上·四川成都·开学考试）已知为正实数，，则（   ） A．的最小值为4 B．的最小值为 C．的最小值为8 D．的最小值为2 三、填空题 6．（24-25高三上·河北邯郸·开学考试）已知，则的最小值为 ． 【考点8】二次函数 一、单选题 1．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）设正实数、、满足，则当取得最小值时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D．不等式的解集是 3．（23-24高一上·贵州铜仁·期末）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知，且，则（    ） A． B．的最大值为4 C．的最小值为9 D．的最小值为 5．（22-23高二下·海南省直辖县级单位·期中）下列说法正确的是（ ） A．函数的单调递减区间为. B．命题“”的否定是“” C．已知.若p假q真，则 D．若关于的方程有一正一负两个根，则 三、填空题 6．（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，C点在y轴正半轴上，若是直角三角形，则 ． 【考点9】二次函数求参 一、单选题 1．（23-24高一上·江苏南京·期末）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）函数在区间上的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·广东东莞·期中）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（21-22高一上·广西玉林·期中）函数f（x）=x2-ax+2在 上是单调函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·湖南邵阳·阶段练习）已知，，且，若恒成立，则实数t的值可能为（    ） A．20 B．21 C．49 D．50 三、填空题 6．（2023·浙江·二模）若，则的取值范围是 . 【考点10】解一元二次不等式 一、单选题 1．（2023·四川·模拟预测）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·福建福州·期末）设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）不等式的解集为或，则的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（24-25高一上·浙江温州·开学考试）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．关于x的不等式的解集可以是 B．关于x的不等式的解集可以是 C．函数在上可以有两个零点 D．“关于x的方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“” 5．（2024高三·全国·专题练习）已知关于x的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 三、填空题 6．（23-24高一上·山东潍坊·阶段练习）若集合，，且“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 ． 【考点11】一元二次不等式恒成立 一、单选题 1．（2024高二下·安徽·学业考试）若不等式对所有实数恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）若，使得成立是真命题，则实数的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 二、多选题 4．（23-24高二下·江西南昌·期末）“ ” 成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·黑龙江绥化·开学考试）若对于，都有，则的值可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 三、填空题 6．（24-25高一上·全国·课前预习）若不等式对一切正实数都成立，则实数的取值范围是 . 【考点12】一元二次不等式应用 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·课后作业）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（20-21高一·全国·课后作业）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：m）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·河南·开学考试）河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等自然风光构成了河南丰富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展．某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高元（，），则被租出的客房会减少套．若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为（    ） A．250元 B．260元 C．270元 D．280元 二、多选题 4．（23-24高一上·四川泸州·阶段练习）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，则日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400）的销售收入，则这批台灯的售价x（元）的取值可以是（    ） A．18 B．15 C．16 D．20 5．（22-23高一上·全国·课后作业）某商场若将进货单价为元的商品按每件元出售，每天可销售件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高元，销售量就要减少件．那么要保证每天所赚的利润在元以上，每件销售价可能为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 三、填空题 6．（21-22高一上·上海崇明·期中）一般地，把称为区间的“长度”已知关于x的不等式有实数解，且解集区间长度不超过3个单位，则实数k的取值范围为 ． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大单元复习02 一元二次函数、方程和不等式（新高考人教A版专用） 目录 【知识梳理】 2 【热考题型】 4 【考点1】比较大小 4 【考点2】不等式性质 7 【考点3】基本不等式 10 【考点4】商式最值 14 【考点5】基本不等式恒成立 17 【考点6】基本不等式的应用 21 【考点7】基本不等式“1”的最值 25 【考点8】二次函数 28 【考点9】二次函数求参 32 【考点10】解一元二次不等式 35 【考点11】一元二次不等式恒成立 38 【考点12】一元二次不等式应用 41 知识梳理 一、不等关系与不等式 (1)在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，常用不等式来研究含有不等关系的问题. (2)用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示不等关系.“a≠b”应包含“a>b”或“a<b”. 常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号 语言 > < ≥ ≤ 二、两个实数的大小关系 两个实数大小的基本事实 依据 a>b⇔a－b>0 a＝b⇔a－b＝0 a<b⇔a－b<0 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 三、不等式：∀a，b∈R，a2＋b2≥2ab 一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立. 四、不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 五、基本不等式 (1)基本不等式：如果a>0，b>0，则≤，当且仅当a＝b时，等号成立. (2)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数.两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 六、最值问题 已知x，y都为正数，则： (1)如果积xy等于定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值S2，简记为：积定和最小，和定积最大. 七、满足三个条件：一正、二定、三相等，所谓“正”是指各项或各因式为正值，所谓“定”是指和或积为定值，所谓“相等”是指各项或各因式能相等，即等号能取到. 八、一元二次不等式 (1)一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. (2)一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. (3)一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点. 九、二次函数与一元二次不等式(方程)的关系 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2}   十、简单的分式不等式的解法 十一、一元二次不等式恒成立问题 (1)转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔a>0且Δ<0，ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是a<0且Δ<0. (2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题. 热考题型 【考点1】比较大小 一、单选题 1．（24-25高三上·北京·开学考试）若且，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·黑龙江伊春·开学考试）已知，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·天津和平·开学考试）已知a是实数，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 4．（23-24高三上·河南信阳·阶段练习）若，那么下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·福建福州·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 三、填空题 6．（24-25高一上·上海·随堂练习）下面四个条件中，使成立的充分而非必要的条件是 （填写序号）． ①    ②   ③    ④ 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 C D A ACD BCD 1．C 【分析】根据作差法判断C；结合不等式的基本性质举例说明即可判断ABD. 【详解】A：当时，，故A错误； B：当时，满足，，不成立，故B错误； C：， 因为，所以，得，即，故C正确； D：当时，满足，，不成立，故D错误. 故选：C 2．D 【分析】化简，利用倒数性质得，利用作差比较法易得，故得. 【详解】因由可得， 又，由可得， 故得，. 故选：D. 3．A 【分析】判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即得答案. 【详解】当时，， 故，即成立，则成立； 当时，，但推不出成立， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 4．ACD 【分析】作差比较大小可以判断AD；作商比较大小可以判断BC. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，，所以，因为，所以，所以，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD. 5．BCD 【分析】利用不等式的性质一一判定选项即可. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，可知，不等式两侧同乘以，有，故B正确； 对于C，利用作差法知， 由，，知， 即，故C正确； 对于D，由，知，由不等式同向可加性的性质知D正确. 故选：BCD 6．② 【分析】通过举出反例，可得①③都不是充分条件，说明它们不正确．根据充分条件、必要条件的定义，可知②正确；而④给出的是一个充要条件，也不符合题意 【详解】对于①，取，则，但，不是充分条件，故①错误； 对于②，当时，因为，所以成立； 反之，由“”不能推出“”， 所以“”是“”成立的充分而不必要的条件，故②正确； 对于③，取，满足“”，但“”不成立， 故“”不是“”的充分条件，故③错误； 对于④，根据立方的意义，当“”成立时，必定有“”成立， 反之，当“”成立时，也有“”成立， 故“”是“”的充分必要条件，④不正确. 故答案为：②. 【考点2】不等式性质 一、单选题 1．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）下列命题中，为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·江西·期中）已知为实数，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二、多选题 4．（23-24高二上·浙江杭州·期末）下列表述正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 5．（23-24高一上·江苏南通·期末）若，，则（ ） A． B． C． D． 三、填空题 6．（20-21高一上·北京朝阳·期末）设，给出下列四个结论： ①； ②； ③； ④. 其中所有正确结论的序号是 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 A A C BCD BCD 1．A 【分析】应用不等式的性质，结合特值排除法判断即可. 【详解】A项，由，知，即，不等式两边同除以正数，则，故A正确； B项，若，不一定成立，如：，但，故B错误； C项，若，也不一定成立，如：，但，故C错误； D项，若，当时，，故D错误. 故选：A. 2．A 【分析】对于选项A根据题干用作差法比较大小，对于B，C，D均用取特殊值验证的方法验证即可. 【详解】对于A，，因为，所以，所以即，故选项A正确. 对于B，，取，，，，则，故选项B错误. 对于C，，取，，，，则，故选项C错误. 对于D，，取，，则，故选项D错误. 故选：A. 3．C 【分析】根据不等式性质逐选项判断即可. 【详解】对于A，若，当时，根据不等式性质，故A错误； 对于B，若，当时，大小无法确定，故B错误； 对于C，若，则，，对不等式两边同时乘以，则，故C正确； 对于D，若时，，故D错误， 故选：C. 4．BCD 【分析】根据不等式的基本性质判断ABC，利用作差法判断D即可. 【详解】A：由，得， 若，，得，则，即； 若，，得，则不成立，故A错误； B：若，则，故B正确； C：由，，得， 则，所以，即，故C正确； D：若，则， 所以，即，故D正确. 故选：BCD 5．BCD 【分析】结合不等式的性质逐项判断即可得. 【详解】对A：取，，，，则，，故A错误； 对B：由，，则，则有，故B正确； 对C：由，，则，且等价于， 等价于，等价于，即C正确； 对D：由，，则， ，即等价于， 由，即等价于，等价于，即，故D正确. 故选：BCD. 6．①③④ 【解析】利用不等式性质直接判断①④正确，利用指数函数的单调性判断③正确，利用特殊值验证②错误即可. 【详解】由知，，，故，得，故①正确； 取，满足，但，不满足，故②错误； 由指数函数单调递增可知，，则，故③正确； 由知，，，根据不等式性质可知，，故，故④正确. 故答案为：①③④. 【考点3】基本不等式 一、单选题 1．（23-24高一下·四川眉山·开学考试）阿基米德有这样一句流传很久的名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球！”这句话说的便是杠杆原理，即“动力×动力臂=阻力×阻力臂”．现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的黄金交给顾客，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．以上选项都有可能 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知实数．满足且，则下列不等式关系一定正确的是（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）设，若恒成立，则k的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 二、多选题 4．（24-25高三上·广东肇庆·阶段练习）设正实数m，n满足，则（　） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为1 D．的最小值为 5．（24-25高二上·安徽·开学考试）已知正数，满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值 三、填空题 6．（2024·上海静安·二模）在下列关于实数的四个不等式中，恒成立的是 ．（请填入全部正确的序号） ①；②；③；④． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 A C D AD ABD 1．A 【分析】设天平的左臂长为，右臂长为，再分别求出，，结合基本不等式判断即可. 【详解】由于天平的两臂不等长，故可设天平的左臂长为，右臂长为，. 由杠杆原理得，，解得，， 则，当且仅当取等号. 又，故. 故选：A 2．C 【分析】根据不等式的性质，结合作差法、基本不等式进行求解即可. 【详解】因为且， 所以，， 对于A ，因为，，所以，故A错误； 对于B，， 因为，， 所以， 又因为， 所以， 即，故B错误； 对于C，因为， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，故C正确； 对于D，因为， 所以， 又因为， 所以，故D错误. 故选：C. 3．D 【分析】只需由基本不等式求出的最大值，即的最小值即可. 【详解】由于，则得到（当且仅当，即时，取等号）； 所以 又由恒成立，故，则k的最大值为8. 故选：D． 4．AD 【分析】运用基本不等式逐一运算判断即可. 【详解】对于A，因为正实数m，n满足m＋n＝1， 所以， 当且仅当且，即时取等号，A正确； 对于B，， 当且仅当时取等号，所以≤， 即最大值为，B错误； 对于C，， 当且仅当时取等号，此时取最大值，C不正确； 对于D，由， 因此，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 即的最小值为，D正确． 故选：AD 5．ABD 【分析】利用基本不等式判断A、B；依题意可得，再由基本不等式判断C、D. 【详解】因为正数，满足， 所以，当且仅当，即，时等号成立， 解得，所以，故的最大值为，故A正确； ， 即，又，所以， 所以的最小值为，当且仅当，即，时等号成立，故B正确； 由可得， 所以， 当且仅当时等号成立，此时，，又为正数，矛盾，故C错误； ，当且仅当，即，时等号成立，故D正确. 故选：ABD 6．②③④ 【分析】取特值可判断①；作差法可判断②④；要证即证可判断③. 【详解】对于①，取，故①错误； 对于②，，故②正确； 对于③，当，要证，即证， 即，即证， 而恒成立， 当时，，所以，故③正确. 对于④，，所以，故④正确. 故答案为：②③④. 【考点4】商式最值 一、单选题 1．（23-24高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·湖北·期中）关于的方程有两个相等的正根，则（    ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 二、多选题 4．（23-24高一上·浙江宁波·阶段练习）已知，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为8 5．（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）下列说法不正确的是（    ） A．若，，，则的最大值为8 B．若，则函数的最大值为 C．函数的最小值为 D．若，，，则的最小值为2 三、填空题 6．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知，则的最小值为 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 D D B ABD AC 1．D 【分析】将目标式整理为齐次式，再结合均值不等式即可求得结果. 【详解】，因为，故， 则，当且仅当，也即取得等号， 故的最小值为. 故选：D. 2．D 【分析】由已知条件可得出，利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】因为正实数、、满足，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最大值为. 故选：D. 3．B 【分析】依题意可得，则，再利用基本不等式计算可得. 【详解】因关于的方程有两个相等的正根， 所以，所以. ， 当且仅当时取等号，所以有最大值. 故选：B. 4．ABD 【分析】利用二次函数性质判断A，利用基本不等式求最值判断BCD． 【详解】因为，，所以，即，又， ，所以时，取得最小值，A正确； ，又， 当且仅当，即时等号成立， 即的最小值是，所以的最大值是，B正确； ， 令，则，， ，当且仅当时取等号，所以取得最小值为， 所以取得最小值为，C错； ，，所以，当且仅当时等号成立， 所以，D正确， 故选：ABD． 5．AC 【分析】利用基本不等式（均值不等式）求最值进行判断. 【详解】对于选项A，，，，取，，则，所以A错误； 对于选项B，当，则函数， 当且仅当即时取等号，即B正确； 对于选项C，函数， 当且仅当，即时取等号，即C错误， 对于选项D，若，，，则， 即，即（舍）或， 当且仅当时取等号，则的最小值为2，即D正确； 故选：AC 6．16 【分析】将目标式化为，结合及二次函数性质求最大值即可. 【详解】由，则， 而，故当时，目标式最小值为16. 故答案为：16 【考点5】基本不等式恒成立 一、单选题 1．（23-24高一上·浙江杭州·期末）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·重庆·期末）当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·浙江宁波·期末）设实数x，y满足，，不等式恒成立，则实数k的最大值为（    ） A．12 B．24 C． D． 二、多选题 4．（23-24高一下·湖南株洲·开学考试）若对于任意，恒成立，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·云南大理·期末）已知且，若恒成立，则实数可取（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 三、填空题 6．（24-25高一上·上海·课后作业）若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 B A B ACD AB 1．B 【分析】依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，解得即可. 【详解】因为正实数、满足， 即，所以， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 因为正实数、满足，且恒成立， 所以，解得，即实数的取值范围是. 故选：B． 2．A 【分析】把恒成立问题转化成求最值问题，利用基本不等式求出的最小值，然后解二次不等式即可. 【详解】因为即且， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因为不等式恒成立，所以， 即，解得，故的取值范围为. 故选：A 3．B 【分析】令，不等式变形为，求出的最小值，从而得到实数的最大值. 【详解】，，变形为， 令， 则转化为 ，即， 其中      当且仅当，即时取等号，可知. 故选：B 【点睛】思路点睛：不等式恒成立问题，先分离参数后，然后利用基本不等式求最值. 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 4．ACD 【分析】利用基本不等式求出的最大值，结合选项可得 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 由任意，恒成立，  所以， 符合条件有，，，故A、C、D对；，故B错； 故选：ACD 5．AB 【分析】利用基本不等式单位“1”的应用，求出的最小值，从而可求解. 【详解】由题意知，， 所以， 当且仅当时取等号，所以，解得，所以A、B正确. 故选：AB. 6． 【分析】先把恒成立问题转化为最值问题，再应用基本不等式求最小值即可. 【详解】因为不等式恒成立，则, 因为,所以，当且仅当取等号， 所以. 故答案为：. 【考点6】基本不等式的应用 一、单选题 1．（24-25高二上·湖南郴州·开学考试）设，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·湖南郴州·开学考试）由于猪肉的价格有升也有降，小张想到两种买肉方案.第一种方案：每次买3斤猪肉；第二种方案：每次买50元猪肉.下列说法正确的是（    ） A．采用第一种方案划算 B．采用第二种方案划算 C．两种方案一样 D．采用哪种方案无法确定 3．（2023·陕西榆林·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 二、多选题 4．（24-25高一上·全国·课后作业）下列不等式恒成立的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（2024·广西·模拟预测）根据不等式的有关知识，下列日常生活中的说法正确的是（    ） A．自来水管的横截面制成圆形而不是正方形，原因是：圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积． B．在b克盐水中含有a克盐（），再加入n克盐，全部溶解，则盐水变咸了． C．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率等于． D．购买同一种物品，可以用两种不同的策略.第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．用第一种方式购买一定更实惠. 三、填空题 6．（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．若菜园面积为，则 时，可使所用篱笆总长最小，最小值为 ．    参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 A B C ACD AB 1．A 【分析】对于A，利用基本不等式分析判断，对于B，举例判断，对于CD，利用不等式的性质分析判断， 【详解】，，，即， 且，无法取得等号，则，故A正确； 当，时，，，，，故B错误； ，∴，，故C错误； ，，而，则，故D错误． 故选:A 2．B 【分析】设两次购买猪肉的价格分别为，，表达出两种方案购买的均价，结合基本不等式比较出大小，得到答案. 【详解】不妨设两次购买猪肉的价格分别为，， 第一种方案，均价为， 第二种方案，均价为， 其中，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， 故，当且仅当时，等号成立， 所以采用第二种方案划算. 故选：B 3．C 【分析】由已知结合基本不等式可得，令，则转化为，求出的范围可得答案. 【详解】因为，，且， 所以， 即，当且仅当时取等号， 令，则， 所以，得， 所以，得， 即，所以的最小值为4. 故选：C 4．ACD 【分析】对于ACD，利用基本不等式分析判断，对于B，举例判断. 【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以A正确. 对于B，若，则，所以B错误. 对于C，因为，所以， 所以，当且仅当，即时取等号，所以C正确. 对于D，因为，所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号，所以D正确. 故选：ACD 5．AB 【分析】根据题意利用不等式的性质以及作差法、基本不等式逐项分析判断. 【详解】对于选项A：设周长为，则圆的面积为， 正方形的面积为，因为，，可得，即，故A正确； 对于选项B：原盐水的浓度为，加入克盐，盐水的浓度为，则， 因为，，可得，， 所以，即，故B正确； 对于选项C：设这两年的平均增长率为， 则，可得， 因为，即， 当且仅当，即时，等号成立，即这两年的平均增长率不大于，故C错误； 对于选项D：按第一种策略购物，设第一次购物时的价格为元/kg，购n kg， 第二次购物时的价格为元/kg，购n kg，两次购物的平均价格为； 若按第二种策略购物，第一次花元钱，能购kg物品， 第二次仍花元钱，能购物品，两次购物的平均价格为． 比较两次购的平均价格：， 当且仅当时，等号成立，所以第一种策略的平均价格不低于第二种策略的平均价格， 因而用第二种策略比较经济，故D错误. 故选：AB． 6． 【分析】根据均值不等式求最值及最值取得的条件即可. 【详解】由题得，周长，当且仅当，即，时，等号成立，所以． 故答案为：；. 【考点7】基本不等式“1”的最值 一、单选题 1．（24-25高三上·江苏徐州·开学考试）已知且，则的最小值为（    ） A．12 B． C．16 D． 2．（2024·江苏宿迁·一模）若，则的最小值为（    ） A．9 B．18 C．24 D．27 3．（23-24高二下·山西临汾·期末）已知，，且恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知为正实数，，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值 C．的最小值为 D．的最小值为 5．（24-25高三上·四川成都·开学考试）已知为正实数，，则（   ） A．的最小值为4 B．的最小值为 C．的最小值为8 D．的最小值为2 三、填空题 6．（24-25高三上·河北邯郸·开学考试）已知，则的最小值为 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 C A B AB BCD 1．C 【分析】根据题意可知，根据乘1法结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，则，且， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 2．A 【分析】利用基本不等式中“1”的妙用即可求得最小值. 【详解】根据题意可得； 当且仅当，即时，等号成立； 此时的最小值为9. 故选：A. 3．B 【分析】先利用“1”的代换求得的最小值，再由求解. 【详解】解：设， 则，解得， 则， ， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为2， 又因为对，，且恒成立， 所以， 故选：B 4．AB 【分析】运用可判断A项；由结合基本不等式可判断B项；令，代入原式，结合“1”的代换及基本不等式可判断C项；由，结合二次函数在区间上的最小值可判断D. 【详解】对选项A，，当且仅当时取“=”，故A正确； 对选项B， ，当且仅当时取“=”，故B正确； 对选项C，， 令，则， 所以， 当且仅当，即，时取“=”， 所以的最小值为，故选项C错误. 对选项D，， 当且仅当时取“=”，故D错误； 故选：AB. 5．BCD 【分析】把转化为，利用，可求的最小值；把转化为，利用“1”的妙用求的最小值；利用求的最小值；利用可求的最小值. 【详解】对A：因为为正实数，且，所以，因为，所以，故A错误. 对B：因为为正实数，且，所以（）. 所以（当且仅当，即时取“”），故B正确； 对C：因为（都是当且仅当时取“”），故C正确； 对D：因为，故，所以（当且仅当时取“”），故D正确. 故选：BCD 6． 【分析】根据用1的活用，结合常值代换应用基本不等式计算即可. 【详解】， 当且仅当，即， 即当时等号成立. 故答案为： 【考点8】二次函数 一、单选题 1．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）设正实数、、满足，则当取得最小值时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D．不等式的解集是 3．（23-24高一上·贵州铜仁·期末）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知，且，则（    ） A． B．的最大值为4 C．的最小值为9 D．的最小值为 5．（22-23高二下·海南省直辖县级单位·期中）下列说法正确的是（ ） A．函数的单调递减区间为. B．命题“”的否定是“” C．已知.若p假q真，则 D．若关于的方程有一正一负两个根，则 三、填空题 6．（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，C点在y轴正半轴上，若是直角三角形，则 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 D A D ACD CD 1．D 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出取最小值时的关系，再利用二次函数求出最大值. 【详解】依题意，由，得， 当且仅当，即时等号成立，则， 因此，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最大值. 故选：D 2．A 【分析】根据一元二次函数的图象与轴的交点的横坐标，结合二次函数与一元二次不等式的关系，即可求解. 【详解】由题图知抛物线开口向上，所以， 抛物线与轴交点纵坐标为正，所以， 因为，所以， 由韦达定理， 即，，对称轴， 则.所以A错误，B,C正确. 不等式 可化为， 即，解得 或. 所以不等式的解集是.D正确. 故选：A. 3．D 【分析】对二项式系数进行分类，结合二次函数定义的性质，列出关系式求解. 【详解】当时，不等式恒成立， 当时，满足不等式恒成立； 当时，令，则在上恒成立， 函数的图像抛物线对称轴为， 时，在上单调递减，在上单调递增， 则有，解得； 时，在上单调递增，在上单调递减， 则有，解得. 综上可知，的取值范围是. 故选：D. 【点睛】方法点睛：分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容，分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力. 4．ACD 【分析】根据已知条件变形结合基本不等式或消元法及二次函数的性质计算即可. 【详解】由已知得，又，所以，故A正确； 由，当且仅当时取得最小值4， 故B错误； 由上得，所以， 当且仅当时取得最小值，故C正确； 由，所以， 当且仅当时取得最小值，故D正确. 故选：ACD 5．CD 【分析】对于A，利用复合函数单调性即可； 对于B，利用命题的否定解决； 对于C，利用命题的否定，结合二次不等式恒成立和基本不等式即可； 对于D，利用二次方程根的分布即可. 【详解】对于A，由解得或，即的定义域为. 设，则它在上单调递减， 又因为在上单调递增， 根据复合函数单调性可得的单调递减区间为，所以A错误； 对于B，命题“”的否定是“”，所以B错误； 对于C，若p假，则为真，所以，解得. 若q真,则，因为，当且仅当x=1时等号成立， 所以.从而若p假q真，则，所以C正确； 对于D，若关于的方程有一正一负两个根，则，解得，所以D正确； 故选：CD 6． 【分析】根据韦达定理，结合射影定理即可求解. 【详解】设，， 由于是直角三角形，所以，且直角为, 又，，所以， 故答案为： 【考点9】二次函数求参 一、单选题 1．（23-24高一上·江苏南京·期末）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）函数在区间上的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·广东东莞·期中）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（21-22高一上·广西玉林·期中）函数f（x）=x2-ax+2在 上是单调函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·湖南邵阳·阶段练习）已知，，且，若恒成立，则实数t的值可能为（    ） A．20 B．21 C．49 D．50 三、填空题 6．（2023·浙江·二模）若，则的取值范围是 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 D B A AD CD 1．D 【分析】利用二次函数的对称轴及函数的单调性列出不等式求解. 【详解】因为函数在区间上单调递减， 所以，解得. 故选：D 2．B 【分析】由已知条件结合二次函数的图象性质，判断实数的取值范围. 【详解】函数的图像抛物线开口向上，对称轴方程为， ，， 函数在区间上的值域为，则有. 故选：B 3．A 【分析】根据二次函数性质运算求解即可 【详解】因为函数开口向上，对称轴为， 若函数在区间上是增函数， 则，所以，故实数的取值范围是； 故选：A． 4．AD 【分析】先求二次函数的对称轴，再和区间端点比较建立不等式即可. 【详解】因为函数的对称轴是，又因为函数在上是单调函数，所以或，解得或. 故选：AD 5．CD 【分析】利用的关系式以及其范围可得且，将不等式转化为，利用二次函数单调性即可得. 【详解】由可得， 又可得， 所以可得， 即在时恒成立即可， 由二次函数单调性可得，即，可知CD满足题意； 故选：CD 6． 【分析】利用基本不等式结合求得，将整理变形为，令，结合二次函数知识即可求得答案. 【详解】由可得， 而，当且仅当时，等号成立， 即，解得， 由可知， 所以， 令，则， 函数在单调递增，在单调递减 故， 即的取值范围是， 故答案为： 【考点10】解一元二次不等式 一、单选题 1．（2023·四川·模拟预测）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·福建福州·期末）设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）不等式的解集为或，则的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（24-25高一上·浙江温州·开学考试）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．关于x的不等式的解集可以是 B．关于x的不等式的解集可以是 C．函数在上可以有两个零点 D．“关于x的方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“” 5．（2024高三·全国·专题练习）已知关于x的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 三、填空题 6．（23-24高一上·山东潍坊·阶段练习）若集合，，且“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 C B A BCD ABD 1．C 【分析】解不等式求集合M，进而根据并集运算求解. 【详解】因为，解得，即， 且，所以． 故选：C． 2．B 【分析】对参数进行分类讨论得到一元二次不等式的解集后求解即可. 【详解】对于，当时，变为， 此时解得， 当时，解得， 当时，解得， 当时，此时解集为空集， 当时，解得， 综上讨论，并未在任何情况出现， 故不可能是原不等式解集，故B正确. 故选：B 3．A 【分析】将不等式化为，即的两个根为，，代入求出，再利用分式不等式的解法即可求解. 【详解】不等式可转化为， 其解集为或， 所以，且方程的两个根为，， 则 或，解得或（舍去）， 即有，即，解得. 所以不等式的解集为. 故选：A. 4．BCD 【分析】解含参的一元二次不等式判断A,B,根据含参的一元二次不等式解集得出参数范围判断C,D. 【详解】对A，若不等式的解集是，则且，得， 而当，时，不等式，即，得，与矛盾，故A错误； 对B，取，，此时不等式的解集为，故B正确； 对C，取，，则由，得或3，故C正确； 对D，若关于x的方程有一个正根和一个负根，则，得， 若，则，故关于x的方程有两个不等的实根，， 且，关于x的方程有一个正根和一个负根. 因此“关于x的方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“”，故D正确. 故选：BCD. 5．ABD 【分析】A选项，根据不等式的解集得到；BC选项，转化为和3是关于x的方程的两根，根据韦达定理得到两根之和，两根之积，求出，解不等式，得到的解集，并得到；D选项，变形得到的解集即可. 【详解】A选项，∵关于x的不等式的解集为， ∴，A选项正确； BC选项，已知和3是关于x的方程的两根， 由根与系数的关系得， 则， 不等式，即，解得，B正确； 且，C错误； D选项，不等式，即，即， 解得或，D正确． 故选：ABD 6． 【分析】先求解一元二次不等式得出集合，由题意推得是的真子集,求解不等式组即得. 【详解】由可得，，即， 因“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集, 故有，或，解得：. 故答案为：. 【考点11】一元二次不等式恒成立 一、单选题 1．（2024高二下·安徽·学业考试）若不等式对所有实数恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）若，使得成立是真命题，则实数的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 二、多选题 4．（23-24高二下·江西南昌·期末）“ ” 成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·黑龙江绥化·开学考试）若对于，都有，则的值可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 三、填空题 6．（24-25高一上·全国·课前预习）若不等式对一切正实数都成立，则实数的取值范围是 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 B B B AB AB 1．B 【分析】分和两种情况讨论，时，结合二次函数图象得到的取值范围. 【详解】时，原不等式化为，解得，不对所有的恒成立，不符合题意； 时，原不等式为一元二次不等式，要对所有实数恒成立， 则二次函数的图象开口向下且与轴无交点， 从而，解得， 所以，的取值范围为， 故选：B. 2．B 【分析】依据题意先将问题等价转化成在上恒成立，接着将恒成立问题转化成最值问题，再结合基本不等式即可求解. 【详解】，使得成立是真命题， 所以,恒成立. 所以在上恒成立， 所以， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以，所以，即实数的最大值为. 故选：B. 3．B 【分析】根据和，结合判别式即可求解. 【详解】当时，恒成立，则符合题意； 当时，由题意可得解得． 综上，实数的取值范围是． 故选:B． 4．AB 【分析】先把已知化简为，再结合充分条件的定义得出条件即可. 【详解】因为所以恒成立， 因为，当取等号，所以， 因为，所以是的充分条件. 因为，所以是的充分条件， 又都不能推出，所以CD错误， 故选：AB. 5．AB 【分析】利用一元二次不等式恒成立的解法求解即可； 【详解】依题意，命题等价于恒成立， 所以，解得，即，故AB正确，CD错误. 故选：AB. 6． 【分析】由题意恒成立，即，然后由基本不等式求的最大值即可. 【详解】由题意恒成立，即， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为， 所以. 故答案为：. 【考点12】一元二次不等式应用 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·课后作业）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（20-21高一·全国·课后作业）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：m）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·河南·开学考试）河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等自然风光构成了河南丰富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展．某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高元（，），则被租出的客房会减少套．若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为（    ） A．250元 B．260元 C．270元 D．280元 二、多选题 4．（23-24高一上·四川泸州·阶段练习）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，则日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400）的销售收入，则这批台灯的售价x（元）的取值可以是（    ） A．18 B．15 C．16 D．20 5．（22-23高一上·全国·课后作业）某商场若将进货单价为元的商品按每件元出售，每天可销售件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高元，销售量就要减少件．那么要保证每天所赚的利润在元以上，每件销售价可能为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 三、填空题 6．（21-22高一上·上海崇明·期中）一般地，把称为区间的“长度”已知关于x的不等式有实数解，且解集区间长度不超过3个单位，则实数k的取值范围为 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 C C C ABC AB 1．C 【分析】本题可根据题意得出，然后通过计算以及即可得出结果. 【详解】设这批台灯的销售单价为x元，由题意得，， 即，解得，又因为，所以， 这批台灯的销售单价的取值范围是. 故选：C 2．C 【分析】根据三角形相似列出方程，将矩形的另一边用表示，再根据矩形的面积不小于300m2列出不等式，即可求出结果. 【详解】设矩形的另一边长为m，则由三角形相似知，， 所以，因为，所以， 即，解得. 故选:C 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的应用，关键是建立数学模型，解一元二次不等式，属于基础题. 3．C 【分析】根据题意列出不等式求解. 【详解】依题意，每天有间客房被租出，该连锁酒店每天租赁客房的收入为 ． 因为要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元， 所以，即，解得． 因为且，所以，即该连锁酒店每间客房每天的租价应定为270元． 故选：C． 4．ABC 【分析】由实际问题列出不等式，解出不等式的解集，逐项判断即可. 【详解】设这批台灯的售价为x（元）， 则为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400）的销售收入， 所以，化简得：, 解得：. 故选：ABC. 5．AB 【分析】确定每件商品的利润、销售量，根据利润=每件利润×销售量，得出销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系，解不等式可得答案. 【详解】设销售价定为每件x元，利润为y元， 则， 依题意有， 即， 解得， 所以每件销售价应为12元到16元之间，故每件销售价可能为13元或15元， 故选︰AB． 6． 【分析】不等式有实数解等价于有两个不相等的实数根，结合根的判别式，韦达定理进行求解. 【详解】不等式有实数解等价于有两个不相等的实数根，则，解得：或 设的两根为，，不妨令，则， 由题意得：，解得：，结合或，所以实数k的取值范围为 故答案为： 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$