（经典奥数）牛吃草问题（讲义）-2024-2025学年数学六年级上册人教版

（经典奥数）牛吃草问题讲义-数学六年级上册人教版 ( 目录 ) 第一部分：知识梳理。 第二部分：典型例题。‌ 第三部分：跟踪训练。 ( 第一部分 ) ( 知识梳理 ) 牛吃草问题 牛顿问题的难点在于草每天都在不断生长，草的数量都在不断变化．解答这类题目的关键是想办法从变化中找出不变量，我们可以把总草量看成两部分的和，即原有的草量加新长的草量．显而易见，原有的草量是一定的，新长的草量虽然在变，但如果是匀速生长，我们也能找到另一个不变量﹣﹣每天（每周）新长出的草的数量． 基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量． 基本特点：原草量和新草生长速度是不变的； 关键问题：确定两个不变的量． 基本公式： 生长量＝（较长时间×长时间牛头数﹣较短时间×短时间牛头数）÷（长时间﹣短时间）； 原有草量＝较长时间×长时间牛头数﹣较长时间×生长量； 牛吃草问题常用到四个基本公式： 牛吃草问题又称为消长问题，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的．典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天．由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随着吃的天数不断地变化．解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是： （1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数﹣相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数﹣吃的较少天数）； （2）原有草量＝牛头数×吃的天数﹣草的生长速度×吃的天数； （3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数﹣草的生长速度）； （4）牛头数＝原有草量÷吃的天数+草的生长速度． 这四个公式是解决消长问题的基础． 由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量．牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的．正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式． ( 第二部分 ) ( 典型例题 ) 1．科技馆9点营业，每分钟来的人数相同．如果开5个窗口，则9点5分可无人排队；如果开3个窗口，则9点9分可没有人，求8点几分第一个游客到？ 【解答】解：（9×3﹣5×5）÷（9﹣5） ＝（27﹣25）÷4 ＝2÷4 ＝， 3×9﹣×9 ＝27﹣ ＝22， 22÷＝45（分）， 9时﹣45分＝8时15分． 答：第一个游客到达博物馆的时间是8时15分． 2．博物馆每天早晨9：00开门让游客进入，如果开放3个入口则在9：09可以让全部游客入场，如果开放5个入口，则可在9：05结束入场，假设入场结束前每分钟前来的游客数量不变，那么第一个游客到达博物馆的时间是8时几分？ 【解答】解：（9×3﹣5×5）÷（9﹣5） ＝（27﹣25）÷4 ＝2÷4 ＝， 3×9﹣×9 ＝27﹣ ＝22， 22÷＝45（分）， 9时﹣45分＝8时15分． 答：第一个游客到达博物馆的时间是8时15分． ( 第三部分 ) ( 跟踪训练 ) 1．有一池泉水，泉底不断涌出泉水，而且每分钟涌出的泉水一样多．如果用8部抽水机10小时能把全池泉水抽干，如果用12部抽水机6小时能把全池泉水抽干，那么用14部抽水机多少小时能把全池泉水抽干？ 2．由于天气渐冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少，经过计算，现有牧场上的草可以供20头牛吃5天，或可以供16头牛吃6天．那么11头牛可以吃几天？ 3．某地遭遇干旱，政府为解决居民饮水问题，在一眼山泉旁边修了一个蓄水池，每小时有40立方米的水注入水池．当开动5台抽水机时，2.5小时把池水抽完，当开动8台抽水机时，1.5小时把池水抽完，这个蓄水池能容多少立方米水？ 4．某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多．如果同时开放4个检票口，那么30分钟后检票口前队伍恰好消失；如果同时开放5个检票口，那么20分钟后队伍恰好消失．如果同时开放7个检票口，那么队伍多少分钟后恰好消失？ 5．牧场上有一片牧草，可以供27头牛吃6天，供23头牛吃9天，如果每天牧草生长的速度相同，那么这片牧草可以供21头牛吃几天？ 6．一只船被发现漏水时，已经进了一些水，水均匀进入船内．如果10人淘水，3小时淘完；如果5人淘水，8小时淘完．如果要求2小时淘完，需要安排多少人淘水？ 7．牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长．这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天．问：可供25头牛吃几天？ 8．牧场上有一片匀速生产的草地，可供27头牛吃6周，或者供23头牛吃9周，如果把草场的面积扩大1倍，那么它可以供42头牛吃几周？ 9．现在有牛、羊、马吃一块地的草，草均匀生长，牛、马吃需要45天吃完，马、羊吃需要60天吃完，牛、羊吃需要90天吃完，牛、羊一起吃草的速度为马吃草的速度，求马、牛、羊一起吃，需多少时间？ 10．有三块草地，面积分别是5，15，24亩．草地上的草一样厚，而且长得一样快．第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天，问第三块地可供多少头牛吃80天？ 11．一片牧场，牧草均匀生长，可供25头牛吃10天或15头牛吃20天，问：这片牧场可供45头牛吃多少天？ 12．一片草地，每天都匀速长出青草．如果可供24头牛吃6天，20头牛吃10天吃完．那么，可供19头牛吃多少天？ 13．一水池有一根进水管不间断地进水，另有若干根相同的抽水管，若用24根抽水管抽水，6小时即可把池中的水抽干；若用21根抽水管抽水，8小时可将池水抽干．若用16根抽水管，多少小时可将水池中的水抽干？ 14．有一片青草地，每天都匀速地长出青草，这篇青草可供27头牛吃6周或供23头牛吃9周，那么这片草地可供21头牛吃几周？ 15．有一口水井．在无渗水的情况下，甲抽水机用20小时可将水抽完，乙抽水机用12小时可将水抽完．现在甲、乙两台抽水机同时抽，由于有渗水，结果用9小时才将水抽完．在有渗水的情况下，用甲抽水机单独抽需多少小时抽完？ 16．有100名游客在世界文化历史遗产秦始皇兵马俑博物馆门前排队，开门后每分钟来的游人是相等的，一个入口处平均每分钟可以放进10名游客；如果两个入口处20分钟就可以全部检完票，外面没有人排队了，为了减少游客排队时间，现在开放4个入口处，那么开门后多少分钟就没有人排队了？ （经典奥数）牛吃草问题讲义-数学六年级上册人教版 参考答案与试题解析 1．有一池泉水，泉底不断涌出泉水，而且每分钟涌出的泉水一样多．如果用8部抽水机10小时能把全池泉水抽干，如果用12部抽水机6小时能把全池泉水抽干，那么用14部抽水机多少小时能把全池泉水抽干？ 【解答】解：设每部抽水机每小时能抽泉水1份， （8×10﹣12×6）÷（10﹣6）， ＝8÷4， ＝2（份）； 8×10﹣2×10， ＝80﹣20， ＝60（份）； 60÷（14﹣2）， ＝60÷12， ＝5（小时）； 答：用14部抽水机5小时能把全池泉水抽干． 2．由于天气渐冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少，经过计算，现有牧场上的草可以供20头牛吃5天，或可以供16头牛吃6天．那么11头牛可以吃几天？ 【解答】解：假设每头牛每天吃青草1份， 青草的减少速度为： （20×5﹣16×6）÷（6﹣5） ＝4÷1 ＝4（份）； 草地原有的草的份数： 20×5+4×5 ＝100+20 ＝120（份）； 那么11头牛每天吃青草11份，青草每天减少4份，可以看作每天有11+4＝15（头）牛吃草，草地原有的120份草，可吃： 120÷15＝8（天） 答：可供11头牛吃8天． 3．某地遭遇干旱，政府为解决居民饮水问题，在一眼山泉旁边修了一个蓄水池，每小时有40立方米的水注入水池．当开动5台抽水机时，2.5小时把池水抽完，当开动8台抽水机时，1.5小时把池水抽完，这个蓄水池能容多少立方米水？ 【解答】解：（1）每台抽水机每小时抽水： （40×2.5﹣40×1.5）÷（5×2.5﹣8×1.5） ＝（100﹣60）÷（12.5﹣12） ＝40÷0.5 ＝80（立方米） （2）蓄水池的容积： （80×5﹣40）×2.5 ＝360×2.5 ＝900（立方米）； 答：这个蓄水池能容900立方米水． 4．某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多．如果同时开放4个检票口，那么30分钟后检票口前队伍恰好消失；如果同时开放5个检票口，那么20分钟后队伍恰好消失．如果同时开放7个检票口，那么队伍多少分钟后恰好消失？ 【解答】解：设1个检票口1分钟检票的人数为1份．因为4个检票口30分钟通过（4×30）份，5个检票口20分钟通过（5×20）份，说明在（30﹣20）分钟内新来旅客 （4×30﹣5×20）份，所以每分钟新来旅客： （4×30﹣5×20）÷（30﹣20）＝2（份）． 假设让2个检票口专门通过新来的旅客，两相抵消，其余的检票口通过原来的旅客，可以求出原有旅客为： （4﹣2）×30＝60（份）或（5﹣2）×20＝60（份）． 同时打开7个检票口时，让2个检票口专门通过新来的旅客，其余的检票口通过原来的旅客，需要： 60÷（7﹣2）＝12（分钟）． 答：如果同时开放7个检票口，那么队伍12分钟后恰好消失． 5．牧场上有一片牧草，可以供27头牛吃6天，供23头牛吃9天，如果每天牧草生长的速度相同，那么这片牧草可以供21头牛吃几天？ 【解答】解：设每头牛每天吃“1”份草， 每天新生草量为： （23×9﹣27×6）÷（9﹣6）， ＝（207﹣162）÷3， ＝45÷3， ＝15（份）； 原有草量为： 27×6﹣15×6＝72（份）， 21头牛吃的天数： 72÷（21﹣15）， ＝72÷6， ＝12（天）； 答：这片牧草可供21头牛吃12天． 6．一只船被发现漏水时，已经进了一些水，水均匀进入船内．如果10人淘水，3小时淘完；如果5人淘水，8小时淘完．如果要求2小时淘完，需要安排多少人淘水？ 【解答】解：设一人一小时淘出的水量定为1， 3小时的总水量： 10×3＝30 8小时的总水量： 5×8＝40 每小时的进水量： （40﹣30）÷（8﹣3）＝2 2小时的总水量： 30﹣2＝28 需要的人数： 28÷2÷1＝14（人） 答：需要安排多少人淘水14人． 7．牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长．这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天．问：可供25头牛吃几天？ 【解答】解：设1头牛1天吃的草为“1“，由条件可知，前后两次青草的问题相差为10×20﹣15×10＝50． 为什么会多出这50呢？这是第二次比第一次多的那（20﹣10）＝10天生长出来的，所以每天生长的青草为50÷10＝5． 现从另一个角度去理解，这个牧场每天生长的青草正好可以满足5头牛吃．由此，我们可以把每次来吃草的牛分为两组，一组是抽出的15头牛来吃当天长出的青草，另一组来吃是原来牧场上的青草，那么在这批牛开始吃草之前，牧场上有多少青草呢？（10﹣5）×20＝100． 那么：第一次吃草量20×10＝200，第二次吃草量，15×10＝150； 每天生长草量50÷10＝5． 原有草量（10﹣5）×20＝100或200﹣5×20＝100． 25头牛分两组，5头去吃生长的草，其余20头去吃原有的草那么100÷20＝5（天）． 答：可供25头牛吃5天． 8．牧场上有一片匀速生产的草地，可供27头牛吃6周，或者供23头牛吃9周，如果把草场的面积扩大1倍，那么它可以供42头牛吃几周？ 【解答】解：假设每头牛每周吃青草1份， 青草的生长速度： （23×9﹣27×6）÷（9﹣6）， ＝45÷3， ＝15（份）； 草地原有的草的份数： 27×6﹣15×6， ＝162﹣90， ＝72（份）； 如果把草场的面积扩大1倍，则草地原有的草的份数72×2＝144份，青草的生长速度15×2＝30份， 每周生长的30份草可供30头牛去吃，那么剩下的42﹣30＝12头牛吃144份草： 144÷（42﹣30）， ＝144÷12， ＝12（周）； 答：如果把草场的面积扩大1倍，那么它可以供42头牛吃12周． 9．现在有牛、羊、马吃一块地的草，草均匀生长，牛、马吃需要45天吃完，马、羊吃需要60天吃完，牛、羊吃需要90天吃完，牛、羊一起吃草的速度为马吃草的速度，求马、牛、羊一起吃，需多少时间？ 【解答】解：设牛每天吃x，羊每天吃y，则马每天吃x+y，每天增长为z； 根据题意可得： ， ③﹣①得到y＝z； 代入①②可得： ， ， 解得：； 牛马羊一起每天吃：（x+y+x+y）＝（+++）＝； 设牛马羊一起吃可以吃t天； 可得： ×t＝1+t， ×t﹣t＝1， t＝1， t＝36． 答：马、牛、羊一起吃，需36天． 10．有三块草地，面积分别是5，15，24亩．草地上的草一样厚，而且长得一样快．第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天，问第三块地可供多少头牛吃80天？ 【解答】解：设每头牛每天的吃草量为1，则每亩30天的总草量为：10×30÷5＝60； 每亩45天的总草量为：28×45÷15＝84； 那么每亩每天的新生长草量为（84﹣60）÷（45﹣30）＝1.6； 每亩原有草量为：60﹣1.6×30＝12； 那么24亩原有草量为：12×24＝288； 24亩80天新长草量为24×1.6×80＝3072； 24亩80天共有草量3072+288＝3360； 所以有3360÷80＝42（头）． 答：第三块地可供42头牛吃80天． 11．一片牧场，牧草均匀生长，可供25头牛吃10天或15头牛吃20天，问：这片牧场可供45头牛吃多少天？ 【解答】解：假设每头牛每天吃青草1份， 青草的生长速度： （15×20﹣10×25）÷（40﹣20）， ＝20÷10， ＝5（份）； 草地原有的草的份数： 15×20﹣5×20， ＝300﹣100， ＝200（份）； 每天生长的5份草可供5头牛去吃，那么剩下的45﹣5＝40头牛吃200份草： 200÷（45﹣5）， ＝200÷40， ＝5（天）； 答：这片草地可供45头牛吃5天． 12．一片草地，每天都匀速长出青草．如果可供24头牛吃6天，20头牛吃10天吃完．那么，可供19头牛吃多少天？ 【解答】解：假设每头牛每天吃青草1份， 青草的生长速度： （20×10﹣24×6）÷（10﹣6）， ＝56÷4， ＝14（份）； 草地原有的草的份数： 24×6﹣14×6， ＝144﹣84， ＝60（份）； 每天生长的14份草可供14头牛去吃，那么剩下的19﹣14＝5头牛吃60份草： 60÷（19﹣14）， ＝60÷5， ＝12（天）； 答：这片草地可供19头牛吃12天． 13．一水池有一根进水管不间断地进水，另有若干根相同的抽水管，若用24根抽水管抽水，6小时即可把池中的水抽干；若用21根抽水管抽水，8小时可将池水抽干．若用16根抽水管，多少小时可将水池中的水抽干？ 【解答】解：设每小时抽水为1份， 每小时进水： （21×8﹣24×6）÷（8﹣6）， ＝24÷2， ＝12（份）； 水池原有水： 21×8﹣12×8， ＝168﹣96， ＝72（份）； 若用16根抽水管，需要的时间为： 72÷（16﹣12）， ＝72÷4， ＝18（小时）； 答：若用16根抽水管，18小时可将水池中的水抽干． 14．有一片青草地，每天都匀速地长出青草，这篇青草可供27头牛吃6周或供23头牛吃9周，那么这片草地可供21头牛吃几周？ 【解答】解：假设每头牛每周吃青草1份， 青草的生长速度： （23×9﹣27×6）÷（9﹣6）， ＝45÷3， ＝15（份）； 草地原有的草的份数： 27×6﹣15×6， ＝162﹣90， ＝72（份）； 每周生长的15份草可供15头牛去吃，那么剩下的21﹣15＝6头牛吃72份草： 72÷（21﹣15）， ＝72÷6， ＝12（周）； 答：这片草地可供21头牛吃12周． 15．有一口水井．在无渗水的情况下，甲抽水机用20小时可将水抽完，乙抽水机用12小时可将水抽完．现在甲、乙两台抽水机同时抽，由于有渗水，结果用9小时才将水抽完．在有渗水的情况下，用甲抽水机单独抽需多少小时抽完？ 【解答】解：井9小时的渗水量为： （）×9﹣1， ＝×9﹣1， ＝； 1小时的渗水量为： ÷9 ＝； 用甲抽水机单独抽： 1÷（）， ＝1÷ ＝36（小时）； 答：用甲抽水机单独抽需36小时抽完． 16．有100名游客在世界文化历史遗产秦始皇兵马俑博物馆门前排队，开门后每分钟来的游人是相等的，一个入口处平均每分钟可以放进10名游客；如果两个入口处20分钟就可以全部检完票，外面没有人排队了，为了减少游客排队时间，现在开放4个入口处，那么开门后多少分钟就没有人排队了？ 【解答】解：每分钟到来的人数为： （2×20×10﹣100）÷20， ＝300÷20， ＝15（人）； 开门后没有人排队需要的时间为： 100÷（4×10﹣15）， ＝100÷25， ＝4（分钟）； 答：现在开放4个入口处，那么开门后4分钟就没有人排队了． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$