精品解析：人教版2023-2024学年八年级数学下册期末测试题

期末测试卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分) 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 2. 下列数组不能构成直角三角形三边长的是（　　） A. 3，4，5 B. 5，12，13 C. 1，， D. 2，3，4 3. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. AB//DC，AD//BC B. AB=DC，AD=BC C. AO=CO，BO=DO D. AB//DC，AD=BC 4. 下表中记录了甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩的平均分与方差，要从中选出一位成绩优异且发挥稳定的同学参加数学竞赛，最合适的是（ ） 甲 乙 丙 丁 平均分x 95 98 95 98 方差 1.2 0.2 0.5 1.0 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 估计的运算结果在哪两个整数之间（ ） A. 1和2 B. 2和3 C. 3和4 D. 4和5 6. 六一儿童节，妈妈带小明去游乐园游玩，小明坐上了他向往已久的摩天轮．摩天轮上，小明离地面的高度h（米）和他坐上摩天轮后旋转的时间t（分钟）之间的部分函数关系如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. 摩天轮旋转一周需要6分钟 B. 小明出发后经过6分钟，离地面的高度为5米 C. 小明出发后的第3分钟和第9分钟离地面的高度相同 D. 小明离地面的最大高度为45米 7. 用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑧个图案中正方形的个数为（ ） A. 30 B. 33 C. 37 D. 41 8. 在平面直角坐标系xOy中，直线：与直线：的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，对角线相交于点O．E，F分别为上一点，且，连接．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 10. 有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数后则显示的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．有如下结论：①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是3；②若将1，2，3，4这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是2；③若将1，2，3，4这4个整数任意地一个一个地输入，全部输入完毕后显示的结果的最小值是0；④若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数2，a，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，若k的最大值为10，那么k的最小值是6．上述结论中，正确的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分) 11. 若最简二次根式和能合并,则a的值为___. 12. 如果一组数据2，3，x，6，7的众数为2，那么这组数据的中位数为__________． 13. 已知，则的值是________． 14. 如图，已知一次函数和的图象交于点P，则二元一次方程组 的解是_______． 15. 如图，中，E、F分别为AB、AC边的中点，，若，，，则线段AB的长为______． 16. 如图，三角形纸片中，点D是边上一点，连接沿着直线翻折，得到交于点G，连接交于点F．若的面积为，则的长度为__________． 17. 若关于y的不等式组无解，且关于x的分式方程的解为负数，则所有满足条件的整数a的值之和是_______． 18. 如果一个四位自然数的百位数字大于或等于十位数字，且千位数字等于百位数字与十位数字的和，个位数字等于百位与十位数字的差，则我们称这个四位数为“巴川校庆密码数”，例如：自然数，其中，，所以是“巴川校庆密码数”；则最大的“巴川校庆密码数”是 _________；若一个“巴川校庆密码数”m的千位数字是a，百位数字是b，十位数字是c，个位数字是d（a、b、c、d是整数，且），m的后三位数字所表示的数与千位数字所表示的数的7倍之差能被整除，满足条件的m的最小值是 _________． 三、解答题(本大题共8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． 19. 计算． （1）； （2）． 20. 如图，在平行四边形中，，在取一点E，使得，连接． （1）用尺规完成以下基本作图：作的角平分线交于点F，交于点O；（保留作图痕迹，不写作法和结论） （2）根据（1）中作图，经过学习小组讨论发现，并给出以下证明，请将证明过程补充完整． 证明： ________________ 四边形为平行四边形 ________________ 平分 ________________ 四边形为平行四边形 ________________ 即 在中， ． 21. 为了提高学生森林防火意识，某校组织了一场森林防火知识竞赛，学校在八、九年级中分别随机抽取了50名学生的成绩(分数)进行整理分析，已知成绩（分数）x均为整数，且分为A，B，C，D，E五个等级，分别是： A：，B：，C：，D：，E： 0． 并给出了部分信息： ①八年级B等级中由低到高10个分数分别为80，80，82，83，83，83，84，84，85，85． ②两个年级学生森林防火知识竞赛分数统计图如图． ③两个年级学生森林防火知识竞赛分数样本数据的平均数、中位数、众数如下表： 平均数 中位数 众数 八年级 84 a 76 九年级 84 81 75 （1）直接写出a，m的值． （2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的学生对森林防火知识掌握较好？请说明理由．（说明一条理由即可） （3）若分数不低于80分表示该生对森林防火知识掌握较好，且该校八年级有1800人，九年级有1700人，请估计该校八、九年级所有学生中，对森林防火知识掌握较好学生人数． 22. 小美打算买一束百合和康乃馨组合的鲜花，在“母亲节”祝福妈妈．已知买2支百合和1支康乃馨共需花费14元，3支康乃馨的价格比2支百合的价格多2元． （1）求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？ （2）小美准备买康乃馨和百合共11支，且百合不少于2支．设买这束鲜花所需费用为元，康乃馨有支，求与之间的函数关系式，并设计一种使费用最少的买花方案，写出最少费用． 23. 如图，在矩形中，，，动点E从点B出发，沿着匀速运动到点D时停止运动，设点E的运动路程为x，的面积为y． （1）请直接写出y与x之间的函数表达式，并注明自变量x的取值范围，在给定的平面直角坐标系中画出y的函数图象； （2）请写出函数y的一条性质； （3）结合函数图象，在点E的运动过程中，当的面积为时，则自变量x的取值范围为______． 24. 在中，，D是BC的中点，连接AD，EC为的一条中线，过点A作交CE的延长线于点F，连接FB． （1）求证：四边形ADBF是菱形； （2）若，四边形ADBF的面积为12，求BC的长． 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作等腰直角三角形ABC，． 　　 （1）求直线BC函数解析式； （2）点P为线段AB上一动点，过点P作轴交BC于点Q．当时，求四边形APQC的面积及此时点P的坐标； （3）如图2，将一次函数的图象向左平移2个单位长度得到直线l，点M和点N均在直线BC上运动，点G为直线l上一动点，若以点A、N、G、M为顶点的四边形为矩形，直接写出MN的长度． 26. 已知，在中，，，E为射线上一点，连接交于点F． （1）如图1，若点E与点C重合，且，求的长； （2）如图2，当点E在边上时，过点D作于点G，延长交于点H，连接，求证：； （3）如图3，当点E在射线上运动时，过点D作于点G，M为中点，点N在边上且，已知，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末测试卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分) 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0．根据二次根式有意义的条件计算即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故选：A． 2. 下列数组不能构成直角三角形三边长的是（　　） A. 3，4，5 B. 5，12，13 C. 1，， D. 2，3，4 【答案】D 【解析】 【分析】判断是否为直角三角形，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、，能组成直角三角形，不符合题意； B、，能组成直角三角形，不符合题意； C、，能组成直角三角形，不符合题意； D、，不能组成直角三角形，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 3. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. AB//DC，AD//BC B. AB=DC，AD=BC C. AO=CO，BO=DO D. AB//DC，AD=BC 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、由“AB//DC，AD//BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； B、由“AB=DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； D、由“AB//DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意． 故选D． 4. 下表中记录了甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩的平均分与方差，要从中选出一位成绩优异且发挥稳定的同学参加数学竞赛，最合适的是（ ） 甲 乙 丙 丁 平均分x 95 98 95 98 方差 1.2 0.2 0.5 1.0 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】先找到四人中平均数大的，即成绩好的；再从平均成绩好的人中选择方差小，即成绩稳定的，从而得出答案． 【详解】解：由表知四位同学中乙、丁的平均成绩较好， 又乙的方差小于丁， 所以乙的成绩好且稳定， 故选：B． 【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 5. 估计的运算结果在哪两个整数之间（ ） A. 1和2 B. 2和3 C. 3和4 D. 4和5 【答案】D 【解析】 【分析】先化简代数式，然后再估算无理数的值，从而得到答案． 【详解】解：原式， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次根式的乘法，无理数的估算，估算出无理数的范围是解题的关键． 6. 六一儿童节，妈妈带小明去游乐园游玩，小明坐上了他向往已久的摩天轮．摩天轮上，小明离地面的高度h（米）和他坐上摩天轮后旋转的时间t（分钟）之间的部分函数关系如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. 摩天轮旋转一周需要6分钟 B. 小明出发后经过6分钟，离地面的高度为5米 C. 小明出发后的第3分钟和第9分钟离地面的高度相同 D. 小明离地面的最大高度为45米 【答案】D 【解析】 【分析】（1）由图象可知，用两个最高点对应的时间作差即可． （2）从图上看出，小明出发后经过6分钟恰好到达最低点，最低点为5米． （3）根据图象看出第3分钟与第9分钟小明离地面的高度均为50米． （4）观察图得出，抛物线的顶点对应的高度为50米． 【详解】解：由图可知，小明第一次到达最高点时间节点为3分钟，第二次到达最高点时间节点为9分钟，9−3＝6（分）．即摩天轮旋转一周需要6分钟，故选项A说法正确，不合题意； 由图可知，小明出发后经过6分钟，离地面的高度为5米，故选项B说法正确，不合题意； 由图可知，小明出发后的第3分钟和第9分钟离地面的高度相同，均为50米，故选项C说法正确，不合题意； 由图可知，小明离地面的最大高度为50，故选项D说法错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了函数的图象，解答问题的关键是明确题意，找出所求问题的条件，利用数形结合思想解答． 7. 用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑧个图案中正方形的个数为（ ） A. 30 B. 33 C. 37 D. 41 【答案】B 【解析】 【分析】根据图形的变化规律得出第n个图形中有4n＋1个正方形即可． 【详解】解：第①个图案中有5＝4×1＋1个正方形， 第②个图案中有9＝4×2＋1个正方形， 第③个图案中有13＝4×3＋1个正方形， 第④个图案中有17＝4×4＋1个正方形，…， ∴第n个图案中有4n＋1个正方形， ∴第⑧个图案中正方形的个数为：4×8＋1＝33， 故选：B． 【点睛】本题主要考查图形的变化规律，根据图形的变化得出第n个图形中有4n＋1个正方形是解题的关键． 8. 在平面直角坐标系xOy中，直线：与直线：的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象可知两直线的交点坐标为(-2，3)，即可确定不等式的解集． 【详解】解：根据图象可知两直线的交点坐标为(-2，3)， ∴不等式的解集为． 故选A． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键． 9. 如图，在正方形中，对角线相交于点O．E，F分别为上一点，且，连接．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，根据证明，得到，利用，求出，由此得到，进而得到的度数． 【详解】解：在正方形中，， ∵， ∴， ， ， ， ∵， ， ， 故选C． 10. 有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数后则显示的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．有如下结论：①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是3；②若将1，2，3，4这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是2；③若将1，2，3，4这4个整数任意地一个一个地输入，全部输入完毕后显示的结果的最小值是0；④若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数2，a，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，若k的最大值为10，那么k的最小值是6．上述结论中，正确的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查绝对值有关的问题，根据输入数据与输出结果的规则进行计算，判断①②③；只有三个数字时，当最后输入最大数时得到的结果取最大值，当最先输入最大数时得到的结果取最小值，由此通过计算判断④． 【详解】解：根据题意，依次输入1，2，3，4时， ， ， ， 最后输出的结果是2，故①错误； 按照1，3，2，4的顺序输入时， ， ， 此时输出结果为4，故②错误； 按照1，3，4，2的顺序输入时， ， ， ， 此时输出结果为0，为最小值，故③正确； 若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数2，a，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，若k的最大值为10， 设b为较大数字，当时， ， 解得(负值舍去)， 故此时任意输入后得到的最小数是： ， 设b为较大数字，当时， ， 则，即， 故此时任意输入后得到的最小数是： ， 综上可知，k的最小值是6，故④正确； ③④正确，正确的个数是2个， 故选B． 二、填空题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分) 11. 若最简二次根式和能合并,则a的值为___. 【答案】2 【解析】 【分析】最简同类二次根式可以合并，即被开方数相同. 【详解】最简二次根式和能合并，可知被开方数相同 = 解得 故答案为2 【点睛】本题考查最简二次根式的定义以及同类二次根式的定义. 12. 如果一组数据2，3，x，6，7的众数为2，那么这组数据的中位数为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据众数是2，得，根据中位数的概念，求解即可． 【详解】解：∵一组数据2，3，x，6，7的众数为2， ∴， ∴数据为2， 2，3，6，7， ∴这组数据的中位数为3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 13. 已知，则的值是________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、解一元一次不等式组．依据二次根式中被开方数为非负数，即可得到的值，代入原式进而得出的值，最后代入计算即可． 【详解】解：由题意可得， 解得，， 代入可得，， ， ． 故答案为：3． 14. 如图，已知一次函数和的图象交于点P，则二元一次方程组 的解是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图像交点坐标与方程组解的关系：对于函数，，其图象的交点坐标中x，y的值是方程组的解． 【详解】解：由图象可知，二元一次方程组 的解是． 故答案为：． 15. 如图，中，E、F分别为AB、AC边的中点，，若，，，则线段AB的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：、分别为、边的中点， 是的中位线， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 16. 如图，三角形纸片中，点D是边上一点，连接沿着直线翻折，得到交于点G，连接交于点F．若的面积为，则的长度为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握等面积法成为解题的关键． 由折叠的性质可得，再证可得，根据等腰三角形三线合一的性质可得，运用勾股定理可得，再运用等面积法求得，进而得到，最后根据勾股定理即可解答． 【详解】解:由折叠得，， 在和中， ， , ， （三线合一）， 又, ∴由勾股定理得：， ， ， ， ∵在中，, ，即, ， , ∵在中，， ． 故答案为：． 17. 若关于y的不等式组无解，且关于x的分式方程的解为负数，则所有满足条件的整数a的值之和是_______． 【答案】3 【解析】 【分析】分别解不等式组和分式方程，从而得到a的范围，进而取得a的整数，即可解答． 【详解】解： 整理得： 不等式组无解， ， 解，得：， 方程得解为负数， ， ， 当时，，分式方程无解， 且 ，且， 的整数解为：1，2． 所有满足条件的整数a的值之和为3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了含参数分式方程和含参数一元一次不等式，注意分式方程取增根的情况和明确不等式组解集的取法是解题的关键． 18. 如果一个四位自然数的百位数字大于或等于十位数字，且千位数字等于百位数字与十位数字的和，个位数字等于百位与十位数字的差，则我们称这个四位数为“巴川校庆密码数”，例如：自然数，其中，，所以是“巴川校庆密码数”；则最大的“巴川校庆密码数”是 _________；若一个“巴川校庆密码数”m的千位数字是a，百位数字是b，十位数字是c，个位数字是d（a、b、c、d是整数，且），m的后三位数字所表示的数与千位数字所表示的数的7倍之差能被整除，满足条件的m的最小值是 _________． 【答案】 ① ②. 【解析】 【分析】本题考查新定义问题，正确理解题意，掌握分类讨论的数学思想是解题关键． （1）求最大的数，即求千位上的数字最大时的数．先确定，再根据确定b，c，d的值，从而可得最小的亲密数．（2）根据题意表示将式子化为关于b和c的代数式，根据b是1至9的自然数对：94b+2c 进行分析，分情况讨论3b+2c的值可得结论． 【详解】解：（1）由题意知，，，且a、b、c、d都是自然数， 求最大的“巴川校庆密码数”，当a最大时，即时， ∵，b最大为9， ∴， ∴，， 则最大的“巴川校庆密码数”是：． （2）m的后三位数字所表示的数与千位数字所表示的数的7倍之差表示为： ∵， 由题意得：为整数， 即为的倍数， ∵，b、c为整数，且， ∴， ∴或， ①当时（）， 得， ∴m为； ②若 （）， 则， ∴m为， 故答案为：①②． 三、解答题(本大题共8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． 19. 计算． （1）； （2）． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，涉及负指数幂、去绝对和零指数幂， （1）先根据去绝对值、负指数幂和零指数幂的运算法则计算，再结合二次根式得加减计算即可． （2）先将括号里的利用二次根式的性质化简，再加减乘除即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 如图，在平行四边形中，，在取一点E，使得，连接． （1）用尺规完成以下基本作图：作的角平分线交于点F，交于点O；（保留作图痕迹，不写作法和结论） （2）根据（1）中作图，经过学习小组讨论发现，并给出以下证明，请将证明过程补充完整． 证明： ________________ 四边形为平行四边形 ________________ 平分 ________________ 四边形为平行四边形 ________________ 即 在中， ． 【答案】（1）见解析； （2），，，． 【解析】 【分析】（1）利用基本作图作的平分线即可； （2）先由得，再根据平行四边形的性质及平行线的性质得到，则，接着利用和平行线的性质得到，然后根据三角形内角和定理得到． 【小问1详解】 解：如下图： 【小问2详解】 证明： 四边形为平行四边形 平分 四边形为平行四边形 即 在中， ． 【点睛】本题考查了复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，掌握平行四边形和平行线的性质是解题的关键． 21. 为了提高学生的森林防火意识，某校组织了一场森林防火知识竞赛，学校在八、九年级中分别随机抽取了50名学生的成绩(分数)进行整理分析，已知成绩（分数）x均为整数，且分为A，B，C，D，E五个等级，分别是： A：，B：，C：，D：，E： 0． 并给出了部分信息： ①八年级B等级中由低到高的10个分数分别为80，80，82，83，83，83，84，84，85，85． ②两个年级学生森林防火知识竞赛分数统计图如图． ③两个年级学生森林防火知识竞赛分数样本数据的平均数、中位数、众数如下表： 平均数 中位数 众数 八年级 84 a 76 九年级 84 81 75 （1）直接写出a，m的值． （2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的学生对森林防火知识掌握较好？请说明理由．（说明一条理由即可） （3）若分数不低于80分表示该生对森林防火知识掌握较好，且该校八年级有1800人，九年级有1700人，请估计该校八、九年级所有学生中，对森林防火知识掌握较好的学生人数． 【答案】（1）， （2）八年级；理由见解析 （3）1892人 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数、中位数、众数，频数分布直方图，扇形统计图的应用，用样本估计总体．明确题意，用数形结合的思想解答是解题的关键． （1）根据题意和统计图中的数据分别计算a、m的值即可． （2）把平均数、中位数和众数相结合判断即可求解． （3）分别求出两个年级成绩不低于80分的人数，再相加即可． 【小问1详解】 解：由题意得， ， ， ∴； 【小问2详解】 解： 八年级学生对森林防火知识掌握较好．理由如下： 虽然八、九年级的平均数相同，但是八年级的中位数、众数比九年级的高， 因此八年级的学生对森林防火知识掌握较好． 【小问3详解】 解： (人)． 答：估计该校八、九年级所有学生中，对森林防火知识掌握较好的学生有1892人． 22. 小美打算买一束百合和康乃馨组合的鲜花，在“母亲节”祝福妈妈．已知买2支百合和1支康乃馨共需花费14元，3支康乃馨的价格比2支百合的价格多2元． （1）求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？ （2）小美准备买康乃馨和百合共11支，且百合不少于2支．设买这束鲜花所需费用为元，康乃馨有支，求与之间的函数关系式，并设计一种使费用最少的买花方案，写出最少费用． 【答案】（1）买一支康乃馨需4元，一支百合需5元；（2），，当购买康乃馨9支，百合2支时，所需费用最少，最少费用为46元． 【解析】 【分析】（1）设买一支康乃馨需x元，一支百合需y元，然后根据题意可得，进而求解即可； （2）由（1）及题意可直接列出与之间的函数关系式，进而可得，然后根据一次函数的性质可进行求解． 【详解】解：（1）设买一支康乃馨需x元，一支百合需y元，由题意得： ， 解得：， 答：买一支康乃馨需4元，一支百合需5元． （2）由（1）及题意得：百合有（11-x）支，则有， ， ∵百合不少于2支， ∴，解得：， ∵-1＜0， ∴w随x的增大而减小， ∴当x=9时，w取最小值，最小值为， ∴当购买康乃馨9支，百合2支时，所需费用最少，最少费用为46元． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用及一元一次不等式与二元一次方程组的应用，熟练掌握一次函数的应用及一元一次不等式与二元一次方程组的应用是解题的关键． 23. 如图，在矩形中，，，动点E从点B出发，沿着匀速运动到点D时停止运动，设点E的运动路程为x，的面积为y． （1）请直接写出y与x之间的函数表达式，并注明自变量x的取值范围，在给定的平面直角坐标系中画出y的函数图象； （2）请写出函数y的一条性质； （3）结合函数图象，在点E的运动过程中，当的面积为时，则自变量x的取值范围为______． 【答案】（1）；图见解析 （2）当时，y随x增大而不变，当时，y随x增大而减小 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，函数图象与性质，利用分类讨论解决问题是解题的关键： （1）分两种情况讨论，由三角形面积公式可求解； （2）由图象可直接求解； （3）分两种情况讨论，列出不等式可求解 【小问1详解】 解：在矩形中，，， ∴， 当点E在上时，， 当点E在上时，， 综上所述，； 先画出线段的图象： 当时；当时； 描点，连线，所作图形如图： ； 【小问2详解】 解∶ 当时，y随x增大而不变，当时，y随x增大而减小； 【小问3详解】 解：当点E在上时，即时，， 解得，； 当点E在上时，即时，， 解得： 综上，的面积时，自变量x的取值范围是， 故答案为： 24. 在中，，D是BC的中点，连接AD，EC为的一条中线，过点A作交CE的延长线于点F，连接FB． （1）求证：四边形ADBF是菱形； （2）若，四边形ADBF的面积为12，求BC的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由“AAS”可证△AEF≌△DEC，可得AF＝CD，进而可证四边形ADBF是平行四边形，然后由直角三角形的性质求出AD＝BD，由菱形的判定可证四边形ADBF是菱形； （2）由题意可得＝6，可得＝12＝AB·AC，设AB＝x，则AC＝2＋x，列方程求出AB、AC的长，由勾股定理可求BC的长． 【小问1详解】 证明：∵EC是△ADC的中线， ∴AE＝DE， ∵AFBC， ∴∠AFE＝∠DCE， 又∵∠AEF＝∠DEC， ∴△AEF≌△DEC（AAS）， ∴AF＝CD， ∵点D是BC中点， ∴BD＝DC， ∴AF＝BD， ∵AFCD， ∴四边形ADBF是平行四边形， ∵∠BAC＝90°，D是BC的中点， ∴AD＝BD， ∴平行四边形ADBF是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形ADBF的面积为12， ∴＝6， ∵D是BC的中点， ∴， ∴＝12＝AB·AC， 设AB＝x，则AC＝2＋x， ∴12＝x(2＋x)， 解得：＝4，＝−6（不合题意，舍去）， ∴AB＝4，AC＝2＋x＝6， ∴BC＝． 【点睛】本题主要考查菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，解一元二次方程，勾股定理的应用等知识，利用全等三角形的性质证得AF＝CD是解题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作等腰直角三角形ABC，． 　　 （1）求直线BC的函数解析式； （2）点P为线段AB上一动点，过点P作轴交BC于点Q．当时，求四边形APQC的面积及此时点P的坐标； （3）如图2，将一次函数的图象向左平移2个单位长度得到直线l，点M和点N均在直线BC上运动，点G为直线l上一动点，若以点A、N、G、M为顶点的四边形为矩形，直接写出MN的长度． 【答案】（1） （2），P（，）； （3）MN的长度为或． 【解析】 【分析】（1）过C作CH⊥x轴于H，求出OA＝2，OB＝1，证明△AOB≌△CHA（AAS），可得AH＝OB＝1，CH＝OA＝2，则C（−3，2），然后利用待定系数法求出直线BC的解析式即可； （2）设P（t，），则Q（t，），表示出PQ，根据PQ＝OB＝，列式求出t的值，进而可得P点坐标，然后根据计算即可； （3）先求出直线l的解析式，然后设G（m，m＋2），M（r，），N（s，），求出MN＝，分情况讨论：（Ⅰ）若AG，MN为对角线，则AG，MN的中点重合，且AG＝MN，（Ⅱ）若GM，AN为对角线，则GM，AN的中点重合，且GM＝AN，（Ⅲ）若GN，AM为对角线，则GN，AM的中点重合，且GN＝AM，分别根据两点间距离公式和中点坐标列方程求解即可． 【小问1详解】 解：过C作CH⊥x轴于H，如图： 在y＝x＋1中，令x＝0得y＝1，令y＝0得x＝−2， ∴A（−2，0），B（0，1），即：OA＝2，OB＝1， ∵△ABC等腰直角三角形， ∴∠BAO＝90°−∠CAH＝∠ACH，AB＝AC， ∵∠AOB＝∠AHC＝90°， ∴△AOB≌△CHA（AAS）， ∴AH＝OB＝1，CH＝OA＝2， ∴OH＝OA＋AH＝3， ∴C（−3，2）， 设直线BC解析式为y＝kx＋b， 把B（0，1），C（−3，2）代入得：， 解得， ∴直线BC解析式为； 【小问2详解】 设P（t，），则Q（t，）， ∴PQ＝， ∵PQ＝OB＝， ∴， 解得t＝， ∴P（，）， ∴， ∵OA＝2，OB＝1， ∴AB＝， ∴， ∴； 【小问3详解】 将直线y＝x＋1向左平移2个单位所得直线l解析式为y＝（x＋2）＋1＝x＋2，A（－2，0）， 设G（m，m＋2），M（r，），N（s，）， ∴MN＝， （Ⅰ）若AG，MN为对角线，则AG，MN的中点重合，且AG＝MN， ∴， 且③， 由②得：④， 由①④得：， 把代入③得：， ∴； （Ⅱ）若GM，AN为对角线，则GM，AN中点重合，且GM＝AN， ∴， 且， 同理解得：， ∴， ∴； （Ⅲ）若GN，AM为对角线，则GN，AM的中点重合，且GN＝AM， ∴， 且， 同理解得：， ∴， ∴； 综上所述，以点A、N、G、M为顶点的四边形为矩形，MN的长度为或． 【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形全等的判定与性质，坐标与图形，勾股定理的应用，一次函数图象上点坐标的特征，一次函数图象的平移，矩形的性质，二次根式的混合运算等知识，解题的关键是分类讨论思想与方程思想的应用． 26. 已知，在中，，，E为射线上一点，连接交于点F． （1）如图1，若点E与点C重合，且，求的长； （2）如图2，当点E在边上时，过点D作于点G，延长交于点H，连接，求证：； （3）如图3，当点E在射线上运动时，过点D作于点G，M为的中点，点N在边上且，已知，请直接写出的最小值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的性质可得，利用平行四边形的性质可得F为中点，在中，由勾股定理可求得，则可求得; （2）在上截取，连接，可先证，再证明，可证得结论； （3）连接并延长到，使，连接，取的中点，连接，作交的延长线于点K，作交延长线于点P，交与点H，则四边形为矩形，可证，其判定是的中位线，由题意知当点，，在同一直线上时，最短，就最短，由（1）知，则为等腰直角三角形，求得，即可求得和，则有最小值为即可． 【小问1详解】 解∶， ， ， ， 四边形是平行四边形， 、重合时， 在中， ， ， ，， ； 【小问2详解】 证明：如图2中，在上截取，连接， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 由（1）知， ， ， 则， 在和中， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解∶连接并延长到，使，连接，取的中点，连接，作交的延长线于点K，作交延长线于点P，交与点H，如图， 则， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ， ∵M为的中点， ∴是的中位线， ∵，，， ∴， ，点为的中点， ∴，当点，，在同一直线上时，最短，就最短，且， 由（1）知，则为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在 中， ， ∵， 最小值为， 是的中位线， 的最小值为． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查等腰直角三角形的判定和性质､全等三角形的判定和性质以及平行四边形的性质、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$