一元二次不等式问题选讲讲义-2024-2025学年高一上学期数学北师大版(2019)必修第一册

一元二次不等式问题选讲 类型1 分类讨论 ①确定分类依据；②运算分类结果；③以“不重复 不遗漏”的标准检验分类结果. 应用举例：解关于的不等式： 确定分类标准: 二次项的系数分类:. 对应方程的解的个数的存在情况分类:,临界值. 得到分类结果: . (检验分类结果:不重复 不遗漏) 书写解答过程: 解 ①当时,,此时恒成立,即的解集为. ②当时,,此时恒成立,即的解集为. ③当时,,此时方程有两个根，即,即不等式的解集为 ④当时，不等式化为,解得. ⑤当时，不等式的解集为或 ⑥当时，不等式化为,此时. ⑦当时,,此时恒成立,故的解集为. 分类导图： 逐级分类求解(先二项式系数,再讨论) 解析 原不等式可化为. (1)当时，不等式化为,解得. (2)当时， ①当时,此时方程有两个根， 即, 或. ②当时，不等式化为,此时. ③当时，,此时. (3)当时， ①当时，,此时方程有两个根， 即, ②当时，不等式化为,解得. ③当时,其解集为. 综上可知，当时，不等式的解集为. 当时，不等式的解集为. 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为. 当时，不等式的解集为或 当时，不等式的解集为. 变式 解关于的不等式： 类型2 不等式与方程 应用举例：若不等式的解集为，则不等式的解集为 解析的解集为， 且一3和4是方程的两个根. 由韦达定理得即 将代入不等式得，即，解得. 故所求的不等式的解集为. 答案. 变式（多选）已知关于的不等式的解集为或，则(). A. B.不等式的解集为 C. D.不等式的解集为或 类型3 含参恒成立（或“存在”） 应用举例 已知不等式，若对所有的实数，不等式恒成立，则的取值范围为 策略1存在最小值且最小值大于0. 解析令， 对一切恒成立， 函数的图象全部在轴上方， ①若，则，显然不符合题意. ②若，则为一元二次函数， 需满足其图象开口向上，且与轴无交点， 的取值范围为. 答案. 策略2 参变分离求解: ①若，则，显然不符合题意. ②若，则由恒成立，可得:恒成立，所以. ，显然时，为正有最大值，最大值为. 综上可知:. 变式1 (1)对任意，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. (2)存在，关于的不等式有实数解，求实数的取值范围 8.(1)由题意知对任意恒成立，则，解得，所以实数的取值范围是. (2)由题意知，当时，有解， 则或 解得，即实数的取值范围是. 变式2关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围为 2 学科网（北京）股份有限公司 $$