江苏省扬州中学2024-2025学年高三上学期数学周测1

1 高三数学练习一 9.15 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只 有一项是符合题目要求的. 1．已知集合  0,1,2,3A  ，  2log 1B x x  ，则 A B  （ ） A． 0,1,2 B． 1,2 C． 0,1 D． 1 2．“ 2 2a   ”是“函数    2lg 1f x x ax   的值域为R ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知 3π 1sin 4 3       ，则 πcos 4      的值等于（ ） A． 2 2 3 B． 2 2 3  C． 1 3 D． 1 3  4．在∆���中，角 A，B，C的对边分别是 a，b，c， 1a  ， 7b  ， 120B  ，则 c （ ） A． 2 B． 3 C．3 D．2 5．已知函数    23log 3 1xf x x   ，则满足    2 1f x f x  的 x的取值范围为（ ） A． 1, + ∞ B．  1, 1, 3         C． 1 ,1 3      D．  1, 1, 3          6．已知函数  f x 的定义域为R ，且  2 1f x  的图象关于直线 1x  对称，  3 2f x  是奇 函数，则下列选项中值一定为 0的是（ ） A． 7 2 f      B．  2024f C．� 1 D． 3 2 f      7．已知函数   12 , 0 2eln 1, 0 x x f x x x x       ，若函数 2 9( ) [ ( )] ( ) 2 g x f x mf x   有 6个零点，则实数 m的取值范围为（ ） A． 173 2, 4      B． 93 2, 2      C． 17 93 2, 4 2             D． 17 113 2, 4 2             2 8．设实数 0a  ，若不等式  2 1e 1 lnax xa x x        对任意 0x  恒成立，则 a的最小值为（ ） A． 1 2e B． 1 e C．e D．2e 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有错的得 0 分． 9．已知正数 x， y满足 2x y  ，则下列选项正确的是（ ） A． 1 1 x y  的最小值是 2 B． xy的最大值是1 C． 2 2x y 的最小值是1 D．  1x y  的最大值是 9 2 10．将函数   π2sin 6 f x x      图象的横坐标缩短为原来的 1 2 ，纵坐标不变，得到函数  g x 的图象，则（ ） A． π 3 f x     为偶函数 B．  g x 的最小正周期为 4π C．  f x 与  g x 在 π 2π, 3 3       上均单调递减 D．函数    y f x g x  在  0,2π 上有 5个零点 11．定义：设  f x 是  f x 的导函数，  f x 是函数  f x 的导函数.若方程   0f x  有实 数解 0x ，则称点 �0, � �0 为函数� = � � 的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都 有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数   3 2 4f x ax bx   （ 0ab  ）的 对称中心为  1,2 ，则下列说法中正确的是（ ） A． 1a  ， 3b   B．函数  f x 有三个零点 C．  1 2 3 2023 2025 40471 2 4047 2024 2024 2024 2024 2024 2024 f f f f f f f                                             D．过  2,m 可以作三条直线与� = � � 图象相切，则 m的取值范围为  1,0 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．已知函数  2 3f x  的定义域为 1,3 ，则  1 3f x 的定义域为 . 13．在∆���中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c．若 2π3 A  ，角 A的平分线 AD交 BC于点 D， 2, 6AD b  ，则 ABCV 的面积为 ． 3 14．已知函数  f x 是定义域为R 的奇函数，当 0x  时，    2f x f x   ，且  1 0f  ， 则不等式   0f x  的解集为 . 四、解答题：本大题共 5 小题，计 77 分．解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算 步骤． 15．设 RU  ，已知集合  | 2 7A x x    ，  | 1 2 1B x m x m     ． (1)当5B时，求实数m的范围； (2)设 :p x A ； :q x B ，若 p是 q的必要不充分条件，求实数m的范围． 16．传统燃油汽车与新能源汽车相比，有着明显的缺点：如传统燃油汽车在行驶过程中会 产生尾气排放和噪音污染，环保性能较差、能源效力较低等我国近几年着重强调可持续发 展，加大在新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业迅速发展某汽车制造企业对 某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表． 年份 t 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码  2018x x t  1 2 3 4 5 销量 y（万辆） 11 13 18 21 27 (1)统计表明销量 y与年份代码 x有较强的线性相关关系，求 y关于 x的线性同归方程，并 预测该地区新能源汽车的销量最早在哪一年能突破 50万辆； (2)该企业随机调查了该地区 2023年的购车情况．据调查，该地区 2023年购置新能源汽车 与传统燃油汽车的人数的比例大约为1:3．从被调查的 2023年所有车主中按分层抽样抽取 12人，再从 12人中随机抽取 3人，记这 3人中购置新能源汽车的人数为 X，求 X的分布 列和期望． 参考公式：对于一组数据  , ( 1, 2,3, , )n nx y n n  ，其回归直线 ˆˆ ˆy bx a  中斜率和截距的最 小二乘估计公式分别为：      1 1 2 2 2 1 1 ˆ ˆˆ, n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b a y bx x x x nx                  ． 4 17．已知函数   2 2 2f x ax x a    . (1)当 1a  时，求方程   1f x   的解集； (2)设  f x 在 1,2 的最小值为  g a ，求  g a 的表达式. 18．如图，PC是圆台 1 2OO 的一条母线，∆���是圆 2O 的内接三角形，AB为圆 2O 的直径， 4, 2 2AB AC  ． (1)证明： AB PC ； (2)若圆台 1 2OO 的高为 3，体积为7π，求直线 AB与平面 PBC夹 角的正弦值． 19．若函数  f x 在  ,a b 上存在  1 2 1 2,x x a x x b   ，使得  1 ( ) ( )f b f af x b a     ，  2 ( ) ( )f b f af x b a     ，则称  f x 是 ,a b 上的“双中值函数”，其中 1 2,x x 称为  f x 在 ,a b 上 的中值点. (1)判断函数   3 23 1f x x x   是否是  1,3 上的“双中值函数”，并说明理由； (2)已知函数   21 ln 2 f x x x x ax   ，存在 0m n  ，使得    f m f n ，且  f x 是  ,n m 上的“双中值函数”， 1 2,x x 是  f x 在 ,n m 上的中值点. ①求 a的取值范围； ②证明： 1 2 2x x a   . 试卷第 1页，共 11页 高三数学练习一 9.15 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合 题目要求的. 1．已知集合  0,1,2,3A  ，  2log 1B x x  ，则 A B  （ ） A． 0,1, 2 B． 1,2 C． 0,1 D． 1 【答案】B 2．“ 2 2a   ”是“函数    2lg 1f x x ax   的值域为R ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 3．已知 3π 1sin 4 3       ，则 πcos 4      的值等于（ ） A． 2 2 3 B． 2 2 3  C． 1 3 D． 1 3  【答案】D 4．在∆���中，角 A，B，C的对边分别是 a，b，c， 1a  ， 7b  ， 120B  ，则 c （ ） A． 2 B． 3 C．3 D．2 【答案】D 5．已知函数    23log 3 1xf x x   ，则满足    2 1f x f x  的 x的取值范围为（ ） A． 1, + ∞ B．  1, 1, 3         C． 1 ,1 3      D．  1, 1, 3          【答案】B 6．已知函数  f x 的定义域为R ，且  2 1f x  的图象关于直线 1x  对称，  3 2f x  是奇函数，则下列选 项中值一定为 0的是（ ） A． 7 2 f      B．  2024f C．� 1 D． 3 2 f      【答案】B 7．已知函数   12 , 0 2eln 1, 0 x x f x x x x       ，若函数 2 9( ) [ ( )] ( ) 2 g x f x mf x   有 6个零点，则实数 m的取值范围 试卷第 2页，共 11页 为（ ） A． 173 2, 4      B． 93 2, 2      C． 17 93 2, 4 2             D． 17 113 2, 4 2             【答案】C 【详解】由于函数 2 9( ) [ ( )] ( ) 2 g x f x mf x   有6个零点，故方程 2 9[ ( )] ( ) 0 2 f x mf x   有6个根， 设 ( )t f x ，方程转化为 2 9 0 2 t mt   ，函数 12 , 0 ( ) 2e ln 1, 0 x x f x x x x       的图象如图所示： 方程 2 9[ ( )] ( ) 0 2 f x mf x   有6个根，可转化为方程 2 9 0 2 t mt   有两根 1 2,t t 且两根为以下情况： ① 1 1t  ， 21 2t  ，由 1 1t  得 11 2 m  ，验证不满足 21 2t  ，因此这样的m不存在； ② 1 3t  ， 21 2t  ，由 1 3t  得 9 2 m  ，验证满足 21 2t  成立，即 9 2 m  ； ③ 12 3t  ， 22 3t  ，设 2 9( ) 2 h t t mt   ，由根的分布知 Δ 0 2 3 2 (2) 0 (3) 0 m h h           ，得 173 2 4 m  . 综上： 173 2 4 m  或 9 2 m  . 8．设实数 0a  ，若不等式  2 1e 1 lnax xa x x        对任意 0x  恒成立，则 a的最小值为（ ） A． 1 2e B． 1 e C．e D．2e 【答案】B 【详解】解：因为不等式  2 1e 1 lnaxa x xx        对任意 0x  恒成立， 即不等式    2 2e 1 1 lnaxax x x   对任意 0x  恒成立， 不等式      2 2 2 22 e 1 2 1 ln 1 lnaxax x x x x     对任意 0x  恒成立， 所以不等式    2 2 2 2ln e e 1 1 lnax ax x x    对任意 0x  恒成立， 试卷第 3页，共 11页 令 ( ) ( 1) ln , 0h t t t t   ，则 1( ) ln 1h t t t     ，令 1( ) ( ) ln 1, 0g t h t t t t      ，则 2 2 1 1 1( ) tg t t t t     ， 当 (0,1)t 时， ( ) 0, ( ) g t g t 即 ( )h t 单调递减；当 (1, )t  时， ( ) 0, ( ) g t g t 即 ( )h t 单调递增； 所以 min( ) (1) 2 0h t h    ，所以 ( )h t 在 (0, ) 上单调递增， 又因为式    2 2 2 2ln e e 1 1 lnax ax x x     对任意 0x  恒成立，即 2 2(e ) ( )axh h x ， 所以 2 2e ax x 在 (0, ) 上恒成立，即 2 2lnax x ，即 ln xa x  在 (0, ) 上恒成立， 令 ln( ) , 0xf x x x   ，则 2 1 ln( ) xf x x   ，所以当 (0,e)x 时， ( ) 0, ( ) f x f x 单调递增； 当 (e,+ )x  时， ( ) 0, ( ) f x f x 单调递减；所以 max 1( ) (e) e f x f  ，所以 1 e a  ，所以 a的最小值为 1 e . 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有错的得 0分． 9．已知正数 x， y满足 2x y  ，则下列选项正确的是（ ） A． 1 1 x y  的最小值是 2 B． xy的最大值是1 C． 2 2x y 的最小值是1 D．  1x y  的最大值是 9 2 【答案】AB 10．将函数   π2sin 6 f x x      图象的横坐标缩短为原来的 1 2 ，纵坐标不变，得到函数  g x 的图象，则（ ） A． π 3 f x     为偶函数 B．  g x 的最小正周期为 4π C．  f x 与  g x 在 π 2π, 3 3       上均单调递减 D．函数    y f x g x  在 0,2π 上有 5个零点 【答案】ACD 11．定义：设  f x 是  f x 的导函数，  f x 是函数  f x 的导函数.若方程   0f x  有实数解 0x ，则称点 �0, � �0 为函数� = � � 的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图 象的对称中心.已知函数   3 2 4f x ax bx   （ 0ab  ）的对称中心为  1,2 ，则下列说法中正确的是（ ） A． 1a  ， 3b   B．函数  f x 有三个零点 C．  1 2 3 2023 2025 40471 2 4047 2024 2024 2024 2024 2024 2024 f f f f f f f                                             试卷第 4页，共 11页 D．过  2,m 可以作三条直线与� = � � 图象相切，则 m的取值范围为  1,0 【答案】ACD 【详解】对于 A，由   3 2 4f x ax bx   ，可得   23 2f x ax bx   ，则   6 2f x ax b   ， 因为  1,2 是对称中心，结合题设中心“拐点”的定义可知，  1 6 2 0f a b    且  1 4 2f a b    ，解得 1a  ， 3b   ，所以 A正确； 对于 B，由 1a  ， 3b   ，可知   3 23 4f x x x   ，则   23 6f x x x   ， 令   0f x  ，可得 0x  或 2x  ， 当  ,0x   ，   0f x  ，  f x 单调递增；当  0,2x 时，   0f x  ，  f x 单调递减； 当� ∈ 2, + ∞ 时，   0f x  ，  f x 单调递增；因为 ( 1) 0f   ，  0 4f  ，  2 0f  ， 所以函数  f x 只有两个零点，所以 B错误； 对于 C，因为  1,2 是函数  f x 的对称中心，所以      1 1 2 1f x f x f    ， 令  1 2 3 2023 2025 2026 40471 2024 2024 2024 2024 2024 2024 2024 S f f f f f f f f                                                   ， 可得  4047 2026 2025 2023 11 2024 2024 2024 2024 2024 S f f f f f f                                      ， 所以 1 4047 2 4046 4047 12 4 4047 2024 2024 2024 2024 2024 2024 S f f f f f f                                                          ， 所以 2 4047S   ，即 1 2 3 2023 2025 2026 4047(1) 2024 2024 2024 2024 2024 2024 2024 f f f f f f f f                                                    2 4047 ，所 以 C正确； 对于 D，设切点为 ( , )c d ，由   3 23 4f x x x   ，得   23 6f x x x   ，则 切线的斜率为   2' 3 6k f c c c   ，所以切线方程为 2(3 6 )( )y d c c x c    ，即 3 2 2( 3 4) (3 6 )( )y c c c c x c      ，因为切线经过点  2,m ，所以 3 2 2( 3 4) (3 6 )(2 )m c c c c c      ， 化简得 3 22 9 12 4m c c c     ，由题意可知关于 c的方程 3 22 9 12 4m c c c     有 3个不等的根， 令 3 2( ) 2 9 12 4g x x x x     ，则 2( ) 6 18 12g x x x     ，由 ( ) 0g x  ，得 1x  或 2x  ， 当 1x  或 2x  时， ( ) 0g x  ，当1 2x  时， ( ) 0g x  ， 所以 ( )g x 在 ( ,1) 和 (2, ) 上递减，在 (1, 2)上递增， 试卷第 5页，共 11页 所以 ( )g x 的极小值为 (1) 2 9 12 4 1g        ， 极大值为 (2) 16 36 24 4 0g       ， 所以 ( )g x 的大致图象如图所示， 由图象可知当 1 0m   时，直线 y m 与 ( )g x 的图象有 3个交点， 所以当 1 0m   时，关于 c的方程 3 22 9 12 4m c c c     有 3个不等的根， 所以当 1 0m   时，过  2,m 可以作三条直线与� = � � 图象相切，所以 D正确， 故选：ACD 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．已知函数  2 3f x  的定义域为 1,3 ，则  1 3f x 的定义域为 . 【答案】 2 2, 3 3     13．在 ABCV 中，内角A，B，C所对的边分别为 a，b，c．若 2π3 A  ，角A的平分线 AD交 BC于点D， 2, 6AD b  ， 则 ABCV 的面积为 ． 【答案】 9 3 2 14．已知函数  f x 是定义域为R 的奇函数，当 0x  时，    2f x f x   ，且  1 0f  ，则不等式   0f x  的解集为 . 【答案】    1,0 1,   【详解】因为  f x 为奇函数，定义域为R ， 所以    f x f x   ，两边同时求导可得    f x f x     ，即    f x f x   且  0 0f  ， 又因为当 0x  时，    2f x f x   ，所以    2f x f x  . 构造函数    2x f x h x  e ，则      2 2 x f x f x h x     e ， 所以当 0x  时，    0,h x h x  在  0,  上单调递增， 又因为  1 0f  ，所以    1 0,h h x 在  1, 上大于零，在  0,1 上小于零， 试卷第 6页，共 11页 又因为 2e 0x  ，所以  f x 在  1, 上大于零，在  0,1 上小于零，  f x 为奇函数，所以  f x 在  , 1  上小于零，在  1,0 上大于零，   0f x  的解集为    1,0 1,   . 四、解答题：本大题共 5 小题，计 77 分．解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤． 15．设 RU  ，已知集合  | 2 7A x x    ，  | 1 2 1B x m x m     ． (1)当5B时，求实数m的范围； (2)设 :p x A ； :q x B ，若 p是 q的必要不充分条件，求实数m的范围． 【详解】（1）由题可得 1 5 2 1m m    ，则 3 4m≤ ≤ ； （2）由题可得 B是A的真子集， 当 B ，则 1 2 1 2m m m     ； 当 B  ， 2m≥ ，则 2 1 7 1 2 m m       （等号不同时成立），解得2 4m  综上， 4m  . 16．传统燃油汽车与新能源汽车相比，有着明显的缺点：如传统燃油汽车在行驶过程中会产生尾气排放和 噪音污染，环保性能较差、能源效力较低等我国近几年着重强调可持续发展，加大在新能源项目的支持力 度，积极推动新能源汽车产业迅速发展某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下 面的统计表． 年份 t 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码  2018x x t  1 2 3 4 5 销量 y（万辆） 11 13 18 21 27 (1)统计表明销量 y与年份代码 x有较强的线性相关关系，求 y关于 x的线性同归方程，并预测该地区新能 源汽车的销量最早在哪一年能突破 50万辆； (2)该企业随机调查了该地区 2023年的购车情况．据调查，该地区 2023年购置新能源汽车与传统燃油汽车 的人数的比例大约为1:3．从被调查的 2023年所有车主中按分层抽样抽取 12人，再从 12人中随机抽取 3 人，记这 3人中购置新能源汽车的人数为 X，求 X的分布列和期望． 参考公式： 对于一组数据  , ( 1, 2,3, , )n nx y n n  ，其回归直线 ˆˆ ˆy bx a  中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：      1 1 2 2 2 1 1 ˆ ˆˆ, n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b a y bx x x x nx                  ． 试卷第 7页，共 11页 【详解】（1）设 y关于 x的线性回归方程 ˆˆ ˆy bx a  ， 依题意， 1 2 3 4 5 3 5 x      ， 11 13 18 21 27 18 5 y      ， 5 1 1 11 2 13 3 18 4 21 5 27 310i i i x y             ， 5 2 2 2 2 2 2 1 1 2 3 4 5 55i i x        ， 因此 5 1 5 22 1 5 310 5 3 18ˆ 4 55 5 95 i i i i i x y xy b x x              ， ˆˆ 18 4 3 6a y bx      ， 则 y关于 x的线性回归方程为 ˆ 4 6y x  ，令 ˆ 4 6 50y x   ，解得 11x  ， Nx  ，取 12x  ， 所以该地区新能源汽车的销量最早在 2030年能突破50万辆． （2）依题意，按 1:3分层抽样知，12人中有 9人购置了传统燃油汽车，3人购置了新能源汽车， X 所有可能的取值为0，1， 2，3， 0 3 3 9 3 12 C C 84 21( 0) C 220 55 P X     ， 1 2 3 9 3 12 C C 108 27( 1) C 220 55 P X     ， 2 1 3 9 3 12 C C 27( 2) C 220 P X    ， 3 0 3 9 3 12 C C 1( 3) C 220 P X    ， 所以 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 21 55 27 55 27 220 1 220 期望 27 27 1 3( ) 1 2 3 55 220 220 4 E X        . 17．已知函数   2 2 2f x ax x a    . (1)当 1a  时，求方程   1f x   的解集； (2)设  f x 在 1,2 的最小值为  g a ，求  g a 的表达式. 【详解】（1）当 1a  时， 2( ) 2 1f x x x   ， 由 ( ) 1f x   ，得 2 2 1 1x x    ，解得 0x  或 2x  ，则 0x  或 2x   ， 所以方程   1f x   的解集为{ 2,0,2} . （2）当 [1, 2]x 时， 2( ) 2 2f x ax x a    ， 当 0a  时，函数 ( ) 2 2f x x   在[1, 2]上单调递减， 则 min( ) (2) 6f x f   ，即 ( ) 6g a   ； 试卷第 8页，共 11页 当 0a  时，函数 21 1( ) 2f x a x a a a          ，其图象的对称轴为 1x a  ， 当 0a  时，函数 ( )f x 在[1, 2]上单调递减， 则 min( ) (2) 5 6f x f a   ，即 ( ) 5 6g a a  ； 当 10 1 a   ，即 1a  时，函数 ( )f x 在[1, 2]上单调递增， 则 min( ) (1) 2 4f x f a   ，即 ( ) 2 4g a a  ； 当 11 2 a   ，即 1 1 2 a≤ ≤ 时， min 1 1( ) 2f x f a a a         ，即 1( ) 2g a a a    ； 当 1 2 a  ，即 10 2 a  时，函数 ( )f x 在[1, 2]上单调递减， 则 min( ) (2) 5 6f x f a   ，即 ( ) 5 6g a a  ， 综上所述： 15 6, 2 1 1( ) 2, 1 2 2 4, 1 a a g a a a a a a              . 18．如图，PC是圆台 1 2OO 的一条母线，∆���是圆 2O 的内接三角形，AB为圆 2O 的直径， 4, 2 2AB AC  ． (1)证明： AB PC ； (2)若圆台 1 2OO 的高为 3，体积为7π，求直线 AB与平面 PBC夹角的正弦值． 【详解】（1）由题知，因为 AB为圆 2O 的直径，所以 AC BC ， 又 4, 2 2AB AC  ，所以 2 2 2 2AB AB AC   ， 因为 2O 为 AB的中点，所以 2O C AB ， 由圆台性质可知， 1 2OO 平面 ABC，且 1 2, , ,O O P C四点共面， 因为 AB 平面 ABC，所以 1 2OO AB ， 试卷第 9页，共 11页 因为 1 2 2,OO O C是平面 1 2OO CP内的两条相交直线，所以 AB 平面 1 2OO CP， 因为 PC 平面 1 2OO CP，所以 AB PC . （2）圆台 1 2OO 的体积  2 2 2 21 11 π π 2 π π 2 3 7π3V r r          ，其中 1 1r PO ， 解得 1 1r  或 1 3r   (舍去). 由（1）知 1 2 2, ,OO AB O C两两垂直，分别以 2 2 2 1, ,O B O C O O 为 x轴、 y轴、 z轴建立空间直角坐标系，如图， 则 ( 2,0,0), (2,0,0), (0,2,0), (0,1,3)A B C P ， 所以 (4,0,0), ( 2,1,3), ( 2,2,0)AB BP BC        . 设平面 PBC 的一个法向量为 ( , , )n x y z  ， 则 2 3 0, 2 2 0, n BP x y z n BC x y                解得 , 3 , x y x z    于是可取 (3,3,1)n   . 设直线 AB与平面 PBC 的夹角为 ， 则 2 2 2 4 3 3 19sin cos , 194 3 3 1 AB n        ， 故所求正弦值为 3 19 19 . 19．若函数  f x 在 ,a b 上存在  1 2 1 2,x x a x x b   ，使得  1 ( ) ( )f b f af x b a     ，  2 ( ) ( )f b f af x b a     ，则 称  f x 是  ,a b 上的“双中值函数”，其中 1 2,x x 称为  f x 在 ,a b 上的中值点. 试卷第 10页，共 11页 (1)判断函数   3 23 1f x x x   是否是  1,3 上的“双中值函数”，并说明理由； (2)已知函数   21 ln 2 f x x x x ax   ，存在 0m n  ，使得    f m f n ，且  f x 是 ,n m 上的“双中值函 数”， 1 2,x x 是  f x 在 ,n m 上的中值点. ①求 a的取值范围； ②证明： 1 2 2x x a   . 【答案】(1)  f x 是  1,3 上的“双中值函数”，理由见解析 (2)① 0, + ∞ ；②证明见解析 【分析】（1）利用定义结合导数直接计算解方程即可； （2）①根据定义知    1 2 0f x f x    ，利用导数研究导函数的单调性及最值计算范围即可；②根据条件 先转化问题为 2 11 lnx x  ，构造差函数 ( ) ( ) (1 ln )h x g x g x   ，利用多次求导判定其单调性去函数符号即 可证明. 【详解】（1）函数 ( )f x 是[ 1,3] 上的“双中值函数”． 理由如下： 因为 3 2( ) 3 1f x x x   ，所以   23 6f x x x   . 因为 (3) 1f  ， ( 1) 3f    ，所以 (3) ( 1) 1 3 ( 1) f f     令 ( ) 1f x  ，得 23 6 1x x  ，即 23 6 1 0x x   ，解得 3 2 3 3 x  . 因为 3 2 3 3 2 31 3 3 3       ，所以 ( )f x 是[ 1,3] 上的“双中值函数”. （2）①因为 ( ) ( )f m f n ，所以 ( ) ( ) 0f m f n m n    . 因为 ( )f x 是[ ],n m 上的“双中值函数”，所以    1 2 0f x f x    . 由题意可得 ( ) ln 1f x x x a     . 设 ( ) ( ) ln 1g x f x x x a      ，则 1 1( ) 1 xg x x x      . 当 (0,1)x 时， ( ) 0g x  ，则 ( )g x 为减函数，即 ( )f x 为减函数； 当 (1, )x  时， ( ) 0g x  ，则 ( )g x 为增函数，即  f x 为增函数. 故    min 1f x f a    . 因为    1 2 0f x f x   ，所以 0a  ，所以 0a  ，即 a的取值范围为 (0, ) ； 试卷第 11页，共 11页 ②证明：不妨设 1 20 1x x   ， 则 1 1ln 1 0x x a    ， 2 2ln 1 0x x a    ，即 1 1ln 1x x a   ， 2 2ln 1x x a   ． 要证 1 2 2x x a   ，即证 2 1 12 1 lnx a x x     ． 设 ( ) ( ) (1 ln ) 1 ln(1 ln )(0 1)h x g x g x x x x         ， 则 1( ) 1 (0 1) (1 ln ) h x x x x       ． 设 ( ) (1 ln )(0 1)x x x x     ，则 ( ) ln 0x x    ， 所以� � 在 0,1 上单调递增，所以0 ( ) (1) 1x    ，所以 1( ) 1 0 (1 ln ) h x x x      ， 则 ( )h x 在(0,1)上单调递减． 因为 (1) (1) (1) 0h g g   ，所以 ( ) 0h x  ，即 ( ) (1 ln )g x g x  ． 因为 10 1x  ，所以    1 11 lng x g x  ． 因为    1 2 0g x g x  ，所以    2 11 lng x g x  ． 因为 10 1x  ，所以 11 ln 1x  ． 由①可知 ( )g x 在 (1, ) 上单调递增，所以 2 11 lnx x  ，即 1 2 2x x a   得证． 【点睛】思路点睛：新定义问题审清题意，转化为已有经验、知识处理即可，本题第二问第一小问，可转 化为存在导函数两个零点求参问题，利用导数研究其单调性与最值即可；第二小问，可利用等量关系消元 转化证明 2 11 lnx x  ，类似极值点偏移，构造差函数研究其单调性即可证明.