精品解析：2023-2024学年苏科版数学八年级下册期中测试试题

2023-2024学年度第二学期八年级数学期中测试 一：选择题（每题3分，共24分） 1. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列调查中适合采用全面调查的是（ ） A. 调查市场上某种白酒的塑化剂的含量 B. 调查鞋厂生产的鞋底能承受弯折次数 C. 了解某火车的一节车厢内感染禽流感病毒的人数 D. 了解某城市居民收看辽宁卫视的时间 3. 2012﹣2013NBA整个常规赛季中，科比罚球投篮的命中率大约是83.3%，下列说法错误的是 A 科比罚球投篮2次，一定全部命中 B. 科比罚球投篮2次，不一定全部命中 C. 科比罚球投篮1次，命中的可能性较大 D. 科比罚球投篮1次，不命中的可能性较小 4. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 B. 对角线互相垂直的梯形是等腰梯形 C. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 5. 如图，四边形是菱形，对角线，于点H，且与交于G，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在四边形中，点是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（ ） A 78° B. 75° C. 60° D. 45° 8. 矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（ ） A. （3，1） B. （3，） C. （3，） D. （3，2） 二：填空题（每题3分，共24分） 9. 如图，□ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到□AB′C′D′（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点），点B′恰好落在BC边上，则∠C=_______ 10. 平行四边形的周长为，对边的距离分别为和，则这个平行四边形的面积为__________． 11. 平行四边形的一个内角平分线将该平行四边形的一边分为2cm和3cm两部分，则该平行四边形的周长为______． 12. 某校七年级（1）班60名学生在一次英语测试中，优秀的占，在扇形统计图中，表示这部分同学的扇形圆心角是____度；表示良好的扇形圆心角是，则良好的学生有____． 13. 如图，四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB=OD，请你添加一个适当的条件_______，使ABCD成为菱形（只需添加一个即可） 14. 如图，在周长为的中，，，相交于点，交于，则的周长为_____． 15. 以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值是_____． 16. 如图，在菱形中，边长为10，．顺次连结菱形各边中点，可得四边形；顺次连结四边形各边中点，可得四边形；顺次连结四边形各边中点，可得四边形；按此规律继续下去…．则四边形的周长是____________；四边形的周长是______ 三：解答题 17. 某市对一大型超市销售的甲、乙、丙3种大米进行质量检测．共抽查大米200袋，质量评定分为A、B两个等级（A级优于B级），相应数据的统计图如下： 根据所给信息，解决下列问题： （1）a=　 　，b=　 　； （2）已知该超市现有乙种大米750袋，根据检测结果，请你估计该超市乙种大米中有多少袋B级大米？ （3）对于该超市的甲种和丙种大米，你会选择购买哪一种？运用统计知识简述理由． 18. 某校八年级数学课外兴趣小组的同学积极参加义工活动，小庆对全体小组成员参加活动次数的情况进行统计解析，绘制了如下不完整的统计表和统计图（图）． 次数 10 8 6 5 人数 3 a 2 1 （1）表中　 　； （2）请将条形统计图补充完整； （3）从小组成员中任选一人向学校汇报义工活动情况，参加了10次活动的成员被选中的概率有多少？ 19. 如图，在△ABC中，AD是BC边上中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF， （1）求证：AF=DC； （2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论． 20. 已知：如图，中，D是的中点，E是上一点，，． （1）猜想：与的关系是 ． （2）试说明你猜想的正确性． 21. 如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE， （1）求证：四边形AEBD是矩形； （2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由． 22. 如图，E为正方形ABCD对角线BD上的一点，且BE＝BC＝1． （1）求∠DCE的度数； （2）点P在EC上，作PM⊥BD于M，PN⊥BC于N，求PM＋PN的值． 23. 矩形ABCD中，AD=5，AB=3，将矩形ABCD沿某直线折叠，使点A的对应点A′落在线段BC上，再打开得到折痕EF． 　 （1）当A′与B重合时（如图1），EF= ； （2）当折痕EF过点D时（如图2），求线段EF的长； （3）观察图3和图4，①利用图4，证明四边形AEA′F是菱形； ②设BA′=x，当x的取值范围是 时，四边形AEA′F是菱形． 24. 探究问题： （1）方法感悟： 如图①，在正方形中，点E，F分别为，边上的点，且满足，连接，求证： ． 感悟解题方法，并完成下列填空． 证明：延长到点G，使，连接， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即______． 又∵，， ∴__________． ∴， ∵， 又， ∴． 变化：在图①中，过点A作于点M，请直接写出和数量关系____________； （2）方法迁移： 如图②，将沿斜边翻折得到，E，F分别是边上的点，，连接，过点A作于点M，试猜想之间有何数量关系，并证明你的猜想，试猜想和之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，E，F分别为，上的点，满足，试猜想当与满足什么关系时，可使得，请直接写出你的猜想（不必说明理由）．猜想：与满足关系： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度第二学期八年级数学期中测试 一：选择题（每题3分，共24分） 1. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合求解． 【详解】B既是轴对称图形，又是中心对称图形； C只是轴对称图形； D既不是轴对称图形也不是中心对称图形， 只有A符合． 故选A． 2. 下列调查中适合采用全面调查的是（ ） A. 调查市场上某种白酒的塑化剂的含量 B. 调查鞋厂生产的鞋底能承受弯折次数 C. 了解某火车的一节车厢内感染禽流感病毒的人数 D. 了解某城市居民收看辽宁卫视的时间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全面调查与抽样调查，根据实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查，逐项进行分析即可． 【详解】解：A、数量较大，具有破坏性，适合抽查，不符合题意； B、数量较大，具有破坏性，适合抽查，不符合题意； C、事关重大，因而必须进行全面调查，符合题意； D、数量较大，不容易普查，适合抽查，不符合题意． 故选：C． 3. 2012﹣2013NBA整个常规赛季中，科比罚球投篮的命中率大约是83.3%，下列说法错误的是 A. 科比罚球投篮2次，一定全部命中 B. 科比罚球投篮2次，不一定全部命中 C. 科比罚球投篮1次，命中的可能性较大 D. 科比罚球投篮1次，不命中的可能性较小 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：根据概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生．因此． A、科比罚球投篮2次，不一定全部命中，故本选项正确； B、科比罚球投篮2次，不一定全部命中，正确，故本选项错误； C、∵科比罚球投篮的命中率大约是83.3%， ∴科比罚球投篮1次，命中的可能性较大，正确，故本选项错误； D、科比罚球投篮1次，不命中的可能性较小，正确，故本选项错误． 故选A． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 B. 对角线互相垂直的梯形是等腰梯形 C. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【详解】A、对角线互相垂直且平分的四边形才是菱形，故本选项错误； B、对角线相等的梯形才是等腰梯形，故本选项错误； C、对角线互相平分的四边形才是平行四边形，故本选项错误； D、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故本选项正确． 故选D． 5. 如图，四边形是菱形，对角线，于点H，且与交于G，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质，勾股定理，求出，，根据等积法求出即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，对角线， ∴， 在中，， ∵， ∴． 故选：B． 6. 如图，在四边形中，点是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”．根据题意可得是的中位线，是的中位线，推出，，结合，可得，再根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：点是对角线的中点，点、分别是、的中点， 是的中位线，是的中位线， ，， ， ， ， 故选：D． 7. 如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（ ） A. 78° B. 75° C. 60° D. 45° 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：连接BD， ∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°， ∴△ABD为等边三角形，∠ADC=120°，∠C=60°． ∵P为AB的中点， ∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP=∠BDP=30°． ∴∠PDC=90°． ∴由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°． 在△DEC中，∠DEC=180°-(∠CDE+∠C)=75°． 故选B． 8. 矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（ ） A. （3，1） B. （3，） C. （3，） D. （3，2） 【答案】B 【解析】 【详解】解：如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小． ∵矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点， ∴D（，0），A（3，0），C（0，4）， ∴H（，0）， 设直线CH解析式为， 把C、H两点坐标代入得，， 解得，， y=x+4，当x=3时，y=， ∴点E坐标（3，） 故选B． 二：填空题（每题3分，共24分） 9. 如图，□ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到□AB′C′D′（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点），点B′恰好落在BC边上，则∠C=_______ 【答案】105． 【解析】 【详解】试题分析：根据旋转可得∠BAB′=30°，AB=AB′，则∠B=75°，根据∠B+∠C=180°可得∠C=105°. 考点：旋转图形的性质. 10. 平行四边形的周长为，对边的距离分别为和，则这个平行四边形的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的面积等于平行四边形的边长与该边上的高的积，即．其中a可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边与其对边的距离，即对应的高．设平行四边形的面积为，根据对边的距离分别为和，得出平行四边形的两条邻边长分别为：和，根据平行四边形的周长列出方程，解方程即可． 【详解】解：设平行四边形的面积为， ∵对边的距离分别为和， ∴平行四边形的两条邻边长分别为：和， ∵平行四边形的周长为， ∴， 解得：， 即平行四边形的面积为：． 故答案为：． 11. 平行四边形的一个内角平分线将该平行四边形的一边分为2cm和3cm两部分，则该平行四边形的周长为______． 【答案】14cm或16cm 【解析】 【详解】试题分析:根据题意画出图形，由平行四边形得出对边平行，又由角平分线可以得出△ABE为等腰三角形，然后分别讨论BE=2cm，CE=3cm或BE=3cm，CE=2cm，继而求得答案． 解：如图，∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAE=∠AEB， ∵AE为角平分线， ∴∠DAE=∠BAE， ∴∠AEB=∠BAE， ∴AB=BE， ∴①当AB=BE=2cm，CE=3cm时， 则周长为14cm； ②当AB=BE=3cm时，CE=2cm， 则周长为16cm． 故答案为14cm或16cm． 考点：平行四边形的性质． 12. 某校七年级（1）班60名学生在一次英语测试中，优秀的占，在扇形统计图中，表示这部分同学的扇形圆心角是____度；表示良好的扇形圆心角是，则良好的学生有____． 【答案】 ①. 162 ②. 20 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图：扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．根据统计图的意义，在扇形统计图中，优秀的占，即占的，则这部分同学的扇形圆心角．根据表示良好的扇形圆心角是，学生总数为60人，求出良好的学生人数即可． 【详解】解：表示优秀的这部分同学的扇形圆心角为： ． 良好的学生有： （人）． 故答案为：162；20． 13. 如图，四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB=OD，请你添加一个适当的条件_______，使ABCD成为菱形（只需添加一个即可） 【答案】OA=OC（答案不唯一）． 【解析】 【详解】解：添加条件OA=OC即可； ∵OA=OC，OB=OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵四边形ABCD对角线互相垂直， ∴平行四边形ABCD是菱形． 故答案为：OA=OC（答案不唯一） 14. 如图，在周长为的中，，，相交于点，交于，则的周长为_____． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的性质及线段垂直平分线的性质，解答此题的关键是将三角形的三边长转为平行四边形的一组邻边的长之和．先根据平行四边形的性质得出垂直平分，再利用垂直平分线的性质即可求出，所以的周长． 【详解】解：中，相交于点， 为的中点， ， ∴垂直平分， ， 的周长， 的周长为． 故答案为：10． 15. 以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】证△COA≌△DOB，推出等腰直角三角形AOB，求出AB=OA，得出要使AB最小，只要OA取最小值即可，当OA⊥CD时，OA最小，求出OA的值即可． 【详解】解：如图， ∵四边形CDEF是正方形， ∴∠OCD=∠ODB=45°，∠COD=90°，OC=OD， ∵AO⊥OB， ∴∠AOB=90°， ∴∠CAO+∠AOD=90°，∠AOD+∠DOB=90°， ∴∠COA=∠DOB， ∵在△COA和△DOB中 ， ∴△COA≌△DOB， ∴OA=OB， ∵∠AOB=90°， ∴△AOB是等腰直角三角形， 由勾股定理得：AB== OA， 要使AB最小，只要OA取最小值即可， 根据垂线段最短，OA⊥CD时，OA最小， ∵正方形CDEF， ∴FC⊥CD，OD=OF， ∴CA=DA， ∴OA=CF=1， 即AB= 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，正方形的性质，垂线段最短等知识点的应用，关键是求出AB=OA和得出OA⊥CD时OA最小，题目具有一定的代表性，有一定的难度． 16. 如图，在菱形中，边长为10，．顺次连结菱形各边中点，可得四边形；顺次连结四边形各边中点，可得四边形；顺次连结四边形各边中点，可得四边形；按此规律继续下去…．则四边形的周长是____________；四边形的周长是______ 【答案】 ①. 20 ②. 【解析】 【分析】先证明四边形是菱形，求出， ，，求出周长，同理可得四边形、、……为菱形，且对应的边长：，，…… ，进而求出四边形的周长即可． 【详解】解：连接，，，，如图所示： ∵菱形中，边长为10， ∴，，，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵顺次连结菱形各边中点，得到四边形， ∴，，，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵顺次连结四边形各边中点，可得四边形， ∴，，，， ∴， ∴四边形为菱形， ∴， ∴是等边三角形，四边形是菱形， ∴的周长为； 同理可得：四边形、、……为菱形， 且对应的边长：， ， …… ∴四边形为菱形，边长为， ∴四边形的周长为： ． 故答案为：20；． 【点睛】本题考查了中点四边形，三角形中位线的性质，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，根据题意发现中点四边形性质，分别求出菱形矩形边长并发现规律进行推理是解题关键． 三：解答题 17. 某市对一大型超市销售的甲、乙、丙3种大米进行质量检测．共抽查大米200袋，质量评定分为A、B两个等级（A级优于B级），相应数据的统计图如下： 根据所给信息，解决下列问题： （1）a=　 　，b=　 　； （2）已知该超市现有乙种大米750袋，根据检测结果，请你估计该超市乙种大米中有多少袋B级大米？ （3）对于该超市的甲种和丙种大米，你会选择购买哪一种？运用统计知识简述理由． 【答案】（1）55；5． （2）100袋． （3）丙种大米．理由见解析． 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据甲的圆心角度数是108°，求出所占的百分比，再根据总袋数求出甲种大米的袋数，即可求出a、b的值： ∵甲的圆心角度数是108°，所占的百分比是×100=30%， ∴甲种大米的袋数是：200×30%=60（袋）． ∴a=60﹣5=55（袋），b=200﹣60﹣65﹣10﹣60=5（袋）． （2）根据题意得先求出该超市乙种大米中B级大米所占的百分比，再乘以乙种大米的总袋数即可． （3）分别求出超市的甲种大米A等级大米所占的百分比和丙种大米A等级大米所占的百分比，即可得出答案．　 解：（1）55；5． （2）根据题意得：750×=100， 答：该超市乙种大米中有100袋B级大米． （3）∵超市的甲种大米A等级大米所占的百分比是×100%=91.7%， 丙种大米A等级大米所占的百分比是×100%=92.3%， ∴我会选择购买丙种大米． 18. 某校八年级数学课外兴趣小组的同学积极参加义工活动，小庆对全体小组成员参加活动次数的情况进行统计解析，绘制了如下不完整的统计表和统计图（图）． 次数 10 8 6 5 人数 3 a 2 1 （1）表中　 　； （2）请将条形统计图补充完整； （3）从小组成员中任选一人向学校汇报义工活动情况，参加了10次活动的成员被选中的概率有多少？ 【答案】（1）4 （2）条形统计图见详解 （3） 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图的综合运用及简单的概率计算，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据， （1）根据条形统计图可知a=4． （2）根据表格数据可知6次的人数是2，然后补全统计图即可． （3）根据概率公式解得即可． 【小问1详解】 解：根据条形统计图可知， 故答案：4． 【小问2详解】 解：由表可知，6次的有2人，补全统计图如下： 【小问3详解】 解：∵小组成员共10人，参加了10次活动的成员有3人， ∴P=． 答：从小组成员中任选一人向学校汇报义工活动情况，参加了10次活动的成员被选中的概率是． 19. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF， （1）求证：AF=DC； （2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据AAS证△AFE≌△DBE，推出AF=BD，即可得出答案． （2）得出四边形ADCF是平行四边形，根据直角三角形斜边上中线性质得出CD=AD，根据菱形的判定推出即可． 【详解】解：（1）证明：∵AF∥BC， ∴∠AFE=∠DBE． ∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线， ∴AE=DE，BD=CD． 在△AFE和△DBE中， ∵∠AFE=∠DBE，∠FEA=∠BED， AE=DE， ∴△AFE≌△DBE（AAS） ∴AF=BD． ∴AF=DC． （2）四边形ADCF是菱形，证明如下： ∵AF∥BC，AF=DC， ∴四边形ADCF是平行四边形． ∵AC⊥AB，AD是斜边BC的中线， ∴AD=DC． ∴平行四边形ADCF是菱形． 20. 已知：如图，中，D是的中点，E是上一点，，． （1）猜想：与的关系是 ． （2）试说明你猜想的正确性． 【答案】（1）互相平分 （2）见解析 【解析】 【分析】此题主要考查平行四边形的判定及性质的综合运用，解题关键是正确运用平行四边形的判定和性质． （1）与互相平分； （2）连接、，由已知可得四边形是平行四边形，从而可得，由中点的定义可得，得出，根据，得出四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质即可得出答案． 【小问1详解】 解：猜想：与的关系是互相平分； 【小问2详解】 证明：如图：连接、，   ∵，． ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴与互相平分． 21. 如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE， （1）求证：四边形AEBD是矩形； （2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）当∠BAC=90°时，矩形AEBD是正方形．理由见解析． 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的判定首先得出四边形AEBD是平行四边形，进而由等腰三角形的性质得出∠ADB=90°，即可得出答案； （2）利用等腰直角三角形的性质得出AD=BD=CD，进而利用正方形的判定得出即可． 【详解】（1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD， ∴四边形AEBD是平行四边形， ∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分线， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB=90°， ∴平行四边形AEBD是矩形； （2）当∠BAC=90°时，理由如下： ∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是∠BAC角平分线， ∴AD=BD=CD， ∵由（1）得四边形AEBD是矩形， ∴矩形AEBD是正方形． 【点睛】本题考查矩形和正方形判定，等腰三角形“三线合一”的性质．掌握特殊四边形的判定方法是解题关键． 22. 如图，E为正方形ABCD对角线BD上的一点，且BE＝BC＝1． （1）求∠DCE的度数； （2）点P在EC上，作PM⊥BD于M，PN⊥BC于N，求PM＋PN的值． 【答案】（1）22.5°， （2） 【解析】 【小问1详解】 解：在正方形ABCD中，∠BCD=90°，∠DBC=45° ∵BE=BC ∴∠BCE=∠BEC=(180°-∠DBC）=67.5° ∴∠DCE=∠DCB-∠BCE=90°-67.5°=22.5° 【小问2详解】 连接BP，作EF⊥BC于点F，则∠EFB=90° ∵∠EBF=45°， ∴△BEF为等腰直角三角形， 又BE=BC=1， ∴BF=EF=， ∵PM⊥BD，PN⊥BC， ∴S△BPE+S△BPC=S△BEC， 即×BE×PM+×BC×PN=×BC×EF, ∵BE=BC ∴PM+PN=EF= 23. 矩形ABCD中，AD=5，AB=3，将矩形ABCD沿某直线折叠，使点A的对应点A′落在线段BC上，再打开得到折痕EF． 　 （1）当A′与B重合时（如图1），EF= ； （2）当折痕EF过点D时（如图2），求线段EF的长； （3）观察图3和图4，①利用图4，证明四边形AEA′F是菱形； ②设BA′=x，当x的取值范围是 时，四边形AEA′F是菱形． 【答案】（1）5；（2）；（3）见解析；3≤x≤5. 【解析】 【分析】（1）由于矩形对折，于是EF=AD=5； （2）根据折叠的性质得到DC=AB=3，A′F=AD=5，在Rt△A′CF中利用勾股定理可计算出A′C=4，设AE=t，则BE=3-t，EA′=t，在Rt△EBA′中，利用勾股定理得（3-t）2+12=t2，解得t=，然后在Rt△AEF中，利用勾股定理即可计算出EF； （3）①根据折叠的性质得到EA=EA′，FA=FA′，∠AEF=∠A′EF，根据平行线的性质可得∠A′EF=∠AFE，则有∠A′FE=∠A′EF，于是A′E=A′F，易得AE=EA′=A′F=FA，根据菱形的判定即可得到结论； ②当折痕FE过B点时，四边形AEA′F是正方形，BA′最小，此时BA′=BA=3；当点A对应点A′落在C点时，BA′=5，于是得到x的取值范围是3≤x≤5，四边形AEA′F是菱形. 详解】解：（1）当A′与B重合时，如图1， 把矩形对折，所以EF=AD=5． 故答案为：5； （2）如图2， DC=AB=3，A′F=AD=5， 在Rt△A′CF中，A′C= ， 设AE=t，则BE=3-t，EA′=t， 在Rt△EBA′中，BA′=BC-A′C=5-4=1， ∵BE2+BA′2=EA′2， ∴（3-t）2+12=t2，解得t=， 在Rt△AEF中，AE=，AF=5， ∴EF=； （3）①如图4， ∵△AEF沿EF折叠到△A′EF， ∴EA=EA′，FA=FA′，∠AEF=∠A′EF， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AF∥EC， ∴∠A′EF=∠AFE， ∴∠A′FE=∠A′EF， ∴A′E=A′F， ∴AE=EA′=A′F=FA， ∴四边形AEA′F是菱形； ②当折痕FE过B点时，四边形AEA′F是正方形，BA′最小，此时BA′=BA=3； 当点A的对应点A′落在C点时，BA′=5，于是得到x的取值范围是3≤x≤5， 四边形AEA′F是菱形， 故答案为：3≤x≤5. 【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，折痕垂直平分对应点的连线段．也考查了矩形的性质、勾股定理以及菱形的判定与性质． 24. 探究问题： （1）方法感悟： 如图①，在正方形中，点E，F分别为，边上的点，且满足，连接，求证： ． 感悟解题方法，并完成下列填空． 证明：延长到点G，使，连接， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即______． 又∵，， ∴__________． ∴， ∵， 又， ∴． 变化：在图①中，过点A作于点M，请直接写出和的数量关系____________； （2）方法迁移： 如图②，将沿斜边翻折得到，E，F分别是边上的点，，连接，过点A作于点M，试猜想之间有何数量关系，并证明你的猜想，试猜想和之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，E，F分别为，上的点，满足，试猜想当与满足什么关系时，可使得，请直接写出你的猜想（不必说明理由）．猜想：与满足关系： ． 【答案】（1）；； （2）；；证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）延长到点G，使，连接，证明，得出，，证明．得出，根据，得出．证明，得出，，根据，即可得出结论； （2）延长至点G，连接，使得，证明，得出，．证明，得出，根据，得出，根据，，得出，即可得出答案； （3）延长至点Q，连接，使得，证明，得出，，证明，得出，根据，得出． 【小问1详解】 证明：延长到点G，使，连接， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即． 又∵，， ∴． ∴， ∵， 又， ∴． ，理由如下： ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，；证明如下： 如图，延长至点G，连接，使得， 将沿斜边翻折得到，点E、F分别为、边上的点，且， ，，， ， ， 即． 在和中， ， ， ，． 在和中， ， ， ， ，， ， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：当时，． 如图，延长至点Q，连接，使得， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 即， 在和中， ， ， ， ，， ， 当时，可使得． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，正方形的性质，补角的性质，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$