精品解析：2023-2024学年人教版数学八年级下册期中综合测评试题

2023～2024学年下学期新课标测试 八年级数学期中综合测评卷 限时：120分钟 满分：120分 范围：第十六章～第十八章 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（　　） A. 2，3，4 B. 3，，5 C. 5，12，13 D. 4，5，8 2. 下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 3. 已知a<b，化简二次根式（ ） A. B. C. D. 4. “方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点D，之间的距离为（ ） A. 1cm B. 2cm C. (－1)cm D. (2－1)cm 5. 我国南宋著名数学家秦九韶在他著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边分别为a，b，c，S为面积，则该三角形的面积公式为S＝，已知的三边分别是3，和，则的面积是（ ）． A. B. C. 2 D. 3 6. 如图，菱形ABCD对角线AC与BD交于点O，点E是DC边上的中点，连接OE，OE=5，BD=12，则菱形的面积为( ) A. 96 B. 48 C. 192 D. 24 7. 如图，的两直角边长分别为，，以的斜边为一直角边，另一直角边长为画第二个；再以的斜边为一直角边，另一直角边长为画第三个；，以此类推，第个直角三角形的斜边长是（　　） A. B. C. D. 8. 在数学实践课上，老师给每位同学准备了四块全等直角三角形纸板，小邦同学拿到纸板后随手做拼图游戏，结果拼出如图所示的图形，小友同学热爱思考，借助这个图形设计了一道数学题：如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形中，C、D、E在同一直线上，设，，则的长是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，画射线与交于点D，，垂足为E．则下列结论错误的是（ ） A B. C. D. 10. 如图，正方形的边长为，在正方形的右侧作矩形，点在边的延长线上，，点，，在同一条直线上，，连接，点是的中点，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 12. 已知a，b对应的点在数轴上的位置如图所示，化简代数式的结果等于___________． 13. 如图，中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为、、．如果，则阴影部分的面积为___________． 14. 如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时的速度沿北偏东30°方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏西60°方向航行．一小时后，“远航”号、“海天”号分别位于，处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为______． 15. 如图，在中，，，，分别是与AC的中点，则的长为______． 16. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，且，过O作交于点E，若的周长为，则的值为___________． 17. 如图，矩形纸片ABCD，CD=1，点E在AB上，若点B关于CE的对称点B'落在AD上时，∠B'CE=22.5°，则BE+BC的值为___________． 18. 如图，已知正方形的边长为4，P是对角线上一点，于点E，于点F，连接．给出下列结论：①；②四边形的周长为8；③；④的最小值为，其中结论正确的为___________．（填序号） 三、解答题（本大题共6小题，共66分） 19. （1）计算：； （2）已知，，求代数式的值． 20. 将两个完全相同的含有角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放．点A，E，B，D依次在同一直线上，连结、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知，当四边形是菱形时．的长为__________． 21. 如图，在中，分别以点和点圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，已知． （1）判断的形状，并说明理由； （2）若，，求的周长． 22. 如图，四边形中，，，分别以为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，画射线交于，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）当时，求 的长． 23. 如图，在长方形纸片中，，点P在边上，将沿折叠，点C落在点E处，分别交于点G，F，若， （1）试说明 （2）求的长 24. 已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O． （1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长； （2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．运动过程中， ①已知点P速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． ②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023～2024学年下学期新课标测试 八年级数学期中综合测评卷 限时：120分钟 满分：120分 范围：第十六章～第十八章 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（　　） A. 2，3，4 B. 3，，5 C. 5，12，13 D. 4，5，8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可． 【详解】解：A．， 以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； B．， 以3，，5为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； C．， 以5，12，13为边能组成直角三角形，故本选项符合题意； D．， 以4，5，8为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：C． 2. 下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的加减运算，以及混合运算法则，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，无法合并，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项正确，符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：B 【点睛】本题主要考查了二次根式的加减运算以及混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 3. 已知a<b，化简二次根式（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则即可求解． 【详解】∵a<b，依题意可知a，b异号， ∴a＜0 ∴= 故选D． 【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则． 4. “方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点D，之间的距离为（ ） A. 1cm B. 2cm C. (－1)cm D. (2－1)cm 【答案】D 【解析】 【分析】先求出BD，再根据平移性质求得=1cm，然后由求解即可． 【详解】解：由题意，BD=cm， 由平移性质得=1cm， ∴点D，之间的距离为==（）cm， 故选：D． 【点睛】本题考查平移性质、正方形的性质，熟练掌握平移性质是解答的关键． 5. 我国南宋著名数学家秦九韶在他著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边分别为a，b，c，S为面积，则该三角形的面积公式为S＝，已知的三边分别是3，和，则的面积是（ ）． A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式乘法、乘方、最简二次根式的性质，利用已知运算公式，将数据代入代数式计算，即可得到答案． 【详解】∵△ABC的三边分别是3，和，即，， ∴△ABC的面积S＝ 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式运算的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式乘法、最简二次根式的性质，从而完成求解． 6. 如图，菱形ABCD对角线AC与BD交于点O，点E是DC边上的中点，连接OE，OE=5，BD=12，则菱形的面积为( ) A. 96 B. 48 C. 192 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】由四边形ABCD是菱形，可知AC⊥BD，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可求出CD=10，根据勾股定理求出OC的长，然后由菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求解. 【详解】∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，，， ∴CD=2OE=10， ∴， ∴AC=2OC=16， ∴菱形的面积为：. 故选A. 【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解答本题的关键. 菱形的性质有：具有平行四边形的性质；菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有两条对称轴. 7. 如图，的两直角边长分别为，，以的斜边为一直角边，另一直角边长为画第二个；再以的斜边为一直角边，另一直角边长为画第三个；，以此类推，第个直角三角形的斜边长是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理，在直角三角形中，利用勾股定理求出各自的斜边，归纳总结得到第个直角三角形的斜边即可，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】在中，，，根据勾股定理得， 在中，，，根据勾股定理得， 在中，，，根据勾股定理得=， ， 以此类推，第个直角三角形的斜边长为， 故选：． 8. 在数学实践课上，老师给每位同学准备了四块全等的直角三角形纸板，小邦同学拿到纸板后随手做拼图游戏，结果拼出如图所示的图形，小友同学热爱思考，借助这个图形设计了一道数学题：如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形中，C、D、E在同一直线上，设，，则的长是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用．设，则，求得，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴ 在中，， ∴， 故选：B． 9. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，画射线与交于点D，，垂足为E．则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由作图方法可知，是的角平分线，则由角平分线的定义和性质即可判定A、B；利用勾股定理求出，利用等面积法求出，由此求出即可判断C、D． 【详解】解：由作图方法可知，是的角平分线， ∴，故A结论正确，不符合题意； ∵， ∴，故B结论正确，不符合题意； 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故C结论错误，符合题意； ∴，故D结论正确，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质和定义，角平分线的尺规作图，灵活运用所学知识是解题的关键． 10. 如图，正方形的边长为，在正方形的右侧作矩形，点在边的延长线上，，点，，在同一条直线上，，连接，点是的中点，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】延长GH交AD延长线于M，证△AMH≌△FGH (ASA)，得MH = GH，AM=GF=3cm，则DM=1cm，再由勾股定理得GM，即可得出结论． 【详解】如图，延长GH交AD延长线于M， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD= CD = 2cm， AD//BC，∠GDM=∠ADC = 90°， ∵四边形CEFG是矩形， ∴ GF= CE= 3cm， CE//GF， ∴AD//GF， ∴∠GFH =∠MAH， ∵点H是AF的中点， ∴AH= FH， 在△AMH和△FGH中， ， ∴△AMH≌△FGH (ASA)， ∴MH=GH，AM=GF=3cm， ∴DM = AM- AD=3-2= 1 (cm)， ∵CG=5cm， ∴ GD= CG- CD=5-2= 3 (cm)， Rt△GDM中，由勾股定理得： GM= cm， cm， 故选： A． 【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质和矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为列出不等式组，解不等式组得到答案． 【详解】解：由题意得：且， 解得：且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查的是代数式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为是解题的关键． 12. 已知a，b对应的点在数轴上的位置如图所示，化简代数式的结果等于___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，化简二次根式和绝对值，根据点在数轴上的位置，确定式子的符号，再根据二次根式的性质和绝对值的意义，进行化简即可． 【详解】解：由数轴可知， ∴． ∴原式． 故答案为： 13. 如图，中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为、、．如果，则阴影部分的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由勾股定理得出，再根据即可得出的值，即为图中阴影部分的面积． 【详解】解：由勾股定理得， ， 即， ， ， 由图形可知，阴影部分的面积， 阴影部分的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是由勾股定理得出是解题的关键． 14. 如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时的速度沿北偏东30°方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏西60°方向航行．一小时后，“远航”号、“海天”号分别位于，处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为______． 【答案】20 【解析】 【分析】根据两船的航行方向得出，在直角三角形中，易得，，利用勾股定理求得的长，即两船的距离． 【详解】解：由题意可得，，，所以． 在直角三角形中， 因为，， 所以，即两船的距离为20 n mile． 故答案为：20． 【点睛】本题考查方向角及勾股定理的实际应用．从实际问题中抽象出直角三角形，进而利用勾股定理是解题关键． 15. 如图，在中，，，，分别是与AC的中点，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，中位线定理，所对直角边是斜边的一半，直角三角形两锐角互余，由直角三角形两锐角互余得，又则，根据所对直角边是斜边的一半可得，由勾股定理可求得，最后根据中位线定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵分别是与的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 16. 如图，平行四边形对角线相交于点O，且，过O作交于点E，若的周长为，则的值为___________． 【答案】10 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质．由四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分、对边相等，即可得，，，又由，即可得是的垂直平分线，然后根据线段垂直平分线的性质，即可得，又由的周长为，即可求得的值． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， 又∵， ∴是的垂直平分线，即， ∵的周长为 ， ∴，即， ∴； 故答案为：． 17. 如图，矩形纸片ABCD，CD=1，点E在AB上，若点B关于CE的对称点B'落在AD上时，∠B'CE=22.5°，则BE+BC的值为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得AB=CD=1，∠A=∠B=∠DCB=∠D=90°，由翻折可知：∠BCE=∠B'CE=22.5°，BC=B′C，可得DB′=DC=1，设BE=B′E=x，则AE=AB-BE=1-x，然后根据勾股定理即可解决问题． 【详解】解：在矩形ABCD中，AB=CD=1，∠A=∠B=∠DCB=∠D=90°，由翻折可知：∠BCE=∠B'CE=22.5°，BC=B′C， ∴∠DCB′=90-22.5°×2=45°， ∴DB′=DC=1， ∴B′C=， ∴AD=BC=B′C=， ∴AB′=AD-DB′=-1， 设BE=B′E=x，则AE=AB-BE=1-x， 在Rt△AB′E中，根据勾股定理得： AE2+AB′2=B′E2， ∴（1-x）2+（-1）2=x2， 解得x=2-， ∴BE=2-， ∴BE+BC=2-+=2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折变换，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 18. 如图，已知正方形的边长为4，P是对角线上一点，于点E，于点F，连接．给出下列结论：①；②四边形的周长为8；③；④的最小值为，其中结论正确的为___________．（填序号） 【答案】②③ 【解析】 【分析】①证明是等腰直角三角形，则，即可判断； ②根据①可知四边形为矩形，则四边形周长，即可判断； ③证明，则，根据矩形对角线相等得，即可判断； ④当时，即时，的最小值等于，即可判断． 【详解】解：连接， ①∵是正方形的对角线，则， 而，则为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； 故①错误； ②∵四边形为矩形， ∴四边形的周长； 故②正确； ③∵四边形为矩形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 故③正确； ④由， ∴当最小时，最小， 则当时，即时，的最小值等于； 故④不正确； 综上，②③正确． 故答案为：②③． 【点睛】本题综合考查了正方形的性质、矩形的判定和性质、垂线段最短、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共6小题，共66分） 19. （1）计算：； （2）已知，，求代数式的值． 【答案】（）；（）． 【解析】 【分析】（）先利用完全平方公式，二次根式除法运算法则分别计算，再合并同类二次根式即可； （）由，得，，然后把，然后代入求值即可； 本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（）原式 ； （）解：∵，， ∴，， ∴ ． 20. 将两个完全相同的含有角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放．点A，E，B，D依次在同一直线上，连结、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知，当四边形是菱形时．的长为__________． 【答案】（1）见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知易得，即，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明； （2）如图，在中，由角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形锐角互余易得，；由菱形得对角线平分对角得，再由三角形外角和易证即可得，最后由求解即可． 【小问1详解】 证明：由题意可知， ，， ， 四边形地平行四边形； 【小问2详解】 如图，在中，，，， ，， 四边形是菱形， 平分， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的性质，角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形锐角互余，三角形外角及等角对等边；解题的关键是熟练掌握相关知识综合求解． 21. 如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，已知． （1）判断的形状，并说明理由； （2）若，，求的周长． 【答案】（1）为直角三角形，见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法、线段垂直平分线的性质定理、勾股定理及其逆定理， （1）由题意知，是线段的垂直平分线，由垂直平分线的性质定理可得，则由及勾股定理逆定理即可得，从而可得是直角三角形； （2）由已知设，，则由勾股定理建立方程可求得x的值，从而可得的长，再由勾股定理可求得的长，则最后可求得的周长． 【小问1详解】 解：是直角三角形． 由作图知，为线段的垂直平分线，点在上， ∴， ∵， ∴，即， 根据勾股定理的逆定理知， ∴， ∴是直角三角形． 【小问2详解】 解：由，设，， 由（1）知，在中，根据勾股定理得，， 即， 解得，（舍去负值）， ∴，，， 在中，， ∴的周长为：． 22. 如图，四边形中，，，分别以为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，画射线交于，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）当时，求 的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）根据作图可知，是的垂直平分线，得到，然后证明，根据全等三角形的性质得，所以判定四边形是平行四边形，最后通过即可证明； （）由，，得是的中点，，故有，，证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得，最后由勾股定理即可求解； 本题主要考查了菱形判定，平行线的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 证明：设与的交点为， 根据题意得垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形， 【小问2详解】 解：∵，， ∴是的中点，， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，即是直角三角形， ∴由勾股定理得：． 23. 如图，在长方形纸片中，，点P在边上，将沿折叠，点C落在点E处，分别交于点G，F，若， （1）试说明 （2）求的长 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据折叠性质可得出可得出； （2）根据全等三角形的性质可得出，设，则， 中，根据勾股定理，可得到x的值． 【小问1详解】 解：根据折叠可知：， ∴． 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴中，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，设要求的线段长为x，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程是解决问题的关键． 24. 已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O． （1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长； （2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中， ①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． ②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式． 【答案】（1）证明见解析，AF=5cm． （2）①以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒． ②a与b满足的数量关系式是a+b=12（ab≠0）． 【解析】 【分析】（1）先证明四边形AFCE为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定；根据勾股定理即可求得AF的长； （2）分情况讨论可知，当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可. 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE， ∵EF垂直平分AC，垂足为O， ∴OA=OC， ∴△AOE≌△COF， ∴OE=OF， ∴四边形AFCE为平行四边形， 又∵EF⊥AC， ∴四边形AFCE为菱形， 设菱形的边长AF=CF=xcm，则BF=（8﹣x）cm， 在Rt△ABF中，AB=4cm， 由勾股定理得42+（8﹣x）2=x2， 解得x=5， ∴AF=5cm． （2）①显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形； 同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上，也不能构成平行四边形． 因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形， ∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA， ∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒， ∴PC=5t，QA=12﹣4t， ∴5t=12﹣4t， 解得， ∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒． ②由题意得，以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上． 分三种情况： i）如图1，当P点在AF上、Q点在CE上时，AP=CQ，即a=12﹣b，得a+b=12； ii）如图2，当P点在BF上、Q点在DE上时，AQ=CP，即12﹣b=a，得a+b=12； iii）如图3，当P点在AB上、Q点在CD上时，AP=CQ，即12﹣a=b，得a+b=12． 综上所述，a与b满足的数量关系式是a+b=12（ab≠0）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$