精品解析：鲁教版（五四制）2023-2024学年八年级数学下册期末阶段复习练习题

2023-2024学年鲁教版（五四制）八年级数学下册期末阶段复习综合练习题 一、选择题（本大题满分30分，每小题3分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式是 （ ） A. B. C. D. 2. 已知α，β方程x2+3x﹣8＝0的两个实数根，则为x1、x2，则α2+β2的值为（　　） A. ﹣7 B. 25 C. 17 D. 1 3. 如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且＝，则＝（　　） A. B. C. D. 4. 某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为128元．已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（）． A. 168（1+x）2=128 B. 168（1﹣x）2=128 C. 168（1﹣2x）=128 D. 168（1﹣x2）=128 5. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. x≠1 B. x≥0 C. x≠0 D. x≥0且x≠1 6. 已知关于的方程的两根互为倒数，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ） A. 3：4 B. 9：16 C. 9：1 D. 3：1 8. 如图，中，是斜边上高， ，那么等于（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（ ） A. （6，0） B. （6，3） C. （6，5） D. （4，2） 10. 定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M(2，0)，在边AB存在点P，使得△CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为（　　） A. (3，1)或(3，3) B. (3，)或(3，3) C. (3，)或(3，1) D. (3，)或(3，1)或(3，3) 二、填空题 11. 若2m = 3n，那么m：n=_______ 12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，有两点A（2，4），B（4，0），以原点O为位似中心，把△OAB缩小得到△OA'B'．若B'的坐标为（2，0），则点A'的坐标为_____． 13. 《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步．问勾中容方几何．”其大意是：如图，的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形的边长为______． 14. 图1是一个地铁站人口双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为______ 15. 如图，E是△ABC的中线AD上一点，CE的延长线交AB于点F，若AF＝2，ED＝3AE，则AB的长为________． 三、解答题 16. 计算：． 17. 关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）若k为负整数，求此时方程根． 18. 如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G． (1)求证：； (2)若，，求FG的长． 19. 如图，在中，分别是边上的点，连接，且． 求证:； 如果是的中点， ，求的长， 20. 已知在中，是边上的一点，的角平分线交于点，且，求证：． 21. 如图，城市建设部门计划在城市广场一块长方形空地上修建一个面积为1500的停车场，将停车场四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知长方形空地的长为60，宽为40． （1）求通道的宽度； （2）某公司希望用60万元的承包金额承揽修建广场的工程，城建部门认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以48.6万元达成一致，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率． 22. 在中，，，，求的长． 23. 是正方形的边上一动点(不与重合)， ，垂足为，将绕点旋转，得到，当射线经过点时，射线与交于点． 求证:； 在点的运动过程中，线段与线段始终相等吗?若相等请证明；若不相等，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年鲁教版（五四制）八年级数学下册期末阶段复习综合练习题 一、选择题（本大题满分30分，每小题3分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的条件对各选项进行判断即可得出答案． 【详解】A．是最简二次根式，故符合题意； B．，故B选项不符合题意； C．，故C选项不符合题意； D．，故D选项不符合题意， 故选A． 【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的条件是解题的关键．最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 2. 已知α，β方程x2+3x﹣8＝0的两个实数根，则为x1、x2，则α2+β2的值为（　　） A. ﹣7 B. 25 C. 17 D. 1 【答案】B 【解析】 分析】根据韦达定理可得α＋β＝-3，αβ＝-8，再根据完全平方公式变形即可求解． 【详解】解：∵α，β方程x2+3x﹣8＝0的两个实数根， ∴α＋β＝-3，αβ＝-8， ∴α2+β2=（α＋β）2-2αβ＝9+16=25， 故选：B． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系，若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，则x1＋x2＝− ，x1x2＝． 3. 如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且＝，则＝（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求出，根据位似图形的概念得到EF∥AB，FG∥BC，进而得出△OEF∽△OAB，△OGF∽△OCB，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵, ∴， ∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心为点O， ∴EF∥AB，FG∥BC， ∴△OEF∽△OAB，△OGF∽△OCB， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握位似图形的对应边互相平行是解题的关键． 4. 某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为128元．已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（）． A. 168（1+x）2=128 B. 168（1﹣x）2=128 C. 168（1﹣2x）=128 D. 168（1﹣x2）=128 【答案】B 【解析】 【分析】设每次降价的百分率为，根据降价后的价格降价前的价格降价的百分率），则第一次降价后的价格是，第二次后的价格是，据此即可列方程求解． 【详解】解：设每次降价的百分率为，根据题意得：， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可． 5. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. x≠1 B. x≥0 C. x≠0 D. x≥0且x≠1 【答案】D 【解析】 【分析】先根据分式及二次根式有意义的条件：二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义必须 ，据此列出关于x的不等式组，求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得x≥0且x≠1． 故选D． 【点睛】本题考查的是二次根式及分式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键． 6. 已知关于的方程的两根互为倒数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设两根为x1，x2，根据当两根互为倒数时：x1x2=1，再根据根与系数的关系即可求解． 【详解】解：设两根为x1，x2， ∵关于方程的两根互为倒数， ∴x1x2=1，即2m-1=1，解得m=1． 故选：C 【点睛】本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根则 7. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ） A. 3：4 B. 9：16 C. 9：1 D. 3：1 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴DC∥AB， ∴△DFE∽△BFA， ∵DE：EC=3：1， ∴DE：DC=3：4， ∴DE：AB=3：4， ∴S△DFE：S△BFA=9：16． 故选：B． 8. 如图，中，是斜边上的高， ，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同角的余角相等证明∠DCB=∠CAD，利用两角对应相等证明△ADC∽△CDB，列比例式可得结论． 【详解】解：∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠DCB=90°， ∵CD是高， ∴∠ADC=∠CDB=90°， ∴∠ACD+∠CAD=90°， ∴∠DCB=∠CAD， ∴△ADC∽△CDB， ∴CD2=AD•BD， ∵AD=9，BD=4， ∴CD=6 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是关键． 9. 如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（ ） A. （6，0） B. （6，3） C. （6，5） D. （4，2） 【答案】B 【解析】 【详解】△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2． A、当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC，故本选项不符合题意； B、当点E的坐标为（6，3）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=2，则AB：BC≠CD：DE，△CDE与△ABC不相似，故本选项符合题意； C、当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=4，则AB：BC=DE：CD，△EDC∽△ABC，故本选项不符合题意； D、当点E坐标为（4，2）时，∠ECD=90°，CD=2，CE=1，则AB：BC=CD：CE，△DCE∽△ABC，故本选项不符合题意． 故选B． 10. 定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M(2，0)，在边AB存在点P，使得△CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为（　　） A. (3，1)或(3，3) B. (3，)或(3，3) C. (3，)或(3，1) D. (3，)或(3，1)或(3，3) 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知，“智慧三角形”是直角三角形，∠CPM＝90°或∠CMP＝90°，设P（3，a），则AP＝a，BP＝4−a；分两种情况：①若∠CPM＝90°，②若∠CMP＝90°，根据勾股定理分别求出CP2、MP2、CM2，并根据图形列出关于a的方程，解得a的值，则可得答案． 【详解】解：由题意可知，“智慧三角形”是直角三角形，∠CPM＝90°或∠CMP＝90°， ∴设P（3，a），则AP＝a，BP＝4−a； ①若∠CPM＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得： CP2＝BP2＋BC2＝（4−a）2＋9， 在Rt△MPA中，由勾股定理得： MP2＝MA2＋AP2＝1＋a2， 在Rt△MPC中，由勾股定理得： CM2＝MP2＋CP2＝1＋a2＋（4−a）2＋9＝2a2−8a＋26， 又∵CM2＝OM2＋OC2＝4＋16＝20， ∴2a2−8a＋26＝20， ∴（a−3）（a−1）＝0， 解得：a＝3或a＝1， ∴P（3，3）或（3，1）； ②若∠CMP＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得： CP2＝BP2＋BC2＝（4−a）2＋9， Rt△MPA中，由勾股定理得： MP2＝MA2＋AP2＝1＋a2， ∵CM2＝OM2＋OC2＝20， 在Rt△MCP中，由勾股定理得： CM2＋MP2＝CP2， ∴20＋1＋a2＝（4−a）2＋9， 解得：a＝． ∴P（3，）． 综上，P（3，）或（3，1）或（3，3）． 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质及勾股定理在几何图形坐标计算中的应用，数形结合、分类讨论并根据题意正确地列式是解题的关键． 二、填空题 11. 若2m = 3n，那么m：n=_______ 【答案】3︰2 【解析】 【分析】根据比例的性质将式子变形即可. 【详解】， ， 故答案为： 3︰2 点睛：此题考查比例的知识 12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，有两点A（2，4），B（4，0），以原点O为位似中心，把△OAB缩小得到△OA'B'．若B'的坐标为（2，0），则点A'的坐标为_____． 【答案】（1，2） 【解析】 【分析】根据位似变换的性质，坐标与图形性质计算． 【详解】点B的坐标为（4，0），以原点O为位似中心，把△OAB缩小得到△OA'B'，B'的坐标为（2，0）， ∴以原点O为位似中心，把△OAB缩小，得到△OA'B'， ∵点A的坐标为（2，4）， ∴点A'的坐标为（2×，4×），即（1，2）， 故答案是：（1，2）． 【点睛】考查的是位似变换，坐标与图形性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k． 13. 《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步．问勾中容方几何．”其大意是：如图，的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质； 设正方形的边长为x，则，证明，利用相似三角形的性质求出x即可． 【详解】解：设正方形的边长为x，则， ∵正方形中，即， ∴， ∴，即， ∴， ∴它的内接正方形的边长为， 故答案为：． 14. 图1是一个地铁站人口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为______ 【答案】 【解析】 【分析】过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F，根据含30度角的直角三角形的性质即可求出AE与BF的长度，然后求出EF的长度即可得出答案． 【详解】解：过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F， ∵AC=56，∠PCA=30°， 由对称性可知：BF=AE， ∴通过闸机的物体最大宽度为2AE+AB=56+10=66； 故答案为：66cm． 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用含30度的直角直角三角形的性质，本题属于基础题型． 15. 如图，E是△ABC的中线AD上一点，CE的延长线交AB于点F，若AF＝2，ED＝3AE，则AB的长为________． 【答案】14 【解析】 【分析】取BF的中点H，连接DH，取AD的中点Q，取AH的中点P，连接PQ，可得到DH为的中位线， PQ是的中位线，然后利用三角形的中位线定理，即可求解． 【详解】解：如图，取BF的中点H，连接DH，取AD的中点Q，取AH的中点P，连接PQ， ∵AD是△ABC的中线，BF的中点H， ∴DH为的中位线， ∴BH=FH， ∵ED＝3AE， ∴AD=4AE， ∵AD的中点Q， ∴AQ=2AE，即E为AQ的中点， ∵AH的中点P， ∴PQ是的中位线， ∴PH=AP， ∴PQ∥DH， ∴PQ∥EF， ∴AP=2AF， ∵AH的中点P， ∵AF＝2， ∴PH=AP=4，PF=2， ∴BH=FH=PH+PF=6 ∴AB=BH+FH+AF=14 故答案为：14． 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，作适当的辅助线，构造三角形的中位线是解题的关键． 三、解答题 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先利用完全平方公式，再结合二次根式的混合运算法则计算得出答案． 【详解】解：原式 【点睛】本题考查完全平方公式和二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式和二次根式的混合运算法则． 17. 关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）若k为负整数，求此时方程的根． 【答案】（1） ；（2）x1=0，x2=1. 【解析】 【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根知△＞0，据此列出关于k的不等式，解之可得； （2）由所得k的范围，结合k为负整数得出k的值，代入方程，再利用因式分解法求解可得． 【详解】（1）由题意，得△． 解得． （2）∵k为负整数， ∴． 则方程为． 解得，． 【点睛】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）根据方程的系数结合根的判别式，找出△=4k+5＞0；（2）将k=-1代入原方程，利用因式分解法解方程． 18. 如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G． (1)求证：； (2)若，，求FG的长． 【答案】(1)证明见解析；(2)FG=2. 【解析】 【分析】(1)由平行四边形的性质可得，，进而得，根据相似三角形的性质即可求得答案； (2)由平行四边形的性质可得，进而可得，根据相似三角形的性质即可求得答案. 【详解】(1)四边形ABCD是平行四边形， ，， ， ∴， ∵BE=AB，AE=AB+BE， ， ， ； (2)四边形ABCD是平行四边形， ， ， ，即， 解得，． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键. 19. 如图，在中，分别是边上的点，连接，且． 求证:； 如果是的中点， ，求的长， 【答案】见解析； 【解析】 【分析】（1）根据两角对应相等两个三角形相似即可得证． （2）根据点E是AC的中点，设AE=x，根据相似三角形的性质可知，从而列出方程解出x的值． 【详解】证明: ． 由知 点是的中点，设， 解得(不和题意舍去)． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数构建方程解决问题． 20. 已知在中，是边上的一点，的角平分线交于点，且，求证：． 【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】根据角平分线的性质和外角等于不相邻两内角和即可求得∠ABD＝∠C，可证明△ABD∽△ABC，即可解题． 【详解】∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即：， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应边比例相等的性质． 21. 如图，城市建设部门计划在城市广场的一块长方形空地上修建一个面积为1500的停车场，将停车场四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知长方形空地的长为60，宽为40． （1）求通道的宽度； （2）某公司希望用60万元的承包金额承揽修建广场的工程，城建部门认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以48.6万元达成一致，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率． 【答案】（1）5m （2）10% 【解析】 【分析】（1）设通道宽度为xm，可求出停车场的长和宽，利用面积列方程求解即可； （2）设每次降价的百分率为y，根据题意，列一元二次方程求解即可． 【详解】解：（1）设通道宽度为xm， 依题意得(60-2x)(40-2x)=1500，即x2-50x+225=0 解得，(舍去) 答：通道的宽度为5m． （2）设每次降价的百分率为y， 依题意得60(1-y)2=48.6 解得，(舍去) 答：每次降价的百分率为10%． 【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程的实际应用，解此题的关键是找出题目中的等量关系式． 22. 在中，，，，求长． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，交的延长线于点，由平角的定义可求解，通过解直角三角形可求解，的长，即可求解的长，再利用勾股定理可求解的长． 【详解】解：过点作，交的延长线于点， ， ， ， ，， 即，， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，勾股定理，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 23. 是正方形的边上一动点(不与重合)， ，垂足为，将绕点旋转，得到，当射线经过点时，射线与交于点． 求证:； 在点的运动过程中，线段与线段始终相等吗?若相等请证明；若不相等，请说明理由． 【答案】见解析；，证明见解析 【解析】 【分析】（1）由旋转性质知∠BPN=∠CPD，再由∠PCD+∠BCP=∠PBN+∠BCP=90°知∠PCD=∠PBN，从而得证； （2）先证△MPB∽△BPC得再由△PBN∽△PCD知从而得根据BC=CD可得答案． 【详解】证明:由旋转可得． 四边形是正方形， ． ， ， 证明: ． 由可知 【点睛】本题考查的是相似三角形的综合问题，解题的关键是掌握旋转变换的性质、相似三角形的判定与性质及正方形的性质等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$